2 Phép chia với dư trong vành đa thức nhiều biến
2.4 Cơ sở Groebner và một số ứng dụng
2.4.1 Chú ý. Một khó khăn xuất hiện trong thuật toán chia trên vành đa thức nhiều biến là phần dư không nhất thiết xác định duy nhất. Chẳng
hạn, xét phép chia f = x2y +xy2 +y2 cho f1 = xy −1 và f2 = y2 −1 với thứ tự từ điển x > y. Theo thuật toán chia, ta có hai biểu diễn chuẩn f = (x+y)f1+f2+ (x+y+ 1) và f = (x+ 1)f2+xf1+ 2x+ 1với hai phần dư khác nhau. Một khó khăn nữa là trong phép chia đa thức f cho các đa thức f1,ã ã ã , fs, phần dư có thể khác 0 nhưng vẫn không biết được f có là phần tử của iđêan sinh bởi f1,ã ã ã , fs hay không. Chẳng hạn, xét phép chia f = xy2 cho f1 = x2 và f2 = xy +y2 với thứ tự từ điển x > y. Ta có biểu diễn chuẩn f = yf2 −y3. Như vậy, phần dư là y3 6= 0 nhưng ta lại có f = xf2 −yf1 ∈ (f1, f2).
Để khắc phục những khó khăn trên, chúng ta cần xét những hệ f1,ã ã ã , fs có những tính chất ``đặc biệt" mà chúng ta gọi là cơ sở Groebner. Trước hết chúng ta cần các khái niệm sau đây.
2.4.2 Định nghĩa. Cho I là iđêan của R. Iđêan sinh bởi các từ dấu của các đa thức trong I, ký hiệu bởi in(I), được gọi là iđêan dấu của I.
Cho iđêan I = (f1,ã ã ã , fs). Ta luôn có (in(f1),ã ã ã ,in(fs))R ⊆in(I). Tuy nhiên, in(I) và (in(f1),ã ã ã ,in(fs))có thể khác nhau. Chẳng hạn, cho I là iđêan sinh bởi f1, f2 với f1 = x3 −2xy và f2 = x2y −2y2 +x là các đa thức trên trường các số thực. Xét thứ tự từ điển phân bậc với x > y. Khi đó x2 = xf2 −yf1. Do đó x2 ∈ I và vì thế x2 ∈ in(I). Tuy nhiên ta có
x2 ∈/ (x3, x2y)R = (in(f1),in(f2)). Điều này dẫn chúng ta tới khái niệm sau đây.
2.4.3 Định nghĩa. Cho trước một thứ tự từ và I là iđêan của R. Một hệ f1,ã ã ã , fs những đa thức trong I được gọi là một cơ sở Groebner của I nếu in(I) được sinh bởi các từ dấu in(f1),ã ã ã ,in(fs).
2.4.4 Mệnh đề. Cho trước một thứ tự từ. Khi đó mỗi iđêan I đều có một cơ sở Groebner.
Chứng minh. Vì in(I) là iđêan đơn thức nên tồn tại hữu hạn đơn thức m1,ã ã ã , ms sinh ra in(I).Mỗi đơn thức mi là một từ dấu của một đa thức fi ∈ I nào đó. Vì vậy f1,ã ã ã , fs là cơ sở Groebner của I.
2.4.5 Bổ đề. Cho I là iđêan của R. Khi đó mọi cơ sở Groebner của I đều là hệ sinh của I.
Chứng minh. Cho f1,ã ã ã , ft là cơ sở Groebner của I. Khi đó hiển nhiên ta có (f1,ã ã ã , ft)R ⊆ I. Ngược lại, cho f ∈ I. Chia f cho f1,ã ã ã , ft ta đượcf = h1f1+ã ã ã+htft+r,trong đó mỗi từ của r đều không chia hết cho in(fi) với mọi i = 1,ã ã ã , t. Ta có r = f −h1f1 − ã ã ã −htft ∈ I. Vì thế, nếur 6= 0 thì ta phải có in(r) ∈ in(I) và do đó in(r)phải chia hết cho một từ dấu in(fi) của đa thức fi nào đó. Điều này là vô lí. Suy ra r = 0 và do đó f ∈ (f1,ã ã ã , ft).
Định lý quan trọng sau đây khẳng định rằng mọi iđêan trong vành đa thức đều hữu hạn sinh.
2.4.6 Định lý. (Định lý cơ sở Hilbert). Mọi iđêan của R đều có một hệ sinh hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử I là iđêan của R. Nếu I = 0 thì hiển nhiên. Cho I 6= 0. Gọi f1,ã ã ã , ft là một cơ sở Groebner của I. Khi đó I sinh bởi f1,ã ã ã , ft.
Định lý sau đây chỉ ra rằng bài toán thành viên sẽ được giải quyết cho một iđêan I nếu chúng ta biết một cơ sở Groener của I.
2.4.7 Định lý. (Giải quyết bài toán thành viên). Cho I là iđêan của R và f1,ã ã ã , ft là một cơ sở Groebner của I. Khi đó, với mỗi đa thức f của
R, dư của phép chia f cho f1,ã ã ã , ft là xác định duy nhất. Trong trường hợp này f ∈ I khi và chỉ khi dư trong phép chia f cho f1,ã ã ã , ft là 0. Chứng minh. Cho f ∈ R. Rõ ràng rằng nếu dư của phép chia f cho f1,ã ã ã , ft là 0 thì f ∈ I. Ngược lại, cho f ∈ I. Giả sử ta có một biểu diễn chuẩn f = f1h1 + ã ã ã + ftht + r. Khi đó r ∈ I. Nếu r 6= 0 thì vì f1,ã ã ã , ft là cơ sở Groebner của I nên in(r) phải là bội của một từ dấu in(fi) của đa thức fi nào đó. Điều này là vô lý. Vậy r = 0. Tiếp theo, giả sử đa thức f ∈ R có hai biểu diễn chuẩn f = h1f1 + ã ã ã+ htft + r1 và f = g1f1 + ã ã ã+ gtft +r2. Khi đó r2 −r1 ∈ I. Vì thế theo chứng minh trên, dư của phép chia r2 −r1 cho f1,ã ã ã , ft là 0. Lại chú ý rằng r2 −r1 cũng chính là dư của phép chia r2−r1 cho f1,ã ã ã , ft. Vì thế r1 = r2.