2 Phép chia với dư trong vành đa thức nhiều biến
2.3 Thuật toán chia đa thức nhiều biến
Như đã nhắc trong phần mở đầu, thuật toán Euclid trong vành đa thức một biến trên một trường không thể mở rộng được cho trường hợp nhiều biến. Lý do chính là vì khi chia hai đa thức nhiều biến f cho g, nếu coi g như là đa thức của một biến thì hệ tử cao nhất của g là một đa thức của n−1 biến còn lại, và nói chung hệ tử cao nhất này không khả nghịch. Vì thế, một cách tự nhiên, ta phải tìm cách xây dựng một thuật toán chia hữu hiệu trên vành đa thức nhiều biến. Tuy thuật toán Euclid không mở rộng được một cách trực tiếp lên trường hợp nhiều biến nhưng nó chứa những mầm mống cho việc giải quyết trường hợp nhiều biến. Đó là việc hạ bậc sau từng bước. Cần chú ý rằng ta không thể dùng bậc tổng thể hoặc bậc theo một biến nào đó để hạ bởi vì có thể có nhiều từ của một đa thức có cùng bậc như thế. Do đó ta cần sắp xếp các đơn thức theo một thứ toàn phần trong một nguyên tắc nào đó, mà ta gọi là thứ tự từ, để thuận tiện cho công việc này.
Trong suốt chương này, kí hiệu R = K[x1, . . . , xn] là vành đa thức n biến với hệ số trên K. Kí hiệu Nn là tập các bộ n số tự nhiên. Với α = (α1,ã ã ã , αn) ∈ Nn ta viết xα = xα1
1 ã ã ãxαn
n . Với α = (α1, . . . , αn), β = (β1, . . . , βn) ∈ Nn, ta định nghĩa α+β = (α1 + β1, . . . , αn +βn).
2.3.1 Định nghĩa. Kí hiệu M là tập các đơn thức của R. Một thứ tự từ (hay thứ tự đơn thức) là một quan hệ thứ tự toàn phần 6 trên M thoả mãn
các tính chất
(i) Nếu xα < xβ thì xα+γ < xβ+γ, với mọi α, β, γ ∈ Nn.
(ii) 6 là sắp thứ tự tốt, tức là mỗi bộ phận khác rỗng của M đều có phần tử nhỏ nhất.
Nhận xét rằng mỗi phần tử α = (α1,ã ã ã , αn) ∈ Nn xác định một đơn thức xα = xα1
1 ã ã ãxαnn . Vì thế để cho tiện ta coi mỗi thứ tự từ là một quan hệ thứ tự toàn phần 6 trên Nn thoả mãn α < β kéo theo α +γ < β +γ, với mọi phần tử α, β, γ ∈ Nn, và mỗi bộ phận khác rỗng của Nn đều có phần tử nhỏ nhất.
Khi đó α < β khi và chỉ khi xα < xβ với mọi α, β ∈ Nn. Ta nói từ axα là bé hơn từ bxβ, viết là axα < bxβ, nếu xα < xβ.
2.3.2 Ví dụ. Hai thứ tự từ sau đây rất hay được sử dụng.
Thứ tự từ điển. Cho α = (α1,ã ã ã , αn), β = (β1,ã ã ã , βn) ∈ Nn, trong đó α 6= β. Ta nói α bé hơn β, viết là α <lex β, nếu toạ độ khác 0 đầu tiên của véc tơ α−β kể từ bên trái sang là âm.
Thứ tự từ điển phân bậc. Cho α và β như trên. Ta nói α bé hơn β, viết là α <grlex β, nếu α1 + ã ã ã+αn < β1 +ã ã ã+ βn hoặc α1 +ã ã ã +αn = β1 + ã ã ã+ βn và α <lex β.
Với mỗi quan hệ thứ tự từ 6cho trước, ta gọi từ cao nhất của đa thức f là từ dấu của f và kí hiệu bởi in6(f) (hay in(f) nếu không sợ nhầm lẫn). Để mở rộng thuật toán chia lên trường hợp nhiều biến, ý tưởng chính là dựa vào thứ tự từ để giảm bậc. Bên cạnh đó, cần có những yêu cầu về các ``thương hụt" và ``dư". Định lý sau đây sẽ thể hiện điều này.
2.3.3 Định lý. (Thuật toán chia trong vành đa thức nhiều biến).
Khi đó mỗi đa thức f ∈ R được viết dưới dạng f = h1f1+ã ã ã+hsfs+r, trong đó h1,ã ã ã , hs, r là các đa thức thoả mãn hai điều kiện sau đây (i) r = 0 hoặc in(fi), i = 1, .., s, không là ước của bất cứ từ nào của r. (ii) Với mọi i = 1,ã ã ã , s, nếu hifi 6= 0 thì in(f) ≥ in(hifi).
Chứng minh. Ta chứng minh định lý qua xây dựng như sau.
Bước 1. Nếu tất cả các từ dấu in(fi), i = 1,ã ã ã , s, đều không là ước của bất cứ từ nào của f thì ta chọn h1 = h2 = ã ã ã = hs = 0 và r = f. Quá trình kết thúc. Nếu có một từ của f chia hết cho một từ dấu in(fi) của một đa thức fi nào đó, thì ta gọi m1 là từ cao nhất trong các từ của f có tính chất này. Giả sử m1 là bội của in(fi1). Viết m1 = u1in(fi1). Đặt F1 = f −u1fi1.
Bước k+1. Giả sử đã đến được bước thứ k + 1. Khi đó ta đã có đa thức Fk. Nếu tất cả các từ dấu in(fi), i = 1,ã ã ã , s, đều không là ước của bất cứ từ nào của Fk thì ta chọn r = Fk. Khi đó từ cách đặt F1,ã ã ã , Fk−1 ta sẽ biểu diễn f được dưới dạng f = h1f1 + ã ã ã+hsfs +r bằng cách gộp các hạng tử có chung nhân tử fi, i = 1,ã ã ã , s, lại với nhau. Quá trình kết thúc. Nếu có một từ của Fk chia hết cho một từ dấu in(fi) của đa thức fi nào đó, thì ta gọi mk+1 là từ cao nhất trong các từ của Fk có tính chất này. Giả sử mk+1 là bội của in(fik+1). Viết mk+1 = uk+1in(fik+1). Đặt Fk+1 = Fk −uk+1fik+1.
Giả sử quá trình trên kết thúc tại bước thứ pnào đó. Khi đó rõ ràng phần ``dư" r và bộ ``thương hụt" h1,ã ã ã , hs thoả mãn các yêu cầu trong định lý. Vì vậy định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được quá trình trên kết thúc sau một số hữu hạn bước. Trước hết ta khẳng định mk > mk+1, với mọi k = 1,2,ã ã ã Thật vậy, giả sử v là một từ tuỳ ý của Fk sao cho v chia hết cho một từ dấu in(fi) của đa thức fi nào đó. Khi đó v 6= mk.
Chú ý rằng Fk = Fk−1−ukfik. Vì thế v đồng dạng với một từ nào đó của Fk−1 hoặc của ukfik. Nếu v đồng dạng với một từ của Fk−1 thì mk > v. Nếu v đồng dạng với một từ của ukfik thì nó đồng dạng với ukw, trong đó w là một từ nào đó của fik. Vì v 6= mk nên v < ukin(fik) = mk. Như vậy, mọi từ của Fk mà là bội của một từ dấu in(fi) của đa thức fi nào đó đều phải nhỏ hơn mk. Vì mk+1 là một từ của Fk có tính chất đó nên ta có mk+1 < mk.Vậy, khẳng định được chứng minh. Vì thế nếu quá trình trên không dừng thì ta có dãy giảm không dừng m1 > m2 > ã ã ã > mk > ã ã ã
và do đó tập con khác rỗng {m1, m2, . . . , mk, . . .} của tập các đơn thức trong R không có phần tử nhỏ nhất. Điều này là vô lý. Do đó quá trình trên phải kết thúc sau một số hữu hạn bước. Định lý được chứng minh. 2.3.4 Định nghĩa. Biểu diễn của f qua hệ f1,ã ã ã , fs như trong định lý trên được gọi là một biểu diễn chuẩn của f đối với f1,ã ã ã , fs.
2.3.5 Ví dụ. Cho R = K[x, y]. Xét thứ tự từ điển với x > y. Để chia f = x2y+xy2+y2 chof1 = xy−1và f2 = y2−1ta tiến hành như sau. Ta có in(f1) =xy và in(f2) =y2. Dễ thấyx2y là từ cao nhất trong các từ của f chia hết cho in(f1)hoặc in(f2).Vì thế ta đặt F1 = f−xf1 = xy2+y2+x. Vì xy2 là từ cao nhất trong những từ của F1 chia hết cho in(f1) hoặc in(f2) nên ta đặt F2 = F1 − yf1 = y2 + x + y. Ta lại có y2 là từ cao nhất trong những từ của F2 chia hết cho in(f1) hoặc in(f2). Vì thế ta đặt F3 = F2 −f2 = x +y + 1. Không có từ nào của F3 chia hết cho in(f1) hoặc in(f2).Vậy ta có biểu diễn chuẩn f = (x+y)f1 +f2 + (x+y+ 1).