Những tính chất và nguyên lý của không gian PMS

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hứa Lâm Phong NHỮNG TÍNH CHẤT VÀ NGUN LÝ CỦA KHƠNG GIAN PMS LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Hứa Lâm Phong NHỮNG TÍNH CHẤT VÀ NGUN LÝ CỦA KHƠNG GIAN PMS Chun ngành : Hình học tơpơ Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu, trích dẫn nêu luận văn xác trung thực Hứa Lâm Phong LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời luận văn để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hà Thanh, người tận tâm hướng dẫn, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học khóa 27 cho tơi kiến thức tốn học Đại số, Giải tích Hình học tơpơ Xin kính chúc q thầy cô thật nhiều sức khỏe thành công! Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau đại học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin cảm ơn q thầy Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn, anh chị lớp Hình học tơpơ khoa Tốn khóa 27 sẻ chia giúp đỡ thời gian học tập làm luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn quan tâm động viên giúp tơi hồn thành thật tốt khóa học Hứa Lâm Phong MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định nghĩa tính chất khơng gian tơpơ 1.1.1 Định nghĩa .4 1.1.2 Lân cận điểm 1.1.3 Tập mở, tập đóng .4 1.1.4 Tôpô cảm sinh 1.1.5 Tơpơ tích 1.1.6 Cơ sở không gian tôpô 1.1.7 Tiên đề đếm thứ 1.1.8 Tiên đề đếm thứ hai 1.1.9 Định nghĩa phủ 1.1.10 Định nghĩa phủ 1.1.11 Định nghĩa tập compact không gian compact 1.1.12 Định nghĩa không gian compact địa phương 1.1.13 Khơng gian Lindelưf 1.1.14 Không gian liên thông 1.1.15 Liên thông địa phương 1.1.16 Tập liên thông 1.1.17 Thành phần liên thông 1.2 Các tiên đề tách 1.2.1 Định nghĩa không gian T0 1.2.2 Định nghĩa không gian T1 1.2.3 Định nghĩa không gian T2 1.2.4 Định nghĩa không gian T3 1.2.5 Định nghĩa không gian T4 1.2.6 Tính chất 1.3 Khơng gian mêtríc 1.3.1 Định nghĩa .8 1.3.2 Khơng gian mêtríc đầy đủ 1.3.3 Khơng gian mêtríc hóa 1.3.4 Định nghĩa giống-khoảng cách 1.3.5 Khơng gian mêtríc có trọng số 1.3.6 Khơng gian mêtríc bị chặn 1.3.7 Khơng gian mêtríc compact 10 1.3.8 Khơng gian mêtríc thơng thường 10 1.4 Phần trong, bao đóng, biên, đường kính tập hợp, tập hợp trù mật 10 1.4.1 Phần 10 1.4.2 Bao đóng 11 1.4.3 Trù mật 11 1.4.4 Biên 11 1.4.5 Đường kính 11 1.5 Không gian khả ly 12 1.5.1 Định nghĩa .12 1.5.2 Mệnh đề 12 1.6 Ánh xạ liên tục 12 1.6.1 Định nghĩa ánh xạ liên tục .12 1.6.2 Định nghĩa ánh xạ liên tục 12 1.6.3 Ánh xạ liên tục bảo tồn tính compact 12 1.6.4 Ánh xạ liên tục bảo tồn tính liên thơng 12 1.7 Không gian Baire 13 1.8 Định lý Baire .13 1.9 Ánh xạ Lispchitz 13 1.10 Nguyên lý Ekeland 13 Chương KHƠNG GIAN MÊTRÍC RIÊNG PHẦN (PMS) 15 2.1 Khơng gian mêtríc riêng phần .15 2.1.1 Định nghĩa .15 2.1.2 Bổ đề 16 2.1.3 Một số định nghĩa không gian PMS 17 2.2 Các tiên đề tách PMS 18 2.3 Mối liên hệ không gian đếm thứ hai không gian khả ly 27 2.4 Mối liên hệ không gian thỏa tiên đề đếm thứ hai tính chất Lindelưf 31 Chương NHỮNG NGUN LÝ VÀ TÍNH CHẤT CỦA CÁC KHƠNG GIAN PMS 34 3.1 Khơng gian mêtríc riêng phần .35 3.2 Không gian mêtríc riêng phần đầy đủ 41 3.3 Tính compact khơng gian mêtríc riêng phần .50 3.4 Nguyên lý biến phân Ekeland không gian PMS 51 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Những ghi nhận ban đầu Khơng gian PMS (khơng gian mêtríc riêng phần) vốn khái qt hóa khơng gian mêtríc thơng thường, khoảng cách khơng cần Khái niệm lần giới thiệu vào năm 1992 Steve G.Matthews với mô hình tính tốn khơng gian mêtríc Vốn xem nhánh tôpô túy Chúng ta đặc biệt quan tâm đến tính chất tơpơ quen thuộc tiên đề tách được, tính đếm được, liên thông, compact, đầy đủ nguyên lý biến phân Ekeland liệu áp dụng khơng gian PMS hay khơng? Cũng cần có thêm số giả thiết khác để chúng giữ nguyên tính đắn nó? Đây nội dung nghiên cứu luận văn 1.2 Thực tiễn đề Michael Bukatin, Ralph Kopperman, Steve Matthews, Homeira Pojaahesh cho “Một không gian PMS tổ hợp khái niệm mêtríc khoảng cách, trọng số tập hợp xếp thứ tự riêng phần (Partially ordered set-poset) mối quan hệ đó.” Tuy nhiên, việc nghiên cứu tính chất tơpơ khơng gian PMS cịn tốn mở nhận quan tâm nhiều nhà tốn học Khung lí thuyết tham chiếu Với kiến thức tôpô đại cương nghiên cứu khái niệm tính chất khơng gian PMS nhà toán học giới Việt Nam, từ báo Properties And Principles On Partial Spaces ba tác giả Suzhen Han, Jiangfend Wu Dong Zhang xuất tạp chí Topology and its Applications năm 2017 Mục tiêu câu hỏi nghiên cứu 3.1 Mục tiêu nghiên cứu Từ thực tiễn đề tài, luận văn tiếp tục tìm hiểu cách chi tiết tính chất ngun lý khơng gian PMS cụ thể là:  Nghiên cứu mối quan hệ mêtríc hóa không gian tôpô túy không gian PMS  Bổ sung chứng minh số điều kiện cần thiết để tính chất tơpơ túy trở thành tính chất khơng gian PMS  Đề số hướng nghiên cứu không gian PMS tương lai 3.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: phân tích, tổng hợp số cơng trình có làm sở lý luận sử dụng kết nghiên cứu có để chứng minh số định lý tính chất Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương 1, 2, phần kết luận Mở đầu: Nội dung phần mở đầu nhằm đề cập đến ghi nhận ban đầu, thực tiễn đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, trình bày mục đích, phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Các kiến thức chuẩn bị đại số, nhóm tơpơ, tính compact, tính liên thơng, khơng gian mêtríc, kiến thức tiền đề Hausdorff, tiên đề tách được, ba tiên đề đếm (đếm thứ 2, tách Lindelof) không gian tôpô thông thường Chương 2: Khơng gian mêtríc riêng phần (PMS): Giới thiệu khái niệm, tính chất khơng gian PMS, mối liên hệ tiên đề tách, không gian đếm thứ hai, không gian khả ly khơng gian Lindelưf Chương 3: Những ngun lý tính chất khơng gian PMS: Tập trung vào khơng gian PMS đầy đủ tính chất đầy đủ Chúng ta đưa nhiều kết định lý giao Cantor định lý phạm trù Baire Cuối chương, bàn đến tính compact khơng gian PMS kết bản, đặt tên bổ đề bao phủ Lebesgue Kết luận: Tôi hệ thống lại kết trình bày chương chương số vấn đề nhằm phát triển phương hướng nghiên cứu tương lai Cho X , p không gian PMS 52 Với dãy xn ,xm X thỏa p xn , xm   , m  n  suy xn  x , n  , với x  X Khi X , p gọi không gian PMS đầy đủ mạnh 3.4.2 Định lý Cho X , p không gian PMS đầy đủ mạnh f : X  hàm số nửa liên tục bị chặn x   Khi tồn Cho yo p y điểm với y f y Chứng minh F  f  F , yn n  y F Khi với n cho: Sn  f Khi Cauchy S f    F  , y n 1   f    F , y n 1   F  y n 1 , y n   F  y n 1 , yn1   f  y n 1   F  y n 1 , y n 1   F  y n 1 , y n   F  y n 1 , yn1   f  y n 1   F  y n 1, yn   f  y n   F  y n , yn  Vì ta có  Sn , nghĩa S n 1  Sn Khi ta có f ym   F yn , yn   f yn   f ym   0, m  n Đồng thời theo định lý 3.3.4, ta có: 53 F y yn , yn   f m Vì vậy, tồn    f  ym  yn ym  y* Khi f  y Đồng thời f  ym     f y   n   m f  yo  y ta có f y *  F y * , yn  f  n  0,m  , yn  m  Do  F y n v y *  Sn  , n1 S ì y n y * , y f y *  F y * , y *  F y y * ,  * Vì x yn  S  yn  , *  Khi y * y  y F F Nếu tồn x cho f x F x * , y n   f x *  F x * , y *  F   F y f y *  F y * , fynFyn, fy fy x   n Khi ta có f  y n f x  Vì f x hàm số nửa liên tục nên ta có f y *   lim inf f  y n   lim inf inf f n  f  x  , Do f Vì x*  y *F    ta có f f f y * x  F x y * , * y*  nên  ,y F y *  F y * y* ,  Vì vậy, Theo định lý 3.3.4, ta có 54  3.4.3 Định lý Cho X , p khơng PMS đầy đủ có tính đối xứng theo dãy cho f:X hàm số a:X hàm dư bi-Lipschitz (nghĩa là,  a  yk   p  yk , yk 1  kéo theo k 1 Cho y yk  y  y o  X cho f  y o 0 với y  X f * f y  x Khi tồn điểm   Khơng tính tổng qt, ta giả sử * y o p Ch ứn g mi nh f  Khi y n  S Khi ta có   n  f  a     p  , y n   f thỏa mãn  cho  S n   : , yo  1 y  n y a  n y  py y    , lấy y n 1  Sn y n 1   inf f x  n với xSn  n , 0 n   f  y n 1   f  y n   a  y n   p  y n 1, y n   p  y n , yn   f  yo   n a  y k   p  y k 1, y k   p  y k , yk  * k 0 55 Vì vậy,  ay k   p  y k 1 , y k    p  y k , y k  f  yo   f  yn1  n k 0 Cho n  fy   , ta có n  k 0 Vì vậy, tồn y hàm số bi-Lipschitz, Nếu tồn f y  * fy f  y  n Do tồn , cho:   f x   f  y n   a  y n    p  y n , x    p  y n , y n  ,n  N nên x Vì vậy,   a  y n    p  y n , x     p  y n , y n    f  y n   f  x  Với n  N 1, ta có lim   n  56 Vì  ánh xạ bi-Lipschitz nên tồn l0 cho x  y l xy , đó: lim n  Theo tính đối xứng dãy, ta có 3.4.4 Hệ Cho f: X   p khơng gian PMS đầy đủ có tính đối xứng theo dãy X ánh xạ nửa liên tục bị chặn , Cho y *  y o  X cho f  y o 0 f  x Khi tồn điểm  p yo , y mãn x   f x   f y Chứng minh  t   t , t   0; Theo định lý 3.4.3, Cho  yk  dãy Cauchy ta cần chứng minh    p yo , y N  k Cho N  Nếup  yo , yn  không bị tồn ch ặn,  12 đ k ó h i lim p p   Vì 57  dãy  p k n  on y,y 58 KẾT LUẬN Những kết đạt Bài luận văn trình bày:  túy Điểm lại tính chất nguyên lý không gian tôpô  Nghiên cứu mối quan hệ mêtríc hóa khơng gian tơpơ túy khơng gian PMS  Bổ sung chứng minh số điều kiện cần thiết để tính chất tơpơ túy trở thành tính chất khơng gian PMS Một số câu hỏi Câu hỏi Ta có phát biểu mang tính giá trị sau: “Với mêtríc riêng phần X tương đương với vài mêtríc riêng phần có tính đầy đủ bị chặn X ” Tuy nhiên, ta chưa chứng minh tính đúng, sai phát biểu do: Một dãy Cauchy  Xkhông thiết dãy Cauchy , q X , p với Khi đó, xn dãy Cauchy X , q (do không dãy Cauchy X , p 1, p Vậy làm để chứng minh phát biểu đúng? Câu hỏi Cho Y  X p mêtríc mêtríc riêng phần P X liệu tính chất tơpơ Y , p Giả sử khơng bảo tồn ta cần bổ sung thêm điều kiện để phát biểu đúng? 59 Câu hỏi Một không gian chuẩn tắc, quy, đầy đủ có vai trị quan trọng nghiên cứu tôpô thông thường Vậy khái niệm khơng gian PMS có tính chất tương đồng không gian tôpô hay không? Câu hỏi Cho X , Y hai không gian tơpơ, xét ánh xạ Nếu X khả mêtríc riêng phần Y có khả mêtríc khơng? Và trường hợp có ánh xạ g :Y  X f : X Y riêng phần hay Y có phải khả mêtríc riêng phần hay khơng? Hiển nhiên f ánh xạ đồng phơi Y khả mêtríc riêng phần Ở đây, câu hỏi ta muốn đặt làm yếu điều kiện ánh xạ f hay không? Câu hỏi Ta đưa mối liên hệ tính cân tính theo dãy khơng gian PMS Nhưng liệu ta khai thác thêm mối liên hệ không gian PMS đặc biệt nêu định nghĩa 2.2.3? Câu hỏi Cho  không gian PMS Nếu ánh xạ f : X Y X , p ,  f  x  ,f  Ở đây, câu hỏi ta muốn đặt làm yếu điều kiện song ánh hay không? 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, “Tôpô đại cương”, Nxb Giáo dục, 2006 [2] Nguyễn Bích Huy,“Tài liệu học tập - Mơn giải tích sở”, khoa Tốn – Tin học, trường Đại học Sư phạm TP HCM, 7/2006 [3] Chung-Tao Yang, “On theorems of Borsuk-Ulam, KakutaniYamabeYujobô”, in: Annal of Mathematics, vol 62, 1955 [4] Kim Ritter Wagner, “Solving recursive domain equations with enriched categories” PhD thesis, CMU-CS-94159, Carnegie Mellon University, 1994 [5] Michael Bukatin, Ralph Kopperman, Steve Matthews, and Homeira Pajoohesh, “Partial metric spaces”, American Mathematical Monthly 116 (2009) No 8, 708-718 [6] O’Neill S.J , “Partial metrics, valuations, and domain theory”, Papers on general topology and applications (Gorham, ME, 1995), 304315, Annals of the New York Academy of Sciences, 806, New York, 1996 [7] Stephen Willard, “General Topology”, Reading, MA: AddisonWesley, 1970 [8] Steve Matthews, “Partial metric topology”, Research Report 212, Dept of Computer Science, University of Warwick, 1992 [9] Steve Matthews, “Partial metric topology”, in: General Topology and its Applications Proc 8th Summer Conf., Queen’s College (1992), in: Annals of the New York Academy of Sciences, 728, 183-197, 1994 [10] Suzhen Han, Jianfeng Wu, Dong Zhang, “Properties and principles on partial metric spaces”, In: “Topology and its Applications”, August 2017 ... (PMS) : Giới thiệu khái niệm, tính chất không gian PMS, mối liên hệ tiên đề tách, không gian đếm thứ hai, không gian khả ly không gian Lindelưf 3 Chương 3: Những ngun lý tính chất không gian PMS: ... V cho AU, BV 1.2.6 Tính chất 1)  khơng gian T0  không gian 2)  không gian T1  không gian 3) T3  không gian T2  không gian  không gian T3  không gian 4) 1.3 Khơng gian mêtríc 1.3.1 Định... cách chi tiết tính chất nguyên lý không gian PMS cụ thể là:  Nghiên cứu mối quan hệ mêtríc hóa khơng gian tôpô túy không gian PMS  Bổ sung chứng minh số điều kiện cần thiết để tính chất tơpơ túy