Phép chiếu phủ nhóm cơ bản và một số ứng dụng vào lý thuyết nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phương Anh PHÉP CHIẾU PHỦ, NHÓM CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LÝ THUYẾT NHĨM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phương Anh PHÉP CHIẾU PHỦ, NHÓM CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LÝ THUYẾT NHÓM Chuyên ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh – 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn TS Nguyễn Thái Sơn Luận văn trình bày lại khái niệm, tính chất hệ tài liệu “Differential geometry and topology” tác giả Mehrdad Shahshahani với chứng minh viết cách chi tiết cụ thể Các kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Học viên Nguyễn Phương Anh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Danh mục hình vẽ MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm 1.2 Không gian phủ 1.3 Cấu trúc không gian phủ 1.4 Định lí van Kampen .11 1.5 Nhóm đồng điều thứ 21 Chương NHÓM TỰ DO VÀ NHÓM CON CỦA SL  2,  24 Chương ĐỊNH LÍ HUREWICZ VÀ NHĨM NÚT 36 3.1 Nhóm nhóm đồng điều thứ .36 3.2 Định lí Hurewicz đa thức Alexander 40 3.3 Nút hình xuyến .46 Chương NHÓM CON RỜI RẠC CỦA SL  2,  VÀ SL  2,  51 4.1 Phép biến đổi hyperbolic phép biến đổi đường tà hành 51 4.2 Nhóm quaternion 55 4.3 Trắc địa đóng 57 4.4 Hình học đường mặt phẳng / khơng gian hyperbolic .59 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO .69 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Số hiệu Tên hình vẽ Trang hình vẽ 1.1 Biếu diễn đường đóng đồng luân với f 13 1.2 Một phân hoạch I  I 15 1.3 Nút hình xuyến K 2,3 K3,4 18 1.4 Nút ba với đường chui 20 Mơ hình mặt giống g  26 3.1 Quan hệ đồng điều f g 37 3.2 Quan hệ đồng điều f  g f  g 37 MỞ ĐẦU Tôpô đại số nhánh tốn học sử dụng cơng cụ đại số để nghiên cứu không gian tôpô Mục tiêu tìm bất biến đại số để phân loại không gian tôpô Tôpô đại số xây dựng sử dụng hàm tử từ phạm trù không gian tôpô vào phạm trù đại số, mà phạm trù nhóm Có hai hàm tử đơn giản quan trọng mà ta đề cập đến nhóm nhóm đồng điều Nhóm có mối quan hệ gần gũi với nhóm đồng điều Tuy nhiên, ta xây dựng nhóm cách độc lập Trong việc xây dựng này, ta thu kĩ thuật đằng sau công cụ đại số Mặc dù Tôpô đại số sử dụng đại số để nghiên cứu tốn tơpơ cơng việc ngược lại đơi thực Tơpơ đại số ngành học kết hợp kiến thức tơpơ đại cương lý thuyết nhóm, nữa, vấn đề chuyên sâu Đại số Giải tích Do vậy, vấn đề mà ngành học đưa mang tính mẻ, thú vị nhiều người quan tâm đến Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị có liên quan đến phép chiếu phủ nhóm bản; tính nhóm đường trịn, mặt cầu, khơng gian xạ ảnh Trong luận văn này, chúng tơi ý trình bày nhóm không gian S \ K - nút S Chương 2: Sử dụng kiến thức nhóm để thiết lập số tính chất nhóm tự nhóm SL  2,  Chương 3: Trình bày mối quan hệ nhóm nhóm đồng điều thứ thơng qua định lí Hurewicz, nhờ mà ta xây dựng bất biến nút - đa thức Alexander – công cụ quan trọng việc phân loại nút Chương 4: Nghiên cứu số tính chất nhóm rời rạc SL  2,  SL  2,  Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc Thầy Nguyễn Thái Sơn Nhờ đó, tơi có ý thức trách nhiệm việc thực Tôi xin phép bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy kính mến Tơi xin chân thành tỏ lịng biết ơn đến Q Thầy Cơ khoa TốnTin Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm TP.HCM giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng, xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình bạn bè cổ vũ, động viên để an tâm học tập nghiên cứu Mặc dù nỗ lực khả thời gian có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Mong Q Thầy Cơ phê bình để luận văn hồn thiện Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày kiến thức chuẩn bị có liên quan đến phép chiếu phủ nhóm bản; tính nhóm đường trịn, mặt cầu khơng gian xạ ảnh, đặc biệt nhóm phần bù nút Cuối chương phần giới thiệu nhóm đồng điều thứ để chuẩn bị cho chương sau 1.1 Nhóm Giả thiết không gian tôpô liên thông đường địa phương ánh xạ không gian tôpô liên tục 1.1.1 Định nghĩa Cho không gian tôpô X , đường X ánh xạ liên tục  : I  0,1  X 1.1.2 Định nghĩa Con đường ngược lại   1 cho  1  t    1  t  1.1.3 Định nghĩa Cho hai đường   với điểm cuối  1  với điểm đầu     Khi đó, ta có tích    đường  nối với  1.1.4 Định nghĩa Một đường mà điểm đầu trùng với điểm cuối gọi đường đóng 1.1.5 Định nghĩa Hai đường đóng   gọi tương đương đồng luân có ánh xạ liên tục G : I  I  X cho: G  t ,0     t  G  t ,1    t  G  0, s            1   1  G 1, s  Ta kí hiệu:   Quan hệ quan hệ tương đương 1.1.6 Định nghĩa Tập hợp lớp tương đương đường đóng x kí hiệu   X , x  Mỗi phần tử tập hợp kí hiệu   ,   ,… Ta trang bị cho   X , x  phép nhân sau:           X , x  với phép nhân lập thành nhóm, gọi nhóm X (với điểm gốc x ) 1.1.7 Định nghĩa Một không gian tôpô gọi đơn liên nhóm tầm thường 1.1.8 Định nghĩa Một ánh xạ f :  X , x   Y , y  cảm sinh đồng cấu f # :   X , x    Y , y  f #     f   với      X , x  1.1.9 Tính chất Nếu f :  X , x   Y , y  phép tương đương đồng luân f # đẳng cấu Cụ thể hơn, không gian co rút có nhóm tầm thường Tích tự Để đưa ý tưởng tính nhóm cách tách khơng gian thành hai phần đơn giản hơn, ta xét ví dụ sau Xét khơng gian X hai đường trịn A B giao điểm, mà ta đặt x0 Như ta biết   A nhóm cyclic vơ hạn sinh đường đóng a vòng quanh A Tương tự,   B  sinh đường đóng b vịng quanh B Mỗi tích luỹ thừa a b cho ta phần tử   X  Chẳng hạn, tích a5b2a 3ba đường đóng quanh A năm vòng, quanh B hai vòng, sau quanh A ba vịng theo chiều ngược lại, tiếp tục quanh B vòng, quanh A hai vòng Tập hợp từ gồm luỹ thừa a với lũy thừa b tạo  Phép nhân nhóm định nghĩa thành nhóm, kí hiệu mong muốn, chẳng hạn  b4a5b2a 3  a 4b1ab3   b4a5b2ab1ab3 Phần tử đơn vị từ trống phần tử nghịch đảo suy dễ dàng, ví dụ  ab a  3 4 1 b  b4a3b2a 1 Vậy từ a b ứng với xác phần tử   X  nên   X  đẳng cấu với  , nhóm gồm từ luỹ thừa hai chữ a b Kí hiệu đại số tích tự nhóm đóng vai trị quan trọng việc tính nhóm 1.1.10 Định nghĩa Ta kí hiệu phần tử nhóm G H g j hk Tích tự G  H tập hợp biểu diễn có dạng ( l số nguyên dương bất kì) g1h1g2h2 gl hl , h1g1h2 hl gl , g1h1g2h2 hl 1 gl , h1g1h2 gl 1hl với phép nhân định nghĩa sau:  g h   h g   g  h h  g i1 Lúc đó, G  H nhóm il j1 j1 i1 il j1 j1 55 Chứng minh: Lấy e     SL  2,   hyperbolic vậy,  có hai giá trị riêng thực phân biệt Sau thay  nhóm liên hợp, ta giả sử  es    0  et   với s  Nếu e    giao hoán với     e s  0 có q  với t  Nếu s t phụ thuộc tuyến tính   et  cho s  aq t  bq với a, b , điều nhóm sinh   cyclic Nếu s t độc lập tuyến tính từ lý thuyết số ta biết rằng, ta xấp xỉ tổng có dạng as  bt với a, b Điều dẫn đến nhóm sinh  có phần tử gần tuỳ ý với đồng vậy, khơng rời rạc Trường hợp SL  2,  e s i     tương tự Ta giả sử  et i  ,    e s i   0   et i  với s  t  Nếu s t độc lập tuyến tính lấy a j , b j dãy số nguyên cho a j s  b jt  j   Khi đó, dãy  j  a  ei với đường tròn đơn vị  0 bj gần tuỳ ý   (mâu thuẫn với tính rời rạc  ) Vì vậy, ei  i a b  giả sử as  bt  với số ngun a , b e   , nói cách khác  chứa phần tử xoắn không rời rạc Do đó, có r  i  cho es  e n r i   et  e m r i   với số nguyên m, n 4.2 Nhóm quaternion Trong phần này, đưa cách xây dựng số học cho nhóm rời rạc  tác động lên mặt phẳng hay không gian hyperbolic compact i , i  2,3 cho  i 56 Chúng ta xét trường hợp chiều Với p  số nguyên tố a  không – thặng dư bậc hai mod p , tức là, x  a mod p vô nghiệm Cho    a , p nhóm SL  2,  gồm ma trận có dạng  x0  x1 a a, p :   x p  x ap    SL  2,  nghĩa x2 p  x3 ap  , x j  x0  x1 a  (4.3) x02  ax12  px22  apx32  (4.4)  a , p nhóm rời rạc vơ hạn Chẳng hạn, phương trình Pell x  ay  có vơ số nghiệm (trong tập số nguyên) sinh nghiệm Cho nghiệm  x, y  ma trận x y a      x  y a  n biểu diễn vơ số nghiệm phương trình Pell nhóm aben vô hạn  4.2.1 Bổ đề Cho p có dạng 4m  Khi đó, nhóm  a , p không xoắn vậy,  M   phép chiếu phủ Chứng minh: Ta cần chứng minh kết luận thứ Do luật thuận nghịch giả thiết p nên 1 thặng dư bậc hai Cho e   a , p phần tử có cấp hữu hạn, đó, giá trị riêng e i phương trình đặc trưng    2cos     Do vậy, với kí hiệu cơng thức (4.3) x0  0, 1  liên hợp với ma trận quay Nếu x0  1 ,  liên hợp với  I đó,    I Nếu x0  công thức (4.4) trở thành  ax12  px22  apx32 Như vậy,  ax12  mod p 57 Chú ý: Nếu số nguyên tố p có dạng 4m   a , p chứa phần tử có cấp hữu hạn Chẳng hạn, lấy a  2, p  ma trận    3  3 6    có cấp 4.2.2 Ví dụ Vết phần tử thuộc  a , p số ngun chẵn Vì phần tử có cấp hữu hạn liên hợp với ma trận quay, phần tử (  e ) có cấp hữu hạn thuộc  a , p có vết Đặt  0a , p nhóm  a , p gồm phần tử thỏa x2  mod a kí hiệu (4.4) Các ma trận tạo nên nhóm có số hữu hạn  a , p Với  0a , p , ta có x0  mod a vậy,  0a , p không xoắn 4.3 Trắc địa đóng Phần đề cập đến trắc địa đóng đa tạp Riemann Vì trắc địa hệ phương trình (khơng – tuyến tính) vi phân thơng thường cấp hai nên việc tìm trắc địa đóng tìm nghiệm tuần hồn hệ phương trình vi phân tương ứng Chúng ta quan tâm đến đa tạp compact có dạng M \ i , i  2,3  nhóm rời rạc xây dựng phần nhóm quaternion Cho   SL  2,  hay SL  2,  nhóm rời rạc cho  \ i đa tạp compact Mỗi  ,   e hyperbolic hay đường tà hành Khi đó,  có hai điểm bất động phân biệt ( z1 , z2 ) hay Đặt  trục  , tức là, đường trắc địa với điểm mút z1 z2 Vì điểm mút trắc địa bất biến  ,  trắc địa i bất biến  Do đó, với 58 z  Im   ,   z  nằm Im    vec-tơ tiếp xúc với  z biến thành vec-tơ tiếp xúc với    z  Vì trắc địa hồn tồn xác định điểm vec-tơ tiếp xúc với điểm (nghĩa là, nghiệm hệ phương trình vi phân thường cấp hai với điều kiện đầu), ảnh   M \ i trắc địa đóng Nhận xét mấu chốt để biểu diễn trắc địa đóng  \ i 4.3.1 Bổ đề Mỗi phần tử  khác đồng nhóm M tương ứng với trắc địa đóng  M Mỗi trắc địa đóng M tương ứng với phần tử khác đồng nhóm Chú ý: Các trắc địa đóng tương ứng với   n ngoại trừ  n quay n vịng quanh  Chứng minh: Nhóm M đẳng cấu với  \ e (nếu e  , nhóm đẳng cấu với  ) Do đó, từ nhận xét ta có trắc địa đóng  tương ứng với phần tử khác đồng nhóm Ngược lại, cho trắc địa đóng  M , ta nâng thành trắc địa  i Vì  trắc địa đóng nên có   biến z  Im  thành   z   Im  biến vec-tơ tiếp xúc  z thành vec-tơ tiếp xúc    z  Do đó,  bất biến  hay nói cách tương đương,  trục  Tiếp theo, ta tìm hiểu độ dài l trắc đóng  Một cách tự nhiên, l khoảng cách dọc theo ảnh  M , bắt đầu điểm x0 điểm lặp lại z0 với vec-tơ tiếp xúc bị đồng Trắc địa M 59  có nhiều điểm tự cắt Lấy   z  Im  độ dài trắc địa đóng M   \ i tương ứng với  l  d  z,   z   4.3.2 Bổ đề Cho  ,  1 giá trị riêng  ,   e Khi đó, độ dài trắc địa đóng M tương ứng với  l  2log  Chứng minh: Ta chứng minh bổ đề nửa không gian trên, trường hợp chiều trường hợp đặc biệt Nếu  chéo hóa (với giá trị riêng  ,  1 ) đường thẳng et j trắc địa bất biến  Do đó, l  d  z,   z    2log  Trong trường hợp tổng qt,  khơng chéo hóa ta thay  ma trận chéo hóa A A1 , A  SL  2,  ý rằng, l  khơng thay đổi 4.4 Hình học đường mặt phẳng / không gian hyperbolic Để hiểu rõ hình học mặt phẳng / khơng gian hyperbolic thuận tiện giới thiệu số thuật ngữ đại số Cho trắc địa  exp t   SL  2,  1 i , i  2,3 , có nhóm tham số để trắc địa bất biến Thực tế là, y -trục dương, 0 trắc địa khác, cho g 1 g với     1 g  SL  2,  (hay g  SL  2,  trắc địa ) Cũng ý rằng, với t  , exp  t  đường tà hành (hay hyperbolic)    expt  Nếu trắc địa có dạng  A với ma trận đường tà hành hay hyperbolic A nhóm tham số tương ứng 60 exp  t  với   A  A1 , t  Cho trắc địa  i , i  2,3 , ma trận   không gian tiếp xúc SL  2,  e  SL  2,  2,  (trong đó,  ) hay  2,   2,  là nhân cách với phần tử vô hướng khác không Ma trận gọi ma trận đường trắc địa  Rõ ràng, điểm mút trắc địa  A điểm bất động ma trận đường   A  A1 Ma trận đường phép biến đổi đường tà hành khơng suy biến det  A  A1     a  d  Chính xác hơn, với phép biến đổi hyperbolic A  SL  2, , ta có det  A  A1   Do đó, cách nhân ma trận đường  với ma trận vơ hướng, ta chuẩn hóa  để có định thức -1 Để làm cho ma trận đường nhất, ta xét trắc địa với định hướng tương đương với việc thứ tự điểm mút (tức điểm bất động) Cho ma trận đường U   uij  có vết định thức -1, điểm bất động z u11  u 1 , z '  11 u21  u21 u21 Nếu u21  u11  1 điểm bất động z u12 u , z '   u11  ; z  , z '  12 u11  1 2 Do đó, ta biểu diễn điểm mút cặp thứ tự  z, z ' Chú ý rằng, việc định hướng tương thích với tác động SL  2,  (hay SL  2,  ) Nếu trắc địa định hướng  có ma trận đường U tập thứ tự điểm mút  z, z ' 61 theo quy tắc ma trận đường trắc địa định hướng g    gUg 1 tập thứ tự điểm mút  g  z  , g  z '  Với việc chuẩn hóa này, ta có song ánh tập trắc địa định hướng ma trận đường chuẩn hóa Ma trận đường chuẩn hóa phép biến đổi đường tà hành (hay hyperbolic) A kí hiệu LA Sự biểu diễn ma trận trắc địa hữu dụng việc hiểu hình học đa giác mặt phẳng hay không gian hyperbolic Ta chứng minh số tính chất tương ứng này: 4.4.1 Bổ đề Cho A  SL  2,  2,   phép biến đổi đường tà hành   ma trận đường trắc địa  Ma trận đường A  A1 có vết không suy biến,  trực giao với  A Tr  A   Chứng minh: Ta giả sử A chéo hóa với giá trị riêng a a 1 Khi đó,  A đường tj không gian hyperbolic ti mặt phẳng hyperbolic với t  Viết    jk  , điều kiện Tr  A   trở thành 1   a  11  Do đó, 11   22 Trắc địa ứng với ma trận đường  nửa a  đường tròn nối điểm  12 đó, trực giao với  A 21 4.4.2 Định nghĩa Cho  A  B trục phép biến đổi đường tà hành A B Ta nói  A  B rời bao đóng chúng rời Một kết bổ đề   62 4.4.3 Hệ Cho A B phép biến đổi đường tà hành giả sử trục tương ứng  A  B rời Khi đó,  A  B có chung pháp tuyến AB  BA ma trận đường Chú ý rằng, hai trắc địa cắt khơng thể có pháp tuyến chung ta nhận tam giác với tổng góc lớn  Nhờ vào hệ trên, ta kí hiệu     A, B  độ dài với dấu đoạn pháp tuyến chung  A  B Dấu  phụ thuộc vào định hướng giải thích sau 4.4.4 Hệ Cho A B phép biến đổi đường tà hành (hay hyperbolic) với trục tương ứng  A  B rời Đặt LC ma trận đường chuẩn hóa pháp tuyến chung chúng Khi đó, 1 cosh   Tr  LA LB  , sinh   Tr  LA LB LC  , 2 với     A, B  Chứng minh: Ta giả sử ma trận đường  0 1 LA   , L   B  s 1 0 e es  1  , L   C   0  1 Tính tốn trực tiếp, ta nhận điều phải chứng minh Đại lượng     A, B  hệ 4.4.4 độ dài đoạn trắc địa với dấu Xét LA , LB , LC hệ 4.4.4 Từ mô tả việc định hướng trắc địa cho ma trận đường nó, rõ ràng cặp thứ tự điểm bất động ma trận đường LA  1,1 , LB  e s , e s  LC  0,  Với s  , ta dịch chuyển dọc ba trắc địa theo hướng xác định cặp thứ tự điểm mút dấu âm Bảo toàn định hướng trắc địa 63 biểu diễn việc thay ma trận đường dấu âm nó, ta nhân  với 1 4.4.5 Định nghĩa Một đa giác hay n - giác miền compact P với biên n cung trắc địa Một n - giác P nằm cạnh trắc địa biên gọi lồi Một n - giác vuông n - giác mà góc  4.4.6 Bổ đề Cho Li , i  1, ,6 kí hiệu ma trận đường chuẩn hóa cạnh Si lục giác vuông S  Giả sử Si kề với Si 1 ( i mod ) Khi đó, L2i  I , Li Li 1   Li 1Li , Tr  L4 L3 L2  Tr  L3 L2 L1   2Tr  L4 L1  Chứng minh: Hai đẳng thức đầu suy từ việc tính tốn trực tiếp giả sử Li Li 1 có dạng LB LC hệ 4.4.4 Với A B ma trận  , ta có:   Tr  AB   Tr AB  Tr  A Tr  B  a12  a  a a (với A   22 ma trận đối hệ số A A   11 12  )   a21 a11   a21 a22  Với A ma trận  có vết định thức 1 , ta có A  A ma trận đối hệ số AB AB Do đó, Tr  L4 L3 L2  Tr  L3 L2 L1   Tr  L4 L3 L2 L3 L2 L1   Tr  L2 L3 L4 L3 L2 L1  Hơn nữa, áp dụng đẳng thức đầu, ta có Tr  L4 L3 L2  Tr  L3 L2 L1   2Tr  L4 L1  4.4.7 Hệ (Luật sin lục giác vuông) Cho S lục giác vuông với cạnh Si ma trận đường chuẩn hóa tương ứng Li Giả sử rằng, Si kề với Si 1 ( i mod ) kí hiệu độ dài với dấu Si i Khi đó, 64 sinh 1 sinh 3 sinh 5   sinh 4 sinh 6 sinh 2 Chứng minh: Đặt 14 độ dài với dấu pháp tuyến chung nối cạnh S1 S Khi đó, theo hệ 4.4.4 đẳng thức thứ ba bổ đề 4.4.6, ta có: cosh14   sinh 2 sinh 3 Tương tự, cosh14   sinh 5 sinh 6 4.4.8 Hệ (Luật côsin lục giác vuông) Cho S lục giác vuông với cạnh Si ma trận đường chuẩn hóa tương ứng Li Giả sử rằng, Si kề với Si 1 ( i mod ) kí hiệu độ dài với dấu Si i Khi đó, coshn  coshn2coshn2  sinh n2 sinh n2coshn3 Chứng minh: Dùng bổ đề, hệ quả, ta có: Tr  L5 L4 L3  Tr  L4 L2  Tr  L3 L2 L1   Tr  L5 L4 L3  Tr  L4 L2 L3 L2 L1   Tr  L2 L4 L3 L2    2Tr  L5 L4 L3  Tr  L4 L3 L1   2Tr  L5 L4 L3 L4 L3 L1   2Tr  L3 L4 L5 L4 L3 L1   2Tr  L5 L1   2Tr  L3 L5 L3 L1   4Tr  L5 L1   2Tr  L3 L5  Tr  L3 L1  Theo hệ quả, đẳng thức dẫn đến kết cho n  Hốn vị vịng quanh cho 1,2 ,6 ta có điều phải chứng minh 65 Ví dụ: Cho a   b số thực  trắc địa với điểm mút  a, b  (như cặp thứ tự) Tính tốn đơn giản, ta có ma trận đường chuẩn hóa  La ,b ab ba    ba 2ab  a b  ab  a b  1  1  ba Ma trận đường trục ảo  đó, Tr  La ,b  2   ba  1   1  (4.5) Tính góc tự cắt   trục ảo, ta cot   ab ab So sánh với công thức (4.5), trắc địa   giao theo góc  cos  Tr  L L  với L L ma trận đường (chuẩn hóa) tương ứng Rõ ràng rằng, kết luận cho mặt phẳng hyperbolic Ví dụ: Hệ 4.4.8 đề cập đến lục giác vuông, nhiên, chứng minh với ví dụ dẫn đến luật cosin cho ngũ giác giả - vuông tứ giác giả vuông Ngũ giác giả - vuông ngũ giác ( với cạnh trắc địa) thỏa bốn năm góc  Ta kí hiệu góc không vuông  Cho Li ma trận đường chuẩn hóa cạnh Si giả sử  góc S1 S5 Từ hệ 4.4.8 bổ đề 4.4.6, ta có: 66 Tr  L5 L1   cosh4cosh2  sinh 4 sinh 2cosh3 S1 S5 cắt nên chúng khơng có pháp tuyến chung, nhiên, nhờ ví dụ trên, ta cos  cosh4cosh2  sinh 4 sinh 2cosh3 (4.6) Ví dụ: Trường hợp tứ giác giả - vng đơn giản Tứ giác giả - vuông tứ giác với cạnh trắc địa thỏa ba bốn góc tứ giác vng  Hiển nhiên khơng có tổng góc tam giác nhỏ  Gọi  góc S1 S Từ hệ 4.4.4.và bổ đề 4.4.6, ta có: Tr  L4 L1    sinh 2 sinh 3 Do vậy, cos   sinh 2 sinh 3 (4.7) Đây luật côsin cho ngũ giác giả - vuông Bây giờ, ta chứng minh: 4.4.9 Tính chất Cho số thực dương  ,  ,  Khi có (sai khác đẳng cấu mặt phẳng hyperbolic) lục giác vuông lồi thỏa 1   , 3   , 5   Ở đây, i kí hiệu cho độ dài cạnh Si lục giác Si kề với Si 1 ( i mod ) Chứng minh: Sự đơn giản luật côsin lục giác thực tế, góc  Dùng luật cơsin lục giác vuông mặt phẳng hyperbolic, ta định nghĩa 2 , 4 6 Cho S1 đoạn trắc địa có độ dài 1 Vẽ đoạn trắc địa S có độ dài 2 từ điểm mút S1 trực giao với S1 67 Tương tự, vẽ đoạn có độ dài 3 từ điểm mút khác S trực giao với S Rất mơ hồ vẽ S3 trắc địa chứa S chia mặt phẳng hyperbolic thành hai thành phần liên thông Cách chọn phải thỏa S1 S3 nằm cạnh S Thực theo trình này, ta xây dựng cạnh S1, , S6 Ta cần chứng minh rằng, với i , cạnh S j , j  i , nằm cạnh trắc địa chứa Si vậy, ta nhận lục giác Vì S1 S3 có pháp tuyến chung, nghĩa S , chúng không cắt Giả sử S S1 cắt Theo ví dụ xác cơng thức (4.7), ta có:  cosh5  cosh1cosh3  cos   sinh 1  Do đó, trắc địa chứa S1 S không cắt S1 , S2 , S3 nằm cạnh trắc địa chứa S Bây giờ, giả sử trắc địa chứa S1 S5 cắt Theo ví dụ trên, ta có cos2  cosh 26  Do đó, trắc địa chứa S1 S5 không cắt nên ta suy cạnh S j , j  i nằm cạnh Pháp tuyến chung S1 S5 có độ dài 6 68 KẾT LUẬN Nhóm bất biến tơpơ khơng gian Luận văn trình bày việc tính nhóm không gian tôpô dựa vào công cụ hữu dụng, phép chiếu phủ Nhờ nghiên cứu nhóm số học đồng dư mơ tả quan hệ đồng dư, đóng vai trị quan trọng lý thuyết nhóm Nhóm nhóm đồng điều thứ xem hàm tử, ta xem bất biến hướng dẫn để phân loại khơng gian Như vậy, luận văn trình bày kết nối khái niệm hình học dường phân biệt Câu trả lời nằm định lí Hurewicz: đồng cấu Hurewicz cảm sinh đẳng cấu nhóm thương nhóm với nhóm đồng điều thứ Nhóm nút bất biến nút quan trọng Để phân biệt nút khác nhau, người ta vào tính chất nút, mục đích để thu bất biến nút Đó đa thức Alexander - định nghĩa tốn học mang tính chất ý nghĩa hình học nút Luận văn cịn đề cập đến nhóm rời rạc SL  2,  SL  2, , qua nghiên cứu hình học đường mặt phẳng không gian hyperbolic Phương pháp tính đa thức Alexander như: sử dụng mặt định hướng mà biên nút (mặt Seifert, 1927), sử dụng quan hệ skein (1960),… hay việc áp dụng mặt Seifert vào lí thuyết nút địi hỏi kí hiệu số liên kết đối đồng điều hay việc áp dụng hình học đường vào mơ tả Fenchel-Nielsen khơng gian mơđun mặt địi hỏi thời lượng cơng sức lớn nên tơi xin dành cho nghiên cứu sau 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Văn Đoành, Tạ Mân (2007), Nhập môn Tôpô đại số (Đồng điều đồng luân), Nhà xuất Đại học Sư phạm Nguyễn Thái Sơn (2016), Tài liệu môn Nhập môn Tôpô đại số, Trường Đại học Sư phạm TP.HCM Tiếng Anh Allen Hatcher (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge Alan Lauder (2016), Lecture Notes: Part C Modular Forms, Mathematical Institute - University of Oxford Ang Li (2013), Fundamental groups and theorem, University of Chicago B.Sury (2010), Free groups – basics, Stat-Math Unit, Indian Statistical Institute Bangalore Bart Litjens (2011), Knot theory and the Alexander polynomial, University of Amsterdam Bill Casselman (2015), Analysis on arithmetic quotients, University of British Columbia E Spanier (1966), Algebraic Topology, McGraw-Hill 10 Mehrdad Shahshahani, Differential Geometry and Topology, School of Mathematics 11 Nancy Scherich (2013), The Alexander polynomial, Oregon State University 12 R H Crowell and R H Fox (1977), Introduction to Knot Theory, SpringerVerlag, Berlin-Heidelberg-New York 13 W.J Harvey (2008), Introductory Lectures on SL  2, King’s College London  and modular forms, ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phương Anh PHÉP CHIẾU PHỦ, NHÓM CƠ BẢN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LÝ THUYẾT NHĨM Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số: 60 46 01 05... đại số Mặc dù Tôpô đại số sử dụng đại số để nghiên cứu tốn tơpơ cơng việc ngược lại đơi thực Tôpô đại số ngành học kết hợp kiến thức tôpô đại cương lý thuyết nhóm, nữa, vấn đề chuyên sâu Đại số. .. đến phép chiếu phủ nhóm bản; tính nhóm đường trịn, mặt cầu, khơng gian xạ ảnh Trong luận văn này, ý trình bày nhóm khơng gian S K - nút S Chương 2: Sử dụng kiến thức nhóm để thiết lập số tính