Các đặc trưng của không gian hàm VMO trên rn và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Đạt CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN HÀM VMO TRÊN  n VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Đạt CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA KHƠNG GIAN HÀM VMO TRÊN  n VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Toán học với đề tài “CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN HÀM VMO TRÊN  n VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG” thực hướng dẫn TS Trần Trí Dũng, khơng chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thơng tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng …… năm 2020 Học viên thực Nguyễn Văn Đạt LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Trần Trí Dũng Thầy tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn suốt q trình học cao học Tơi cảm ơn bạn học viên K27 chia sẻ với nhiều kinh nghiệm học tập, rèn luyện viết luận văn Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc thành công tới Quý thầy cô, anh chị bạn! Học viên thực Nguyễn Văn Đạt DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU p Lp Không gian hàm thực f  n cho f L Không gian hàm thực f  n bị chặn cốt yếu L1loc Không gian hàm thực f  n cho f khả tích địa phương khả tích Lebesgue Chuẩn khơng gian định chuẩn BM O Khơng gian hàm có dao động trung bình bị chặn VM O Khơng gian hàm có dao động trung bình triệt tiêu h.k n Tính chất hầu khắp nơi A Bao đóng tập A ., Tích vô hướng không gian Hilbert u Biến đổi Hilbert u f g Tích chập hai hàm f g Hp Không gian hàm chỉnh hình nửa mặt phẳng H Khơng gian hàm chỉnh hình bị chặn nửa mặt phẳng MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn 1.2 Không gian Lp 1.3 Không gian L 1.4 Các bất đẳng thức 1.5 Không gian Hilbert 1.6 Không gian BMO 1.7 Không gian VMO KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương Đặc trưng không gian VMO số ứng dụng 10 2.1 Các đặc trưng 10 2.2 Một số ứng dụng 16 KẾT LUẬN CHƯƠNG 23 KẾT LUẬN 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các hàm có dao động trung bình bị chặn (BMO) giới thiệu lần đầu F John L Nirenberg vào năm 1961 Với tính chất đặc biệt, khơng gian hàm BMO chủ đề tập trung nghiên cứu nhiều sau khơng gian Hardy nhanh chóng trở thành vấn đề quan trọng giải tích điều hịa Như ta biết, hàm f thuộc không gian BMO định nghĩa theo cầu Q  n Bằng cách bổ sung thêm tính chất dao động trung bình f dần bán kính Q dần 0, D Sarason phát lớp hàm đặc biệt khơng gian BMO, hàm có dao động trung bình triệt tiêu VMO D Sarason có so sánh rằng: “VMO chiếm vị trí BMO vị trí khơng gian hàm liên tục bị chặn R N không gian L ” Khơng gian VMO có ứng dụng trực tiếp vào hai tốn lớn giải tích: thứ liên quan đến trình ngẫu nhiên dừng đáp ứng điều kiện hỗn hợp mạnh, thứ hai liên quan đến chứng minh định lý đại số Doughlas H   C Sau có hàng loạt vấn đề nghiên cứu mở rộng không gian hàm VMO như: phương trình vi phân đạo hàm riêng ngẫu nhiên với hệ số VMO; không gian hàm VMO liên kết với tốn tử; khơng gian VMO hàm có lát cắt siêu chỉnh hình; khơng gian Orlicz – Hardy liên kết với toán tử;… Trong báo “Functions of vanishing mean oscillation” (Trans Amer Math Soc., 207 (1975)), D Sarason nêu đặc trưng hàm VMO  với số ứng dụng không gian Để tiếp nối kết báo trên, luận văn tập trung nghiên cứu đặc trưng ứng dụng hàm VMO  n Mục tiêu Mục tiêu luận văn bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng số hướng nghiên cứu sau, thuộc chuyên ngành Tốn giải tích Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt mục tiêu: mở rộng đặc trưng ứng dụng hàm VMO  n , từ đặt vấn đề nghiên cứu tiếp sau Phương pháp nghiên cứu Tác giả sử dụng tài liệu dạng sách, tạp chí, báo chuyên ngành để trích dẫn, tự nghiên cứu, từ phát triển kết luận văn Trong luận văn có kiến thức chuyên ngành giải tích hàm, giải tích thực, giải tích Fourier số kiến thức cấu trúc đại số Nội dung Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Đặc trưng không gian VMO số ứng dụng Đóng góp đề tài Nội dung luận văn trình bày cách hệ thống mạch lạc vấn đề trọng tâm báo “Functions of vanishing mean oscillation” D Sarason Trong có bổ sung chứng minh chi tiết cho tính chất khơng gian BMO VMO Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn Giả sử X không gian vectơ  Một ánh xạ p : X   gọi chuẩn X thỏa điều kiện sau cho x,y  X ,    : i) p  x   p  x    x  0X ii) p   x    p  x  iii) p  x  y   p  x   p  y  Số p  x  gọi chuẩn phần tử x Thông thường, ta dùng ký hiệu x thay cho p  x  Khi đó, khơng gian vectơ X với chuẩn nó, gọi khơng gian  định chuẩn, ký hiệu X ,  Mệnh đề 1.1.1  Cho không gian định chuẩn X ,  Khi d  x,y   x  y metric X, gọi metric sinh chuẩn p Định nghĩa 1.1.2  Không gian định chuẩn X ,  gọi không gian Banach X với metric sinh không gian đầy đủ 1.2 Không gian Lp   Cho  p   , không gian L p  n không gian hàm thực, đo f  n cho f p khả tích   L p  n không gian định chuẩn với chuẩn sau: f 1.3 p p    f (x ) dx    p Không gian L Một hàm đo f gọi “bị chặn cốt yếu” (essentially bounded) tồn số M cho f  M h.k.n   L  n không gian gồm tất hàm bị chặn cốt yếu, không gian Banach với chuẩn sau f 1.4     inf M : f  M h.k.n Các bất đẳng thức 1.4.1 Bất đẳng thức Hölder Cho  p   1   Khi với f  L p , g  Lq ta có: p q f g  f p f q Trường hợp đặc biệt với p  q  ta có bất đẳng thức sau: 1.4.2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Với f ,g  L2 ta có:  f (x )g(x )dx   2 f (x ) dx. g (x ) dx 1.4.3 Bất đẳng thức Minkowski Cho  p   Khi với f ,g  Lp , ta có f  g 1.5 p  f p  g p Không gian Hilbert Cho không gian vectơ X  Một ánh xạ , từ X  X vào  biến  x,y   x,y gọi tích vơ hướng X thỏa mãn điều kiện sau cho x,y  X ,    : 12 I  I f (x)  h(x)   f  h  I dx  I  I f ( x )  h( x ) dx   f  h  I  3c  3c  6c Từ ước lượng nêu ta thấy f  h *  c Đặc biệt ta kết luận h  BMO  a a  Gọi  hàm liên tục dương có tích phân có giá chứa khoảng  ; ,  6 đặt g   * h Tính tốn ta phần trước đảm bảo h  g   6c Vì h  g *  12c f  g *  19c Theo Bổ đề 2.1.2, ta có g  UC  BMO , ta chứng minh Bổ đề 2.1.3 với A  19 Chứng minh Định lý 2.1.1: Từ Bổ đề 2.1.3 ta có i )  ii ) Từ tính chất khơng gian VMO ta có ii )  i ) Ta chứng minh ii )  iii ) Do f  UC  BMO nên tồn dãy  fn  UC  BMO \  f  cho lim fn  f n BMO  Với   tùy ý Khi tồn N  cho f N  f BMO Ty f N  Ty f   Mặt khác, f N liên tục nên tồn   cho  x  y   x   fN  x  y   fN  x    Tức là: y    Ty f N  x   f N  x    Suy I I Ty f N  x   f N  x  dx   ,I  Ty f N  f N  I   , I 13 Với khoảng I tùy ý ta có: I I Ty fN  f N   x   Ty f N  fN I  I I dx  I Ty fN  x   fN  x  dx  I I Ty f N  f N I I Ty f N  x   f N  x  dx  Ty f N  f N I      2 Từ ta có: sup I I I Ty f N  f N   x   Ty f N  f N  I hay Ty f N  f N BMO dx  2  Khi Ty f  f BMO  Ty f N  Ty f BMO  Ty fN  fN BMO  fN  f BMO    2    4 Ta chứng minh được:   ,   0: y     Ty f  f Vậy lim Ty f  f y 0 BMO BMO  4  Ta chứng minh iii )  ii ) Đặt f thỏa iii ) cho n  1, , đặt f n hàm liên tục dương, có tích phân  1  giá chứa khoảng  ;  Khi đó, hàm  n  f thuộc vào UC  BMO  n n Bổ đề 2.1.2 Từ định lý khơng gian Banch [17], ta chứng tỏ f   n  f   Qua chứng minh f thỏa ii ) Từ tài liệu [1], Fefferman Stein thiết lập định lý sau đây:  I Toán tử liên hợp ánh xạ bị chặn từ  II  Mỗi L vào BMO f  BMO viết thành f  u  v với u,v  L Hơn nữa, có số B cho ta lấy u  B f Từ  I ta nhận iv )  iii ) Chứng minh iii )  iv ) BMO v  B f BMO dx 14 Giả sử f thỏa iii ) sử dụng  II  , ta viết f  u  v0 u0 , v0  L u0  B f BMO , v0  B f BMO Theo phần chứng minh iii)  ii ) , tồn hàm liên tục dương 1 với tích phân giá compact cho f  1  f BMO  f BMO Ngoài hàm u1  1  u v1  1  v0 thuộc vào BUC , với u1 v1  B f BMO  B f BMO  , 1  f  u1  v1 Áp dụng tương tự với hàm f  u1  v1 , ta thu hàm u2 ,v2  BUC với u2     f  u1  v1  u2  v2  BMO  BMO f B f  BMO v2 BMO   B f BMO cho Lặp lại ta thu hai dãy  un    BU C thỏa tính chất sau đây: a) un    n 1 B f n  b) f   uk  vk k 1  BMO ,    n1 B f  2 n f BMO  BMO Do a) nên hàm u   un v  n 1 BMO   n 1 thuộc BU C , từ b)  I  ta có f  u  v nên hoàn thành chứng minh định lý Dưới đặc trưng khác VM O Cho w hàm đo được, dương  , với a  ta đặt N a  w  supremum I 2  I w( x)dx   I w( x)1 dx  với I a Ta đặt N  w   lim N a  w  Số hiển nhiên vô hạn trừ w w 1 khả a tích địa phương Áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có N  w   Định lý 2.1.4   Cho f hàm BM O Khi đó, f  VMO N e f  15 Chứng minh: Điều kiện cần hệ trực tiếp từ hệ bổ đề chứng minh F John L Nirenberg báo “On function of Bounded Mean Oscillation” (xem trang 415 [6]) Ta nêu kết trường hợp chiều sau: Có số dương b B cho f hàm khả tích khoảng I J 1 J f (x)  f J dx  K  b với khoảng J  I I 1 I exp f (x)  f I dx   B.K bK Điều kiện đủ hệ trực tiếp bổ đề sau: Bổ đề 2.1.5 Cho  X ,m  không gian độ đo xác suất w hàm đo được, dương X cho   wdm    w 1dm    c3 với  c  Khi  logw   logwdm dm  16c Chứng minh: Khơng tính tổng qt ta giả sử  wdm   w 1dm   c3 Gọi F tập w thỏa 1  c  1  w   c E  X  F Ta có:      c3   w  w 1 dm   w  w 1 dm E F 1  1  c  1  c   m  E   2m  F    1   c 1  c  m  E  Vì m  E   c 1  c   2c Hệ m  F    2c Do 1 E wdm   F wdm   1  c  m  F  1   1  2c 1  c   3c 16 E w 1 dm   c3   w 1dm   c3  1  c  m  F  1 F   c3  1  2c 1  c  1  4c Với ý F ta có logw  log 1  c   c logw  w  w 1 , ta thu được:  log w dm  E  w  w Vì 1  dm  c.m  F   3c  4c  c  8c  logw   logwdm dm   logw dm  16c 2.2 Một số ứng dụng 2.2.1 Đặc trưng H   C Cho D đĩa mở  D đường tròn đơn vị mặt phẳng phức Ta quan tâm đến hàm khả tích  D mở rộng điều hịa vào D theo nghĩa công thức Poisson Theo đó, mở rộng f  D cho bởi:   f rei  2      f eit P  r,  t  dt,  r  P nhân Poisson: P  r,t    r2  2r cos t  r     Cho  r  ta đặt fr hàm  D định bởi: fr eit  f reit Đặt C không gian hàm liên tục  D H  khơng gian Hardy hàm giải tích có biên bị chặn D Không gian H   C đại số con, đóng L (với độ đo Lebesgue  D ), thực đại số con, đóng, nhỏ L mà chứa H  thực Kết tính chất H   C tìm thấy [14] Một tính chất có liên quan tích phân Poisson có tính đa tiệm cận H   C theo nghĩa sau đây: Nếu f g hai hàm H   C lim fr gr   fg   r 1 r Hơn nữa, g thuộc C lim fr gr   fg   với f thuộc L r 1 r 17 Đặt QC đại số hàm H   C mà liên hợp phức thuộc H   C Khi đó, hàm L mà thuộc vào QC viết thành u  v , với u v thuộc C Từ ta có QC  VMO  L Mối quan hệ sở để chứng minh định lý sau: Định lý 2.2.1.1 Cho f  L cho f liên tục D Khi f  QC Chứng minh Ta cần số ký hiệu cho chứng minh định lý Cho f hàm khả tích  D I cung  D Đặt M  f ,I   sup J 1  J   f eit  fJ dt với supremum lấy cung J I Cho z điểm thuộc  D , đặt M  f ,z   inf M  f ,I  với infimum lấy cung I có tâm z Vì vậy, điều kiện cần để f  VMO M  f ,z   0, z  D Ta chứng minh điều kiện điều kiện đủ để f  VMO Cho f  L cho f liên tục D , ta chứng minh M  f ,z   0,z  D Điều hiển nhiên f  z   , ta xét trường hợp mà f  z   Hơn nữa, trường hợp ta tìm hàm g C cho g  z   / f  z  fg   Khi lim fr gr   fg   suy fg thỏa điều kiện Định lý r 1 r 2.2.1.1 Mặt khác, M  fg,z   g  z  M  f ,z  Do đó, ta cần chứng minh M  fg,z   , khơng tính tổng qt ta giả sử z  Nói cách khác, việc chứng minh Định lý 2.2.1.1 giảm thiểu xuống chứng minh phát biểu sau đây: (*) Cho f hàm L cho f   f 1  cho f liên tục D Khi M  f , 1  Để chứng minh phát biểu trên, ta sử dụng bổ đề lý thuyết độ đo sau 18 Bổ đề 2.2.1.2 Cho  X , m  không gian độ đo xác suất f hàm L  m  cho f  fd m   b ,  b   1 Cho E tập hợp mà  f  b Khi m  E   2b Chứng minh Đặt F  X  E Ta có:  b3   E ff ff ff dm   dm   dm  m  F  F E 2 Nếu      b Vì E   b2  1  b2  ff dm     m  E   2   Suy  b2  b2  b3     m  E   m  F    m  E     Từ ta thu bổ đề Chứng minh (*) Cố định b thỏa  b    , chọn a  cho f rei   b3 với   a  a  r      Đặt I  eit : a  t  a J  eit :  a0  t    a0 cho J cung I  Khi a0  a , đặt r0   a0 ta có f r0e  i Khơng tính tổng qt ta giả sử f r0e   1 b   f r e    b với b i i 0  b Gọi tập hợp điểm đường trịn đơn vị mà  f  b Bởi Bổ đề 2.2.1.2 ta có: 19 2 E P r0 ,0  t  dt  2b0  2b Mặt khác, P  r,t    r2 1  r  t  4r sin2   2 nên P  r0 ,  t   eit  J 2a0 Từ suy ra: J 1 EJ dt  2a EJ dt  E P  r0 ,t  dt  4 b Suy J 1 J 2J   f eit  dt  J 1 1 J E   f eit  dt  J 1 J E   f eit  dt 1 J E dt  b J J E dt   8  1 b Và J 1 J   f eit  fJ dt  J 1 J   f eit  dt   fJ   8  1 b Như ta có M  f , I    8  1 b kết thúc chứng minh Định lý 2.2.1.1 Từ Định lý 2.2.1.1 ta có hệ sau Hệ 2.2.1.3 Cho B đại số đóng L mà chứa H  thực tích phân Poisson đa tiệm cận B Khi B  H   C Chứng minh Ta có H   C  B , nên cần chứng minh bao hàm thức ngược lại Ta chứng minh hàm khả nghịch B thuộc H   C hàm B sai khác với nghịch đảo số Gọi g hàm khả nghịch B, h hàm bên cho h  g  D Khi f  h 1g hàm khả nghịch B f   D Nghịch đảo f f 20 Do tích phân Poisson đa tiệm cận B nên lim fr fr  r 1   Từ ta có f liên tục D nên theo Định lý 2.2.1.1 ta có f  H   C g  hf 2.2.2 Đặc trưng H   BUC Đặt H  khơng gian hàm có biên  cho giải tích bị chặn nửa mặt phẳng mở Ta chứng minh H   BUC đại số con, đóng L  Bất kỳ hàm  mà khả tích với độ đo  t  1 dt mở rộng điều hịa lên nửa mặt phẳng cơng thức trung bình Poisson Mở rộng f cho bởi: f  x  iy   y 1 f  t   x  t   y  dt, y        Với y  ta đặt f y hàm  định nghĩa f y  x   f  x  iy  Ta chứng minh H   BUC tập đóng L Tức là,     dist f ,H   dist f ,H   BUC với f thuộc BUC Lấy h hàm H  Với y  tùy ý, ta có f  hy   f  fy Trong đó, f y  hy    f y  hy   f h  Và với giả thiết f thuộc vào BUC f  f y    có giới hạn y dần Như ta thu được: dist f ,H   BUC  f  h      Từ đó, lấy infimum tập hàm h ta dist f ,H   dist f ,H   BUC Tiếp theo ta chứng minh H   BUC đại số thông qua bổ đề Bổ đề 2.2.2.1 21 Cho h hàm H  a số dương, đặt f  x   e iax h  x  Khi f thuộc vào H   BUC Chứng minh Giả sử f hàm H  a số thực dương Gọi v hàm C  có giá compact cho đoạn  a,  v nhận giá trị Đặt u biến đổi Fourier ngược v , nghĩa v  u Ta có f  u  f   f  u  f  Do u thuộc vào lớp hàm giảm nên u  f thuộc vào BUC Như ta cần f  u  f thuộc vào H  hay f  u  f hàm hủy (annihilates) H Giả sử g hàm H1 Áp dụng định lý Fubini ta   u  f  x  g  x  dx    u1  f  x  g  x  dx   u1  x   u   x  Suy   f  x    u  f  x  g  x  dx    g  x    u1  g  x   e    iax h  x  dx Do u1  v   x   đoạn  0, a  nên biến đổi Fourier g  u1  g triệt tiêu đoạn  0, a  Mà u1  g thuộc vào H1 nên g  u1  g triệt tiêu   , a Do  g  x    u1  g  x   eiax thuộc vào H1 hàm hủy H  Từ ta có   g  x    u1  g  x   e   iax h  x  dx  Vậy f thuộc vào H   BUC Chứng minh H   BUC đại số Cho a  tùy ý Đặt Aa khơng gian hàm có dạng e  iax h  x  với h thuộc H  Khi đại số bao đóng  a0 Aa  a0 Aa đại số Bằng định lý Kober (xem trang 249 [14]), ta có bao đóng  a0 Aa chứa H   BUC Mặt khác, 22 Bổ đề 2.2.1.1 ta có  a0 Aa  a0 Aa chứa H   BUC suy bao đóng chứa H   BUC Vì H   BUC với bao đóng  a0 Aa H   BUC đại số Đặt QBUC đại số hàm f cho f liên hợp phức f thuộc vào H   BUC Khi đó, QBUC chứa hàm L mà viết dạng u  v với u, v thuộc vào BUC.Do QBUC  VMO  L Từ nhận xét cách chứng minh tương tự Định lý 2.2.1.1 ta có định lý Định lý 2.2.2.2 Cho f hàm L cho giới hạn lim f y tồn Khi f thuộc y 0 vào QBUC Từ Định lý 2.2.2.2 ta thu đặc trưng H   BUC sau: Giả sử B đại số L mà chứa H  cho tích phân Poisson cho nửa mặt phẳng đa tiệm cận Khi B chứa H   BUC 23 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong phần đầu chương này, luận văn nêu hai định lý đặc trưng khơng gian hàm VMO Trong định lý 2.1.1 định lý phát biểu điều kiện tương đương để hàm thuộc vào không gian VMO mà liên quan đến hàm liên tục đều, biểu diễn hàm VMO Ở định lý 2.1.4 đặc trưng khác hàm có dao động trung bình triệt tiêu, dựa định lý chứng minh F John L Nirenberg Qua phần sau chương 2, luận văn trình bày ứng dụng đặc trưng nêu đầu chương Cụ thể cách kiểm tra hàm thuộc vào QC, QBUC 24 KẾT LUẬN Tong phần kết luận, tác giả tóm tắt lại nội dung mục tiêu đạt luận văn Chủ đề luận văn đặc trưng không gian hàm VMO  n số ứng dụng Trong chương 1, tác giả hệ thống lại định nghĩa không gian hàm thông thường không gian hàm BMO, VMO Song song chứng minh số tính chất không gian hàm BMO, VMO Qua kiến thức chuẩn bị chương 1, sang chương tác giả trình bày chi tiết đặc trưng không gian hàm VMO ứng dụng đặc trưng để đặc trưng khơng gian H   C H   BUC Cụ thể, VMO khơng gian hàm có dao động trung bình triệt tiêu VMO khơng gian đóng BMO, cịn chứa tất hàm liên tục BMO Từ định lý 2.1.1, ta có điều kiện tương đương để hàm thuộc vào VMO Và định lý áp dụng vào việc chứng minh hàm thuộc vào QC, nhận xét QC  VMO  L , áp dụng tương tự cho lớp hàm QBUC Như vậy, mục tiêu luận văn hoàn thành Tuy nhiên hạn chế thời gian tính chất phức tạp vấn đề nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Trong tương lai tác giả dự định nghiên cứu sâu ứng dụng không gian hàm VMO không gian hàm khác 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C Fefferman and E M Stein, H p spaces of several of variables, Acta 129 (1972), 137 -193 [2] D Kim, N V, Krylov, Elliptic differential equations with coefficients measurable with respect to one variable and VMO with respect to the others, SIAM J Math Anal 39 (2007), no 2, 489–506 [3] D Sarason, Functions of vanishing mean oscillation, Trans Amer Math Soc., 207(1975), 391–405 [4] E Stein, Harmonic Analysis (real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals), Princeton Univ Press, Princeton, 1993 [5] F Chiarenza, M Frasca and P.Longo, W2,p solvability of the Dirichlet problem for nondivergence elliptic equations with VMO coefficients, Trans Amer Math Soc., 336(1993), 841–853 [6] F John and L Nirenberg, On functions of bounded mean oscillation, Comm Pure Appl Math 14 (1961), 415-426 [7] Hongjie Dong, Chiara Gallarati, Higher-order parabolic equations with VMO assumptions and general boundary conditions with variable leading coefficients, (2017), arXiv:1709.04337 [math.AP] [8] Hongjie Dong, N V Krylov, Xu Li, On fully nonlinear elliptic and parabolic equations in domains with VMO coefficients (2010), arXiv:1008.3374 [math.AP] [9] Jonathan Gantner, J Oscar González-Cervantes, Tim Janssens, BMO- and VMOspaces of slice hyperholomorphic functions, (2016), arXiv:1609.01633 [math.CV] [10] Krylov N.V., Second-order elliptic equations with variably partially VMO coefficients, Journal of Functional Analysis, Vol 257 (2009), 1695-1712 [11] M Bramanti, L Brandolini: L p -estimates for nonvariational hypoelliptic operators with VMO coefficients Trans Amer Math Soc 352 (2000), no 2, 781-822 [12] Marco Bramanti, Maochun Zhu, Local real analysis in locally homogeneous spaces, (2011), arXiv:1101.5561 [math.FA] 26 [13] N V Krylov, Parabolic and elliptic equations with VMO coefficients, Comm Partial Differential Equations 32 (3) , (2007), 453–475 [14] R P Boas, Jr., Entire functions, Academic Press, New York, 1954 [15] Renjin Jiang, Dachun Yang, Generalized Vanishing Mean Oscillation Spaces Associated with Divergence Form Elliptic Operators (2009), arXiv:0907.2605 [math.FA] [16] Renjin Jiang, Dachun Yang, Predual Spaces of Banach Completions of OrliczHardy Spaces Associated with Operators (2009), arXiv:0906.1880 [math.CA] [17] Y Katznelson, An introduction to harmonic analysis, Wiley, New York, 1968 [18] Yiyu Liang, Dachun Yang, Wen Yuan, Vanishing Mean Oscillation Spaces Associated with Operators Satisfying Davies-Gaffney Estimates, Kyoto J Math 52, no (2012), 205-247 ... trưng không gian hàm VMO ứng dụng đặc trưng để đặc trưng không gian H   C H   BUC Cụ thể, VMO không gian hàm có dao động trung bình triệt tiêu VMO khơng gian đóng BMO, cịn chứa tất hàm liên... BMO 1.7 Không gian VMO KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương Đặc trưng không gian VMO số ứng dụng 10 2.1 Các đặc trưng 10 2.2 Một số ứng dụng 16...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Đạt CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA KHÔNG GIAN HÀM VMO TRÊN  n VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN