Những tính chất và nguyên lý của không gian PMS

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hứa Lâm Phong NHỮNG TÍNH CHẤT VÀ NGUN LÝ CỦA KHƠNG GIAN PMS LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hứa Lâm Phong NHỮNG TÍNH CHẤT VÀ NGUN LÝ CỦA KHƠNG GIAN PMS Chun ngành : Hình học tơpơ Mã số : 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Hứa Lâm Phong LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 27 cho tơi kiến thức tốn học Đại số, Giải tích Hình học tơpơ Xin kính chúc quý thầy cô thật nhiều sức khỏe thành cơng! Tơi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau đại học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn, anh chị lớp Hình học tơpơ khoa Tốn khóa 27 sẻ chia giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm động viên giúp tơi hồn thành thật tốt khóa học Hứa Lâm Phong MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất không gian tôpô 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Lân cận điểm 1.1.3 Tập mở, tập đóng 1.1.4 Tôpô cảm sinh 1.1.5 Tơpơ tích 1.1.6 Cơ sở không gian tôpô 1.1.7 Tiên đề đếm thứ 1.1.8 Tiên đề đếm thứ hai 1.1.9 Định nghĩa phủ 1.1.10 Định nghĩa phủ 1.1.11 Định nghĩa tập compact không gian compact 1.1.12 Định nghĩa không gian compact địa phương 1.1.13 Khơng gian Lindelưf 1.1.14 Không gian liên thông 1.1.15 Liên thông địa phương 1.1.16 Tập liên thông 1.1.17 Thành phần liên thông 1.2 Các tiên đề tách 1.2.1 Định nghĩa không gian T0 1.2.2 Định nghĩa không gian T1 1.2.3 Định nghĩa không gian T2 1.2.4 Định nghĩa không gian T3 1.2.5 Định nghĩa không gian T4 1.2.6 Tính chất 1.3 Khơng gian mêtríc 1.3.1 Định nghĩa 1.3.2 Khơng gian mêtríc đầy đủ 1.3.3 Khơng gian mêtríc hóa 1.3.4 Định nghĩa giống-khoảng cách 1.3.5 Khơng gian mêtríc có trọng số 1.3.6 Khơng gian mêtríc bị chặn 1.3.7 Khơng gian mêtríc compact 10 1.3.8 Khơng gian mêtríc thơng thường 10 1.4 Phần trong, bao đóng, biên, đường kính tập hợp, tập hợp trù mật 10 1.4.1 Phần 10 1.4.2 Bao đóng 11 1.4.3 Trù mật 11 1.4.4 Biên 11 1.4.5 Đường kính 11 1.5 Không gian khả ly 12 1.5.1 Định nghĩa 12 1.5.2 Mệnh đề 12 1.6 Ánh xạ liên tục 12 1.6.1 Định nghĩa ánh xạ liên tục 12 1.6.2 Định nghĩa ánh xạ liên tục 12 1.6.3 Ánh xạ liên tục bảo tồn tính compact 12 1.6.4 Ánh xạ liên tục bảo tồn tính liên thơng 12 1.7 Không gian Baire 13 1.8 Định lý Baire 13 1.9 Ánh xạ Lispchitz 13 1.10 Nguyên lý Ekeland 13 Chương KHƠNG GIAN MÊTRÍC RIÊNG PHẦN (PMS) 15 2.1 Không gian mêtríc riêng phần 15 2.1.1 Định nghĩa 15 2.1.2 Bổ đề 16 2.1.3 Một số định nghĩa không gian PMS 17 2.2 Các tiên đề tách PMS 18 2.3 Mối liên hệ không gian đếm thứ hai không gian khả ly 27 2.4 Mối liên hệ không gian thỏa tiên đề đếm thứ hai tính chất Lindelưf 31 Chương NHỮNG NGUN LÝ VÀ TÍNH CHẤT CỦA CÁC KHƠNG GIAN PMS 34 3.1 Khơng gian mêtríc riêng phần 35 3.2 Khơng gian mêtríc riêng phần đầy đủ 41 3.3 Tính compact khơng gian mêtríc riêng phần 50 3.4 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian PMS 51 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Những ghi nhận ban đầu Không gian PMS (không gian mêtríc riêng phần) vốn khái qt hóa khơng gian mêtríc thơng thường, khoảng cách khơng cần Khái niệm lần giới thiệu vào năm 1992 Steve G.Matthews với mơ hình tính tốn khơng gian mêtríc Vốn xem nhánh tôpô túy Chúng ta đặc biệt quan tâm đến tính chất tơpơ quen thuộc tiên đề tách được, tính đếm được, liên thơng, compact, đầy đủ ngun lý biến phân Ekeland liệu áp dụng khơng gian PMS hay khơng? Cũng cần có thêm số giả thiết khác để chúng giữ ngun tính đắn nó? Đây nội dung nghiên cứu luận văn 1.2 Thực tiễn đề Michael Bukatin, Ralph Kopperman, Steve Matthews, Homeira Pojaahesh cho “Một không gian PMS tổ hợp khái niệm mêtríc khoảng cách, trọng số tập hợp xếp thứ tự riêng phần (Partially ordered set-poset) mối quan hệ đó.” Tuy nhiên, việc nghiên cứu tính chất tơpơ khơng gian PMS cịn toán mở nhận quan tâm nhiều nhà tốn học Khung lí thuyết tham chiếu Với kiến thức tôpô đại cương nghiên cứu khái niệm tính chất khơng gian PMS nhà tốn học giới Việt Nam, từ báo Properties And Principles On Partial Spaces ba tác giả Suzhen Han, Jiangfend Wu Dong Zhang xuất tạp chí Topology and its Applications năm 2017 Mục tiêu câu hỏi nghiên cứu 3.1 Mục tiêu nghiên cứu Từ thực tiễn đề tài, luận văn tiếp tục tìm hiểu cách chi tiết tính chất ngun lý khơng gian PMS cụ thể là:  Nghiên cứu mối quan hệ mêtríc hóa khơng gian tơpơ túy không gian PMS  Bổ sung chứng minh số điều kiện cần thiết để tính chất tơpơ túy trở thành tính chất khơng gian PMS  Đề số hướng nghiên cứu không gian PMS tương lai 3.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp số cơng trình có làm sở lý luận sử dụng kết nghiên cứu có để chứng minh số định lý tính chất Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương 1, 2, phần kết luận Mở đầu: Nội dung phần mở đầu nhằm đề cập đến ghi nhận ban đầu, thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích, phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Các kiến thức chuẩn bị đại số, nhóm tơpơ, tính compact, tính liên thơng, khơng gian mêtríc, kiến thức tiền đề Hausdorff, tiên đề tách được, ba tiên đề đếm (đếm thứ 2, tách Lindelof) không gian tơpơ thơng thường Chương 2: Khơng gian mêtríc riêng phần (PMS): Giới thiệu khái niệm, tính chất khơng gian PMS, mối liên hệ tiên đề tách, không gian đếm thứ hai, khơng gian khả ly khơng gian Lindelưf Chương 3: Những ngun lý tính chất khơng gian PMS: Tập trung vào không gian PMS đầy đủ tính chất đầy đủ Chúng ta đưa nhiều kết định lý giao Cantor định lý phạm trù Baire Cuối chương, chúng tơi bàn đến tính compact khơng gian PMS kết bản, đặt tên bổ đề bao phủ Lebesgue Kết luận: Tôi hệ thống lại kết trình bày chương chương số vấn đề nhằm phát triển phương hướng nghiên cứu tương lai 46 Do đó, n  An   Được biết khơng gian mêtríc đầy đủ thuộc phạm trù thứ hai ([4], trang 186) Tiếp theo, ta trình bày lý thuyết phạm trù Baire không gian PMS Chi tiết hơn, ta chứng minh không gian PMS đầy đủ 1  thuộc phạm trù thứ hai  x : p  x, x    trù mật với n  n   Với kết này, ta kết luận khơng gian PMS có tính liên thơng liên thơng địa phương đầy đủ khơng viết dạng hợp tập đóng rời đếm Để chứng minh lý thuyết phạm trù Baire, trước tiên, ta trình bày bổ đề đơn giản sau 3.2.10 Bổ đề Trong không gian PMS  X , p  , ta có Bp  x, r   Bp  y, r '  r  p  y, y   p  x, y   r ', Bp  x, r   Bp  y, r '  r  p  y, y   p  x, y   r ' 3.2.11 Định lý (Lý thuyết phạm trù Baire không gian PMS) Một không gian PMS đầy đủ thuộc phạm trù thứ hai   0, x : p  x, x      X  Chứng minh Giả sử tồn không gian đầy đủ PMS  X , p  thuộc phạm trù thứ   0, x : p  x, x      X  47 Cho X   Fn , Fno   , với ‘ ’ kí hiệu tốn tử phần Cho n 1 xo  X , ro   Vì F1 khơng trù mật hầu khắp nơi nên tồn x1  B p  x, ro   F1 Theo bổ đề 2.1.2 (4), p  x1, F1   p  x1, x1  Vì tồn  r1  cho B p  x1 , r1   B p  xo , ro   F1 Chú ý A   x : p  x, x   1 trù mật X , ta giả sử x1  A , nghĩa là, p  x1, x1   1  Tương tự, tồn x2  Bp  x1 , r1    x : p  x, x     F2 2  Khi p  x2 , F2   p  x2 , x2  1  Cho r2   , p  x2 , F2   p  x2 , x2  , p  x1, x1   r1  p  x1, x2   2  Khi B p  x2 , r2   B p  x1 , r1   F2 Theo quy nạp, ta có dãy B  x , r  với B  x , r   B  x , r    B  x , r   p n n p 1 p 2 p n n Với n , ta có  n  1 p  xn , xm   , rn  B p  xn , rn    Fi    n n  i 1  Xét dãy xk  Nếu mn Bp  xm , rm   Bp  xn , rn  Do xm  Bp  xn , rn  Khi p  xm , xn   p  xn , xm   rn   m, n   n Suy xk  dãy Cauchy Vì X có tính đầy đủ nên ta có xk  xo với xo  X Do đó, p  xm , xn   p  xn , xn   rn p  xk , xo   , dẫn đến p  xo , xo   Chú ý 48 Cho m   , ta có p  xn , xo   p  xn , xn   rn nên xo  Bp  xn , rn  Điều có nghĩa xo   Bp  xn , rn  Vì xo  X  n1  Fn nên tồn no   n 1 cho xo  Fno  no   Vì xo  Bp xno , rno    Fi  (đây điều mâu thuẫn)  i 1   3.2.12 Định nghĩa Cho  X , p  không gian PMS đầy đủ Một tập khác rỗng K  X gọi tập đóng đầy đủ   ,  x K : p  x, x      K  3.2.13 Định lý Cho  X , p  khơng gian PMS đầy đủ có tính liên thơng liên thơng địa phương Khi X viết thành hợp hai hay vơ hạn tập đóng đầy đủ rời đếm Chứng minh Ta sử dụng phản chứng để chứng minh định lý 3.2.13 Giả sử X   Ki , với K i tập đóng đầy đủ với i  1,2, i 1 Vì X liên thông, K i không tập mở nên Ki  Ki \ Kio đóng đầy đủ, i  1,2, Cho A   i 1 Ki   i 1  Ki \ Kio  X \  K  o i i 1 A tập đóng đầy đủ Theo định lý 3.2.11, A khơng gian Baire Bây ta tìm hiểu điểm tập mở A Thật vậy, ta chứng minh K1 khơng có điểm trong A Nếu khơng, giả sử xo điểm K1 A Vì X liên thơng địa phương, tồn lân cận mở liên thông U xo cho U  A  K1 Vì 49 U  K U  K tập mở khác rỗng Do K  o c  o Ki , ta có U  i 2  Ki i 2 tập mở khác rỗng Giả sử U  K   Vì U   Ki  U  A  K1 , U K rời i 1 Khi U  K2o  U  K2   Vì U  K2c  U  K1   nên ta có U  U  K2   U  K 2c   U  K 2o   U  K 2c  hợp hai tập mở khác rỗng, điều mâu thuẫn với tính liên thơng lân cận U Từ chứng minh trên, ta nhận thấy K1 khơng có điểm quan hệ A , K1 trù mật hầu khắp nơi A Tương tự, ta lập luận Ki trù mật hầu khắp nơi A , với i Vì vậy, A hợp tập trù mật hầu khắp nơi đếm quan hệ với nó, A thuộc phạm trù thứ Nhưng theo không gian Baire, A thuộc phạm trù thứ hai, điều mâu thuẫn  Từ định lý 3.2.13 ta có hệ 3.2.14 sau: 3.2.14 Hệ Cho  X , d  khơng gian mêtríc đầy đủ liên thơng địa phương có n thành phần liên thơng Khi X khơng viết hợp tập đóng rời c , với c số thỏa n   c  o Chứng minh Thật vậy, ta có d  x,x   với x  X , tập đóng tập đóng đầy đủ Sử dụng phản chứng, giả sử X viết dạng hợp tập đóng rời c Khi nguyên lý Dirichlet điều kiện c  o , 50 tồn thành phần liên thông X mà viết dạng hợp hai vơ hạn tập đóng rời đếm được, điều mâu thuẫn với định lý 3.2.13 Vì ta điều phải chứng minh  3.3 Tính compact khơng gian mêtríc riêng phần 3.3.1 Định nghĩa Cho  X , p  không gian PMS  X , p  gọi khơng gian PMS có tính compact  X , p  có tính compact 3.3.2 Định lý Nếu  X , p  không gian PMS compact  X , p  khơng gian PMS có tính bị chặn Chứng minh Giả sử  X , p  khơng gian PMS compact Vì Bp  x,1 : x  X  phủ mở X , tồn phủ hữu hạn Bp  xi ,1 :1  i  n   Cho M  max p  xi , x j  :1  i  j  n  Khi x, y  X , tồn  i, j  n cho x  Bp  xi ,1 y  Bp  x j ,1 Vì vậy, p  x, y   p  x, xi   p  y, xi   p  xi , xi   p  x, xi   p  y, x j   p  x j , xi   p  x j , xi   p  xi , xi   p  xi , xi    p  x j , x j    p  xi , x j   p  xi , xi   p  x j , x j   p  xi , x j    M  3.3.3 Định nghĩa Cho dãy  xn n  không gian PMS  X , p  Khi x gọi điểm hội tụ dãy xn  tồn dãy hội tụ x  X 51 3.3.4 Định lý bổ đề phủ Lebesgue Cho Ui :1  i  k  X , p  phủ mở hữu hạn compact PMS Khi tồn   cho với A  X thỏa diam  A   , ta có A  U i với  i  k Chứng minh Ta dùng cách phản chứng Với n   , lấy xn  An Vì  X , p  compact, ta giả sử x điểm tụ dãy xn  Khơng tính tổng qt, ta giả sử x U1 Khi tồn   cho Bp  x,2   U1 Chú ý tồn m   cho  m xm  Bp  x,   Vì diam  Am   , y  Am , m p  x, y   p  x, x m   p  xm , y   p  xm , xm   p  x, x      p  x, x   2 m Vậy Am  Bp  x,2   U1 , mâu thuẫn nên ta có điều phải chứng minh  3.4 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian PMS Trong phần này, ta nghiên cứu nguyên lý biến phân Ekeland không gian PMS  X , p  Trong giải tích, nguyên lý Ekeland, tìm Ivar Ekeland, định lý khẳng định tồn nghiệm gần tối ưu cho số vấn đề tối ưu hóa Ngồi ra, Ngun lý Ekeland cịn dùng để chứng minh cho định lý điểm bất động Caristi Hai phiên nguyên lý trình bày 3.4.1 Định nghĩa Cho  X , p  không gian PMS 52 Với dãy xn ,xm  X thỏa p  xn , xm   , m  n   suy xn  x, n   , với x  X Khi  X , p  gọi không gian PMS đầy đủ mạnh 3.4.2 Định lý Cho  X , p  không gian PMS đầy đủ mạnh f : X  hàm số nửa liên tục bị chặn Cho   yo  X cho f  yo   inf xX f  x    Khi tồn điểm y* cho f  y*   f  yo  , p  yo , y*   với y* thỏa mãn f y*  x   f  x    p  y * , x  Chứng minh F  x, y    p  x, y  , Sn   : f    F , yn   f  yn   F  yn , yn  Khi với yn  Sn   , lấy yn1  Sn cho: f  yn1   inf Sn f  Khi  f  y  n   f  yn   inf Sn f dãy giảm bị chặn  f  y  n dãy Cauchy   Sn1 , f    F , yn1   f  yn1   F  yn1, yn1  , ta có: f    F  , yn1   f    F  , yn1   F  yn1 , yn   F  yn1 , yn1   f  yn1   F  yn1 , yn1   F  yn1 , yn   F  yn1 , yn1   f  yn1   F  yn1 , yn   f  yn   F  yn , yn  Vì ta có   Sn , nghĩa Sn1  Sn Khi ta có ym  Sm  Sn , m  n Theo định 3.3.2, ta có f  ym   F  yn , yn   f  yn   f  ym   , m  n Đồng thời theo định lý 3.3.4, ta có: 53 F  ym , yn   F  yn , yn   f  yn   f  ym   0, m  n Vì vậy, tồn y* cho ym  y* f  ym   f  y*  m   Khi f  y*   lim f  yn    f  yn    f  yo  n  Đồng thời ta có f  y*   F  y* , yn   f  yn   F  yn , yn  m   Do y*  Sn , y *  Sn n 1 Nếu tồn x* cho f  x*   F  x* , y*   f  y*   F  y* , y*  Khi f  x*   F  x* , yn   f  x *   F  x * , y *   F  y * , y n   F  y * , y *   f  y *   F  y * , y *   F  y * , yn   F  y * , y *   f  y *   F  y * , yn   f  yn   F  y n , y n  Vì x*  Sn x*  S n Chú ý rằng: n 1 f  yn1   inf f  x   f  yn1   inf f  x   xSn 1 xSn   f  yn   inf f  x  , xSn Khi ta có f  yn   inf f  x   n   xSn 1 Vì f  x  hàm số nửa liên tục nên ta có f  y*   liminf f  yn   liminf inf f  liminf inf f  inf f  f  x*  n n Sn n Sn n 1 Sn n 1 Do f  y*   f  x*  Vì f  x*   F  x* , y*   f  y*   F  y* , y*  F  y* , y*   F  x* , y*  nên ta có f  x*   f  y*  F  x* , y*   F  y* , y*  Vì vậy, y* thu hẹp f  x   F  y* , x  Theo định lý 3.3.4, ta có 54 F  y* , yo   F  yo , yo   lim  F  yn , yo   F  yo , yo   n  lim  f  yo   f  yn   n  f  yo   f  y*   f  yo   inf f  x    xX Điều có nghĩa p  y* , yo   p  yo , yo    3.4.3 Định lý Cho  X , p  không PMS đầy đủ có tính đối xứng theo dãy cho f :X  hàm số nửa liên tục bị chặn Giả sử a: X  hàm dương liên tục  : 0;    0;   ánh xạ bi-Lipschitz (nghĩa là,   1   a  y   p  y , y    kéo theo k 1 k cho yk  y với y  X k 1 k Lipschitz) Cho   yo  X cho f  yo   inf f  x    Khi tồn điểm xX f  y*   f  yo  , y* cho  p  yo , y*   p  yo , yo   y* thỏa mãn  f y*  x   f  x    a  x   p  y * , x  Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử   cho   S n   : f     a      p   , yn    f  y n   a  y n    p  y n , y n   Khi yn  Sn   , lấy yn1  S n cho f  yn1   inf f  x    n với  n  0 , n   xSn Khi ta có  f  yn1   f  yn   a  yn    p  yn1 , yn      p  yn , yn   n     f  yo    a  yk    p  yk 1 , yk      p  yk , yk   k 0  * 55 Vì vậy,  a  y    p  y n k k 0 k 1  , yk      p  yk , yk    f  yo   f  yn1   f  yo   inf f  x  xX Cho n   , ta có  a  y    p  y n k k 0 k 1  , yk      p  yk , yk    f  yo   inf f  x   xX Vì vậy, tồn y*  X cho yk  y* , k   Vì  : 0;    0;   hàm số bi-Lipschitz,   x  hàm tăng Do đó, theo (*), ta thu f  y*   liminf f  yn   f  yo  n  Nếu tồn x  X cho    f  x   f  y*   a  y*   p  y* , x    p  y* , y *    f  y *   liminf f  yn  lim a yn  p  yn , x    a  y*  p  y* , x  n  n   Do tồn N  , cho:   f  x   f  yn   a  yn    p  yn , x      p  yn , yn   , n  N nên x Sn n N Vì vậy,   a  yn    p  yn , x      p  y n , y n    f  y n   f  x   inf f  x    n1  inf f  x  xSn 1 xSn 1   n1 , Với n  N  , ta có   lim   p  yn , x      p  yn , yn    lim n n  n1 a  yn   0 a  y*   56 Vì  ánh xạ bi-Lipschitz nên tồn l 0 cho x  y  l   x     y  , đó:   lim  p  yn , x   p  yn , yn    l lim   p  yn , x      p  yn , yn    n n Theo tính đối xứng dãy, ta có yn  x , nghĩa x  y* Điều mâu   thuẫn với giả thiết Do y* thỏa mãn f y*  x   f  x   a  x  p  y * , x   3.4.4 Hệ Cho  X , p  khơng gian PMS đầy đủ có tính đối xứng theo dãy f :X  ánh xạ nửa liên tục bị chặn Cho   yo  X cho f  yo   inf f  x    Khi tồn điểm xX y* cho f  y*   f  yo  , p  yo , y*   p  yo , yo   y* thỏa f y*  x   f  x    p  y* , x   p  yo , x  mãn Chứng minh Cho a  x     t   t , t 0;   Theo định lý 3.4.3,  p  yo , yk  p  yk , yk 1   ta cần chứng minh 1 p y , y    k 0 Cho N   o k với p     yk  dãy Cauchy   , cho p yo , y N  k p  max p  yo , y N k   1 k  p  Nếu  p  yo , yn  không bị chặn, lim p yo , y N k p   Vì p    tồn p  p N cho p yo , yN k p  Khi 57 p  yk , yk 1  N  k p 1 p  yk , yk 1     k  N  p  yo , yk  k  N  p  yo , yk  Np    Điều mâu thuẫn với   p yo , y N  k p  p yo , y N  k p     p yo , y N  k p    p y , y  kN k k 1  , p  yk , yk 1    p  y , y    Vì vậy, ta suy k 0 dãy  p  yo , yn n N  k p 1 o k bị chặn Giả sử p  yo , yn   M , m 1 p  yn , ym    p  yk , yk 1  k n p  yk , yk 1   0, m, n   p y , y   k n o k m 1  1  M   Điều có nghĩa  yn  dãy Cauchy  58 KẾT LUẬN Những kết đạt Bài luận văn trình bày:  Điểm lại tính chất nguyên lý không gian tôpô túy  Nghiên cứu mối quan hệ mêtríc hóa khơng gian tơpơ túy không gian PMS  Bổ sung chứng minh số điều kiện cần thiết để tính chất tơpơ túy trở thành tính chất khơng gian PMS Một số câu hỏi Câu hỏi Ta có phát biểu mang tính giá trị sau: “Với mêtríc riêng phần X tương đương với vài mêtríc riêng phần có tính đầy đủ bị chặn X ” Tuy nhiên, ta chưa chứng minh tính đúng, sai phát biểu do: Một dãy Cauchy  X , q  không thiết dãy Cauchy  X , p  với q p Xét ví dụ, cho X  x1, x2 ,  p  xi , x j   max i, j 1 p Khi đó, xn  dãy Cauchy  X , q  (do lim q  xm , xn   ) xn  m ,n không dãy Cauchy  X , p  (do lim p  xm , xn    ) m ,n 1, p không thiết mêtríc riêng phần Vậy làm để chứng minh phát biểu đúng? Câu hỏi Cho Y  X p mêtríc riêng phần Y Ln tồn mêtríc riêng phần P X cho P Y  p Điều quan tâm liệu tính chất tơpơ Y , p  có bảo tồn  X , p  hay không? Giả sử không bảo tồn ta cần bổ sung thêm điều kiện để phát biểu đúng? 59 Câu hỏi Một khơng gian chuẩn tắc, quy, đầy đủ có vai trị quan trọng nghiên cứu tôpô thông thường Vậy khái niệm khơng gian PMS có tính chất tương đồng không gian tôpô hay không? Câu hỏi Cho X ,Y hai không gian tôpô, xét ánh xạ f : X  Y Nếu X khả mêtríc riêng phần Y có khả mêtríc riêng phần hay khơng? Và trường hợp có ánh xạ g : Y  X Y có phải khả mêtríc riêng phần hay khơng? Hiển nhiên f ánh xạ đồng phơi Y khả mêtríc riêng phần Ở đây, câu hỏi ta muốn đặt làm yếu điều kiện ánh xạ f hay không? Câu hỏi Ta đưa mối liên hệ tính cân tính theo dãy không gian PMS Nhưng liệu ta khai thác thêm mối liên hệ không gian PMS đặc biệt nêu định nghĩa 2.2.3? Câu hỏi Cho  X , p  không gian PMS Nếu ánh xạ f : X  Y  f  x  , f  y  song ánh q :Y Y    0 , q  f  x  , f  y    p  x, y  mêtríc riêng phần X Ở đây, câu hỏi ta muốn đặt làm yếu điều kiện song ánh f hay không? 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, “Tôpô đại cương”, Nxb Giáo dục, 2006 [2] Nguyễn Bích Huy,“Tài liệu học tập - Mơn giải tích sở”, khoa Tốn – Tin học, trường Đại học Sư phạm TP HCM, 7/2006 [3] Chung-Tao Yang, “On theorems of Borsuk-Ulam, Kakutani-YamabeYujobô”, in: Annal of Mathematics, vol 62, 1955 [4] Kim Ritter Wagner, “Solving recursive domain equations with enriched categories” PhD thesis, CMU-CS-94159, Carnegie Mellon University, 1994 [5] Michael Bukatin, Ralph Kopperman, Steve Matthews, and Homeira Pajoohesh, “Partial metric spaces”, American Mathematical Monthly 116 (2009) No 8, 708-718 [6] O’Neill S.J , “Partial metrics, valuations, and domain theory”, Papers on general topology and applications (Gorham, ME, 1995), 304-315, Annals of the New York Academy of Sciences, 806, New York, 1996 [7] Stephen Willard, “General Topology”, Reading, MA: Addison-Wesley, 1970 [8] Steve Matthews, “Partial metric topology”, Research Report 212, Dept of Computer Science, University of Warwick, 1992 [9] Steve Matthews, “Partial metric topology”, in: General Topology and its Applications Proc 8th Summer Conf., Queen’s College (1992), in: Annals of the New York Academy of Sciences, 728, 183-197, 1994 [10] Suzhen Han, Jianfeng Wu, Dong Zhang, “Properties and principles on partial metric spaces”, In: “Topology and its Applications”, August 2017 ...  V   1.2.6 Tính chất 1) T1  không gian T0  không gian 2) T2  không gian T1  không gian 3) T3  không gian T2  không gian 4) T4  không gian T3  không gian 1.3 Khơng gian mêtríc 1.3.1... (PMS) : Giới thiệu khái niệm, tính chất khơng gian PMS, mối liên hệ tiên đề tách, không gian đếm thứ hai, không gian khả ly khơng gian Lindelưf 3 Chương 3: Những ngun lý tính chất khơng gian PMS: ... định không gian thỏa tiên đề tách thơng qua việc xét tính chất dãy không gian PMS Điều thể định lý 2.2.4 2.2.3 Định lý Cho  X , p  không gian PMS (1)  X , p  không gian T2  X , p  không gian