Phép chia đa thức nhiều biến và một số ứng dụng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC BIÊN PHÉP CHIA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K ⊆ C. K 1 ∈ K K 0 Q R C Q[ √ p] = {a + b √ p | a, b ∈ Q} p K ⊆ C f(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + + a 0 , a i ∈ K, a n = 0 x x K a n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn f(x) n f(x) deg f(x) a n = 1 f(x) 0 0 K[x] x K f(x) = a i x i g(x) = b i x i f(x) + g(x) = (a i + b i )x i f(x)g(x) = c k x k c k = i+j=k a i b j . f(x), g(x) ∈ K[x] deg(f(x) + g(x)) max{deg f(x), deg g(x)} deg(f(x).g(x)) = deg f(x) + deg g(x). f(x), g(x) ∈ K[x] g(x) = 0 q(x), r(x) ∈ K[x] f(x) = g(x)q(x) + r(x), r(x) = 0 deg r(x) < deg g(x). f(x) = g(x)q(x) + r(x) = g(x)q 1 (x) + r 1 (x), r(x), r 1 (x) 0 g(x) g(x)(q(x) −q 1 (x)) = r 1 (x) −r(x). r 1 (x) = r(x) g(x)(q(x) −q 1 (x)) = 0 g(x) = 0 K q(x) − q 1 (x) = 0 q(x) = q 1 (x) r(x) = r 1 (x) deg(r −r 1 ) = deg g(q −q 1 ) = deg g + deg(q −q 1 ). deg(r −r 1 ) max{deg r, deg r 1 } < deg g deg g + deg(q −q 1 ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn q(x) r(x) deg f(x) < deg g(x) q(x) = 0 r(x) = f(x). deg f(x) ≥ deg g(x) h(x) ∈ K[x] f 1 (x) = f(x) − g(x)h(x) f(x) f 1 (x) g(x) q r f(x) = a m x m + . . . + a 0 g(x) = b n x n + . . . + b 0 a m , b n = 0 n m. h(x) = a m b n x m−n . f 1 (x) = f(x) − g(x)h(x) f 1 (x) = 0 f 1 (x) f(x). f 1 (x) = 0 f(x) g(x) r(x) = 0 q(x) = h(x) f 1 (x) = 0 f 1 (x) f 2 (x) f 1 (x), f 2 (x), . . . 0 g(x) r(x) 0 r(x) = 0 f 1 (x) = f(x) −g(x)h(x) f 2 (x) = f 1 (x) −g(x)h 1 (x) . . . . . . . . . f k (x) = f k−1 (x) −g(x)h k−1 (x) f k (x) = 0 deg f k (x) < deg g(x) f(x) = g(x)(h(x) + h 1 (x) + + h k−1 (x)) + f k (x). q(x) = h(x) + h 1 (x) + . . . + h k−1 (x) r(x) = f k (x) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn q(x) r(x) f(x) g(x) Q f(x) = −2x 3 − 14x 2 + 4x − 3 g(x) = −2x 2 + 2x −1 f(x) g(x) −x 3 − 7x 2 + 2x −4 = (−2x 2 + 2x −1)(x + 8) − 11x + 5. q(x) = x + 8 r(x) = −11x + 5. f(x) g(x) 0 q(x) ∈ K[x] f(x) = g(x)q(x) f(x) g(x) g(x) f(x) K a ∈ K f(x) ∈ K[x] x − a f(a) f(x) x − a 0 0 (x − a) 1 r ∈ K f(x) = (x −a)q(x) + r x = a r = f(a). K f(x) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 ∈ K[x]. a ∈ K, f(x) x − a f(x) = (x−a)g(x)+ r, r ∈ K g(x) = b n−1 x n−1 +. . .+b 1 x+b 0 . r b n−1 , . . . , b 1 , b 0 g b n−1 = a n b i−1 = a i + ab i b 0 = a 1 + ab 1 r = a 0 + b 0 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn a n a n−1 ··· a 1 a 0 a b n−1 = a n b n−2 = ab n−1 + a n−1 ··· b 0 = ab 1 + a 1 r = b 0 + a 0 x 5 −2x 4 + 5x 2 + 6x −8 x + 1 1 −2 0 5 6 −8 −1 1 −3 3 2 4 −12 x 5 −2x 4 + 5x 2 + 6x −8 = (x + 1)(x 4 −3x 3 + 3x 2 + 2x −4) −12. K α ∈ C f(x) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 ∈ K[x] f(α) = a n α n + . . . + a 1 α + a 0 = 0. K a ∈ K a f(x) ∈ K[x] g(x) ∈ K[x] f(x) = (x −a)g(x). k > 0 a ∈ K k f(x) ∈ K[x] f(x) (x − a) k (x −a) k+1 . k = 1 a k = 2 a a ∈ K k f(x) ∈ K[x] f(x) = (x −a) k g(x) g(x) ∈ K[x] g(a) = 0. a k f(x). f(x) (x − a) k f(x) = (x − a) k g(x) g(x) ∈ K[x]. g(a) = 0 g(x) = (x − a)h(x) h(x) ∈ K[x] f(x) (x − a) k+1 , g(a) = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Thuật toán chia đa thức nhiều biến Như đã nhắc trong phần mở đầu, thuật toán Euclid trong vành đa thức một biến trên một trường không thể mở rộng được cho trường hợp nhiều biến Lý do chính là vì khi chia hai đa thức nhiều biến là đa thức của một biến thì hệ tử cao nhất của f cho g, nếu coi g như g là một đa thức của n 1 biến còn lại, và nói chung hệ tử cao nhất này không khả nghịch Vì thế, một cách... thành một vành, được gọi là vành đa thức của n biến x1 , , xn với hệ số trong K 2.1.2 Định nghĩa Một iđêan I của R được gọi là iđêan đơn thức nếu nó có một hệ sinh gồm những đơn thức Sau đây là một tính chất rất quan trọng của iđêan đơn thức 2.1.3 Bổ đề Cho I là iđêan đơn thức và T là một hệ sinh của I gồm những đơn thức Khi đó đơn thức x thuộc I nếu và chỉ nếu x là bội của một đơn thức trong T Chứng... tích của hai đa thức với hệ số trong (ii) Một phần tử khác K và có bậc bé hơn deg f C được gọi là đại số trên K nếu có một đa thức 0 với hệ số trong K và nhận làm nghiệm 1.2.9 Bổ đề Giả sử là đại số trên K Khi đó tồn tại duy nhất một đa thức trong K[x] bất khả quy có dạng chuẩn và nhận làm nghiệm Đa thức bất khả quy xác định như trong Bổ đề 1.2.9 được gọi là đa thức bất khả quy hay đa thức tối tiểu... vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và nhân đa thức K[x] được gọi là vành đa thức một biến 1.3.3 Định nghĩa nếu Cho x trên K V là một vành, I V Ta nói I là iđêan của V 0 I, a b I và ax, xa I với mọi a, b I và mọi x V Trong vành dạng Z các số nguyên, các iđêan của Z là và chỉ là các tập có mZ với m N 1.3.4 Định nghĩa Cho V là một vành giao hoán và trong ít nhất một iđêan của U V Khi đó U... http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 2.2 Một số bài toán về iđêan đơn thức Dưới đây chúng ta giải quyết một số bài toán liên quan đến iđêan đơn thức 2.2.1 Mệnh đề (Bài toán thành viên cho iđêan đơn thức) Cho I là iđêan đơn thức sinh bởi các đơn thức m1 , ã ã ã , mt và f là một đa thức Khi đó f I khi và chỉ khi mỗi từ của f đều là bội của một đơn thức mi nào đó Chứng minh Nếu mỗi từ của f đều là bội của một đơn thức mi nào đó... rộng thuật toán chia lên trường hợp đa thức nhiều biến và trình bày một số ứng dụng Trước hết chúng tôi quan tâm tới lớp iđêan đơn thức, là lớp iđêan đơn giản nhất 2.1 Iđêan đơn thức 2.1.1 Định nghĩa ta một đơn thức Mỗi bộ n số nguyên không âm = (1 , ã ã ã , n ) cho x = x1 ã ã ã xn của n biến x1 , , xn với bậc (hay bậc n 1 tổng thể) là 1 + ã ã ã + n Ta hiểu một từ là một biểu thức có dạng ax ,... tìm cách xây dựng một thuật toán chia hữu hiệu trên vành đa thức nhiều biến Tuy thuật toán Euclid không mở rộng được một cách trực tiếp lên trường hợp nhiều biến nhưng nó chứa những mầm mống cho việc giải quyết trường hợp nhiều biến Đó là việc hạ bậc sau từng bước Cần chú ý rằng ta không thể dùng bậc tổng thể hoặc bậc theo một biến nào đó để hạ bởi vì có thể có nhiều từ của một đa thức có cùng bậc như... Để cho tiện ta kí hiệu và coi S = K[x1 , ã ã ã , xn ] là vành đa thức của n biến trên K S như là vành con của R Khi đó mỗi đơn thức của R được viết dưới dạng x xm (ở đây x là đơn thức của S ) Gọi J là iđêan sinh bởi n+1 các đơn thức ra n biến Ta chứng minh nó đúng x sao cho x xm I với một số tự nhiên m nào đó Suy n+1 J là một iđêan đơn thức của S Theo giả thiết quy nạp, J có một hệ S húa bi Trung tõm... K và x là một đơn thức Ta cũng gọi x là đơn thức của từ ax Hai từ được gọi là đồng dạng nếu hai đơn thức của chúng là bằng nhau Mỗi đa thức f của n biến x1 , , xn với hệ số trong K là một tổng của hữu hạn từ Nếu các từ của f đôi một không đồng dạng thì ta gọi biểu diễn đó là biểu diễn chính tắc của f Bậc (hay bậc tổng thể ) của một từ là bậc của đơn thức của từ đó Bậc (hay bậc tổng thể ) của đa. .. g, q, r K[x] là những đa thức thỏa mãn g(x) = 0 và f = gq + r với r = 0 hoặc deg r < deg g Khi đó ước chung lớn nhất của f và g bằng ước chung lớn nhất của g và r Chứng minh Giả sử d(x) là một ước chung lớn nhất của f và g Khi đó d(x) là một ước của f gq Do đó d(x) là ước của r(x) Vì thế d(x) là một ước chung của đó g và r Giả sử t(x) là một ước chung của g và r Khi t(x) là một ước của f gq Suy . ĐA THỨC NHIỀU BIẾN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 Thái Nguyên, năm 2011 Số hóa bởi Trung. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN NGỌC BIÊN PHÉP CHIA ĐA THỨC NHIỀU. http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm