Đang tải... (xem toàn văn)
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Các phương trình đạo hàm riêng có trễ xuất hiện trong nhiều quá trình của vật lí và sinh học, chẳng hạn các quá trình truyền nhiệt và khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các mô hình quần thể trong sinh học (xem [31, 70]). Việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Khi xét một quá trình thay đổi theo thời gian mô tả bởi phương trình tiến hóa, sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng rất quan trọng vì nó cho phép chúng ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ trong tương lai, từ đó có thể có những điều chỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn. Về mặt toán học, điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới, được phát triển mạnh mẽ trong khoảng ba thập kỉ gần đây là Lí thuyết các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều. Bài toán cơ bản của lí thuyết này là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút. Đó là một tập compact, bất biến, hút mọi tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ động lực đang xét. Từ khi ra đời đến nay, lí thuyết này đã và đang là một trong những hướng nghiên cứu lớn, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Sau khoảng ba thập kỉ phát triển, sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập hút đã được nghiên cứu cho một lớp khá rộng các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến và phương trình vi phân thường có trễ (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo của Hale [31], Temam [58]). Tuy nhiên, bài toán này đối với các hệ động lực sinh bởi phương trình đạo hàm riêng có trễ thường rất phức tạp vì hệ động lực tương ứng là vô hạn chiều theo cả biến không gian (do toán tử đạo hàm riêng gây ra) và biến thời gian (do trễ gây ra). Trong những năm gần đây, tính ổn định nghiệm và sự tồn tại tập hút đã được nghiên cứu cho một số lớp phương trình parabolic nửa tuyến tính có trễ và một số lớp phương trình trong cơ học chất lỏng có trễ. Tuy nhiên, bởi những khó khăn cơ bản xuất hiện do số hạng chứa trễ gây ra nên phần lớn các kết quả đã đạt được là trong trường hợp trễ hữu hạn; xem, chẳng hạn, [4, 6, 7, 8, 17, 39, 40, 50, 60, 61, 63] và các tài liệu trong đó. Việc phát triển các kết quả này cho trường hợp trễ vô hạn, trường hợp khó hơn rất nhiều do tính không bị chặn của trễ, mới chỉ đạt được một số ít tiến bộ trong vài năm gần đây trong một vài trường hợp đặc biệt của không gian pha [5, 14, 15, 25, 34, 45]. Do đó, đây đang là vấn đề rất thời sự và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước.
B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI * NG TH PHNG THANH TP HT CA MT S LP PHNG TRèNH O HM RIấNG VI TR Vễ HN LUN N TIN S TON HC H Ni - 2017 Mc lc Li cam oan Li cm n Mc lc Mt s kớ hiu dựng lun ỏn M U L DO CHN TI TNG QUAN VN NGHIấN CU MC CH, I TNG V PHM VI NGHIấN CU 12 PHNG PHP NGHIấN CU 14 KT QU CA LUN N 14 CU TRC CA LUN N 16 Chng KIN THC CHUN B 17 1.1 TP HT TON CC 17 1.1.1 Cỏc khỏi nim 17 1.1.2 Tp hỳt ton cc 18 1.1.3 S tn ti hỳt ton cc 19 1.2 CC TON T 20 1.2.1 Toỏn t xỏc nh dng cú ph ri rc 20 1.2.2 Toỏn t qut 21 1.3 CC KHễNG GIAN HM 23 1.3.1 Khụng gian Sobolev 23 1.3.2 Khụng gian hm ph thuc thi gian 24 1.3.3 Khụng gian pha cha tr vụ hn 24 1.4 MT S KT QU B TR 27 1.4.1 Mt s bt ng thc thng dựng 27 1.4.2 Mt s b v nh lớ quan trng 29 Chng PHNG TRèNH PARABOLIC VI TR Vễ HN 31 2.1 T BI TON 31 2.2 S TN TI V DUY NHT NGHIM 33 2.3 S TN TI CA TP HT TON CC 35 Chng PHNG TRèNH GI PARABOLIC VI TR Vễ HN 42 3.1 T BI TON 42 3.2 S TN TI V DUY NHT NGHIM 44 3.3 S TN TI TP HT TON CC 52 3.4 S TN TI V TNH N NH CA NGHIM DNG 62 Chng PHNG TRèNH KHUCH TN KHễNG C IN Cể NH 68 4.1 T BI TON 68 4.2 S TN TI V DUY NHT NGHIM 72 4.3 S TN TI TP HT TON CC 80 4.3.1 S tn ti hp th 81 4.3.2 Tớnh compact tim cn 83 4.3.3 Chng minh nh lớ 4.2 89 KT LUN 90 KT QU T C 90 KIN NGH MT S VN NGHIấN CU TIP THEO 90 DANH MC CễNG TRèNH KHOA HC CA TC GI LIấN QUAN N LUN N 92 TI LIU THAM KHO 93 MT S K HIU THNG DNG TRONG LUN N , b chn RN vi biờn Id ỏnh x ng nht D(A) xỏc nh ca toỏn t A (A) ph ca toỏn t A A , D(A ) ly tha cp ca toỏn t A vi xỏc nh D(A ) hi t mnh hi t yu hi t *-yu Y X bao úng ca Y X dist(A, B) na khong cỏch Hausdorff gia hai A, B tớch chp ut hm tr ut (ã) xỏc nh bi ut (s) = u(t + s) L1g (E), C (E) cỏc khụng gian pha dựng nghiờn cu tr vụ hn tron lun ỏn (xem nh ngha chi tit Chng 1) S(t) na nhúm liờn tc sinh bi bi toỏn o hm riờng A hỳt ton cc ca na nhúm S(t) (B) -gii hn ca B Cb ([0, )) khụng gian cỏc hm giỏ tr thc liờn tc v b chn trờn khong [0, ) M U L DO CHN TI Cỏc phng trỡnh o hm riờng cú tr xut hin nhiu quỏ trỡnh ca vt lớ v sinh hc, chng hn cỏc quỏ trỡnh truyn nhit v khuch tỏn, quỏ trỡnh truyn súng c hc cht lng, cỏc mụ hỡnh qun th sinh hc (xem [31, 70]) Vic nghiờn cu nhng lp phng trỡnh ny cú ý ngha quan trng khoa hc v cụng ngh Chớnh vỡ vy nú ó v ang thu hỳt c s quan tõm ca nhiu nh khoa hc trờn th gii Khi xột mt quỏ trỡnh thay i theo thi gian mụ t bi phng trỡnh tin húa, sau nghiờn cu tớnh t ỳng ca bi toỏn, vic nghiờn cu dỏng iu tim cn ca nghim thi gian vụ cựng rt quan trng vỡ nú cho phộp chỳng ta hiu v d oỏn xu th phỏt trin ca h tng lai, t ú cú th cú nhng iu chnh thớch hp t c kt qu mong mun V mt toỏn hc, iu ny lm ny sinh mt hng nghiờn cu mi, c phỏt trin mnh m khong ba thp k gn õy l Lớ thuyt cỏc h ng lc tiờu hao vụ hn chiu Bi toỏn c bn ca lớ thuyt ny l nghiờn cu s tn ti v cỏc tớnh cht ca hỳt ú l mt compact, bt bin, hỳt mi b chn v cha ng nhiu thụng tin v dỏng iu tim cn ca h ng lc ang xột T i n nay, lớ thuyt ny ó v ang l mt nhng hng nghiờn cu ln, thu hỳt c s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc trờn th gii Sau khong ba thp k phỏt trin, s tn ti v cỏc tớnh cht c bn ca hỳt ó c nghiờn cu cho mt lp khỏ rng cỏc phng trỡnh o hm riờng phi tuyn v phng trỡnh vi phõn thng cú tr (xem, chng hn, cỏc cun chuyờn kho ca Hale [31], Temam [58]) Tuy nhiờn, bi toỏn ny i vi cỏc h ng lc sinh bi phng trỡnh o hm riờng cú tr thng rt phc vỡ h ng lc tng ng l vụ hn chiu theo c bin khụng gian (do toỏn t o hm riờng gõy ra) v bin thi gian (do tr gõy ra) Trong nhng nm gn õy, tớnh n nh nghim v s tn ti hỳt ó c nghiờn cu cho mt s lp phng trỡnh parabolic na tuyn tớnh cú tr v mt s lp phng trỡnh c hc cht lng cú tr Tuy nhiờn, bi nhng khú khn c bn xut hin s hng cha tr gõy nờn phn ln cỏc kt qu ó t c l trng hp tr hu hn; xem, chng hn, [4, 6, 7, 8, 17, 39, 40, 50, 60, 61, 63] v cỏc ti liu ú Vic phỏt trin cỏc kt qu ny cho trng hp tr vụ hn, trng hp khú hn rt nhiu tớnh khụng b chn ca tr, mi ch t c mt s ớt tin b vi nm gn õy mt vi trng hp c bit ca khụng gian pha [5, 14, 15, 25, 34, 45] Do ú, õy ang l rt thi s v thu hỳt c s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc v ngoi nc TNG QUAN VN NGHIấN CU Phng trỡnh parabolic na tuyn tớnh ụtụnụm cú tr l phng trỡnh tin húa cú dng du(t) = Au(t) + F (ut ), dt t > 0, ú A l toỏn t sinh ca mt na nhúm liờn tc mnh trờn mt khụng gian Banach X; F l mt ỏnh x phi tuyn t B vo X, B l khụng gian pha (hay khụng gian trng thỏi); v ut B l hm trng thỏi xỏc nh bi ut () = u(t + ) vi mi [r, 0], r l mt hng s khụng õm (hu hn hoc vụ hn) Phng trỡnh parabolic na tuyn tớnh cú tr thng c xột khỏ nhiu mụ hỡnh nh phng trỡnh phn ng-khuch tỏn, phng trỡnh dõn s ph thuc tui (c bit l thi kỡ trng thnh), í ngha ca nhng lp phng trỡnh parabolic cú tr c trỡnh by cun sỏch chuyờn kho ca Wu [70] v cỏc ti liu trớch dn ú Mt s kt qu gn õy v s tn ti v dỏng iu tim cn nghim ca lp phng trỡnh parabolic cú tr nh sau: S tn ti nghim v s tn ti hỳt ó c chng minh cho mt s lp phng trỡnh parabolic cha tr hu hn mt s trng hp c bit ca phn phi tuyn tng trng v tiờu hao kiu a thc (xem mt s cụng trỡnh gn õy ca A.V Rezounenko v J Wu [50], J Li v J Huang [39], X Li v Z Li [40], C.T Anh v L.V Hien [4], C.T Anh v L.V Hieu [6], C.T Anh, L.V Hieu v T.T Loan [8], ); S tn ti hỳt i vi phng trỡnh parabolic vi tr vụ hn mt trng hp rt c bit ca khụng gian pha (khụng gian C ) v khụng cha hm phi tuyn f (u) c chng minh [14, 15] Trong cỏc m rng ca phng trỡnh parabolic cha tr, phng trỡnh gi parabolic (pseudoparabolic) na tuyn tớnh cha tr sau õy rt c quan tõm t u(t, x) + At u(t, x) + Au(t, x) + f (u(t, x)) = g(ut ) + h(x), t > 0, x , u(s, x) = (s, x), s (r, 0], x , ú l mt b chn RN vi biờn trn, A l mt toỏn t tuyn tớnh (khụng b chn) tha mt s iu kin nht nh, g l mt ỏnh x phi tuyn t khụng gian pha B vo khụng gian Banach X = L2 (), f (u) l s hng phi tuyn, v ut B l hm trng thỏi xỏc nh bi ut () = u(t + ) vi mi (r, 0], r l mt hng s khụng õm (hu hn hoc vụ hn) Toỏn t A cha mt lp rng ln cỏc toỏn t elliptic mnh vi iu kin biờn thớch hp, vớ d toỏn t vi iu kin biờn Dirichlet hoc Neumann thun nht (xem [21]), hoc mt s lp toỏn t elliptic suy bin vi iu kin biờn Dirichlet thun nht nh l toỏn t Caldiroli-Musina dng div((x)) [16] hay toỏn t suy bin mnh [37] Trong trng hp c bit A = , phng trỡnh trờn (trong trng hp 10 khụng cha tr) tr thnh phng trỡnh khuch tỏn khụng c in c gii thiu [1] Aifantis ch rng phng trỡnh phn ng-khuch tỏn c in khụng mụ t c ht cỏc khớa cnh ca bi toỏn phn ng-khuch tỏn, c th l nú b qua tớnh nht, s n hi, v ỏp sut ca mụi trng quỏ trỡnh khuch tỏn cht rn Bờn cnh ú, Aifantis cng ch rng, nng lng t phng trỡnh phỏt quỏ trỡnh khuch tỏn cht rn mụi trng truyn dn khỏc s cú tớnh cht khỏc V ú, ụng ó xõy dng mụ hỡnh toỏn hc qua mt s vớ d c th v a lp phng trỡnh khuch tỏn khụng c in Lp phng trỡnh ny thng s dng mụ t cỏc hin tng vt lớ nh dũng chy khụng Newton, cỏc hin tng c hc cht lng, c hc cht rn v s ta nhit (xem, chng hn [1, 49, 62]) Trong nhng nm gn õy, s tn ti v dỏng iu tim cn ca nghim i vi phng trỡnh khuch tỏn khụng c in ó c nghiờn cu rng rói c trng hp ụtụnụm [44, 54, 64, 72, 73] v trng hp khụng ụtụnụm [2, 3, 10, 11, 55, 74] Mt khỏc, cú nhng tỡnh m mụ hỡnh s mụ t tt hn nu mt hm cha tr xut hin phng trỡnh Hm cha tr cú th xut hin, chng hn nh mt mun iu khin h bng cỏch s dng cỏc lc khụng ch tớnh n hin ti m c lch s ca nghim Tuy nhiờn, theo hiu bit ca chỳng tụi, cỏc kt qu nghiờn cu v s tn ti hỳt t c i vi phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cha tr ch yu l trng hp tr hu hn [12, 18, 76], ngoi tr cụng trỡnh rt gn õy [51], ú xột tr vụ hn v s hng phi tuyn f (u) tng trng v tiờu hao kiu Sobolev Vi nhng phõn tớch trờn, ta thy rng, bờn cnh cỏc kt qu ó t c, cũn nhiu m t nghiờn cu lp phng trỡnh parabolic cha tr vụ hn v cỏc phng trỡnh liờn quan, chng hn: Nghiờn cu s tn ti nghim v s tn ti hỳt cỏc trng hp khỏc ca khụng gian pha Nghiờn cu s tn ti v tớnh n nh ca nghim dng 11 Bờn cnh vic nghiờn cu lp cỏc phng trỡnh o hm riờng cú tr, cỏc phng trỡnh o hm riờng cú nh, mt loi phng trỡnh cú tr c bit m s hng tr xut hin phn chớnh ca phng trỡnh, cng ang c nhiu nh toỏn hc nh Borini, Chepyzhov, Conti, Giorgi, Marchini, Miranville, Pata, quan tõm nghiờn cu thi gian gn õy; xem, chng hn, cỏc cụng trỡnh [13, 19, 20, 22, 23, 29, 30, 35, 47, 68, 69] Mt lp phng trỡnh cú nh c nghiờn cu nhiu l lp phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cú nh sau õy: t u t u u (s)u(t s)ds + f (u) = g(x), u(t, x) = 0, u(0, x) = u0 (x), u(s, x) = g0 (s, x), x , t > 0, x , t > 0, x , x , s > 0, ú l b chn RN vi biờn trn Tc tiờu hao nng lng ca phng trỡnh trờn nhanh hn so vi phng trỡnh khuch tỏn khụng c in thụng thng S truyn dn nng lng khụng ch b nh hng bi ngoi lc hin ti m cũn ph thuc vo lch s ca nú quỏ kh Trong nhng nm gn õy, s tn ti v dỏng iu tim cn nghim i vi phng trỡnh khuch tỏn khụng c in cú nh c nghiờn cu bi nhiu tỏc gi (xem [22, 23, 67, 68, 69]) Tuy nhiờn, cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ny, hm à(s) := (s) luụn c gi thit tha bt ng thc (s) + à(s) 0, iu kin ny c gii thiu bi bỏo tiờn phong ca Dafermos [24], v hm phi tuyn c gi thit l liờn tc Lipschitz a phng v tha iu kin tng trng kiu Sobolev f (u) > , |u| u lim inf |f (u)| C(1 + |u| N ), 86 Tng t chng minh B 4.1, ta c d0 > tha S1 (t)z0 2H1 Q(z0 H1 )ed0 t + g g 2H () C Ly nh cho C (4.26) ta cú S1 (t)z0 2H1 Q(z0 H1 )ed0 t + i vi nghim z2 (t) ca bi toỏn (4.28), ta cú B 4.3 Gi s cỏc iu kin (H1)- (H3) c tha Khi ú, vi mi > 0, cú M > cho vi mi z0 H1 , tn ti T > ln ph thuc vo g2H () , , z0 2H1 , tha S2 (t)z0 2H2 M, vi mi t T (4.29) Chng minh Nhõn phng trỡnh u ca (4.28) vi w , sau ú s dng (4.2) v bt ng thc Cauchy, ta cú ( ) d t w + w + 2,à + w + 2( )w dt +2 à(s) t s t dxds g 2H () + u2 C(g 2H () + ) t t0 (B), ú ta ó s dng ỏnh giỏ (4.25) Chỳ ý rng t t à(s) s dxds = (s) t ds 0, nờn ta cú th b qua s hng ny bt ng thc trờn Tng t chng minh B 4.1, ta tỡm c mt s T > ln cho S2 (t)z0 2H2 M, vi mi t T B c chng minh 87 Ngoi ra, vi mi L2à (R+ , H01 ()), bi toỏn Cauchy (xem [13, 47]) t t = s t + w, t > 0, = , cú nghim nht t C(R+ ; L2à (R+ , H01 ())), v s w(t r)dr, < s t, t t (s) = (s t) (0) + w(t r)dr, s > t (4.30) Vỡ th, i vi phng trỡnh (4.30), nh cú (x, s) = 0, ta c s w (t r)dr, < s t, t (s) = t w (t r)dr, s > t (4.31) Cho B0 l hp th b chn nhn c B 4.1 Ta chng minh kt qu sau B 4.4 Gi s cỏc iu kin (H1)- (H3) c tha t KT = P S2 (T )B0 , vi T > ln, ú {S2 (t)}t0 l na nhúm nghim ca (4.28), P : H1 L2à (R+ , H01 ()) l toỏn t chiu chớnh tc Khi ú, cú mt hng s dng M1 = M1 (B0 H1 ) cho (i) KT b chn L2à (R+ , H () H01 ()) Hà1 (R+ , H01 ()), (ii) supKT (s)2H () M1 Hn na, KT l compact tng i L2à (R+ , H01 ()) Chng minh T (4.31) ta cú s t (s) = w (t s), < s t, 0, s > t 88 Kt hp vi B 4.3, ta suy (i) S dng (4.31), ta d dng nhn c T (s)2H () s T w (T r)2H () dr, < s T, w (T r)H () dr 0 T s > T w (T r)2H () dr, 0 T (4.29), ta cú c (ii) Do phộp nhỳng H ()H01 () H01 () l compact, ta kt lun c KT l compact tng i L2à (R+ , H01 ()) da vo b sau B 4.5 [47] Gi s C (R+ ) L1 (R+ ) l hm khụng õm tha iu kin: nu tn ti s0 R+ cho à(s0 ) = 0, thỡ à(s) = vi mi s s0 Hn na, cho X0 , X1 , X2 l cỏc khụng gian Banach, õy X0 , X2 l phn x v tha X0 X1 X2 , ú phộp nhỳng X0 X1 l compact Cho C L2à (R+ , X1 ) tha (i) C l mt ca L2à (R+ , X0 ) Hà1 (R+ , X2 ); (ii) supC (s)2X1 h(s), s R+ , ú h L1à (R+ ) Khi ú C l compact tng i L2à (R+ , X1 ) Chỳ ý rng H1 = H01 () ì L2à (R+ , H01 ()) v phộp nhỳng H () H01 () H01 () l compact, ta c B 4.6 Cho {S2 (t)}t0 l na nhúm nghim ca (4.28) Khi ú, di cỏc gi thit ca B 4.4, vi T > ln, S2 (T )B l compact tng i H1 89 4.3.3 Chng minh nh lớ 4.2 T B 4.1, na nhúm S(t) cú mt hp th b chn B0 H1 Hn na, na nhúm S(t) l compact tim cn H1 nh B 4.2 v B 4.6 Do ú, -gii hn A = (B0 ) l hỳt ton cc ca S(t) H1 Chỳ ý cui chng Cỏc kt qu chng ny l s phỏt trin cỏc kt qu trc ú [23, 67] v s tn ti nht nghim yu v s tn ti hỳt ton cc ca phng trỡnh khuch tỏn khụng c in na tuyn tớnh cú nh, theo ngha vi mt lp mi rt rng cỏc s hng phi tuyn f (u) (cha tt c cỏc lp phi tuyn ó bit trc ú v thm c lp tng trng kiu m) v iu kin rt tng quỏt ca nhõn nh (ã) KT LUN CHNG Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc kt qu v s tn ti v tớnh nht nghim, s tn ti hỳt ton cc ca phng trỡnh khuch tỏn khụng c in ụtụnụm cha nh vi lp hm phi tuyn kiu mi Kt qu t c nh sau: 1) Chng minh c s tn ti v tớnh nht ca nghim yu (nh lớ 4.1); 2) Chng minh c s tn ti hỳt ton cc ca na nhúm sinh bi nghim yu (nh lớ 4.2) 90 KT LUN KT QU T C Trong lun ỏn ny, chỳng tụi nghiờn cu s tn ti nghim v dỏng iu tim cn nghim ca mt s lp phng trỡnh o hm riờng ụtụnụm cha tr vụ hn Cỏc kt qu chớnh ó t c lun ỏn: Chng minh c s ph thuc liờn tc ca nghim tớch phõn vo d kin ban u, s tn ti hỳt ton cc ca mt lp phng trỡnh parabolic na tuyn tớnh cha tr vụ hn Chng minh c s tn ti nht nghim yu, s tn ti hỳt ton cc, s tn ti v tớnh n nh ca nghim dng yu i vi phng trỡnh gi parabolic na tuyn tớnh cha tr vụ hn trng hp hm phi tuyn tha iu kin tng trng v tiờu hao kiu a thc Chng minh c s tn ti nht nghim yu v s tn ti hỳt ton cc i vi phng trỡnh khuch tỏn khụng c in na tuyn tớnh cú nh di mt lp rt rng cỏc s hng phi tuyn (bao gm c kiu a thc, kiu Sobolev v c bit l kiu m), v nhõn cha nh tha iu kin rt tng quỏt KIN NGH MT S VN NGHIấN CU TIP THEO Bờn cnh cỏc kt qu ó t c lun ỏn, mt s m cn tip tc nghiờn cu nh: Nghiờn cu cỏc tớnh cht ca hỳt ton cc nhn c, chng hn 91 nghiờn cu tớnh trn, ỏnh giỏ s chiu fractal, s ph thuc liờn tc theo tham bin, Nghiờn cu s tn ti hỳt lựi, hỳt u ca cỏc lp phng trỡnh trờn trng hp ngoi lc ph thuc thi gian (trng hp khụng ụtụnụm) Nghiờn cu s tn ti nghim v s tn ti hỳt ca mt s lp phng trỡnh o hm riờng cú nh khỏc, chng hn phng trỡnh truyn nhit, phng trỡnh truyn súng tt dn yu, di nhng iu kin tng quỏt nh Chng ca hm phi tuyn v nhõn cha nh 92 DANH MC CễNG TRèNH KHOA HC CA TC GI LIấN QUAN N LUN N C.T Anh, L.V Hieu and D.T.P Thanh (2014), Global attractors for a class of parabolic equations with infinite delay, Bull Pol Acad Sci Math 62, 49-60 D.T.P Thanh (2017), Global attractor for a semilinear pseudoparabolic equation with infinite delay, Commun Korean Math Soc 32, 579-600 C.T Anh, D.T.P Thanh and N.D Toan (2017), Global attractors for nonclassical diffusion equations with hereditary memory and a new class of nonlinearities, Ann Polon Math 119, 1-21 93 Ti liu tham kho [1] E.C Aifantis (1980), On the problem of diffusion in solids, Acta Mech 37, 265-296 [2] C.T Anh and T.Q Bao (2010), Pullback attractors for a class of nonautonomous nonclassical diffusion equations, Nonlinear Anal 73, 399-412 [3] C.T Anh and T.Q Bao (2012), Dynamics of non-autonomous nonclassical diffusion equations on RN , Comm Pure Appl Anal 11, 1231-1252 [4] C.T Anh and L.V Hien (2012), Exponential stability of solutions to semilinear parabolic equations with delays, Taiwanese J Math 16, 2133-2151 [5] C.T Anh and L.V Hieu (2012), Existence and uniform asymptotic stability for parabolic equations with infinite delay, Elect J Diff Equa 51, 1-14 [6] C.T Anh and L.V Hieu (2012), Attractors for non-autonomous semilinear parabolic equations with delays, Acta Math Viet 37, 357-377 [7] C.T Anh, L.V Hieu and N.T Huy (2013), Inertial manifolds for a class of non-autonomous semilinear parabolic equations with finite delay, Discrete Contin Dyn Syst 33, 483-503 [8] C.T Anh, L.V Hieu and T.T Loan (2010), Global attractors for semilinear parabolic equations with delays, Int J Evol Equ 5, 1-18 94 [9] C.T Anh and D.T.P Thanh (2017), Existence and long-time behavior of solutions to Navier-Stokes-Voigt equations with infinite delay, Bull Korean Math Soc., accepted [10] C.T Anh and N.D Toan (2014), Existence and upper semicontinuity of uniform attractors in H (RN ) for non-autonomous nonclassical diffusion equations, Ann Polon Math 113, 271-295 [11] C.T Anh and N.D Toan (2014), Nonclassical diffusion equations on RN with singular oscillating external forces, Appl Math Lett 38, 20-26 [12] L Bai and F Zhang (2015), Uniform attractors for multi-valued process generated by non-autonomous nonclassical diffusion equations with delay in unbounded domain without uniqueness of solutions, Asymptot Anal 94, 187-210 [13] S Borini and V Pata (1999), Uniform attractors for a strongly damped wave equations with linear memory, Asymptot Anal 20, 263-277 [14] H Bouzahir and K Ezzinbi, Global attractor for a class of partial functional differential equations with infinite delay, in: T Faria, P Freitas, Cisbon (Eds.), Topics in Functional Difference Equations, in: Fields Institute Communications, Vol 29, American Mathematical Society, Procidence, RI, 1999, pp 63-71 March, 2001 [15] H Bouzahir, H You and R Yuan (2011), Global attractor for some partial functional differential equations with infinite delay, Funck Ekva 54, 139156 [16] P Caldiroli and R Musina (2000), On a variational degenerate elliptic problem, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl 7, no 2, 187199 95 [17] T Caraballo and X Han (2015), A survey on Navier-Stokes models with delays: existence, uniqueness and asymptotic behavior of solutions, Discrete Contin Dyn Syst Ser S 8, 1079-1101 [18] T Caraballo and A.M Mỏrquez-Durỏn (2013), Existence, uniqueness and asymptotic behavior of solutions for a nonclassical diffusion equation with delay, Dyn Partial Differ Equ 10, 267-281 [19] V.V Chepyzhov, E Mainini and V Pata (2006), Stability of abstract linear semigroups arising from heat conduction with memory, Asymptot Anal 50, 269-291 [20] V.V Chepyzhov and A Miranville (2006), On trajectory and global attractors for semilinear heat equations with fading memory, Indiana Univ Math J 55, 119-167 [21] I.D Chueshov, Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems, Acta, 2002 [22] M Conti and E.M Marchini (2015), A remark on nonclassical diffusion equations with memory, Appl Math Optim 73, 1-21 [23] M Conti, E.M Marchini and V Pata (2015), Nonclassical diffusion with memory, Math Meth Appl Sci 38, 948-958 [24] C.M Dafermos (1970), Asymptotic stability in viscoelasticity, Arch Rational Mech Anal 37, 297-308 [25] A Elazzouzi and A Ouhinou (2011), Optimal regularity and stability analysis in the -norm for a class of partial functional differential equations with infinite delay, Discrete Contin Dyn Syst 30, 115-135 [26] S Gatti, A Miranville, V Pata and S Zelik (2008), Attractors for semilinear equations of viscoelasticity with very low dissipation, Rocky Mountain J Math 38, 1117-1138 96 [27] P.G Geredeli (2015), On the existence of regular global attractor for pLaplacian evolution equation, Appl Math Optim 71, 517-532 [28] P.G Geredeli and A.Khanmamedov (2013), Long-time dynamics of the parabolic p-Laplacian equation, Commun Pure Appl Anal 12, 735-754 [29] C Giorgi, V Pata and A Marzocchi (1998), Asymptotic behavior of a semilinear problem in heat conduction with memory, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl 5, 333-354 [30] C Giorgi, A Marzocchi and V Pata (2000), Uniform attractors for a nonautonomous semilinear heat equation with memory, Quart Appl Math 58, 661-683 [31] J.K Hale and S.M Verduyn Lunel (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer, New York [32] J.K Hale and J Kato (1978), Phase space for retarded equations with infinite delay, Funkcial Ekvac 21, 11-41 [33] D Henry (1981), Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Mathematics, Vol 840, Springer, Berlin [34] E Hernỏndez and H Henrớquez (1998), Existence of periodic solutions of partial neutral functional-differential equations with unbounded delay, J Math Anal Appl 221, 499-522 [35] Y Hino, S Murakami and T Naito, Functional Differential Equations with Infinite Delay, in: Lecture Notes in Mathematics, vol 1473, SpringerVerlag, Berlin, 1991 [36] F Kappel and W Schappacher (1980), Some considerations to the fundamental theory of infinite delay equations, J Differential Equations 37, 141-183 97 [37] A.E Kogoj and E Lanconelli (2012), On semilinear -Laplace equation, Nonlinear Anal 75, 4637-4649 [38] M Krasnoselskii, P Zabreiko, E Pustylnik and P Sobolevskii (1976), Integral Operators in Spaces of Summable Functions, Noordhoff, Leyden [39] J Li and J Huang (2009), Uniform attractors for non-autonomous parabolic equations with delays, Nonlinear Anal 71, 2194-2209 [40] X Li and Z Li (2010), The asymptotic behavior of the strong solutions for a non-autonomous non-local PDE model with delay, Nonlinear Anal 72, 3681-3694 [41] X Li and Z Li (2011), The global attractor of a non-local PDE model with delay for population dynamics in Rn , Acta Math Sin Engl Ser 27, 1121-1136 [42] J.-L Lions (1969), Quelques Mộthodes de Rộsolution des Problốmes aux Limites Non Linộaires, Dunod, Paris [43] Y Liu (2015), Time-dependent global attractor for the nonclassical diffusion equations, Appl Anal 94, 1439-1449 [44] Y Liu and Q Ma (2009), Exponential attractors for a nonclassical diffusion equation, Electron J Differential Equations Vol 2009, No 9, 1-7 [45] P Marớn-Rubio, J Real and J Valero (2011), Pullback attractors for a two-dimensional Navier-Stokes equations in an infinite delay case, Nonlinear Anal 74, 2012-2030 [46] L Pan and Y Liu (2013), Robust exponential attractors for the nonautonomous nonclassical diffusion equation with memory, Dyn Syst 28, 501-517 98 [47] V Pata and A Zucchi (2001), Attractors for a damped hyperbolic equation with linear memory, Adv Math Sci Appl 11, 505-529 [48] A Pazy (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer, Berlin [49] J.C Peter and M.E Gurtin (1968), On a theory of heat conduction involving two temperatures, Z Angew Math Phys 19, 614-627 [50] A.V Rezounenko and J Wu (2006), A non-local PDE model for population dynamics with state-selective delay: Local theory and global attractors, J Comput Appl Math 190, 99-113 [51] F Rivero, A Mỏrquez-Durỏn and T Caraballo (2017), Asymptotic behaviour of a non-classical and non-autonomous diffusion equation containing some hereditary characteristic, Discrete Contin Dyn Syst Ser B 22 (2017), 1817-1833 [52] J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems An Introduction to Dissipative Parabolic PDEs and the Theory of Global Attractors, Cambridge Texts in Applied Mathematics Cambridge University Press, Cambridge [53] K Schumacher (1978), Existence and continuous dependence for differential equations with unbounded delay, Arch Rational Mech Anal 64, 315-35 [54] C Sun, S Wang and C.K Zhong (2007), Global attractors for a nonclassical diffusion equation, Acta Math Appl Sin Engl Ser 23, 1271-1280 [55] C Sun and M Yang (2009), Dynamics of the nonclassical diffusion equations, Asymp Anal 59, 51-81 99 [56] D.T.P Thanh (2016), Asymptotic behavior of solutions to semilinear parabolic equations with infinite delay, submitted [57] R Temam (1979), Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analysis, 2nd edition, Amsterdam: North-Holland [58] R Temam (1997), Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York [59] N.D Toan (2016), Existence and long-time behavior of variational solutions to a class of nonclassical diffusion equations in non-cylindrical domains, Acta Math Vietnam 41, 37-53 [60] C.C Travis and G.F Webb (1974), Existence and stability for partial functional differential equations, Trans Amer Math Soc 200, 395-418 [61] C.C Travis and G.F Webb (1978), Existence, stability and compactness in the -norm for partial functional differential equations, Trans Amer Math Soc 240, 129-143 [62] C Truesdell and W Noll (1995), The Nonlinear Field Theories of Mechanics, Encyclomedia of Physics, Springer, Berlin [63] H You and R Yuan (2010), Global attractor for some partial differential equations with finite delay, Nonlinear Anal 72, 3566-3574 [64] S Wang, D Li and C.K Zhong (2006), On the dynamics of a class of nonclassical parabolic equations, J Math Anal Appl 317, 565-582 [65] Y Wang and Y Qin (2010), Upper semicontinuity of pullback attractors for nonclassical diffusion equations, J Math Phys 51, 022701, 12 p [66] L Wang, Y Wang and Y Qin (2014), Upper semicontinuity of attractors for nonclassical diffusion equations in H (R3 ), Appl Math Comp 240, 51-61 100 [67] X Wang, L Yang and C.K Zhong (2010), Attractors for the nonclassical diffusion equations with fading memory, J Math Anal Appl 362, 327337 [68] X Wang and C.K Zhong (2009), Attractors for the non-autonomous nonclassical diffusion equations with fading memory, Nonlinear Anal 71, 5733-5746 [69] Y Wang and L Wang (2013), Trajectory attractors for nonclassical diffusion equations with fading memory, Acta Math Sci Ser B Engl Ed 33, 721-737 [70] J Wu (1996), Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York [71] H Wu and Z Zhang (2011), Asymptotic regularity for the nonclassical diffusion equation with lower regular forcing term, Dyn Syst 26, 391-400 [72] Y Xiao (2002), Attractors for a nonclassical diffusion equation, Acta Math Appl Sin Engl Ser 18, 273-276 [73] Y Xie, Q Li and K Zhu (2016), Attractors for nonclassical diffusion equations with arbitrary polynomial growth nonlinearity, Nonlinear Analysis: Real World Applications 31, 23-37 [74] F Zhang and Y Liu (2014), Pullback attractors in H (RN ) for nonautonomous nonclassical diffusion equations, Dyn Syst 29, 106-118 [75] F Zhang, L Wang and J Gao (2016), Attractors and asymptotic regularity for nonclassical diffusion equations in locally uniform spaces with critical exponent, Asymptot Anal 99, 241-262 [76] K Zhu and C Sun (2015), Pullback attractors for nonclassical diffusion equations with delays, J Math Phys 56, 092703, 20 pp