Tính chuẩn tắc và tính khai triển của không gian tôpô tích

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -  - BÙI QUANG THỊNH TÍNH CHUẨN TÁC VÀ TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -  - BÙI QUANG THỊNH TÍNH CHUẨN TÁC VÀ TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ MÃ SỐ: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh; người thầy dẫn dắt bước vào đường nghiên cứu khoa học Sự tận tình hướng dẫn lời động viên, bảo Thầy giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn: Ban lãnh đạo chuyên viên phòng Sau đại học; ban chủ nhiệm khoa giảng viên khoa Toán – Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh; giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Hình học Tơpơ khóa 20 tạo điều kiện học tập thuận lợi cho tơi suốt khóa học Ban giám hiệu, lãnh đạo khoa Sư phạm, tập thể Tổ Tự nhiên thầy cô đồng nghiệp trường Đại học Tiền Giang sẵn sàng giúp đỡ, tạo điều kiện tơi học tập hồn thành tốt nhiệm vụ thời gian học Cao học Bạn Liễu Mỹ Chương (Singapore, email: lieumychuong@gmail.com) hỗ trợ tơi việc tìm kiếm tài liệu tham khảo Cơ Trương Thị Hồng Nhung (trường Trung học phổ thông Chuyên Tiền Giang) thầy Hồ Công Xuân Vũ Ý (trường Đại học Tiền Giang) nhiệt tình giúp đỡ tơi việc soạn thảo luận văn Các bạn lớp Cao học Hình học Tơpơ khóa 20 tơi chia sẻ khó khăn q trình học tập Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn người thân u gia đình ln bên cạnh, động viên, hổ trợ mặt để tơi hồn thành thành tốt khóa học MỤC LỤC Trang phụ bìa ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Mở đầu Chương KIẾN THỨC BỔ TRỢ 1.1 Bội Hilbert 1.2 Phản continuum Cantor 1.3 Tôpô thứ tự 1.4 Các tiên đề tách 1.5 Phủ 1.6 Không gian Baire 13 1.7 Không gian compact, không gian paracompact 14 1.8 P -không gian 16 1.9 Khơng gian metric hóa 18 1.10 Σ -không gian 19 Chương TÍNH CHUẨN TẮC CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH 22 2.1 L lớp không gian Hausdorff compact 23 2.2 L lớp không gian metric compact 25 2.3 L lớp khơng gian metric hóa 28 Chương TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH 37 3.1 Tính chất khai triển 37 3.2 Tính chất σ -khai triển 38 3.3 Tính chất θ -khai triển 46 3.4 Tính chất khai triển 53 Kết luận kiến nghị 58 Tài liệu tham khảo 60 MỞ ĐẦU Theo Tơpơ đại cương, tơpơ tích Decartes hai không gian tôpô xây dựng từ tôpô không gian thành phần thông qua khái niệm sở Vì vậy, tính chất khơng gian tơpơ tích kế thừa từ khơng gian thành phần Một ví dụ dễ thấy tích hai không gian Hausdorff không gian Hausdorff Một vấn đề đặt ra: ‘‘Có phải tính chất khơng gian tơpơ tích kế thừa từ không gian tôpô thành phần hay không?’’ Câu trả lời không trường hợp tổng quát Một minh chứng tiếng tích tơpơ hai khơng gian chuẩn tắc nhìn chung khơng chuẩn tắc Bài toán nhà Toán học giới nghiên cứu từ thập niên 30 kỷ trước Cụ thể, J Dieudonné [10] năm 1939 xét tích tơpơ khơng gian chuẩn tắc với không gian compact; R H Sorgenfrey [30] năm 1947 xét tích hai khơng gian Linderlưf Hơn nữa, năm 1971 M E Rudin [29] chứng minh tồn không gian chuẩn tắc cho tích tơpơ với khoảng đơn vị đóng [ 0,1] khơng khơng gian chuẩn tắc Từ ví dụ cụ thể với cơng trình nghiên cứu gần đây, tính chuẩn tắc khơng gian tơpơ tích tốn thu hút quan tâm nhà Toán học giới Họ mong muốn khơng gian tơpơ tích kế thừa tính chuẩn tắc từ khơng gian thành phần Do đó, vấn đề mở ra: ‘‘Để khơng gian tơpơ tích kế thừa tính chuẩn tắc từ khơng gian thành phần, cần phải bổ sung điều kiện gì?’’ Trong số nghiên cứu vấn đề này, kể đến cơng trình C H Dowker H Tamano Nghiên cứu C H Dowker [11] năm 1951 mơ tả tính paracompact đếm khơng gian tơpơ X thơng qua tính chuẩn tắc X × [ 0,1] Tương tự, năm 1960 H Tamano [34] mơ tả tính paracompact khơng gian hồn tồn quy X thơng qua tính chuẩn tắc khơng gian tơpơ tích X với compact hóa Čech-Stone Chính kết tạo động lực thúc đẩy nghiên cứu góp phần to lớn cho phát triển Tôpô đại cương Nhiều kết đẹp quan trọng khơng gian tơpơ tích đời từ hướng nghiên cứu C H Dowker H Tamano Một số nhà Tơpơ học xuất sắc có nhiều cống hiến theo hướng không nhắc tới K Morita Các vấn đề thú vị khác liên quan trực tiếp hay gián tiếp đến công trình ơng nghiên cứu phát triển mong đợi Trong luận văn này, kế thừa nghiên cứu C H Dowker, H Tamano K Morita nhằm giải toán hẹp tính chuẩn tắc khơng gian tơpơ tích: Bài tốn Gọi L lớp khơng gian chuẩn tắc thỏa mãn số tính chất Tìm điều kiện cần đủ khơng gian chuẩn tắc X để tích X với khơng gian Y thuộc vào L không gian chuẩn tắc Theo hướng nghiên cứu khác, năm 1971 L L Krajewski [16] định nghĩa tính chất khai triển không gian tôpô nghiên cứu J C Smith [31] đưa số đặc trưng tính chất khai triển Sau đó, Y Katuta [15] năm 1975 định nghĩa số thuật ngữ tính khai triển: σ -khai triển, σ -khai triển rời rạc, θ -khai triển, θ -khai triển rời rạc, khai triển rời rạc khai triển … Kế thừa ý tưởng Bài toán kết hợp với kết nghiên cứu tính khai triển P -không gian, thuật ngữ đưa K Morita [22], nghiên cứu giải thêm Bài tốn Tìm điều kiện cho khơng gian tơpơ Y để tích tơpơ P -không gian chuẩn tắc X với Y kế thừa tính khai triển từ P -khơng gian chuẩn tắc X Xuất phát từ mục tiêu trên, nội dung luận văn gồm phần mở đầu, ba chương phần kết luận Cụ thể sau: Phần mở đầu: Đặt vấn đề trình bày sơ lược lịch sử vấn đề Phần nội dung: a Chương – KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương trình bày khái niệm cần thiết đưa sở lý thuyết cho kết nghiên cứu Chương Chương b Chương – TÍNH CHUẨN TẮC CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH Chương trình bày chi tiết kết nghiên cứu với đầy đủ chứng minh nhằm giải Bài tốn ba trường hợp L : • L lớp khơng gian Hausdorff compact, • L lớp khơng gian metric compact, • L lớp khơng gian metric hóa c Chương – TÍNH KHAI TRIỂN CỦA KHƠNG GIAN TƠPƠ TÍCH Chương trình bày chi tiết kết nghiên cứu với đầy đủ chứng minh nhằm giải Bài tốn bốn trường hợp tính khai triển: • tính chất khai triển, • tính chất σ -khai triển, • tính chất θ -khai triển, • tính chất khai triển Phần kết luận: Tổng kết lại kết nghiên cứu đưa nhận xét vấn đề mở cho hướng nghiên cứu tới Chương KIẾN THỨC BỔ TRỢ Nội dung chương chủ yếu đưa sở lý thuyết cho kết nghiên cứu chương sau Nhiều định lý chương nêu lược bỏ chứng minh Độc giả quan tâm chứng minh chi tiết tham khảo R Engelking [12] J Nagata [28] Trong suốt luận văn, khơng có nhầm lẫn thuật ngữ khơng gian hiểu không gian tôpô, thuật ngữ không gian tơpơ tích tích tơpơ hai khơng gian tôpô 1.1 Bội Hilbert  ∞   i =1  H ( x1 , x2 , …) xi ∈ = , i 1, 2, …, ∑ xi < +∞  với metric ρ Định nghĩa 1.1 Tập hợp = xác định bởi:  ∞ 2 , y )  ∑ ( xi − yi )  = ∀x ( x1 , x2 , …= ) , y ( y1 , y2 ,…) ∈ H : ρ ( x=  i =1  tạo thành khơng gian metric Vì thế, ( H , ρ ) không gian tôpô gọi không gian Hilbert   i   Không gian I ω = ( x1 , x2 ,…) xi ∈ , ≤ xi ≤ , i = 1, 2, … không gian Hilbert gọi bội Hilbert Từ định nghĩa trên, thấy I ω đồng phơi với tích tơpơ đếm  1 khoảng đóng 0,  Do đó, I ω đồng phơi với tích tơpơ đếm khoảng đơn  i  1 vị đóng [ 0,1] 0,  [ 0,1] đồng phơi với  i 1.2 Phản continuum Cantor Đặt I = [ 0,1] ,  1 2  1 2 I1 = 0,  ∪  ,1 = [ 0,1] \  ,  ,  3   3 3  1  3 6  8   3k + 3k +  I = 0,  ∪  ,  ∪  ,  ∪  ,1 = [ 0,1] \   m , m ,   9 9 9 9  9  1m 2;0k < m  … I n = [ 0,1] \  3k + 3k +   m , m   1mn ,0k < m   Tổng quát, I n xây dựng cách chia khoảng đóng cấu tạo nên I n −1 thành ba phần bỏ khoảng ba phần ∞ Định nghĩa 1.2 C =  I i gọi phản continuum Cantor i =0 1.3 Tôpô thứ tự Giả sử ωξ số thứ tự bé tương ứng với số ℵξ đặt W= ξ {α | ≤ α < ω } ξ Chúng ta định nghĩa họ  tập Wξ sau: { U ⊂ Wξ vớ i α ∈ U thỏ a α > 0, =  tồ n taïi β < α cho ( β ,α= {γ | β < γ ≤ α } ⊂ U} ∪ {0} Khơng khó kiểm tra  tơpơ Wξ Định nghĩa 1.3 Tôpô  xác định Wα gọi tôpô thứ tự 1.4 Các tiên đề tách Tiên đề T0 Với cặp điểm phân biệt x , y không gian X ; tồn lân cận U x không chứa y tồn lân cận V y không chứa x Tiên đề T1 Với cặp điểm phân biệt x , y không gian X ; tồn lân cận U x không chứa y lân cận V y không chứa x Tiên đề T2 Với cặp điểm phân biệt x , y không gian X ; tồn lân cận U ∅ x lân cận V y cho U ∩ V = 48 Ωn Gọi Ω= ( n, k ) tập {(σ ,σ ,…,σ ) σ ∈ Ω ,i ≤ k,σ = Với m thứ n k i ( m , m ,…, m ) ∈ ω k k Nếu = đặt Λ ω ({n} × {k} × ω ) n i k quan hệ  đặt ,…,σ k ) ∈ Ω ( n, k ) , định nghĩa  ( Gξ σ , k,σ , m) H (ξ , n= {F (σ ′) σ ′ ∈ Ω \ {σ } trong= E (σ ) tốt  σ2  … σk ( σ ,σ = σ tự i ≤k , i ,mi )) ( × V (σ i ) \ E (σ ) , }} ∈ Ωn | i ≤ k Λ =ω n,k∈ ( n, k, m) ∈ Λ , đặt H (ξ , n;σ ) = H (ξ , n, k,σ , m) = λ Với = Hξ ,λ = λ Nếu gọi (7) {H ξ ,λ {H (ξ , n;σ ) σ ∈ Ω ( n, k )} ∪ ( X × Y \ M ) n } ξ ∈ Ξ λ tập mở X × Y thỏa tính chất sau: Aξ ⊂ Hξ ,λ với ξ ∈ Ξ với λ ∈ Λ , Chứng minh Rõ ràng Aξ ∩ ( X × Y \ M n ) ⊂ Hξ ,λ λ = ( n, k, m) ∈ Λ , = m ( m , m ,…, m ) ∈ ω k k với ξ ∈ Ξ với Do đó, cần chứng minh Aξ ∩ M n ⊂ Hξ ,λ Lấy ( x, y ) ∈ Aξ ∩ M n ⊂ X × Y Theo Tính chất (5), tồn Vì n σ ∈ Ω n cho ( x, y ) ∈ K (σ ) × F (σ )= {V (σ ) | σ ∈ Ω } phủ mở hữu n hạn địa phương Y nên tồn tập không hữu hạn {σ i ∈ Ω n | i ≤ k} Ω n cho y ∈ V (σ ) ⇔ σ ∈ {σ i ∈ Ω n | i ≤ k} Mặt khác, F (σ ) ⊂ V (σ ) với σ ∈ Ω n nên y ∉ F (σ ) với σ ∈ Ω n \ {σ i ∈ Ω n | i ≤ k} Vì thế, khơng tổng quát, giả sử ( x, y ) ∈ K (σ ) × F (σ ) Khi đó, x ∈ W (σ ) theo Tính chất (3) nên ( )) ( x ∈ W (σ ) ∩ π σ Aξ ∩ U (σ ) × F (σ ) ⊂ L (ξ ,σ ) ⊂ Gξ ,σ = σ Đặt ( σ ,σ ,m0 với ξ ∈ Ξ ,…,σ k ) , có ( x, y ) ∈ G′ ξ ,σ ,m0 ( ) × V (σ ) \ E (σ ) ⊂ H (ξ , λ ; σ ) ⊂ Hξ ,λ , 49 ∪{F (σ ′) | σ ′ ∈ Ω \ {σ = E (σ ) n i }} ∈ Ωn | i ≤ k  (8) với ( x, y ) ∈ X × Y , tồn λ ∈ Λ cho λ hữu hạn điểm ( x, y ) Chứng minh Lấy ( x, y ) ∈ X × Y Theo Tính chất (5), tồn n ∈ ω cho ( x, y ) ∈ M tập Vì {F (σ ) | σ ∈ Ω n } phủ hữu hạn địa phương Y nên tồn n không hữu { {σ ∈ Ω hạn n i } |i ≤ k Ωn cho } y ∈ F (σ ) ⇔ σ ∈ σ i ∈ Ω n | i ≤ k Giả sử σ  σ  …  σ k Khi đó, với i ≤ k , tồn mi ∈ ω cho σ ,m hữu hạn điểm x Đặt λ = ( n, k, m) với i m = ( m , m ,…, m ) ∈ ω k k i Chúng ta chứng minh λ hữu hạn điểm ( x, y ) , tức chứng minh ( x, y ) bị chứa không hữu hạn phần tử Hξ ,λ ( x, y ) ∈ H Giả sử ξ ,λ σ′ Suy tồn một= ( x, y ) ∈ H (ξ , λ;σ ′) Ở đây, {σ i } {σ ′ ∈ Ω ∈ Ω n | i ≤ k= i (σ ′,σ ′ ,…,σ ′ ) ∈ Ω ( n, k ) n k cho } | i ≤ k Thật vậy, giả sử tồn σ i ∉ Ω n \ {σ i′ ∈ Ω n | i ≤ k} Vì y ∉ E (σ ′ ) nên y ∉ F (σ j ) (mâu thuẫn với cách xác định σ j ) Ngoài ra, σ  σ  …  σ k σ 1′  σ 2′  …  σ k′ nên σ i = σ i′ với Ξ=i i≤k hay nói {ξ ∈ Ξ | ( x, y) ∈ G ξ ,σ i ,mi với i ≤ k nên Ξ′= ξ ,λ khác σ =σ′ Với i ≤ k, đặt )} ( × V (σ i ) \ E (σ ) Khi đó, Ξ i tập hữu hạn Ξ Ξ i ≤k ( x, y ) ∈ H cách i tập hữu hạn Ξ Như vậy, ( x, y ) ∈ H (ξ , λ; σ ) Do đó, ξ ∈ Ξ′ Vì Λ =ω nên {λ | λ ∈ Λ} θ -khai triển    Định lý 3.9 Giả sử X P -không gian chuẩn tắc Y khơng gian metric hóa Nếu X có tính chất θ -khai triển rời rạc X × Y có tính chất θ -khai triển rời rạc Chứng minh Hoàn toàn tương tự chứng minh Định lý 3.7 từ Tính chất (1) đến Tính chất (6) Gọi =  {A ξ } | ξ ∈ Ξ họ rời rạc tập đóng X × Y 50 Theo Định lý 1.20, Y khơng gian metric hóa nên với n ∈ ω , tồn phủ mở hữu hạn địa phương = n  {B (σ ) | σ ∈ Ω } {V (σ ) | σ ∈ Ω }= n n n Y thỏa mãn điều kiện: B (σ ) ⊂ V (σ ) , (i) = V (σ ) (ii) B (σ )  B (σ ∨ α )  V (σ ∨ α ) ,= α α ∈Ω với σ ∈ Ω n , ∈Ω với z ∈ Y , tồn σ ∈ Ωω thỏa mãn {V (σ  n) | n ∈ ω} {B (σ  n) | n ∈ ω} (iii) sở địa phương z Y Với σ ∈ Ω