Những kết luận mới của luận án Đối với lớp bao hàm thức vi phân có trễ hữu hạn mà phần tuyến tính sinh ra nửa nhóm tích phân: Chứng minh tính giải được toàn cục và sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị sinh bởi bài toán. Đối với lớp bao hàm thức vi phân dạng đa diện, phần tuyến tính sinh ra nửa nhóm tích phân có tính chất hyperbolic: Chứng minh được sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn. Đối với lớp bao hàm thức vi phân bậc phân số, có xung, với điều kiện không cục bộ và trễ hữu hạn: Chứng minh được tính giải được trên nửa trục và tính ổn định tiệm cận yếu. Trong trường hợp đặc biệt, hàm phi tuyến đơn trị và thỏa mãn điều kiện Lipschitz, chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm phân rã. Xác nhận của cán bộ hướng dẫn PGS. TS. Trần Đình Kế Nghiên cứu sinh Đỗ Lân SUMMARY OF NEW CONCLUSIONS OF PHD THESIS - Title: Asymptotic behavior of solutions to multivalued differential systems in infinite dimensional spaces - Speciality: Integral and Differential Equations - Code: 62 46 01 03 - PhD Student: Do Lan - Scientific Advisor: Assoc.Prof. PhD. Tran Dinh Ke - Institutional: Hanoi National University of Education New conclusions For the class of differential inclusions with finite delay whose linear part generates an integrated semigroup: We have proved the global solvability and the existence of a compact global attractor for the m −semiflow generated by our system. For a class of polytope differential inclusions with Hille–Yosida operator: We have proved the existence of anti-periodic solutions. For a semilinear fractional differential inclusion subject to impulsive effects and nonlocal condition: We have proved the global solvability and weakly asymptotic stability of zero solution. In a special case, the nonlinearity F is singleton and satisfies the Lipschitz condition, we have proved the existence and uniqueness of decay solution Scientific Advisor
B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI * LN DNG IU TIM CN CA MT S H VI PHN A TR TRONG KHễNG GIAN Vễ HN CHIU LUN N TIN S TON HC H Ni - 2016 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI * LN DNG IU TIM CN CA MT S H VI PHN A TR TRONG KHễNG GIAN Vễ HN CHIU Chuyờn ngnh: Phng trỡnh vi phõn v tớch phõn Mó s: 62 46 01 03 LUN N TIN S TON HC NGI HNG DN KHOA HC PGS TS Trn ỡnh K H Ni - 2016 LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca tụi di s hng dn ca PGS TS Trn ỡnh K Cỏc kt qu c phỏt biu lun ỏn l trung thc v cha tng c cụng b cỏc cụng trỡnh ca cỏc tỏc gi khỏc Nghiờn cu sinh Lõn LI CM N Lun ỏn ny c thc hin ti B mụn Gii tớch, Khoa Toỏn - Tin, Trng i hc S phm H Ni, di s hng dn nghiờm khc, tn tỡnh, chu ỏo ca PGS TS Trn ỡnh K Tỏc gi xin by t lũng kớnh trng v bit n sõu sc n Thy, ngi ó dn dt tỏc gi vo mt hng nghiờn cu khú khn, vt v nhng thc s thỳ v v cú ý ngha Tỏc gi trõn trng gi li cm n n Ban Giỏm hiu, Phũng Sau i hc, Ban Ch nhim Khoa Toỏn- Tin, Trng i hc S phm H Ni, c bit l cỏc thy giỏo, cụ giỏo B mụn Gii tớch ó luụn giỳp , to iu kin thun li v ng viờn tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Tỏc gi xin c by t lũng bit n n Ban Giỏm hiu trng i hc Thy Li, cỏc ng nghip ti B mụn Toỏn hc, Khoa Cụng ngh thụng tin, Trng i hc Thy li ó luụn giỳp , to iu kin thun li v ng viờn tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Li cm n sau cựng, tỏc gi xin dnh cho gia ỡnh, nhng ngi luụn yờu thng, chia s, ng viờn tỏc gi vt qua khú khn hon thnh lun ỏn Tỏc gi Mc lc Li cam oan Li cm n Mc lc M U Chng KIN THC CHUN B 15 1.1 CC KHễNG GIAN HM 15 1.2 L THUYT NA NHểM 16 1.2.1 Na nhúm liờn tc mnh v cỏc trng hp c bit 16 1.2.2 Na nhúm tớch phõn 19 1.3 O KHễNG COMPACT (MNC) V CC C LNG O 23 1.4 NH X NẫN V CC NH L IM BT NG CHO NH X A TR 28 1.5 TP HT TON CC CHO NA DềNG A TR 30 1.6 GII TCH BC PHN S 31 1.6.1 o hm v tớch phõn bc phõn s 31 1.6.2 Cụng thc nghim cho bi toỏn vi phng trỡnh vi phõn bc phõn s 32 Chng DNG IU TIM CN NGHIM CA MT LP BAO HM THC VI PHN HM NA TUYN TNH 35 2.1 T BI TON 35 2.2 S TN TI NGHIM TCH PHN 36 2.3 S TN TI TP HT TON CC 44 2.4 P DNG 50 2.4.1 Bao hm thc b chn 50 2.4.2 Bao hm thc khụng b chn 52 Chng NGHIM I TUN HON CA BAO HM THC VI PHN NA TUYN TNH 56 3.1 T BI TON 56 3.2 S TN TI CA LP NGHIM I TUN HON 56 3.3 P DNG 68 3.3.1 Vớ d 68 3.3.2 Vớ d 70 Chng TNH N NH YU CA H VI PHN BC PHN S NA TUYN TNH 73 4.1 T BI TON 73 4.2 KHễNG GIAN HM V O 74 4.3 S TN TI NGHIM TRấN NA TRC 78 4.4 TNH N NH YU 90 4.5 P DNG 93 4.6 TRNG HP BI TON N TR 100 DANH MC CễNG TRèNH KHOA HC CA TC GI LIấN QUAN N LUN N 108 TI LIU THAM KHO 109 M U Lch s v lớ chn ti Thut ng h vi phõn a tr c dựng ch cỏc bi toỏn vi bao hm thc vi phõn hoc cỏc phng trỡnh vi phõn (o hm riờng) m tớnh nht nghim ca nú b phỏ v Cỏc h vi phõn a tr khụng ch l mụ hỡnh tng quỏt ca phng trỡnh vi phõn m cũn xut phỏt t nhiu bi toỏn quan trng, ú cú th k n bi toỏn iu khin phn hi a tr, bi toỏn chớnh quy húa phng trỡnh vi phõn vi phn phi tuyn khụng liờn tc, cỏc bt ng thc vi bin phõn Nghiờn cu dỏng iu nghim ca bao hm thc tin húa phm vi lun ỏn ny bao gm cỏc cõu hi v tớnh n nh (hoc n nh yu) ca nghim, s tn ti hỳt ca h ng lc sinh bi nghim v cỏc lp nghim c bit (nghim i tun hon, nghim phõn ró) Cỏc bao hm thc tin húa khụng gian hu hn chiu ó c nghiờn cu t khỏ sm Cỏc kt qu v tớnh gii c v cu trỳc nghim ó c trỡnh by mt cỏch h thng cỏc cun sỏch chuyờn kho [9, 32] Tip theo ú, bao hm thc tin húa khụng gian Banach tng quỏt v ng dng ca nú tr thnh ch nghiờn cu cú tớnh thi s hn mt thp k qua Cỏc cun sỏch chuyờn kho theo hng ny cú th k n [42, 72] Nghiờn cu dỏng iu tim cn ca nghim l mt nhng trung tõm ca lớ thuyt nh tớnh phng trỡnh vi tớch phõn Cụng c nghiờn cu dỏng iu nghim ca cỏc h vi phõn (o hm riờng) l a dng tựy theo c trng tng h i vi cỏc phng trỡnh vi phõn thng, lớ thuyt n nh Lyapunov l cụng c hu hiu gii quyt ny Ngoi ra, mt s phng phỏp khỏc nh phng phỏp so sỏnh (xem [58]), phng phỏp im bt ng (xem [19]) cng c s dng Trong ú, nghiờn cu dỏng iu nghim ca cỏc phng trỡnh o hm riờng, ngi ta thng s dng lớ thuyt hỳt ton cc (xem [27]) Cỏc kt qu cựng vi cỏc lc nghiờn cu dỏng iu tim cn nghim ca cỏc h vi phõn thng v phng trỡnh o hm riờng ó c phỏt trin cho cỏc bao hm thc vi phõn Do tớnh cht khụng nht nghim ca bi toỏn Cauchy ng vi bao hm thc tin húa, lớ thuyt n nh Lyapunov khụng kh dng vic nghiờn cu tớnh n nh ca nghim dng i vi cỏc bao hm thc tin húa khụng gian hu hn chiu, khỏi nim n nh yu ó c xut bi Filippov nm 1988 (xem [36]) v phng phỏp hm Lyapunov ci tin chng minh tớnh n nh yu cho bao hm thc tin húa ó c trỡnh by [2] i vi cỏc bao hm thc tin húa khụng gian vụ hn chiu, cỏch tip cn thng c s dng nht l lớ thuyt hỳt Trong vi thp k tr li õy, lớ thuyt hỳt ton cc phỏt trin mnh m v thu c rt nhiu kt qu cú tớnh h thng (xem ti liu chuyờn kho [65]) i vi cỏc h vi phõn a tr, lớ thuyt hỳt cng tng i hon thin vi nhiu lc nghiờn cu Trong ú ỏng chỳ ý nht l lớ thuyt hỳt ton cc cho na dũng a tr c gii thiu bi Melnik v Valero nm 1998 (xem [52]) cựng vi lớ thuyt na dũng suy rng ca Ball [11, 12] Nhng ỏnh giỏ, so sỏnh v hai phng phỏp ny ó c Caraballo phõn tớch [22] Ngoi cũn cú lớ thuyt hỳt qu o c phỏt trin bi Chepyzov v Vishik nm 1997 (xem [28]), õy cng l mt cụng c hu hiu nghiờn cu dỏng iu nghim ca cỏc h o hm riờng m tớnh nht nghim khụng c bo m Tip sau ú lớ thuyt hỳt lựi, hỳt u cho cỏc h ng lc a tr cng c xõy dng lm vic vi cỏc h vi phõn khụng ụ-tụ-nụm (xem [23, 24, 53]) c bit, cỏc nm 2014-2015, nhng ci tin ỏng k cho lớ thuyt hỳt ó c cụng b cỏc cụng trỡnh [30, 41] Nhng kt qu mi nht ny trung vo vic gim nh iu kin v tớnh liờn tc v a tiờu chun compact tim cn cho na nhúm/na quỏ trỡnh da trờn o khụng compact Tuy nhiờn nhng tiờu chun ny ỏp dng cho cỏc h vi phõn hm cũn gp phi nhiu khú khn v mt k thut khụng gian pha tng ng cú cu trỳc phc Trong lun ỏn ny, s dng lc ca Melnik v Valero, chỳng tụi nghiờn cu s tn ti hỳt ton cc cho na dũng a tr sinh bi lp bao hm thc vi phõn na tuyn tớnh u (t) Au(t) + F (u(t), ut ), u(s) = (s), t 0, s [h, 0], (1) (2) õy u l hm nhn giỏ tr khụng gian Banach X, ut l hm tr, tc l ut (s) = u(t + s) vi s [h, 0], F l mt hm a tr xỏc nh trờn mt ca X ì C([h, 0]; X) v A : D(A) X X l mt toỏn t tuyn tớnh tha iu kin Hille-Yosida nhng xỏc nh khụng trự mt, tc l D(A) = X Nh ó cp [71], nhiu bi toỏn na tuyn tớnh, thnh phn phi tuyn nhn giỏ tr nm ngoi D(A) Khi ú ta cn phi nghiờn cu trng hp m toỏn t A khụng xỏc nh trự mt Ta cú th tỡm thy [31] cỏc mụ hỡnh c th vi toỏn t A c xỏc nh khụng trự mt Vi gi thit toỏn t A xỏc nh khụng trự mt v tha iu kin Hille-Yosida, ó cú mt s nghiờn cu v tớnh gii c cng nh tớnh n nh nghim ca bi toỏn dng (1)-(2) C th, cỏc kt qu cho trng hp F l hm n tr cú [1, 4, 35, 71] Trong trng hp bao hm thc, cú th k n cỏc kt qu [26, 59] Cỏc kt qu v s tn ti hỳt ton cc cho lp bi toỏn (1)-(2) cha c bit n nhiu Trong trng hp F l hm n tr, iu kin tn ti hỳt ton cc ó c nghiờn cu [76] (vi tr hu hn) v [18] (vi tr vụ hn) Trong cỏc nghiờn cu ny, cỏc tỏc gi t hai iu kin sau na nhúm sinh bi phn tuyn tớnh trờn D(A) l compact; hm phi tuyn tha iu kin Lipschitz Khi nghiờn cu lp bi toỏn ny, chỳng tụi c gng gim nh hai iu kin k trờn trng hp tr hu hn C th, nu S (ã) l khụng compact, chỳng tụi s gi thit F tha mt iu kin chớnh quy biu din bi o khụng compact, iu kin ny c tha nu F = F1 + F2 vi F1 l mt hm n tr cú tớnh cht Lipschitz cũn F2 a tr v compact Trong vi thp k tr li õy, cỏc phng trỡnh/bao hm thc tin húa bc phõn s ó thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh nghiờn cu bi cỏc ng dng ca chỳng vic mụ t cỏc hin tng khoa hc, k thut Cỏc phng trỡnh vi phõn bc phõn s c dựng mụ t cỏc bi toỏn nhiu lnh vc, vớ d nh bi toỏn v lu bin hc, mng in, in húa hc Chi tit hn, ta cú th xem ti cỏc ti liu chuyờn kho ca Miller v Ross [54], Podlubny [64], v Kilbas v cỏc cng s [44] Gn õy, tớnh ng dng ca o hm bc phõn s mụ hỡnh húa ng thi vi s phỏt trin ca gii tớch bc phõn s, nhiu h vi phõn bc nguyờn c m rng thnh cỏc mụ hỡnh bc phõn s Theo hng phỏt trin ny, ta cú th k ti cỏc kt qu tiờu biu [57, 83, 84] Trong lun ỏn, bờn cnh lp bao hm thc tin húa bc nht, chỳng tụi nghiờn cu mt lp bao hm thc tin húa bc phõn s (0, 1) vi mc tiờu tỡm cỏc iu kin chp nhn c cho tớnh n nh ca nghim dng Tuy nhiờn vi cỏc phng trỡnh/bao hm thc tin húa bc phõn s, cỏch tip cn ca lớ thuyt hỳt li khụng kh dng nghiờn cu dỏng iu tim cn nghim toỏn t nghim khụng cú tớnh cht kiu na nhúm Hn na, vi cỏc bao hm thc tin húa bc phõn s, cỏc khỏi nim n nh theo ngha Lyapunov cng khụng th ỏp dng c Do ú, chỳng tụi a khỏi nim n nh tim cn yu ca nghim tm thng nghiờn cu dỏng iu tim cn ca lp bao hm thc vi phõn bc phõn s cú xung, vi iu kin khụng 103 Bõy gi, ta xột E3 (t), vi t > T1 + h ta cú ( T1 +h t ) E3 (t) = + (t s)1 ||P (t s)|| k(s) (||u(s)|| + ||us ||h )ds T1 +h T1 +h 2R (t s)1 ||P (t s)|| k(s)ds t (t s)1 ||P (t s)|| k(s)ds + T1 +h Vỡ vy, T1 +h E3 (t) 2R (t s)1 k(s)ds t (t s)1 ||P (t s)|| k(s)ds + T1 +h vi t > T2 + T1 + h Khi ú, ỏp dng bt ng thc Hăolder, ta cú ( T1 +h )1/p ( T1 +h )1/p (1)p p E3 (t) 2R (t s) (k(s)) ds ds 0 t + (t s)1 ||P (t s)|| k(s)ds ( T1 +h ) 2RC (t) ||k||Lp (R+ ) + vi t > T2 + T1 + h, ú p = { C (t) = (4.44) p , p1 [ ]}1/p (1)p +1 (1)p +1 t (t T1 h) , ( 1)p + n õy, ta s dng tớnh cht t (t s)1 ||P (t s)|| k(s)ds < T1 +h t (4.39) Kt hp (4.42), (4.43) v (4.44) cho ta ||F(u)(t)|| C vi t > max{T2 + T1 + h, T2 + tN0 }, ú ) ( àk + MA R + 2RC (t) ||k||Lp (R+ ) + C = (1 + )R + kN0 (1 + )R + ( k ) àk + MA R + 2RC (t) ||k||Lp (R+ ) + 104 ,p < , ta thy < ( 1)p + < T ú [ ( T1 + h )(1)p +1 ] t(1)p +1 (t T1 h)(1)p +1 = t(1)p +1 t Vi C (t), t p > [( 1)p + 1](T1 + h)t(1)p t Do ú C (t) l b chn, vỡ vy C cng b chn T ú suy F(PC ) PC Nhim v cũn li ca chỳng ta l chng minh F l ỏnh x co Tht vy, vi u, v PC , ta cú ||F(u)(t) F (v)(t)|| ||S (t)|| ||g(u) g(v)||h + ||S (t tk )|| ||Ik (u(tk )) Ik (v(tk ))|| 0