Một số ứng dụng của quan hệ thứ tự trong giải tích phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUỲNH LÊ THU THỦY MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG GIẢI TÍCH PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 1996 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BOURBAKI – KNESER VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Các định lý Bourbaki – Kneser, Amann, Tarski 1.2 Ứng dụng lý thuyết tập hợp: 14 1.3 Ứng dụng vào số học đoạn: 15 1.4 ứng dụng ngôn ngữ: 17 1.5 Định lý điểm bất động ánh xạ co theo đường kính: 19 Chương II: 22 PHƯƠNG TRÌNH TẢN MÁT 22 2.1 Điểm bất động toán tử tản mát 22 2.2 ứng dụng vào phương trình tản mát: 26 CHƯƠNG III 31 NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA BỔ ĐỀ ZORN 31 TRONG BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG 31 3.1 Sự tồn mê tric để ánh xạ co 31 3.2 Định lý Browder – Caristi : 36 3.3 Định lý Markov – Kakutani: 37 3.4 Điểm bất động toán tử không giãn 40 CHƯƠNG IV 44 NGUYÊN LÝ ENTROPI VÀ ỨNG DỤNG 44 4.1 nguyên lý Entropi trừu tượng 44 4.2 Nguyên lý  - biến phân 47 4.3 Nguyên lý cực tiểu: 49 4.4 Các định lý điểm bất động khơng gian có mặt nón 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU Trong giải tích hàm sở gặp nhiều ứng dụng quan hệ thứ tự chẳng hạn bổ đề Zorn dạng tương đương sử dụng để chứng minh định lý Hahn – Banach, định lý Tykhomov tính com pắc tích khơng gian com pắc, tồn độ đo Haar ,ột nhóm com pắc địa phương, v.v… ( xem [5,6]) Trong luận văn này, nêu số ứng dụng quan hệ thứ tự giải tích hàm phi tuyến Theo chúng tơi nghĩ, việc đưa quan hệ thứ tự thích hợp vào toán xét, giúp khắc phục xây dựng tơ pơ phưc tạp làm giảm nhẹ giả thiết liên quan tới tính chất tô p6o lho6ng gian ánh xạ xét ví dụ, việc sử dug5 bổ đề Zorn việc nghiên cứu đi6ẻm bất động cho phép làm nhẹ bỏ qua tính liên tục ánh xạ, ngồi nhiều kết thuộc lĩnh vực tưởng chừng xa giải tích phi tuyến lại nhìn góc độ sử dụng quan hệ thứ tự, thấy chương I IV luận văn Luận vănđược chia thành bốn chương, chương I neu định lý điểm bất động Bourbaki – Kneser ứng dụng để chứng minh dạng tiên đề chọn ứng dụng đơn giản vào ngôn ngữ lý thuyết điểm bất động chương hai luận văn trình bày ứng dụng lí thú quan hệ thứ tự lý thuyết phương trình vi phân thường chương III chúng tơi trình bày ứng dụng bổ đề Zorn lý thuyết điểm bất động , phần ản luận văn chương IV , chương nguyên lý Entropi ứng udng5 để chứng minh hai lĩnh vực tương đối xa giải tích phi tuyến toán biến phân toán điểm bất động khơng gian Banach mặt nón Các kết quà trình bày luận văn chúng tơi tìm đọc nhiều tài liệu giải tích phi tuyến chúng nêu dạng định lý chứng minh đầy đủ dạng ta sếp chúng lại thành nhóm có liên quan với kết thuộc nhóm chúng tơi chứng minh theo phương pháp quán, nhiều trường hợp khác với chứng minh ban đầu chúng Để không làm tăng thêm khối lượng luận văn , không nêu lại định nghĩa tính chất quen thuộc tơ pơ, giải tích hàm ( xem chẳng hạn [5.6]) Tập hợp M có thứ tự hiểu tập xếp phần, nghĩa số phân tử tập xác định quan hệ “” cho: i) x  v (x  M ) ii) x  y y  x kéo theo x = y iii) x  y y  z kéo theo x  z CHƯƠNG 1: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG BOURBAKI – KNESER VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Các định lý Bourbaki – Kneser, Amann, Tarski Định lý điểm bất động Bourbaki – Kneser : Giả sử (i) Ánh xạ f : M ( M – tập thứ tự ) thỏa x  f(x), x  M (ii) Mỗi xích M có cận Lúc f có điểm bất động Chứng minh: Ta xây dựng xích A với f(A)  A sup (A)  A, chứng minh A có điểm bất động cần tìm I Xây dựng xích A :  Chọn x0 cố định thuộc M gọi tập B M chấp nhận B thỏa: (a) x0  B (b) f(B)  B (c) cận xích B thuộc B  M tập chấp nhận vì: (a) x0  B (b) f : M  M nên f(M)  M (c) thỏa (ii)  gọi A giao tất tập B chấp nhận Hiển nhiên A chấp nhận Ta có f(A)  A sup (A)  A đặt D = {y  M : y  x0 } p = {x  A : y  A y  x f (y)  x} Bx = { z  A : z  x f (x)  z}  chứng minh D chấp nhận : D thỏa (a) : x0  x0 suy x0  D D thỏa (b) : D  M nên theo (i), y  f (y) với y  D, mà x0  y nên x0  f(y) với y  D suy f(y)  D với y D hay f(D)  D D thỏa ( c) : D  M, xích D xích M nên theo (ii) có cận M, giả sử ui Thế ui  y với y  D mà y  xo theo định nghĩa D nên xo  ui Suy ui  D Vậy D chấp nhận Đưa đến A  D đó: (1) xo  y với y  A II Ta chứng minh Bx = A với x  P Ta có Bx  A Để chứng minh A  Bx ta cần chứng minh Bx chấp nhận Bx thỏa (a): Với x  P x  A (1) ta có xo  x chấp nhận nên xo  A Theo định nghĩa Bx, xo  Bx Bx thỏa (b): Cho z  Bx z =x z < x f(x)  z ta có f(A)  A, Z  Bx  A nên f(z)  A Để chứng minh f(z)  B ta cần chứng minh f(z)  x f(x)  f (z)  Nếu z = x f(x) = f(z)  Nếu z < x thì, x  P z  A; nên f(z) < x ( theo định nghĩa P)  Nếu f(x)  z thì, (i) ta có f(z)  z suy f(x)  f(z) Vậy z  Bx f (z)  Bx hay f (B)  B Bx thỏa (c): Cho C xích Bx gọi u = sup ( C) ( tồn (ii)) Ta chứng minh u  Bx Thật vậy, A chấp nhận C  Bx  A nên theo ( c), u  A C  Bx nên theo định nghĩa Bx, c  x với c  C f(x)  c với c  C trường hợp đầu, u = sup ( C)  x Trong trường hợp sau, f(x)  c  u u  A, u  x f(x)  u nên u  Bx Vậy Bx tập chấp nhận suy A  Bx từ A = Bx với x  P Từ A = Bx với x  P định nghĩa Bx ta có: x  P z  A = Bx (2) z  x f (x)  z III Ta chứng minh P =A Ta có P  A ta chứng minh A  P cách chứng minh P chấp nhận P thỏa (a): Vì A chấp nhận nên xo  A (1) suy không tồn y  A mà y < xo , nên ln ln nói : tồn y  A mà y < xo xo  f (y) xo  P P thỏa (b): Ta chứng minh với x  P f(x)  P nghĩa f(x)  A x  A, z < f(x) f(z)  f(x) Thật f(A)  A x  P kéo theo x  A, suy f(x)  A với x  P Bây cho z  A z < f (x), (2) có z  x f(x)  z xảy z  x Nếu z = x f(z) = f(x) Nếu z ,x thì, x  P z  A nên f (z)  x ( định nghĩa P) (i), x  f(x) đưa đến f(z)  x f(x) hai trường hợp có f(z)  f(x) P thỏa (c): Cho C xích P gọi v sup ( C)  Ta chứng minh v  A( tính chất (c)) Bây cho z  A z < v Từ C  P, x  C x  P (2) ta có z  x z  f(x)  Nếu z  f(x) (i) có z  f(x)  x xảy z  x với x  C z  v = sup ( C) mâu thuẫn với cách lấy z  v = sup ( C) tồn vài điểm x1  C mà z  x1  Trường hợp z = x1 : x1  C nên x1 = z < v = sup ( C) suy tồn y1  C cho z , r > tồn  > cho : (3) ( x  r, y  r, x  y  )  x  y  2(r - ) Nếu a = diam (D0) > 0, ta chọn x1, x2  D0 , x1 # x2 Và đặt x0 (x1 + x2)/2 Giả sử  > số chọn theo r = a  = x1  x2 cho ta có 1 2 (3) Với z  D0 ta có z – x0 = (z – x1) + (z – x2), Với z  X  a, z  X  a ( z  X 1)  (z  X 2) =  Vậy (3) ta có z  Xo  a -  Vậy ta có Do  𝐵̅ (x0, a - ) điều mâu thuẫn với (1) lấy x = x0 Vậy ta chứng minh diam ( D0) – nên D0 gồm điểm  CHƯƠNG IV NGUYÊN LÝ ENTROPI VÀ ỨNG DỤNG 4.1 nguyên lý Entropi trừu tượng Định lý 4.1 ( Brezis, Browder) Giả sử: (1) X tập thứ tự cho dãy đơn điệu tăng X có cận trên, nghĩa từ un  un+ với n  N, suy tồn v  X cho un  v,  n  N (2) S : X  [ - , + ) hàm đơn điệu tăng bị chặn trên, nghĩa u  v luôn suy S (u)  S (v) tồn số thực c cho S(u)  c,  u  X thì, tồn u X cho (3) u  v kéo theo S (u) = S (v) Định lý có giải thích nhiệt động học đơngiản theo định luật thứ hai nhiệt động học, với hệ thống đóng Entropi S hàm đơn điệu tăng thời gian Hơn nữa, S tiến đến maximum t   Những trạng thái maximum Entropi có ý nghĩa vật lý Nói cách dễ hiểu, trạng thái có tính ổn định tương ứng cân ổn định hệ thống Bây giải thcih1 u, v X trạng thái hệ thống Quan hệ u  v nghĩa hệ thống trạng thái u chuyển sang trạng thái v thời điểm sau Như đưa đến dãy đơn điệu tăng u1  u2  u3 … tương ứng với tăng thời gian có hệ thống Với (2) Entropi S hàm đơn điệu tăng thời gian Từ đó, định lý 4.1 đưa đến tồn trạng thái ổn định cân u Nếu hệ thống u, S tăng Chứng minh định lý 4.1 : Chọn phân tử cố định tùy ý u1  X dựng theo qui nạp dãy (un ) đơn điệu tăng sau Giả sử un chọn, dặt Mn = { u  X : un  u} n = sup S Mn Nếu (3) thỏa với un chứng minh xong Nếu khơng có n > S (un) ta chọn un+1 cho (4) n – S (un + 1)  2-1 [ n – S (un)] Bằng cách ta thu dãy (un) đơn điệu tăng mà theo (1) có cận u, nghĩa (5) un  u,  n Chúng ta chứng minh u phần tử cần tìm Giả sử u khơng thỏa (3) tồn v  X cho u  v mà S (u) < S (v), Dãy ( S(un) đơn điệu tăng bị chặn theo (2) nên hội tụ Từ (5) tính đơn điệu S suy (6) lim S (un)  S (u) n Vì v  u mà u  un,  n (5)) Nên v  un,  n v  Mn ,  n Do , từ (4) suy 2S ( un + 1) – S (un)  n  S (v),  n Cho n  , ta có lim S (un)  S(v) n Do (6) suy S (u)  S (v) mâu thuẫn với giả thiết phản chứng  Hệ 4.1 : Giả sử: (i) X tập thứ tự cho dãy giảm X có cận (ii) S : X  ( - , +  ] phiếm hàm tăng bị chặn Thế tồn phần tử u  X cho v  u kéo theo S (u) = S (v) Chứng minh: Ta định nghĩa X quan hệ thứ tự “ 0, w phần tử tùy ý ta có (F(u + tw) – F (u))  -  w Cho t  ta có F’ (u)  -  w Thay w – w ta chứng minh F’ (u) (w)     w nên F '(u )   II Đặt a = inf F (v) vX Áp dụng bước I cho  = ta tìm dãy (un) cho 𝑛 F(un)  a, F '(Un)  n   Do điều kiện ( PS) ta có dãy unk  u ( k   ) Do tính liên tục F ta có F (u) = a Ghi chú: Trong điều kiện (PS) giả thiết định lý thay giả thiết F khả vi Frechet giả thiết F khả vi theo Gataux nửa liên tục 4.4 Các định lý điểm bất động khơng gian có mặt nón Định nghĩa: Giả sử X không gian Banach thực Một tập K  X mặt nón X có tính chất: (i) K tập đóng (ii) K + K  K, tK  K (  t  0) (iii) K  ( -K) = {0} Nếu K mặt nón X X ta định nghĩa quan hệ thứ tự sau: xyy–xK Dễ thấy quan hệ thứ tự sinh mặt nón có tính chất  x  y  x + z  y + z (  z  X) tx  ty (  t  )  xn  yn ( n = 1,2…), lim xn = x, lim yn = y x  y Định nghĩa 4.2 : Một mặt nón K  X gọi là: Nón chuẩn : tồn số N > cho: 0xy  x N y Nón đều: dãy tăng, bị chặn x1  x2 … hội tụ Có thể chứng minh nón có tính có tính chuẩn Định lý 4.5 : Cho X không gian Banach xếp bở mặt nón K Giả sử: (i) M  X tập đóng, bị chặn (ii) f: M  M ánh xạ tăng thỏa mãn điều kiện, a) Mỗi dãy dạng f(x1)  f2 (x2)  … f n (xn)  … xn  M, hội tụ b) Tồn phần tử xo  M cho f (xo)  x0 Thế ánh xạ f có điểm bất động M Chứng minh: Ta áp dụng nguyên lý Entropi dạng hệ cho tập Mo = { x  M : f (x)  x} I.Ta kiểm tra dãy giảm (xn) Mo có cận ta xét bảng sau: x1, f(x1) , x2,………, xn……… f(x2)…., f (xn)…… f (x1) , f 2(x2),…., f (xn)… …………………………… Vì f (xn) giảm nên phần tử hàng tạo thành dãy giảm Vì f(xn)  xn nên phân tử cột tạo thành dãy giảm Suy f (x1)  f (x2)  …..f n (xn)  …… ta gọi x giới hạn dãy có xn  x ta cịn phải kiểm tra x  Mo Thật vậy, f n – (xn)  f n (xn)  x nên f n (xn)  f(x) Cho n   ta x  f(x) II Xây dựng phiếm hàm S Ta định nghĩa Mo dãy phiếm hàm S n (x) = sup { f n (u )  f (v) : u, v  Mo, f n (u)  f n (v)  x} n Ta có với x  Mo:  Sn (x) xác định f n (xn)  x, n = 1, 2…, bị chặn M tập bị chặn  Sn + ( x)  Sn (x) f (x)  x  Sn (x)  Sn (y) x  y f tăng Ta định nghĩa S (x) = lim Sn (x) S phiếm hàm tăng, không âm, n bị chặn III Theo nguyên lý Entropi ta tòm phần tử a  Mo cho x  Mo, x  a  S(x) = S(a) Ta chứng minh S (a) = Giả sử trái lại S (a) = 2 > Khi S2 (a) >  nên  u1, v1  Mo : f (u1)  f (v1)  a, f (u1 )  f (v1 ) >  Vì f (u1)  a nên S (f (u1)) > 2 ta lại có S4 ( f2 (u1)) >  nên  u2, v2  Mo : f (v2)  f (v2)  f (u1), f (u2 )  f (v2 ) >  Tiếp tục trình vô hạn, ta xây dựng un,  M0 cho (1) (2) f (v1)  f (u1)  f (v2)  f (u2) …… f 2n (vn)  f 2n (un)… f n (un )  f (vn ) >  2n Dãy (1) có dạng nêu điều kiện (ii) a) định lý nên hội tụ, điều lại mâu thuẫn với bất đẳng thức (2) Vậy ta phải có S (a) = IV Cuối ta xây dựng điểm bất động f Ta có a  f (a)  f (a)  … Nên dãy có giới hạn b Lý luận tương tự I ta có f(b)  b a  f n (a)  b  f (b)  …  f n (b) ( n) Suy f n (a)  f b (b)  Sn (a) Vì lim Sn (a) = S(a) = nên ta có lim [ fn (a) – f n(b) ]= n n Qua giới hạn bất đẳng thức b – f (b)  f n (a) – f n (b) ta có b  f (b) Vậy b điểm bất động f Hệ 4.2: Giả sử: (i) f ánh xạ đơn điệu tăng tập < uo vo > đ/n = { x : uo  x  vo} thỏa điều kiện f ( < uo, vo >)  < uo, vo > (ii) Một hai điều kiện sau thỏa mãn: a) K nón b) K nón chuẩn lũy thừa f k f ánh xạ com pắc, Nghĩa f k (< uo, vo >) tập com pắc tương đối Thế f có < uo, vo > điểm bất động Chứng minh: Trong hai trường hợp a) b) ta ó K nón chuẩn nên tập M = < uo, vo > đóng, bị chặn ngồi ta có theo giả thiết f (vo)  vo, nên phải chứng minh dãy dạng f (x1)  f (x2) …… f n (xn)  …., x  < uo, vo > hội tụ Nếu K nón đều, dãy giảm, bị chặn ( uo) nên hội tụ Nếu điều kiện b) thỏa mãn f k com pắc nên dãy có dãy f np (xnp) hội tụ phần tử x Vì  f n (xn) – x  f np (xnp) – x (nếu n  np) f n ( xn )  x  N f np ( xnp )  x , ta suy dãy ( f n (xn) ) Cũng hội tụ x  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aubin J- P, Ekland I Applied Nonlinear Analysis, John Wiley & Sons [2] Deimling K Nonlinear Analysis Springe – Verlag 1985 [3] Krasnoselski MA, Zabreiko P.P Các phương pháp hình NXB Khoa học, Maxcơ va, 1975 học giải tích phi tuyến, [4] Nirenberg L Bài giảng giải tích hàm phi tuyến, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, 1986 [5] Hoàng Tụy Giải tích đại, tập 1,2,3 NXb Giáo Dục [6] Rudin W Functional Analysis Mc Graw – Hill, 1973 [7] Zeidler Nonlinear Analysis and Applications, T – 3, springer, 1985 ………………………… ... com pắc địa phương, v.v… ( xem [5,6]) Trong luận văn này, nêu số ứng dụng quan hệ thứ tự giải tích hàm phi tuyến Theo chúng tơi nghĩ, việc đưa quan hệ thứ tự thích hợp vào toán xét, giúp khắc... tập thứ tự với mối quan hệ thứ tự  R không thiết phải phụ thuộc vào khơng gian Banach  Tập R gọi qui dãy F1  F2 … Fn … tồn G = inf Fn  Hệ thống R tất tập tập hợp với quan hệ thứ tự quan hệ. .. xa giải tích phi tuyến lại nhìn góc độ sử dụng quan hệ thứ tự, thấy chương I IV luận văn Luận vănđược chia thành bốn chương, chương I neu định lý điểm bất động Bourbaki – Kneser ứng dụng để chứng