Miền tổng của chuỗi và các tính chất lồi trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LÊ XUÂN TRƯỜNG MIỀN TỔNG CỦA CHUỖI VÀ CÁC TÍNH CHẤT LỒI TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC Chun ngành : Tốn giải tích Mã số : 1.01.01 Người hướng dẫn khoa hoc: TS ĐẬU THẾ CẤP TP HỒ CHÍ MINH – 2004 Miền tổng chuỗi tính chất lồi khơng gian Banach LỜI NĨI ĐẦU Lý thuyết chuỗi có vị trí quan trọng giải tích tốn học Các loại chuỗi số, chuỗi hàm, chuỗi vectơ sở để xấp xỉ hàm đa thức, để tính gần tích phân hay để giải gần phương trình vi tích phân, Một vấn đề lý thuyết chuỗi quan tâm nghiên cứu khảo sát cấu trúc miền tổng chuỗi không gian Banach ∞ lớp không gian tổng quát Ta gọi miền tổng chuỗi ∑ x k , ký hiệu k =1 DS ( ∑ x k ) , tập hợp phần tử x∈X cho có hốn vị π N để ∞ ∞ k =1 k =1 ∑ x π( k ) = x Theo định lý Riemann, ∑ x k chuỗi số thực bán hội tụ ∞ ∀x ∈ \ ln tồn hốn vị chuỗi ∑ x k có tổng x Như miền tổng k =1 chuỗi số thực bán hội tụ toàn trục số Năm 1905, Lévy chứng minh ∞ ∑ x k chuỗi hội tụ có điều kiện \ DS ( ∑ x k ) đa tạp k =1 tuyến tính ([9]) Kết Steinitz mở rộng cho không gian Banach hữu hạn chiều vào năm 1913 ([13]) Việc mở rộng định lý Steinitz cho không gian Banach vô hạn chiều không gian tổng quát nhiều vấn đề đáng quan tâm ([2], [3], [6], [7]) Trong luận văn chúng tơi trình bày số kết nghiên cứu gần cấu trúc miền tổng chuỗi hội tụ có điều kiện khơng gian Banach vơ hạn chiều Bên cạnh cịn có số kết mà nghiên cứu theo hai hướng sau Thứ nhất, xây dựng lớp chuỗi hội tụ có điều kiện miền tổng khơng phải tập tuyến tính Kết nhằm khẳng định kết luận cho định lý Steinitz không cho trường hợp không gian vô hạn chiều Thứ hai, chúng tơi cách xây dựng chuỗi có miền tổng đa tạp tuyến tính cho trước Ngồi lời nói đầu số ký hiệu, cấu trúc luận văn gồm có ba chương Trong chương I, chúng tơi trình bày số khái niệm kết cần thiết cho chương sau Một số kết cho chứng minh chi tiết Một số kết Miền tổng chuỗi tính chất lồi khơng gian Banach Chuỗi không gian Banach Biểu diễn hữu hạn Dãy sở Tính chất infratype tính chất B – lồi Trong phần đầu chương II, trình bày, với chứng minh chi tiết, kết cổ điển Steinitz miền tổng chuỗi hội tụ có điều kiện khơng gian Banach hữu hạn chiều Tiếp theo, phần hai, nêu lên ví dụ kết chứng tỏ kết luận định lý Steinitz khơng cịn cho khơng gian Banach vơ hạn chiều Trên sở ví dụ 2.2.3 [7], lớp chuỗi L2 ([0,1]×[0,1]) có miền tổng khơng đóng (ví dụ 2.2) Phần cuối chương dành cho việc cách xây dựng chuỗi hội tụ có điều kiện mà miền tổng tập tuyến tính cho trước, không gian Banach hữu hạn chiều, không gian Hilbert khả ly không gian Banach với sở Schauder Các định lý 2.3 2.4 tìm thấy [4] Theo kết chương 2, biết không gian Banach vô hạn chiều tồn chuỗi hội tụ có điều kiện mà miền tổng khơng phải tập tuyến tính Trong chương 3, chúng tơi trình bày kết tổng quát M I Kadets M V Kadets ([7]) hai khía cạnh Thứ đặt thêm điều kiện ràng buộc khơng gian (cụ thể khơng gian có infratype) chuỗi xét miền tổng chuỗi có tính chất tuyến tính Thứ hai tương tự với định lý Steinitz xảy lớp không gian B-lồi Giữa hai phần này, chúng tơi ứng dụng kết có để khảo sát cấu trúc miền tổng chuỗi không gian Lp [0,1] Chương Một số kiến thức chuẩn bị CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi hội tụ không gian Banach Một số kết cổ điển chuỗi số • Mọi chuỗi số ∞ ∑x k =1 k hội tụ tuyệt đối hội tụ, nữa, với hoán vị π tập số tự nhiên chuỗi ∞ ∑ x π( k ) hội tụ k =1 • Nếu ∞ ∑x k =1 vị π k ∑ x π( k ) = k =1 ∞ ∑x k =1 chuỗi số bán hội tụ với s ∈ cho ∞ ∑x ( ) k =1 π k Định nghĩa 1.1 Cho ∞ ∑x k =1 k k ∪ {∞} , tồn hoán = s (Định lý Riemann) ∞ ∑x k =1 (i) Chuỗi ∞ k chuỗi khơng gian Banch X Khi ta nói hội tụ không điều kiện chuỗi ∞ ∑x ( ) k =1 π k hội tụ với hoán vị π tập số tự nhiên N (ii) Chuỗi ∞ ∑x k =1 k hội tụ có điều kiện hội tụ khơng hội tụ khơng điều kiện Định lý 1.1 Nếu chuỗi ∞ ∑x k =1 k không gian Banach X hội tụ không điều kiện hốn vị có tổng Chứng minh Đặt x = ∞ ∑ x k Giả sử tồn hoán vị π N cho k =1 ∞ ∑ x ( ) = x ' ≠ x Khi k =1 π k theo định lý Hahn – Banach ta chọn phiếm hàm f ∈ X* thoả điều Chương Một số kiến thức chuẩn bị kiện f ( x ) ≠ f ( x′ ) Khi chuỗi số ∞ ∑f (x ) k =1 k không hội tụ tuyệt đối hốn vị π làm thay đổi tổng Theo định lý Riemann, tồn hốn vị σ N cho chuỗi ∞ ( ) ∑ f x σ( k ) phân kỳ Do đó, chuỗi k =1 giả thiết chuỗi ∞ ∑x k =1 k ∞ ∑x ( ) k =1 σ k phân kỳ Điều mâu thuẫn với hội tụ không điều kiện Định nghĩa 1.2 Cho ∞ ∑x k =1 k chuỗi không gian Banach X Ta gọi miền tổng chuỗi, ký hiệu DS ( ∑ x k ) , tập hợp phần tử x∈X cho có hốn vị π N để ∞ ∑ x ( ) = x k =1 π k Nhận xét (i) DS ( x + ∑ x k ) = x + DS ( ∑ x k ) (ii) Từ kết định lý Riemann ta thấy ∞ ∑x k =1 k chuỗi số thực bán hội tụ DS ( ∑ x k ) = R (iii) Do định lý I.1, ∞ ∑x k =1 k chuỗi hội tụ không điều kiện không gian Banach X DS ( ∑ x k ) tập gồm phần tử 1.2 Biểu diễn hữu hạn Định nghĩa 1.3 Cho X, Y không gian Banach Ta gọi khoảng cách Banach–Mazur X Y đại lượng { } d ( X, Y ) = inf T T −1 : T ∈ ISO ( X, Y ) Chương Một số kiến thức chuẩn bị ISO(X, Y) tập hợp đẳng cấu X Y Nếu X Y khơng đẳng cấu d ( X, Y ) = ∞ Khoảng cách Banach –Mazur có tính chất sau (i) d ( X, Y ) ≥ với không gian X, Y Nếu X Y đẳng cự d ( X, Y ) = (ii) Tính đối xứng d ( X, Y ) = d ( Y, X ) (iii) d ( X, Y ) d ( Y, Z ) ≥ d ( X, Z ) Định lý 1.2 (Dvoretzky) [7] Cho k số nguyên dương ε > Khi tồn số n ( k,ε ) cho X khơng gian Banach có dim X > n ( k, ε ) số khơng gian k chiều X có không gian Y thỏa điều kiện d ( Y, l2( k ) ) < + ε Định nghĩa 1.4 Ta nói khơng gian Banach X biểu diễn hữu hạn không f → Y , với ε > không gian hữu gian Banach Y, ký hiệu X ⎯⎯ hạn chiều Z X tồn không gian hữu hạn chiều Z1 Y cho d ( Z, Z1 ) < + ε f Bổ đề 1.1 [7] L p [ 0,1] ⎯⎯ → lp , ∀p ≥ Định lý 1.3 [7] Không gian Hilbert biểu diễn hữu hạn không gian Banach vô hạn chiều 1.3 Dãy sở Định nghĩa 1.5 Cho X không gian Banach vô hạn chiều Một dãy ∞ {e n }n =1 ⊂ X gọi sở với x ∈ X tồn dãy ∞ {a k ( x )}k =1 số thực cho x = ∑ a k ( x ) ek ∞ k =1 Định nghĩa 1.6 Một dãy {e n }n =1 phần tử không gian Banach X ∞ gọi dãy sở nếu {e n }n =1 sở Lin {e n }n =1 ∞ ∞ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Định lý 1.4 [11] Dãy {e k }k =1 , với e k ≠ , dãy sở tồn ∞ số K > cho bất đẳng thức m+n ∑a e j=1 thỏa mãn với m, n ∈ ≥K j j m ∑a e (1) j j j=1 a j ∈ Ta gọi suppremum tất số K thỏa mãn bất đẳng thức (1) sở dãy sở {e k }k =1 ∞ Định lý 1.5 (Krein – Mil’man – Rutman) Giả sử {e k }k =1 dãy sở ∞ không gian Banach X với sở K e k = với k = 1, 2, 3, Khi đó, {y k }k =1 dãy X thỏa điều kiện ∞ ∞ ∑e k =1 i − yi < K {y k }k =1 dãy sở X ∞ Chứng minh ∞ Đặt K1 = ∑ ei − yi < k =1 K Xét tốn tử tuyến tính T : Lin {e k }k =1 → Lin { y k }k =1 xác định Tei = yi Rõ ràng ∞ ∞ ta cần chứng minh T đẳng cấu • Chứng minh T bị chặn Lấy n ∑a e i =1 i i phần tử Lin {e k }k =1 Khi với j ≤ n , ta có ∞ n ∑ a i ei ≥ i =1 K⎛ ⎜⎝ j ∑ a i ei + i =1 j−1 ∑a e i =1 i i K ⎞ ⎟ ≥ aj ⎠ Do ta suy ⎛ n ⎞ T ⎜ ∑ a i ei ⎟ = ⎝ i =1 ⎠ n ∑ a i yi = i =1 n n i =1 i =1 ∑ a i ei + ∑ a i ( y i − ei ) Chương Một số kiến thức chuẩn bị ≤ ≤ n n i =1 i =1 ∑ a i ei + ∑ a i yi − ei n ∑a e i i i =1 ≤ + max a i K1 n K a i ei ⎛⎜1 + ⎞⎟ ≤ ∑ K⎠ ⎝ i =1 n ∑a e i =1 i i Vậy T bị chặn T ≤ • Chứng minh T khả nghịch T −1 bị chặn ⎛ n ⎞ T ⎜ ∑ a i ei ⎟ = ⎝ i =1 ⎠ Ta có n n i =1 i =1 ∑ a i ei + ∑ a i ( yi − ei ) ≥ n ∑a e i =1 i i − K1 max a i n K ≥ ⎛⎜1 − ⎞⎟ K⎠ ⎝ ∑a e i i i =1 Vậy T đẳng cấu Định nghĩa 1.7 Cho X i ( i ∈ ) không gian không gian Banach X Dãy {X i }i =1 gọi dãy sở không gian tồn số K > ∞ cho bất đẳng thức m+n ∑ xi ≥ K i =1 thỏa mãn với m, n ∈ m ∑x i =1 i (2) x i ∈ X i , i = 1, 2, , m + n Ta gọi suppremum tất số K thỏa mãn bất đẳng thức (2) sở dãy {X k }k =1 ∞ Bổ đề 1.2 Nếu {Xi }i =1 dãy sở không gian với sở K ∞ x i ∈ X i ( i = 1, 2, , n ) ta có n ∑x i =1 i ≥ K max x i 1≤i≤ n Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chứng minh Với i ∈ [1, n ] , từ định nghĩa ta suy n ∑x j=1 j ≥K i ∑x j=1 j n ∑x j=1 j ≥K i −1 ∑x j=1 j Do K⎛ xj ≥ ⎜ ∑ 2⎝ j=1 n Vậy n ∑x i =1 i ≥ i ∑x j=1 j + i −1 ∑x j=1 j ⎞ K xi ⎟≥ ⎠ K max x i 1≤i≤ n Định lý 1.6 [11] Cho X, Y không gian Banach Giả sử Y biểu diễn hữu hạn khơng gian có đối chiều hữu hạn X Khi {Yi }i =1 ∞ không gian hữu hạn chiều Y với ∀ε > , tồn dãy sở không gian {X i }i =1 X với sở - ε thỏa điều kiện ∞ d ( Xi , Yi ) ≤ + ε , với i ∈ 1.4 Tính chất infratype tính chất B–lồi Định nghĩa 1.8 Ta nói khơng gian Banach X có infratype p >1 với số C > với họ hữu hạn phần tử x , x , x n X ta có ⎛ n p ⎞p ∑ αi x i ≤ C ⎜ ∑ x i ⎟ αi =±1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ n Định nghĩa 1.9 Không gian Banach X gọi B–lồi l1 không biểu diễn hữu hạn X Định lý 1.7 [10] Không gian X B–lồi tồn số nguyên dương n ε dương cho αi =±1 n ∑α x i =1 i i ≤ (1 − ε ) n Định lý 1.8 [10] X không gian B–lồi X có infratype p > Chương Một số kiến thức chuẩn bị Bổ đề 1.3 Cho X không gian Banach Giả sử X không khơng gian B–lồi Khi đó, khơng gian có đối chiều hữu hạn X không không gian B–lồi Chứng minh Ta cần chứng minh bổ đề cho khơng gian X có đối chiều Giả sử Y siêu phẳng X Y khơng gian B-lồi Khi đó, định lý I.8, Y có infratype p >1 với số C > Ta chứng minh trường hợp X có infratype p Lấy f ∈ X* cho ker f = Y e ∈ X thỏa điều kiện f ( e ) ≥ f e n Xét {x i }1 họ hữu hạn tùy ý phần tử X Ta giả sử n số chẳn, n = 2m Rõ ràng, phần tử x i viết dạng x i = a i e + yi , e ≤ f ( a i e ) f ( a i e + yi ) = ≤ x i yi ≤ x i + a i e ≤ x i f f Không tính tính tổng qt, ta giả sử a i tăng i tăng Khi αi =±1 n ∑ αi x i ≤ i =1 βi =±1 ≤ βi =±1 m ∑β k =1 k ( x 2k − x 2k −1 ) m ∑ βk ( y2k − y2k −1 ) + e k =1 m ∑a k =1 2k − a 2k −1 ⎛ m p ⎞p ≤ C ⎜ ∑ y 2k − y 2k −1 ⎟ + e a 2m − a1 ⎝ k =1 ⎠ 1 ⎛ n ⎛ n p ⎞p p ⎞p ≤ 6C ⎜ ∑ x i ⎟ + x n + x1 ≤ 10C ⎜ ∑ x i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ Do X có infratype p > X khơng gian B–lồi (Định lý 1.8) Điều trái với giả thiết Vậy bổ đề chứng minh 10 Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi j j m 8C ⎛ m p ⎞p x π( k ) − ∑ x i ≤ x ∑ ∑ k ⎜ ⎟ m i =1 − ε ⎝ k =1 ⎠ k =1 Định lý 3.2 Cho X khơng gian Banach có infratype p với số C Khi X thỏa điều kiện ℜ ( p, 2C ) Chứng minh Lấy {x i }i =1 họ hữu hạn phần tử tùy ý X, {λ i }i =1 họ số thực n n thỏa điều kiện ≤ λ i ≤ (i =1, 2, , n) Ta cần chứng minh tồn hệ số n n ∑λ x − ∑θ x θi ∈ {0,1} (i =1, 2, , n) cho i =1 i i i =1 i p ⎛ p⎞ ≤ 2C ⎜ ∑ x i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ n i ∞ Biểu diễn số λ i dạng phân số nhị phân vô hạn λ i = ∑ λ1i,k 2− k , với k =0 ⎛ n p ⎞p λ1i,k ∈ {0,1} Chọn số nguyên dương N cho 2− N.n max x i < C ⎜ ∑ x i ⎟ ký i∈{1,2, ,n} ⎝ i =1 ⎠ N hiệu λ1i = ∑ λ1i,k 2− k Khi đó, ta có i =1 ⎛ n p ⎞p x x C x λ − λ ≤ ∑ ∑ i i i i ⎜∑ i ⎟ i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ n n (10) Gọi I1 tập số i cho λ1i,N = Do X khơng gian có infratype p với số C nên chọn hệ số t1i = ±1 cho p ⎛ ⎛ n p⎞ p ⎞p ≤ ≤ t x C x C x ⎜∑ i ⎟ ∑ i i ⎜∑ i ⎟ i∈I1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i∈I1 ⎠ ⎧ λ1i , i ∉ I1 Xét số λ xác định λ = ⎨ -N 1 , i =1, 2, , n Khi ta có ⎩2 t i + λ i , i ∈ I1 i i n n ∑λ x − ∑λ x i =1 i i i =1 i i = 2− N ⎛ n p ⎞p −N t x C ≤ ∑ i i ⎜ ∑ xi ⎟ i∈I1 ⎝ i =1 ⎠ 35 (11) Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi Mỗi số λ i2 biểu diễn dạng phân số nhị phân có độ dài N − sau: N −1 2 λ = ∑ λ i,k 2− k , với λ i,k ∈ {0,1} Gọi I tập số i cho λ1i,N −1 = Chọn i k =0 ∑t x t i2 = ±1 cho i∈I 2 i p ⎛ p⎞ ≤ C ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ n i ⎧ λ i2 , i ∉ I Khi Với i ∈ {1, 2, , n} , đặt λ = ⎨ -N+1 2 ⎩2 t i + λi , i ∈ I i n p ⎞p − N +1 ⎛ x x C x λ − λ ≤ ∑ ∑ i i i i ⎜∑ i ⎟ i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ n n (12) Dễ thấy số λ 3i biểu diễn dạng phân số nhị phân có độ dài N − ≤ λ 3i ≤ Lặp lại trình N lần, ta thu họ số λ iN +1 với λ iN +1 ∈ {0,1} Lúc hệ số θi cần tìm xác định θi = λ iN +1 , i ∈ {1, 2, , n} Sử dụng bất đẳng thức (10), (11), (12) bất đẳng thức tương tự có phép xây dựng qui nạp, ta có n n ∑λ x − ∑θ x i =1 i i i =1 i i = n n ∑λ x − ∑λ i =1 i i i =1 N +1 i i x ≤ + n n ∑λ x − ∑λ x i =1 i n n i =1 i =1 i i =1 i i + ∑ λ1i x i − ∑ λi2 x i + + n n i =1 i =1 ∑ λiN x i − ∑ λiN+1x i ⎛ n ⎛ n p ⎞p p ⎞p −N − N +1 −1 ≤ C ⎜ ∑ x i ⎟ (1 + + + + ) ≤ 2C ⎜ ∑ x i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ Vậy X thỏa điều kiện ℜ ( p, 2C ) Từ định lý 3.1, 3.2 bổ đề 3.1 ta có định lý sau mở rộng định lý Steinitz cho không gian Banach vô hạn chiều 36 Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi Định lý 3.3 Cho X không gian Banach có infratype p, X có tổng s thỏa điều kiện ∞ ∑x i =1 ∑ ∞ p i ∑ ∞ x i chuỗi < ∞ Khi miền tổng chuổi x i đa tạp tuyến tính có dạng s + Γ 3.2 Miền tổng chuỗi không gian Lp [ 0,1] Bổ đề 3.4 Với a, b số thực tùy ý, ta có p p p −1 sign(a) + A p b < p ≤ p p p −1 sign(a) + A p b + a (i) a + b ≤ a + p.b a (ii) a + b ≤ a + p.b a p ( p p−2 b ) < p < ∞ A p ≥ hệ số phụ thuộc vào p Chứng minh Ta chứng minh bổ đề cho trường hợp < p < ∞ Trường hợp lại chứng minh cách tương tự Dễ thấy b = a =0 bất đẳng thức ln với A p ≥ p Xét trường hợp a, b ≠ Chia hai vế bất đẳng thức cho a , ta bất đẳng thức tương đương ( p p + β ≤ + pβ + A p β + β ) , β = ba p + β − − pβ ⇔ Ap ≥ p β +β Có thể thấy hàm số f ( β ) = p + β − − pβ p β +β có cận hữu hạn lớn \ {0} Do chọn A p = sup f ( β ) ta có điều phải chứng minh tập β∈ \{0} Bổ đề 3.5 Với x, y ∈ L p [ 0,1] tùy ý, ta có (i) x + y ≤ x + Fx ( y ) + A p y < p ≤ p p p 37 Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi ( (ii) x + y ≤ x + Fx ( y ) + A p y + x p p p p−2 y ) < p < ∞ A p xác định bổ đề 3.4, Fx phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định Fx ( y ) = p ∫ x ( t ) p −1 signx ( t ) y ( t ) dt (Tính liên tục hàm Fx suy từ bất đẳng thức Holder) Chứng minh Trường hợp < p ≤ Do bổ đề 3.4, ta có x ( t ) + y ( t ) ≤ x ( t ) + p.y ( t ) x ( t ) p p p −1 signx(t) + A p y ( t ) , với p t ∈ [ 0,1] Lấy tích phân hai vế theo t ta thu bất đẳng thức x + y ≤ x + Fx ( y ) + A p y p p p Trường hợp < p < ∞ Một cách tương tự, sau lấy tích phân hai vế ta ⎛ p ⎞ p−2 x + y ≤ x + Fx ( y ) + A p ⎜ y + ∫ x ( t ) y ( t ) dt ⎟ ⎝ ⎠ p p Áp dụng bất đẳng thức Holder với số mũ s = p p s′ = ta có p−2 1 ∫ ( Vậy x + y ≤ x + Fx ( y ) + A p y + x p p Định lý 3.4 Cho ∞ ∑x k =1 s = 1 ⎡1 ⎤ s′ p−2 2s′ ( p − )s ⎤ s ⎡ x ( t ) y ( t ) dt ≤ ⎢ ∫ x ( t ) dt ⎥ ⎢ ∫ y ( t ) dt ⎥ = x ⎣0 ⎦ ⎣0 ⎦ ∞ k ∑ x k Giả sử chuỗi k =1 p p−2 y p−2 y ) chuỗi hội tụ không gian L p [ 0,1] (1 < p < ∞ ) ∞ ∑ x k thỏa điều kiện k =1 ∞ ∑x k =1 r k < ∞ , với r = {2, p} Khi miền tổng chuỗi đa tạp tuyến tính có dạng s + Γ Chứng minh Áp dụng định lý 3.3 ta cần chứng minh không gian L p [ 0,1] có infratype r = {2, p} 38 Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi Lấy {x i }i =1 họ hữu hạn phần tử tùy ý L p [ 0,1] Ta chứng minh n tồn hệ số ηi ∈ {+1, −1} , với i = 1, 2, , n, cho ⎛ n r ⎞r ηi x i ≤ C ⎜ ∑ x i ⎟ ∑ ⎝ i =1 ⎠ i =1 n • (13) Trường hợp < p < ∞ Khi r = Các hệ số ηi chọn qui nạp sau: Chọn η1 tùy ý, chẳng hạn η1 = k −1 Giả sử chọn hệ số η1 , η2 , , ηk Đặt s k −1 = ∑ ηi x i Ta xác định hệ số ηk i =1 từ điều kiện Fsk −1 ( ηk x k ) = p ∫ s k −1 ( t ) p −1 si gn [s k −1 ( t )].ηk x k ( t ) dt ≤ 0 Các hệ số {ηi }i =1 chọn thỏa mãn bất đẳng thức (13) Thật vậy, theo n bổ đề 3.5, với k ∈ {1, 2, , n} ta có sk p p = s k −1 + ηk x k ( p p ≤ s k −1 + A p x k Trong số phần tử s k p ≤ s k −1 + A p x k + s k −1 (x p−2 k p−2 xk + s k −1 ) p−2 ) ( k = 1, 2, , n), chọn phần tử có chuẩn lớn nhất, giả sử s m Khi đó, x k = s k − s k −1 ≤ s k + s k −1 ≤ 2s m nên ta suy sk p ≤ s k −1 p + Ap x k (2 p−2 + 1) s m p −2 (14) Lấy tổng hai vế bất đẳng thức có dạng (14) ứng với k = 2, 3, , m, thu gọn, ta sm p ≤ s1 + A p ( 2p− + 1) s m p Mặt khác, s1 ≤ s m A p ≥ nên s m p 39 ≤ Ap ( p−2 m ∑x k =2 p−2 k + 1) s m p−2 m ∑x k =1 k Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi Cuối cùng, chia hai vế bất đẳng thức cho s m s n m ≤ A p ( 2p− + 1) ∑ x k p−2 lưu ý s n ≤ s m ta k =1 ⎛ n r ⎞r Từ suy ∑ ηi x i ≤ C ⎜ ∑ x i ⎟ , C = A p ( 2p− + 1) ⎝ i =1 ⎠ i =1 n • Trường hợp < p ≤ Khi r = p Áp dụng bổ đề 3.5, mục (i) lập luận tương tự ta chứng minh bất đẳng thức (13) Vậy L p [ 0,1] có infratype r = {2, p} 3.3 Miền tổng chuỗi tính chất B- lồi Định nghĩa 3.2 Cho ∞ ∑x k =1 chuỗi k chuỗi không gian Banach X Ta nói ∞ ∑ x k làm trội chuỗi số dương k =1 ∞ ∑a k =1 k x k ≤ a k , với k ∈ Định nghĩa 3.3 Cho X không gian Banach {a k }1 dãy số ∞ thực dương Nếu chuỗi X làm trội chuỗi ∞ ∑a k =1 k có miền tổng tập tuyến tính ta nói định lý Steinitz thỏa mãn khơng gian Banach X ( ) dãy số dương {a k }1 , ký hiệu X ∈ S {a k }1 ∞ Rõ ràng ∞ ∑a k =1 k ( ∞ ) < ∞ X ∈ S {a k }1 , với không gian Banach X Trong ∞ mục này, ta trình bày kết V M Kadets chứng minh trường hợp ∞ ∑a k =1 k ( ) = ∞ X khơng khơng gian B–lồi X ∉ S {a k }1 Việc chứng minh ∞ kết chia thành hai bước Trước hết ta chứng minh kết không gian X = L1 [ 0,1] Trong bước thứ hai ta mở rộng kết cho trường hợp tổng quát khơng gian X khơng có tính chất B–lồi 40 Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi Định lý 3.5 Giả sử {a k }k =1 dãy đơn điệu không tăng số thực dương ∞ ∑ ∑ ∞ ∞ a k = ∞ Khi tồn chuỗi a k , cho DS ∑ ∞ x k L1 [ 0,1] , làm trội ( ∑ x ) khơng tập tuyến tính ∞ k Chứng minh Chọn dãy số dương {bi }1 cho bi ≤ {a 2i ,a 2i −1} , lim bi = ∞ i →∞ ∑ ∞ bi = ∞ Ký hiệu I0 = [ 0,1] Bằng phương pháp quy nạp ta xây dựng dãy khoảng đóng I k ( k ≥ 1) dãy số nguyên n k ( = n1 < n < ) thỏa điều kiện sau: • • • I k < b k , với k ≥ Các khoảng {I k }ki=+n1 i +1 không chồng lên n Với j, ta có I j−1 = n j+1 ∪ Ik k = n j +1 Chia tập I0 thành hợp số hữu hạn khoảng đóng I1 , I , , I n không chồng lên cho I k < b k , với ≤ k ≤ n Tiếp tục chia I1 , I , , I n thành n j +1 khoảng đóng không chồng lên nhau: I j−1 = ∪ I k , với j = 2, n + cho I k ≤ b k k = n j +1 Tiếp tục q trình vơ hạn ta xây dựng dãy khoảng đóng I k dãy số { n k } thỏa điều kiện Chú ý bất đẳng thức I k ≤ b k , k = 1, 2, bảo đảm điều kiện ∑ ∞ bi = ∞ ⎧ , t ∈ I j Với j∈ , xét hàm x j ( t ) = ⎨ x j−1 = − x j Dễ thấy ⎩0 , t ∈ I0 \ I j hàm thuộc L1 [ 0,1] Ta chứng minh ∑ ∞ k =1 x k chuỗi cần tìm Thật vậy, x j = x j−1 = I j < b j nên lim x i = Hơn nữa, ta có b j ≤ {a j ,a j−1} , i →∞ điều suy chuỗi ∑ ∞ k =1 x k làm trội chuỗi 41 ∑ ∞ a k Dễ thấy Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi ∑ ∞ i =1 x i = cách tương tự ví dụ Marcinkiewicz – Kornilov, ta chọn hốn vị π cho chuỗi nữa, chuỗi ∑ ∞ k =1 ∑ ∞ i =1 x π(i ) hội tụ hàm đồng Hơn x k nhận giá trị nguyên nên hội tụ hàm đồng ( ) ∞ Vậy DS ∑ x k không tập tuyến tính Định lí 3.6 Cho X, Y không gian Banach Giả sử X biểu diễn hữu hạn không gian Y có đối chiều hữu hạn Khi đó, tồn số D (0 ≤ D n), ta có n n j k =1 i =0 j ⎡ i +3 t g ≤ ∑ ∑ ⎢(1 + ε ) k k k = n i +1 i=0 ⎣ n i +1 ∑ ≤ (1 + ε ) j+ max i ≤ ⎤ t k ek ⎥ k = n i +1 ⎦ n i +1 ∑ t kgk ≤ ∑ (1 + ε ) j+ C ≤ An j k = n i +1 n i +1 ∑ t k ek n ∑t e k k k =1 n n ∑ t k ek ≤ A n ∑t e k =1 k k k =1 (Ở ta sử dụng giả thiết {e k }1 dãy sở với sở C) ∞ Như phần bất đẳng thức (15) chứng minh Ta chứng minh phần lại Do {Yj} j=0 dãy sở không gian với sở - ε nên theo ∞ bổ đề 1.2, ta có n ∑ t kgk ≥ k =1 1− ε max i n i +1 t k g k ≥ max ∑ i k = n i +1 n i +1 ≥ max 2i +3 i Thay a i , bi bất đẳng thức ∑ k = n i +1 ∞ ∑a i =0 n i +1 t k e k = 2.max 2i i ∞ i ∞ ∑ t kgk ≥ ∑ k =1 t kgk n i +1 ∑ k = n i +1 t k ek bi ≤ max a i ∑ bi i i =0 2− i , ta n ∑ k = n i +1 n i +1 ∑ i = k = n i +1 Vậy định lý chứng minh 43 t k ek ≥ n ∑t e k =1 k k i n i +1 ∑ k = n i +1 t k ek Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi Bổ đề 3.6 Cho X không gian Banach với sở {e k }1 {x k }1 tập đếm ∞ ∞ tùy ý vectơ X Khi tồn sở {e k } X thỏa điều kiện ∞ {x k }1∞ ⊂ Lin {ek }1 , hay nói cách khác, khai triển vectơ x i sở {e k }1 ∞ ∞ tổng hữu hạn Chứng minh Gọi C sở sở {e k }1 Khơng tính tổng qt ta xem ∞ ei = 1, ∀i = 1, 2, 3, Giả sử x i ≠ , với i Bước Bằng phương pháp quy nạp, ta xây dựng dãy số nguyên dương n1 < n < họ vectơ {ei } ⊂ X cho với i ∈ ∞ ei − ei ≤ C n , x i ∈ Lin {e k }1 i i +3 ∞ Biểu diễn x1 theo sở {e k }1 sau: x1 = ∑ a i ei Chọn i1 số cho ∞ i =1 a i1 ≠ Ta đặt ∗ ∗ n1 số nguyên lớn i1 thỏa điều kiện ∞ ∑ ae i = n1 +1 i i ≤ C a i1 2i1 +3 ⎧ ei = ei , i ≤ n1 i ≠ i1 ⎪ ∞ ⎨ ei = e + ∑ a i ei i1 ⎪ a i1 i = n1 +1 ⎩ Khi ei − ei ≤ C , i = 1, 2, , n1 2i + Theo định lý Krein – Mil’man – Rutman vectơ e1 ,e , ,e n1 ,e n1 +1 ,e n1 + , lập n1 thành sở X ra, x1 = ∑ a i ei i =1 Giả sử số n1 , n , , n i vectơ e k xác định với k ≤ n i Theo định lý Krein – Mil’man – Rutman, vectơ e1 ,e , ,e ni ,e ni +1 ,e ni + , lập thành sở X Ta viết biểu diễn x i +1 sở này: 44 Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi ni x i +1 = ∑ b k e k + k =1 ∞ ∑ k = n i +1 bk ek Đặt J = {b k : b k ≠ 0} Ta xét hai trường hợp sau • Trường hợp J tập hữu hạn Khi ta đặt n i +1 số thỏa điều kiện n i +1 ≥ max J , vectơ e k với n i < k ≤ n i +1 chọn trùng với vectơ e k • Trường hợp J tập vô hạn Chọn r > n i cho b r ≠ Ta đặt n i +1 số nguyên dương thỏa điều kiện n i +1 > r ∗ ∞ ∑ k = n i +1 +1 bk ek ≤ Cb r r +3 Các vectơ e k với n i < k ≤ n i +1 xác định sau ∗ ⎧ e k = e k , k ≠ r ⎪ ∞ ⎨e = e + r ∑ bk ek r ⎪ b r k =ni +1 +1 ⎩ n i +1 Trong hai trường hợp ta có x i +1 = ∑ b k e k e k − ek ≤ k =1 C , với k ≤ n i +1 2k +3 Bước Áp dụng định lý Krein – Mil’man – Rutman, họ vectơ {ei } ⊂ X ∞ xây dựng bước sở không gian X thỏa điều kiện {x k }1 ⊂ Lin {e k } ∞ ∞ Vậy bổ đề chứng minh Định lý 3.7 Cho X khơng gian Banach có sở {e k }1 , Y không ∞ gian Banach Giả sử (i) X biểu diễn hữu hạn khơng gian có đối chiều hữu hạn Y ∞ (ii) ∑ x k chuỗi X có miền tổng DS ( ∑ x k ) khơng tập tuyến tính k =1 Khi đó, với dãy số dương {a k }1 hội tụ đơn điệu đến +∞ , tồn ∞ chuỗi ∑ ∞ k =1 y k Y cho DS ( ∑ y k ) không tập tuyến tính y k ≤ a k x k , với k ∈ 45 Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi Chứng minh Trong lý luận đây, ta quy ước lấy a1 > 12 Điều thực cách nhân tất số a i số K đủ lớn, đồng thời chia tất các x i cho số Do DS ( ∑ x k ) tập không tuyến tính nên tồn u, v ∈ DS ( ∑ x k ) λ ∈ cho λu + (1 − λ ) v ∉ DS ( ∑ x k ) Do bổ đề 3.6 nên không tính tổng qt ta giả sử u, v, x i ∈ Lin {ei }1 Gọi π σ hoán vị thỏa điều kiện ∞ ∞ ∑x ( ) = u k =1 π k ∞ ∑x ( ) = v σ k k =1 j j ⎧ ⎫ Đặt b j = max ⎨ u − ∑ x π( k ) , v − ∑ x σ( k ) ⎬ Ta có lim b j = Chọn số j→∞ k =1 k =1 ⎩ ⎭ j j k =1 k =1 n1 < n < đủ lớn cho với j, vectơ u − ∑ x π( k ) , v − ∑ x σ( k ) x j thuộc Lin {e k }k =1 Lấy {A k }k =1 dãy số dương, hội tụ đơn điệu +∞ thỏa điều kiện 12 + A n j ≤ a j , lim b jA n j = Khi đó, áp dụng định lý 3.6 ta xác định ∞ nj j→∞ họ {g k }k =1 phần tử Y cho với họ hữu hạn số thực {t k }k =1 ∞ n n ∑ t k ek ≤ k =1 n ∑ t k g k ≤ (12 + A n ) k =1 n ∑t e k =1 k k Xét tốn tử tuyến tính T : Lin {g k }k =1 → Lin {e k }k =1 xác định Tg k = e k , với ∞ ∞ k = 1, 2, Dễ thấy T đơn ánh liên tục Xác định vectơ y k hệ thức y k = T −1x k Khi đó, ta có • • y k ≤ (12 + A n k ) x k ≤ a k x k j j ⎧ ⎫ max ⎨ u − ∑ y π( k ) , v − ∑ yσ( k ) ⎬ ≤ b j 12 + A n j , k =1 k =1 ⎩ ⎭ ( ( ) ) u = T −1u v = T −1v Mặt khác lim b j 12 + A n j = nên vectơ u, v ∈ DS ( ∑ y k ) Tuy j→∞ 46 Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi nhiên λ u + (1 − λ ) v ∉ DS ( ∑ y k ) Thật vậy, giả sử tồn phép giao hoán τ cho ∞ ∑ y ( ) = λ u + (1 − λ ) v Khi tính liên tục tốn tử T nên τ k k =1 ∞ ∞ k =1 k =1 ∑ x τ( k ) = ∑ Tyτ( k ) = T ( λ u + (1 − λ ) v ) = λu + (1 − λ ) v Điều trái với điều kiện λu + (1 − λ ) v ∉ DS ( ∑ x k ) Do DS ( ∑ y k ) khơng tập tuyến tính Vậy chuỗi ∞ ∑y k =1 k thỏa điều kiện định lý Định lý 3.8 Cho Y không gian Banach {a i }1 dãy số dương ∞ thỏa điều kiện ∞ ∑a k =1 ( k = ∞ Giả sử Y không không gian B–lồi Khi ) Y ∉ S {a k }k =1 , nghĩa tồn Y chuỗi ∞ ∞ ∑ yk làm trội k =1 ∞ ∑a k =1 k có miền tổng DS ( ∑ y k ) khơng tập tuyến tính Chứng minh Ta cần chứng minh cho trường hợp {a i }1 dãy hội tụ đơn điệu đến ∞ Chọn hai dãy số dương {bi }1 {ci }1 cho a k = b k c k , b k ↑ ∞ c k ↓ ∞ ∞ Theo định lý 3.5, xây dựng chuỗi ∞ ∑x k =1 ∞ ∑c k =1 k k L1 [ 0,1] làm trội có miền tổng DS ( ∑ x k ) khơng tập tuyến tính Mặt khác, ta có f L1 [ 0,1] ⎯⎯ → l1 nên từ giả thiết Y không gian B–lồi bổ đề 1.3 ta suy L1 [ 0,1] biểu diễn hữu hạn khơng gian có đối chiều hữu hạn Y Áp dụng định lý 3.7, tồn chuỗi ∞ ∑y k =1 tuyến tính làm trội chuỗi ∞ ∑b k =1 chuỗi ∞ ∑ yk làm trội k =1 ∞ ∑a k =1 k 47 k k Y có miền tổng khơng tập x k Do x i ≤ ci a k = b k c k nên Miền tổng chuỗi tính chất lồi không gian Banach KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết nghiên cứu hồn chỉnh liên quan đến vấn đề lý thuyết chuỗi khảo sát cấu trúc miền tổng chuỗi không gian Banach, cụ thể ∗ Chứng minh miền tổng chuỗi hội tụ có điều kiện không gian Banach hữu hạn chiều đa tạp tuyến tính (Định lý 2.1) ∗ Đối với khơng gian Banach vơ hạn chiều ln tồn chuỗi hội tụ có điều kiện mà miền tổng khơng tập tuyến tính Tuy nhiên, giới hạn khơng gian Banach thỏa tính chất infratype lớp chuỗi mà miền tổng đa tạp tuyến tính Đó lớp chuỗi hội tụ có điều kiện thỏa tính chất p - hội tụ tuyệt đối (Định lý 3.3) Hơn nữa, tính chất tuyến tính miền tổng chuỗi không gian B - lồi (Định lý 3.8) Bên cạnh kết tổng qt trên, chúng tơi cịn xét vấn đề khía cạnh khác “ Xây dựng chuỗi có miền tổng cho trước ” Ở chúng tơi giải tốn không gian hữu hạn chiều, không gian Hilbert khả li khơng gian Banach có sở Schauder Khi thực luận văn này, tác giả có nhiều cố gắng Tuy nhiên, với hiểu biết hạn chế thời gian thực luận văn nên khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy hội đồng 48 Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO W Banasczyk, The Steinitz theorem on rearrangement of series for nuclear spaces, Reine Angew journal of Mathematics 403 (1990), 187-200 W Banasczyk, Rearrangement of series in nonnuclear spaces, Studia Mth, 107 (1993), 213 – 222 J Bonet, A Defant, The Levy - Steinitz rearrangement theorem for duals of metrizable spaces, Israel journal of Mathematics, 117 (2000), 131 - 156 D T Cap, L X Truong, Some remarks and examples to domains of sums of reries in Banach spaces, Journal of Sciences, VNU, Serial of Physics and Mathematics, (2003), - 12 Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục, 2000 Chasco, S Chobanjan, On rearrangements of series in locally convex spaces, Michigan Math J, 44 (1997), 607 – 617 M I Kadets, V M Kadets, Rearrangements of series In Banach spaces, Translations of mathematical monographs, Vol 86, American Mathematical society, 1991 M I Kadets, V M Kadets, Series In Banach, Operator Theory, Advances and Applications 94, Birkhauser, 1997 P Lévy, Sur les séries semi – convergentes, Nouv Ann de Mathématiques (1905), 506 – 511 10 G Pisier, Sur les espaces de Banach qui ne contiennent pas unifomément de ln1 , C R Acad Sci Paris 277 (1973) 11 J Lindenstrauss and Tzafriri, Classical Banach spaces I, II, Spinger – Verlag, Berlin, 1979 12 M I Ostrovski, Domains of sums of conditionally convergent series In Banach spaces, Funktsional Anal I Prilozhen, ( 1971), 28 -37 13 E Steinitz, Bedingt konvergente Reihe und konvexe systeme, J Reine angew Math, 143 (1913) 128 – 175, 144 (1914) 1- 40, 146 (1916) -52 49 ... X không gian B? ?lồi (Định lý 1.8) Điều trái với giả thiết Vậy bổ đề chứng minh 10 Chương Miền tổng chuỗi không gian Banach CHƯƠNG II MIỀN TỔNG CỦA CHUỖI TRONG KHÔNG GIAN BANACH 2.1 Miền tổng chuỗi. .. =1 π k = x Chương Miền tổng chuỗi tính chất lồi CHƯƠNG III MIỀN TỔNG CỦA CHUỖI VÀ CÁC TÍNH CHẤT LỒI Như nói phần mở đầu, việc nghiên cứu cấu trúc miền tổng chuỗi không gian vô hạn chiều làm... chứng minh chi tiết Một số kết Miền tổng chuỗi tính chất lồi khơng gian Banach Chuỗi không gian Banach Biểu diễn hữu hạn Dãy sở Tính chất infratype tính chất B – lồi Trong phần đầu chương II, chúng