Tính ổn định của phương trình volterra vi tích phân tuyến tính trên không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành Trung TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH TRÊN KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thành Trung TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH TRÊN KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ HỒN HỐ Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Để thực thành công luận văn xin chân thành cảm ơn Quý thầy cô thuộc hai trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa học Tự Nhiên nhiệt tình giảng dạy cho tơi suốt khố học, cảm ơn phịng Khoa học Cơng nghệ Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực luận văn Tơi xin chân thành cám ơn PGS TS Lê Hồn Hố tận tình hướng dẫn tơi suốt thời gian qua, cám ơn anh chị học viên lớp Giải tích K17 động viên giúp đỡ cho nhiều ý kiến q báu giúp tơi hồn thiện luận văn Tác giả luận văn Nguyễn Thành Trung MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắc MỞ ĐẦU Chương : CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Chương : TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ GIẢI 10 2.1 Định lý 2.1 10 2.2 Định lý 2.2 13 Chương : ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU VÀ NGHIỆM -BỊ CHẶN, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN 19 3.1 Nghiệm -bị chặn 19 3.2 Nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận 22 Chương : ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT HƠN 30 4.1 Áp dụng vào phương trình Volterra tổng quát 30 4.2 Ví dụ 4.2 31 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Trong luận văn này, chúng tơi kí hiệu - X, X  không gian Banach với chuẩn - Với J  X kí hiệu: + C ( J ; X ) không gian hàm liên tục J, nhận giá trị X + BC ( J ; X ) không gian C ( J ; X ) gồm hàm liên tục bị chặn J Khi BC ( J ; X ) không gian Banach với chuẩn sup J - L(X) khơng gian Banach ánh xạ tuyến tính bị chặn X với chuẩn ánh xạ tuyến tính - AP( ;X) không gian hàm f :  X hầu tuần hoàn MỞ ĐẦU Trong luận văn này, chúng tơi xem xét phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính: t (E) du (t )  Au (t )   B  t , s  u  s  ds, t  dt (E  ) dv(t )  Av (t )   B  t , s  v  s  ds, t  : (; ), dt  (P) du (t )  Au (t )   B  t , s  u  s  ds  p (t ), t  dt (P ) dv(t )  Av(t )   B  t , s  v  s  ds  p (t ), t  , dt   : [0; ), t t  , t đó: - A phần tử sinh nửa nhóm compact C0 ánh xạ tuyến tính bị chặn khơng gian Banach X - B(t,s) ánh xạ tuyến tính bị chặn X thoả mãn hầu tuần hoàn theo t theo s - Trong trường hợp X hữu hạn chiều, tác giả [1], [2] đánh giá mối liên hệ tính ổn định phương trình Volterra vi tích phân phương trình giới hạn Trong đó, bật tính ổn định tiệm cận khả tích ánh xạ giải (resolvent operator), ứng dụng để tồn nghiệm bị chặn phương trình khơng - Trong khuôn khổ luận văn này, mở rộng nhiều kết [1], [2] cho trường hợp X vô hạn chiều Nếu theo đường [1], [2] X vô hạn chiều, gặp nhiều khó khăn, ví dụ đánh giá tính khả tích ánh xạ giải - Để giải khó khăn trên, chúng tơi đưa tính chất yếu cho ánh xạ giải (định lý 2.1) Thật vậy, (E) phương trình chập, nghĩa B (t , s )  B(t  s ) , tính chất yếu cho ta tính khả tích ánh xạ giải, kết đánh giá tính ổn đinh tiệm cận (E) tính khả tích ánh xạ giải, tính khả nghịch ánh xạ đặc trưng (định lý 2.2) Do vậy, định lý 2.2 tổng qt hố kết cho trường hợp X vơ hạn chiều Cuối cùng, cách sử dụng tiêu chuẩn yếu ánh xạ giải, đến kết tồn nghiệm hầu tuần hồn tiệm cận phương trình khơng với phần tuần hoàn tiệm cận (định lý 3.2.4), kết phổ Borh phần hầu tuần hoàn nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận (định lý 3.2.7) Các kết trình bày luận văn tham khảo chủ yếu từ báo, cơng trình nghiên cứu Hino, Y Murakami Luận văn chia làm chương sau: Chương 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa, kết sơ bộ: mệnh đề định lý phục vụ cho chứng minh chương sau Chương 2: TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ GIẢI Chương chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ để nghiệm không (E) ổn định (định lý 2.1), liên hệ tính ổn định nghiệm khơng (E) tính khả tích ánh xạ giải R(t, s) (định lý 2.2) Chương 3: ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN ĐỀU VÀ NGHIỆM -BỊ CHẶN, NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN Trong chương này, với giả thiết (E) ổn định tiệm cận đều, đến kết như: Tính nghiệm -bị chặn (P ) (định lý 3.1.1), công thức nghiệm -bị chặn (P ) (định lý 3.1.2) Ngoài ra, đưa khái niệm hầu tuần hoàn tiệm cận khái niệm phổ Borh, đến kết tồn nghiệm -bị chặn hầu tuần hoà tiệm cận quan hệ phổ Borh phần hầu tuần hoàn nghiệm (định lý 3.2.7) Chương 4: ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT HƠN Trong chương này, chúng tơi xét thêm phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính để thấy rõ kết có áp dụng vào phương trình Ngồi ra, chúng tơi cịn nghiên cứu thêm ví dụ phương trình vi tích phân với điều kiện biên Neumann để thấy rỏ tính áp dụng lý thuyết vừa nêu Chương CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ Equation Chapter Section Xét phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính: t (E) du (t )  Au (t )   B  t , s  u  s  ds, t  dt (E  ) dv(t )  Av (t )   B  t , s  v  s  ds, t  : (; ), dt  (P) du (t )  Au (t )   B  t , s  u  s  ds  p (t ), t  dt (P ) dv(t )  Av(t )   B  t , s  v  s  ds  p (t ), t  , dt   : [0; ), t t  , t Với A phần tử sinh nửa nhóm C0 compact T (t )t  ánh xạ tuyến tính khơng gian Banach X, B(t,s) ánh xạ tuyến tính liên tục bị với   s  t   hầu tuần hoàn chặn, liên tục theo chuẩn ánh xạ 1.1 Định nghĩa 1.1 B(t, s) gọi hầu tuần hoàn biến t theo s với   tập compact J  khoảng mở  : (;0] , tồn số dương l ( , J ) cho độ dài l ( , J ) chứa  B(t , t  s )  B (t   , t    s )   , t  , s  J 1.2 Định nghĩa 1.2 Với ( , )  hàm u:  u ( )   ( ),   [0, ]   BC [0; ]; X  p  BC [ ; ); X  tồn X thoả mãn u liên tục [ , ) ,  s  u (t )  T (t   ) ( )   T (t  s )   B( s, )u ( )d  p ( s )  ds, t      t (1.1) Hàm u gọi nghiệm yếu (P) theo ( , ) [ ; ) kí hiệu u (, , , p ) Tương tự, với ( , )   BC  (-; ]; X  p  BC [ ; ); X  tồn  X thoả mãn v liên tục [ , ) , hàm v : v( )   ( ),   (, ]  s  v(t )  T (t   ) ( )   T (t  s )   B ( s, )v( )d  p ( s )  ds, t       t (1.2) Hàm v gọi nghiệm yếu (P ) theo ( , ) [ ; ) kí hiệu v(, , , p ) 1.3 Định nghĩa 1.3 Nghiệm không (E) gọi ổn định với   , tồn  ( )  thoả mãn p  BC [ ; ); X  với  ( , )  [0, ]   ( ) u (t , , , p ) X   với t   ,  [0, ]   BC ([0, ], X )   ( ) p [ , )  sup  ( x) X s[0; ] 1.4 Định nghĩa 1.4 Nghiệm không (E  ) gọi ổn định với   , tồn  ( )  thoả p  BC [ ; ); X  mãn với  (  , ] ( , )   BC ((, ], X )   ( ) v(t , , , p ) X   ) với t   ,  [- , ] p [ , )  sup  ( x ) X s[  ; ]   ( ) 22 v (t ) : v(t , n ,0; p )  n t  R(t , s) p(s)ds n hội tụ nghiệm -bị chặn (P ) , compact Khi t lim n Do  n   R(t , s) p(s)ds  v(t ) n dãy thoả lim  n   nên từ ta có giới hạn n t lim    R(t , s) p(s)ds hội tụ v(t) compact  3.2 NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN TIỆM CẬN 3.2.1 Định nghĩa 3.2.1 Hàm p  BC ( ; X ) gọi hầu tuần hoàn tiệm cận p (t )  q (t )  r (t ) q(t) hàm hầu tuần hoàn lim r (t )  t  Rõ ràng hàm hầu tuần hoàn q Bên dưới, ta gọi q phần hầu tuần hoàn p kí hiệu q  p AP 3.2.2 Bổ đề 3.2.2 Giả sử nghiệm không (E) ổn định tiệm cận Với r  BC ( ; X ) thoả lim r (t )  , ta có t  t lim t   R(t , s)r (s)ds   Chứng minh t Theo định lí 3.1.3, z (t )   R(t , s)r (s)ds nghiệm  -bị chặn 23 t du (t )  Au (t )   B (t , s )u ( s )ds  r (t ) dt  Cho  n  dãy thoả lim  n   đặt z n (t )  z (t   n ) Bằng cách lập n   lại chứng minh định lí 3.1.2 ta giả sử dãy z n (t ) hội tụ hàm đó, ta gọi u(t), compact Do d n d z (t )  z (t   n ) dt dt  Az (t   n )  t  n  B(t   n , s ) z ( s )ds  r (t   n )   Az (t )  n  B(t   n , t   n  s) z n (t  s )ds  r (t   n )  nên u(t) nghiệm -bị chặn t du (t )  Au (t )   C (t , s)u ( s )ds dt  (3.1) C(t,s) hàm hầu tuần hồn phần bao B(t,s) Do nghiệm không (E  ) ổn định tiệm cận nên theo [4, Định lí 3.11], nghiệm không (3.1) ổn định tiệm cận Đặc biệt nghiệm -bị chặn (3.1) tầm thường, hay u (t )  Do lim z n (t )  hay lim z (t   n )  Do n n  n  dãy thoả lim  n   nên ta có lim z (t )  n t  3.2.3 Bổ đề 3.2.3 Giả sử nghiệm không (E) ổn định tiệm cận p  BC ( ; X ) hầu tuần hoàn tiệm cận Khi (P ) có nghiệm tuần hồn tiệm cận phần hầu tuần hoàn cho -bị chặn nhất, hầu 24 t  R(t , ) p AP ( )d  Chứng minh Theo định lí 3.1.2, (P ) có nghiệm -bị chặn t t t     R(t , ) p( )d   R(t , )q( )d   R(t , )r ( )d q  p AP t Theo bổ đề 3.2.1, lim t   R(t , )r ( )d  nên hàm t z (t ) :   R(t , )q( )d  -bị chặn hầu tuần hoàn Thật vậy, z(t) nghiệm t dv(t )  Av(t )   B(t , s )v( s )ds  q(t ) dt  (3.2) z (t ) X  M q t (vì  R(t , )q( )d   M q [ ,t ]  M q   , t  ,   t ) X M số nói điều kiện (2.3) Từ theo [4, Hệ 3.1], z(t) hầu tuần hồn 3.2.4 Định lí 3.2.4 Giả sử nghiệm không (E) ổn định tiệm cận p  BC ( ; X ) hầu tuần hồn tiệm cận Khi nghiệm (P) (P ) hầu tuần hoàn tiệm cận, phần hầu tuần hoàn chúng thường t  R(t , ) p AP ( )d  Chứng minh 25 t Với v(t) nghiệm (P ) z (t )   R(t , s) p(s)ds nghiệm -bị  chặn nhất, hầu tuần hồn tiệm cận (P ) (có bổ đề 3.2.2) Đặt w(t )  v(t )  z (t ) Khi w(t) nghiệm (E  ) , xác định [0, ) lim w(t )  tính ổn định tiệm cận nghiệm không t  (E  ) Do vậy, theo bổ đề 3.2.2 t t     lim  v(t )   R (t , s ) p AP ( s )ds   lim  w(t )   R (t , s )r ( s )ds    t    t         r : p AP Do vậy, v(t) hầu tuần hoàn tiệm cận phần hầu tuần hồn cho t  R(t , ) p AP ( )d  Tiếp theo, với u(t) nghiệm (P) xác định [ , ),   Đặt u (t )  u (0), t  Với t   , ta có t du (t )  Au (t )   B(t , s)u ( s)ds  p (t ) dt    Au (t )   B (t , s )u ( s )ds  p(t )    B(t , s )ds  u (0)       t Đặt     B ( t , s ) ds    u (0), t         p (t )        B ( , s ) ds   u (0), t          26 Khi u(t) nghiệm t dv(t )  Av(t )   B(t , s )v( s )ds  p (t )  p (t ) dt  xác định [ , ) Do t  S ( )  B(t , s)ds    B (t , s ) ds  p (t )  p (t ), t  S ( )    nên ta có   lim   B(t , s )ds  u (0)   t      Do p  p  BC ( ; X ) hầu tuần hoàn tiệm cận phần hầu tuần hồn p AP Do vậy, theo bổ đề 3.2.2, u(t) hầu tuần hoàn tiệm cận t phần hầu tuần hồn cho  R(t , s) p AP (s)ds  3.2.5 Định nghĩa 3.2.5 Với f  AP ( ; X ) đặt a ( f ,  )  lim T  2T T e  it f (t )dt T Tập hợp   : a ( f ,  )  0 gọi phổ Borh f, kí hiệu  b ( f ) Kí hiệu mb ( f ) mơđun sinh  b ( f ) 3.2.6 Định nghĩa 3.2.6 Hàm hầu tuần hoàn f gọi tựa tuần hồn mb ( f ) có sở nguyên hữu hạn Tiếp theo số tính chất phần hầu tuần hồn nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận (P ) nói đến định lí 27 Trong phần này, B(t, s) thoả điều kiện (H3) sau: B(t   , s   )  B(t , s ) với  số dương (H3) Rõ ràng, với điều kiện (H3) ánh xạ giải R(t, s) (E)  -tuần hoàn, nghĩa R(t   , s   )  R (t , s ) 3.2.7 Định lí 3.2.7 Giả sử điều kiện (H1)-(H3) thoả mãn nghiệm không (E) ổn định tiệm cận đều, p  BC ( ; X ) hầu tuần hồn tiệm cận Khi (P ) có nghiệm -bị chặn hầu tuần hoàn tiệm cận phần hầu tuần hồn cho t  R(t , ) p AP ( )d  Hơn phần hầu tuần hoàn thoả mãn quan hệ  t  2  b   R (t , ) p AP ( )d    b  p AP         (3.3) Chứng minh Phần đầu định lí nêu chứng minh định lí 3.2.4 chứng minh khẳng định (3.3) t Gọi z (t ) :  R(t , )q( )d q : p AP  Với   bất kỳ, tồn j q (t )   ak eik t , k   b (q )  k 1 cho sup q (t )  q (t ) t Đặt X  28 j z (t )    t R(t , )ak e  k 1 ik d  Ta có z (t )  z  (t ) X  M q  q   M  , t  với M số điều kiện (2.3) Đặt  t   (t )    R(t , )ak eik d  e ik t      Khi  t    (t   )    R(t   , )ak eik d  e ik (t  )       t     R (t   , s   )ak eik ( s  ) ds  e ik (t  )       t     R (t , s)ak eik s ds  e ik t        (t ) ( R(t, s)  -tuần hồn) Do  (t )  -tuần hoàn Từ z  (t ) hầu tuần hoàn Tiếp theo ta chứng minh quan hệ (3.3) Vì  t   b   R (t , )ak eik d    b  (t )eik      2  k       b (q)  nên ta có 2   (3.4) 29 2  b ( z  )   b (q)   Ta khẳng định  b ( z )   b (q)  2  Thật vậy, điều khẳng định sai tồn    b ( z )    b (q)  Do lim T  2T 2  T e  it z (t )dt  nên tồn   T0  cho T  T0 T 2T T e  it T z (t )dt X  2T T e   it T T  2T e T  it  z (t )  z (t ) dt  2T  T e  it T z (t )dt X  M z (t )dt X  M Khi    b ( z )   b (q)  2  Mâu thuẫn với giả thiết phản chứng có điều phải chứng minh Hệ 3.2.8 Giả sử điều kiện (H1)-(H3) thoả mãn nghiệm không (E) ổn định tiệm cận đều, p  BC ( ; X ) tựa tuần hồn Khi (P ) có nghiệm -bị chặn phần hầu tuần hồn cho t  R(t , ) p AP ( )d  tựa tuần hoàn 30 Chương ÁP DỤNG VÀO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA VI TÍCH PHÂN TỔNG QUÁT HƠN Equation Chapter (Next) Section 4.1 ÁP DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH VOLTERRA TỔNG QUÁT HƠN Xét phương trình t du (t )  Au (t )    B (t , s )  E (t , s )  u ( s )ds  p (t ) dt (4.1) t dv(t )  Av(t )    B(t , s )  E (t , s ) v( s)ds  p (t ) dt  (4.2) E(t, s) thoả điều kiện sau (H4) (H5) lim E (t , t  s )  compact theo s  (,0] t  Với   0,  s( )  cho sup t t  s ( )  E (t , s ) ds    Định lí 4.1 Giả sử điều kiện (H1)-(H5) thoả mãn nghiệm không (E) ổn định tiệm cận p  BC ( X ; ) hầu tuần hồn tiệm cận Khi nghiệm (4.1) (4.2) hầu tuần hoàn tiệm cận phần hầu tuần hồn cho t  R(t, ) p  Hơn phần hầu tuần hoàn thoả quan hệ AP ( )d 31  t  2  b   R(t , ) p AP ( )d    b  p AP       4.2 Ví dụ 4.2 Xét phương trình vi tích phân u  2u  u (t , x)   k (t , s, x)u ( s, x)ds, t  0,0  x   (t , x)  t x (t , x)  t (4.3) với điều kiện biên Neumann u u (t ,0)  (t ,  )  0, t  x x (4.4) Giả sử k(t, s, x) hàm liên tục thoả  k(t,s,x)  K(t-s) với K( )  hàm liên tục thoả  K ( )d   Xét không gian Banach X  C [0,  ];  định nghĩa ánh xạ tuyến tính A X định d 2  A  ( x)  ( x)   ( x),  x   dx với   D( A) :   C [0,  ]:  (0)   ( )  0 Khi tốn tử A sinh nửa nhóm compact T(t) X (4.3)-(4.4) đóng vai trị phương trình vi tích phân (E  ) X với  B(t , s)  ( x)  k (t , s, x) ( x),   X Dễ thấy, điều kiện (H1) – (H2) thoả mãn Hơn nữa, k(t, s, x) hầu tuần hoàn theo t theo (s, x) B(t, s) hầu tuần hồn theo t theo s Bên dưới, ta nói nghiệm yếu (E  ) nghĩa nghiệm yếu (4.3)-(4.4) Bổ đề 4.3 32   K ( )d : a  Khi nghiệm khơng (4.3)-(4.4) ổn Giả sử định Chứng minh Với   ,   cho trước, cần chứng minh h  C [ , )  [0,  ];  thoả sup t  , x[0; ] h  t , x   1  a   nghiệm u(t, x) phương trình u  2u (t , x)  (t , x)  u (t , x)   k (t , s, x)u ( s, x)ds  h(t , x), t   ,0  x   (4.5) t x  t thoả u (t , x)   với  t , x   [ , )  [0; ], sup   , x[0, ] Giả sử khẳng định  t1, x1    ,    [0, ] cho u  t1, x1    u  , x    sai Khi đó, tồn u (t , x)   ,   t , x    , t1   [0,  ] t Đặt p (t , x)   k (t , s, x)u (s, x)ds  h(t , x),  t , x  [ , t ]  [0, ]  Khi p  C [ , t1 ]  [0,  ];  p  t , x   a  cho sup n , t , x [ ,t1 ][0, ] [0, t1 ]  [0,  ] n   h t, x     pn   C1 [ , t1 ]  [0, ];  , Chọn số        dãy hàm n   D  A sup t  , x[0, ] pn  t , x    với pn  t , x   p  t , x  sup n n ( x)  u  , x  [0,  ] n   Tồn nghiệm cổ điển toán điều kiện đầu , x[0, ] n ( x)   với 33 v  2v  t , x    t , x   v  t , x   pn  t , x  ,   t  t1 ,  x   t x v v  t ,0    t ,   0,   t  t1 x x v  0, x   n  x  ,  x   Rõ ràng,  t , x   v  t , x  [ , t1 ]  [0,  ] Ta chứng minh  t , x    [ , t1 ]  [0,  ] (4.6) Bằng phản chứng giả sử (4.6) Khi tồn  t2 , x2   [ , t1 ]  [0,  ] cho  t2 , x2    ,  t , x    [ ,t )  [0,  ] Xét trường hợp  t2 , x2    đặt V  t , x    t , x    ,  t , x   [ , t1 ]  [0,  ] Khi  2V V t , x    t, x   V t, x   x t ( , t1 ]  [0,  ] vì:  2V V  2vn vn t x  t x  V t x  t x  , , , ,          t , x    t , x    x t x t   pn  t , x     Do đó, theo ngun lí cực đại [6, Định lí 3.7] có điều mâu thuẫn Thật vậy, x2   0,    2V V  0,  0, V  dãy bên trái bất đẳng x t thức không dương nguyên lí cực đại cho ta vn v  t2 ,   n  t2 ,0   x x  t2 , x2  (mâu thuẫn) Nếu x2    hay x2   vn v  t2 ,    hay n  t2 ,0    , mâu thuẫn, x x   34 Do trường hợp  t2 , x2    không xảy Tương tự trường hợp  t2 , x2    , đặt W  t , x  :    t , x  lặp lại chứng minh ta có điều mâu thuẫn Vậy ta có (4.6) Cho n   khẳng định (4.6) ta có u  t , x    [ , t1 ]  [0,  ] Đặc biệt ta có u  t1 , x1      mâu thuẫn với u  t1 , x1     Áp dụng bổ đề 4.2 định lí 3.1.3 ( hay định lí 3.2.4) ta có  K   d  k(t, s, x) hầu tuần hồn biến t theo (s, x), tốn (4.3) - (4.4) có nghiệm -bị chặn (hay nghiệm hầu tuần hoàn tiêm cận) h  t , x  bị chặn  [0,  ] (hay hầu tuần hoàn tiệm cận biến t theo x  [0,  ] 35 KẾT LUẬN Qua việc xem xét phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính (E), (E  ) , (P), (P ) đạt kết như: điều kiện cần đủ để nghiệm khơng phương trình ổn định, ổn định tiệm cần liên hệ giũa tính ổn định (ổn định tiệm cận đều) tính khả tích ánh xạ giải Ngồi ra, với giả thiết nghiệm khơng phương trình ổn định, chúng tơi cịn cơng thức nghiệm yếu (nghiệm -bị chặn), tồn nghiệm hầu tuần hồn tiệm cận Cuối cùng, chúng tơi cịn áp dụng vào phương trình tổng quát hơn, đưa ví dụ để thấy rõ tính áp dụng kết vừa nghiên cứu Tuy có nhiều cố gắn nhiệt tình dẫn thầy hướng dẫn, hạn chế thời gian khuôn khổ luận văn nên thân số chổ chưa nghiên cứu đến, chẳng hạn như: - Từ tính ổn định nghiệm khơng (E), ta kết luận ánh xạ giải R(t,s) khả tích với điều kiện B(t,s) chập ( B(t,s)=B(t-s) ), trường hợp tổng quát, kết có cịn khơng? - Các kết trình bày luận văn có cịn khơng hay thay đổi áp dụng vào phương trình Volterra phi tuyến? Trong thời gian tới, em cố gắn nghiên cứu thêm vấn đề nghiên cứu thêm tính áp dụng lý thuyết vừa nghiên cứu luận văn 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hino, Y and Murakami, S (1991), Stability properties of linear Volterra equtions, J Diferrential Equations, 121-137 Hino, Y and Murakami, S (1991), Total stability and uniform asymptotic stability for linear Volterra equations, J London Math, 305-312 Hino, Y Murakami S (2002), “Limiting equations and some stability properties for asymptoticially almost periodic functional differential equations with infinite delay”, Tohoku Math J 54, 239-257 Hino, Y., Naito T., Nguyen Van Minh and Shin J S (2002), Almost Periodic Function and Differental Equations in Banach Spaces, Taylor and Fishers Pazy A (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Applied Math, Sci 44, SpringerVerlag, New York Protter M.H., Weinberger H.F (1984), Maximum Principles in Differential Equations, Springer-Verlag, New York Prüss J (1993), Evolutionary Integral Equations and Applications, Birkhäuser, Basel ... vi? ??c xem xét phương trình Volterra vi tích phân tuyến tính (E), (E  ) , (P), (P ) đạt kết như: điều kiện cần đủ để nghiệm không phương trình ổn định, ổn định tiệm cần liên hệ giũa tính ổn định. .. tính ổn định phương trình Volterra vi tích phân phương trình giới hạn Trong đó, bật tính ổn định tiệm cận khả tích ánh xạ giải (resolvent operator), ứng dụng để tồn nghiệm bị chặn phương trình. .. Chương 2: TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH KHẢ TÍCH CỦA ÁNH XẠ GIẢI Chương chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ để nghiệm không (E) ổn định (định lý 2.1), liên hệ tính ổn định nghiệm khơng (E) tính khả tích ánh