2 Phép chia với dư trong vành đa thức nhiều biến
2.2Một số bài toán về iđêan đơn thức
Dưới đây chúng ta giải quyết một số bài toán liên quan đến iđêan đơn thức.
2.2.1 Mệnh đề. (Bài toán thành viên cho iđêan đơn thức). Cho I là iđêan đơn thức sinh bởi các đơn thức m1,ã ã ã , mt và f là một đa thức. Khi đó f ∈ I khi và chỉ khi mỗi từ của f đều là bội của một đơn thức mi nào đó. Chứng minh. Nếu mỗi từ của f đều là bội của một đơn thức mi nào đó thì rõ ràng f ∈ I.Giả sử f ∈ I. Vì I là iđêan đơn thức nên mỗi từ của f đều thuộc I và do đó nó là bội của một đơn thức mi nào đó.
2.2.2 Ví dụ. ChoI = (x4y2, x3yz2, yz3)vàf = 3x5y4z+4x7y2z3−2xyz3. Nhận thấy rằng mọi từ của f đều là bội của một đơn thức trong I, do đó f ∈ I.
Chúng ta có thể giải quyết bài toán tìm giao cho các iđêan đơn thức. Giả sửu = xα1
1 . . . xαnn vàv = xβ1
1 . . . xβnn là hai đơn thức. Đặtλi = min(αi, βi), và γi = max{αi, βi} với i = 1, . . . , n. Khi đó đơn thức xλ1
1 . . . xλnn được gọi là ước chung lớn nhất của u và v và được kí hiệu là gcd(u, v). Tương tự đơn thức xγ1
1 . . . xγnn được gọi là bội chung nhỏ nhất của uvà v và được kí hiệu là lcm(u, v).
2.2.3 Mệnh đề. (Bài toán tìm giao cho iđêan đơn thức). Cho I và J là hai iđêan đơn thức lần lượt sinh bởi những đơn thức m1,ã ã ã , mtvàu1,ã ã ã , ur. Với mỗi i = 1,ã ã ã , t và j = 1,ã ã ã , r, ta kí hiệu bội chung nhỏ nhất của mi và uj là lcm(mi, uj). Khi đó ta có
I ∩J = (lcm(mi, uj) | i = 1,ã ã ã , t, j = 1,ã ã ã , r). Đặc biệt, giao của hai iđêan đơn thức cũng là iđêan đơn thức.
Chứng minh. Rõ ràngI∩J ⊇ (lcm(mi, uj) | i = 1,ã ã ã , t, j = 1,ã ã ã , r). Mệnh đề được chứng minh nếu ta chỉ ra được mỗi đơn thức của I ∩J đều là bội của một đơn thức lcm(mi, uj) nào đó. Giả sử ulà một đơn thức của I ∩J. Khi đó u ∈ I và u ∈ J. Vì I là iđêan đơn thức nên u là bội của mi nào đó. Tương tự, vì J là iđêan đơn thức nên u là bội của uj nào đó. Vì thế u là bội của lcm(mi, uj).
2.2.4 Ví dụ. Cho I = (xy, x2z, yz3) và J = (x2z2, yz). Khi đó ta có I ∩J = (x2yz2, x2z2, x2yz3, xyz, x2yz, yz3) = (x2z2, xyz, yz3).
2.2.5 Định nghĩa. Cho I = (f1, . . . , fs)R và J = (g1, . . . , gt)R là hai iđêan của R. Đặt (I : J) = {h ∈ R | J h ⊆ I}. Khi đó (I : J) cũng là iđêan của R và ta gọi nó là thương của I và J.
Cho I và J là hai iđêan của R, trong đó J = (g1,ã ã ã , gr). Rõ ràng I :J = (I :g1)∩(I : g2)∩ ã ã ã ∩(I : gr).
Vì thế, ta chỉ cần giải quyết bài toán tìm thương như sau.
2.2.6 Mệnh đề. (Bài toán tìm thương cho iđêan đơn thức). Cho I iđêan đơn thức sinh bởi những đơn thức m1,ã ã ã , mt. Cho u là một đơn thức. Với mỗi i = 1,ã ã ã , t, đặt di = gcd(mi, u). Giả sử mi = divi. Khi đó ta có (I : u) là iđêan sinh bởi các đơn thức v1,ã ã ã , vt. Đặc biệt, thương của hai iđêan đơn thức cũng là iđêan đơn thức.
Chứng minh. Rõ ràng (v1,ã ã ã , vt) ⊆ (I : u). Giả sử f là một đa thức của (I : u). Khi đó f u ∈ I. Gọi m là một từ tuỳ ý của f. Do I là iđêan đơn thức nênmu là bội của một đơn thức mi nào đó và vì thế m là bội của vi. Do đó (I :u) ⊆(v1,ã ã ã , vt).
2.2.7 Ví dụ. ChoI = (xyz, x3yz, yz3) và J = (x2z2, yz).Tìm thương của I và J.
Lời giải. Đặt u1 = x2z2, u2 = yz, m1 = xyz, m2 = x3yz, m3 = yz3, d1 = gcd(m1, u1) = xz, d2 = gcd(m2, u1) = x2z, d3 = gcd(m3, u1) = z2. Đặt mi = divi. Khi đó ta có v1 = y, v2 = xy, v3 = yz. Theo Mệnh đề 2.2.6 ta có (I : u1) = (y, xy, yz). Tương tự ta có (I : u2) = (x, yz, z2). Do đó I : J = (I : u1)∩ (I : u2) = (xy, yz, xyz, yz2, xyz2) = (xy, yz).