Tính dao động không dao động và tính ổn định cho phương trình vi phân trung hòa đối số lệch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THỊ CÚC HƯƠNG TÍNH DAO ĐỘNG, KHÔNG DAO ĐỘNG VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRUNG HÒA ĐỐI SỐ LỆCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 1.0 01 Thành phố Hồ Chí Minh - 2005 LUẬN VĂN ĐƯC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Thầy hướng dẫn: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thầy phản biện 1: TS.NGUYỄN ANH TUẤN Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thầy phản biện 2: TS.CHU ĐỨC KHÁNH Bộ môn Toán – Tin học Trường Dự bị Đại học Thành phố Hồ Chí Minh Người thực hiện: NGUYỄN THỊ CÚC HƯƠNG Học viên Cao học Toán khóa 13 Chuyên ngành: Giải tích LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỜI CẢM ƠN Tôi chân thành cảm ơn Thầy Cô khoa Toán – Tin học Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy từ bước đầu vào trường Sư phạm đến Cao học Đặc biệt cảm ơn quý Thầy Cô tham gia giảng dạy lớp Cao học Giải tích khóa 13 Tôi biết ơn Thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa động viên tận tình dạy dỗ, hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình học tập Tôi chân thành cảm ơn Thầy TS.Nguyễn Anh Tuấn Thầy TS.Chu Đức Khánh nhận xét góp ý giúp hoàn thành tốt luận văn Tôi gởi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Bộ môn Toán – Tin học Trường Dự bị Đại học TP.Hồ Chí Minh Trường THPT DL An Đông tạo điều kiện thuận lợi cho công tác để yên tâm tham gia đầy đủ khóa học Tôi cảm ơn Khoa Toán – Tin học Phòng Nghiên cứu Khoa học Trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học hoàn thành luận văn Cao học TP Hồ Chí Minh, tháng năm 2005 Nguyễn Thị Cúc Hương MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương Tính ổn định tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch cấp 1.1 Tính ổn định ổn định tiệm cận trường hợp P(t) không hàm haèng 1.2 Tính ổn định ổn định tiệm cận trường hợp P(t) hàm 15 Chương Sự dao động nghiệm phương trình vi phân không tuyến tính trung hòa đối số lệch cấp .21 2.1 Các kết 22 2.2 Những kết dao động 24 Chương3 Tính ổn định không dao động phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch cấp 30 3.1 Tính tiệm cận không dao động 33 3.2 Sự ổn định 40 Kết luận Tài liệu tham khảo Tính dao động, không dao động tính ổn định cho phương trình vi phân trung hòa đối số lệch MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, có nhiều nghiên cứu cho thấy ứng dụng quan trọng phương trình vi phân đối số lệch vào lãnh vực vật lý, sinh học, sinh thái học sinh lý học Luận văn sâu vào nghiên cứu hai phương hướng Lý thuyết định tính phương trình vi phân có nhiều ứng dụng thực tiễn, dao động, không dao động tính ổn định phương trình vi phân trung hòa đối số lệch cấp loại tuyến tính không tuyến tính Luận văn gồm có ba chương Chương trình bày số kết tính ổn định phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch cấp : d [ x(t ) − P(t ) x(t − a )] + Q(t ) x(t − b) = 0, t ≥ t0 dt trích từ báo [1] Chương luận văn khảo sát dao động phương trình vi phân không tuyến tính trung hòa đối số lệch cấp : d [ x(t ) + px(t − a)] + Q(t ) f ( x(t − b)) = 0, t ≥ t0 dt trích từ báo [2] Chương luận văn khảo sát tính ổn định, không dao động phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch cấp : ⎤ d ⎡ ⎢ x (t ) + ∫ x (t + s)df (s)⎥ = ∫ x (t + s)dg(s), t ∈ [−r ,0] dt ⎣ −a ⎦ −b trích từ báo [3] Tính dao động, không dao động tính ổn định cho phương trình vi phân trung hòa đối số lệch Trong luận văn số kết sử dụng phát biểu dạng định lý bổ đề không chứng minh Tính ổn định tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRUNG HÒA ĐỐI SỐ LỆCH Xét phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch d [ x(t ) − P(t ) x(t − a)] + Q(t ) x(t − b) = 0, t ≥ t0 dt (1.1) i) a,b số thực dương ii) P ∈ C ([t0 , ∞), R), Q ∈ C ([t0 , ∞),[0, ∞)) Định nghóa 1.1 Nghiệm x0(t) phương trình (1.1) gọi ổn định với ε > t0∈ \ + , tồn δ = δ (ε , t0 ) > cho với nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa điều kiện x(t0 ) − x0 (t0 ) < δ x(t ) − x0 (t ) < ε , ∀t ≥ t0 Định nghóa 1.2 Nghiệm x0(t) phương trình (1.1) gọi ổn định với ε > 0, tồn δ = δ (ε ) > cho với nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn điểm t0∈ \ + điều kiện x(t0 ) − x0 (t0 ) < δ x(t ) − x0 (t ) < ε , ∀t ≥ t0 Định nghóa 1.3 Nghiệm x0(t) phương trình (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định với t0∈ \ + , tồn δ = δ (t0 ) > cho với nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa điều kiện x(t0 ) − x0 (t0 ) < δ lim x(t ) − x0 (t ) = 0, ∀t ≥ t0 t →+∞ Trang Tính ổn định tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch Trong chương ta thiết lập điều kiện để nghiệm không phương trình (1.1) ổn định tất nghiệm phương trình ổn định tiệm cận 1.1 Tính ổn định ổn định tiệm cận trường hợp P(t) không hàm Định lý 1.1 ⎛ 1⎞ Giả sử P(t ) ≤ p, p ∈ ⎜ 0, ⎟ vaø ⎝ 2⎠ t +b p < , p + ∫ Q ( s )ds ≤ , t ≥ t0 t (1.2) 1 t +b ≤ p < , ∫ Q( s )ds ≤ 2(1 − p ), t ≥ t0 t (1.3) Khi nghiệm không phương trình (1.1) ổn định Chứng minh Đặt M = max {a, b} , m = {a, b} Chọn số nguyên dương k cho km ≥ 3b Với ε > bất kỳ, đặt η= (1 − p )ε (1 + p )(2 p + 3) k Ta chứng minh với t ' ≥ t0 , φ ∈ C ([t '− M , t '],(−η ,η )) , ta coù x (t ) < ε , t ≥ t ' (1.4) x(t) nghiệm phương trình (1.1) thỏa điều kiện ban ñaàu x( s ) = φ ( s ) , với s∈[t’–M,t’] Đặt Trang Tính ổn định tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch z (t ) = x(t ) − P(t ) x(t − a ) (1.5) Ta có kết (Xem Định lý [4]): x(t ) < (2 p + 3) k η , t ∈ [t ', t '+ km] (1.6) Bằng phương pháp phản chứng, giả sử (1.4) không đúng, theo (1.6), có T > t '+ km cho x(T ) = ε vaø x(t ) < ε với t ' ≤ t < T Không làm tính tổng quát, giả sử x(T) = ε Ta coù z (T ) = x(T ) − P (T ) x (T − a ) > (1 − p )ε > (1.7) vaø z (t '+ km) = x(t '+ km) − P (t '+ km) x(t '+ km − a) < (1 − p)ε ≤ z (T ) Từ (1.7), tồn T0∈(t’+km,T] cho z (T0 ) = max { z (t ), t '+ km ≤ t ≤ T } vaø z (t ) < z (T0 ) với t '+ km ≤ t < T0 Đặt y(t) = z(t) – pε, với t ≥ t ' (1.8) Khi − x(t − b) = − z (t − b) − P (t − b) x(t − b − a ) ≤ − z (t − b) + pε = − y (t − b), t '+ b ≤ t ≤ T0 Từ (1.1) (1.8) ta có y '(t ) = z '(t ) = −Q(t ) x(t − b) ≤ −Q (t ) y (t − b), t '+ b ≤ t ≤ T0 (1.9) Do < p < , dễ dàng thấy y (T0 ) ≥ z (T ) − pε > (1 − p)ε > Tiếp theo ta chứng minh y (T0 − b) ≤ Giả sử ngược lại, y(T0 – b) > Khi có lân cận trái (T0 – b – h, T0 – b) T0 – b , với h > 0, cho y(t) > treân (T0 – b – h, T0 – b), vaø y(t – b) > (T0 – h,T0) Vì theo (1.9), ta thấy z(t) không tăng (T0 – h,T0) Điều mâu thuẫn với Trang Tính ổn định tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số leäch z (T0 ) = max { z (t ), t '+ km ≤ t ≤ T } vaø z (t ) < z (T0 ) với t '+ km ≤ t < T0 Vaäy y (T0 − b) ≤ Do tồn ξ∈[T0 – b,T0) cho y(ξ) = Từ (1.9) ta có (1.10) y '(t ) ≤ Q (t )ε , t '+ b ≤ t ≤ T0 Lấy tích phân hai vế (1.10) từ t – b đến ξ ta − y (t − b) ≤ ε ξ ∫ Q(s)ds, ξ ≤ t ≤ T t −b Kết hợp với (1.9) ta có ξ (1.11) y '(t ) ≤ ε Q (t ) ∫ Q( s )ds, ξ ≤ t ≤ T0 t −b Cuối ta chứng minh (1.12) y (T0 ) ≤ (1 − p )ε Xét ba trường hợp: T0 Trường hợp < p < , ∫ Q( s )ds ≤ Lấy tích phân vế (1.11) từ ξ ξ đến T0, ta có T T ξ t ⎡t ⎤ y (T0 ) ≤ ε ∫ Q(t ) ∫ Q ( s ) dsdt = ε ∫ Q(t ) ⎢ ∫ Q ( s )ds − ∫ Q ( s )ds ⎥ dt t −b ξ ξ ξ ⎣ t −b ⎦ 0 T T t ⎡⎛ ⎡3 ⎤ ⎞ ⎤ 1⎛ ⎞ ≤ ε ∫ Q(t ) ⎢ − p − ∫ Q ( s )ds ⎥ dt = ε ⎢⎜ − p ⎟ ∫ Q ( s )ds − ⎜ ∫ Q( s )ds ⎟ ⎥ 2⎝ξ ⎠ξ ⎢⎣⎝ ξ ξ ⎣2 ⎦ ⎠ ⎥⎦ T0 0 ≤ (1 − p )ε T0 Trường hợp < p < , ∫ Q( s )ds > Choïn T1∈(ξ, T0) cho ξ T0 ∫ Q( s)ds = T1 Sau lấy tích phân (1.10) từ ξ đến T1 lấy tích phân (1.11) từ T1 đến T0, ta có Trang Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch z(t ) ≤ M (λ0 ;φ ) (3.13) với t ≥ −r Với số ε > , (3.13) viết lại sau z(t ) < M (λ0 ;φ ) + ε (3.14) với t ≥ −r Khẳng định không theo (3.12) tồn số t0 > cho z(t ) < M (λ0 ;φ ) + ε với − r ≤ t < t0 , vaø z(t0 ) = M (λ0 ;φ ) + ε Kết hợp cách đặt μ (λ0 ) (3.5), (3.9) suy M (λ0 ;φ ) + ε = z(t0 ) 0 = − ∫ e z(t0 + s)df (s) + λ0 ∫ e λ0 s −a ≤ ∫e −a λ0 s z(t0 + s)df (s) + λ0 −a ≤ ∫e λ0 s ∫e λ0 s −a λ0 s ≤ ∫e ⎡ t0 ⎤ ⎢ ∫ z(u)du ⎥ df (s) + ⎢⎣ t0 + s ⎥⎦ ∫e z(t0 + s) dV ( f )(s) + λ0 −a 0 ⎡ t0 ⎤ ⎡ t0 ⎤ λ0 s ⎢ ∫ z(u)du ⎥ df (s) − ∫ e ⎢ ∫ z(u)du ⎥ dg(s) ⎥⎦ −b ⎣⎢ t0 + s ⎦⎥ ⎣⎢ t0 + s λ0 s −a λ0 s z(t0 + s) dV ( f )(s) + λ0 −a + ∫e −b ∫e −a λ0 s t0 ∫ t0 + s λ0 s ∫e −b λ0 s ⎡ t0 ⎤ ⎢ ∫ z(u)du ⎥ dg(s) ⎢⎣ t0 + s ⎥⎦ z(u)du dV ( f )(s) + ∫ e −b t0 λ0 s ∫ z(u)du dV ( g)(s) t0 + s ⎡ t0 ⎤ ⎢ ∫ z(u) du ⎥ dV ( f )(s) ⎥⎦ ⎢⎣ t0 + s ⎡ t0 ⎤ ⎢ ∫ z(u) du ⎥ dV (g)(s) ⎢⎣ t0 + s ⎥⎦ ⎡ λ0 s ≤ ⎢ ∫ e dV ( f )(s) + λ0 ⎣−a 0 ⎤ λ0 s − + − e ( s ) dV ( f )( s ) e ( s ) dV ( g )( s ) ⎥ [M (λ0 ;φ ) + ε ] ∫ ∫ −a −b ⎦ λ0 s ⎡0 ⎤ λ0 s = ⎢ ∫ [1 + λ0 (− s)]e dV ( f )(s) + ∫ eλ0 s (−s)dV ( g)(s)⎥ [M (λ0 ;φ ) + ε ] −b ⎣−a ⎦ ≡ μ (λ0 )[M (λ0 ;φ ) + ε ] < M (λ0 ;φ ) + ε Điều mâu thuẫn Vậy (3.14) Trang 37 Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch Ta chứng minh (3.14) với ε > Khi (3.13) thỏa Từ (3.13) (3.9) với t ≥ ta thu được: z(t ) ≤ λs ∫ e z(t + s)df (s) + λ0 −a t ⎤ λ0 s ⎡ e ∫− a ⎣⎢t∫+s z(u)du ⎦⎥ df (s) + ≤ λ s ∫ e z(t + s) dV ( f )(s) + λ0 −a + ∫ eλ0 s −b ≤ ∫e λ0 s λ s ∫e −a t ⎤ λ0 s ⎡ e ∫− b ⎢⎣t∫+s z(u)du ⎥⎦ dg(s) t ∫ z(u)du dV ( f )(s) t+s t ∫ z(u)du dV (g)(s) t+s z(t + s) dV ( f )(s) + λ0 −a ∫e −a λ0 s ⎡t ⎤ ⎢ ∫ z(u) du ⎥ dV ( f )(s) ⎣t+s ⎦ ⎡t ⎤ + ∫ eλ0 s ⎢ ∫ z(u) du ⎥ dV ( g)(s) −b ⎣t+s ⎦ ⎡ λ0 s ≤ ⎢ ∫ e dV ( f )(s) + λ0 ⎣−a ∫e −a λ0 s ⎤ (−s)dV ( f )(s) + ∫ eλ0 s (−s)dV (g)(s)⎥ M (λ0 ;φ ) −b ⎦ ⎧0 ⎫ λ0 s ≤ ⎨ ∫ [1 + λ0 (− s)]e dV ( f )(s) + ∫ eλ0 s (−s)dV ( g)(s)⎬ M (λ0 ;φ ) −b ⎩− a ⎭ Kết quả, cách đặt μ (λ0 ) , ta coù (3.15) z(t ) ≤ μ (λ0 ) M (λ0 ;φ ) với t ≥ Từ (3.9), cách đặt μ (λ0 ) , (3.13), (3.15), dễ dàng chứng minh z thỏa z(t ) ≤ [ μ (λ0 )] M (λ0 ;φ ) với t ≥ nr − r (n = 0,1,2, ) n (3.16) Do (3.5), ta coù lim [ μ (λ0 )] = Vì từ (3.16) suy lim z(t ) = , nghóa n t →∞ n →∞ (3.11) thỏa Định lý chứng minh xong Dễ dàng thấy λ0 = nghiệm phương trình đặc trưng (3.3) với tính chất (3.4) Trang 38 Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch ∫ dg(s) = vaø −b 0 −a −b ∫ dV ( f )(s) + ∫ (−s)dV (g)(s) < nghóa điều kiện sau thỏa: g(−b) = g(0) V ( f )(0) + ∫ (−s)dV (g)(s) < (3.17) −b 0 −b −b Do V ( f )(0) + ∫ (−s)dV (g)(s) < neân + [ f (0) − f (−a)] + ∫ (−s)dg(s) > Vì ta suy ứng dụng định lý 3.1 với λ0 = sau: Hệ 3.1 Cho điều kiện (3.17) thỏa Khi với φ ∈ C ([−r ,0], R) nghiệm x toán (3.1)-(3.2) thoûa 0 ⎡0 ⎤ φ (0) + ∫ φ (s)df (s) + ∫ ⎢ ∫ φ (u)du ⎥ dg(s) −a −b ⎣ s ⎦ lim x (t ) = t →∞ + [ f (0) − f (− a)] + ∫ (− s)dg(s) −b Một hệ khác định lý 3.1 hệ 3.2 sau Ta nói nghiệm (3.1) gọi không dao động xác định dương âm Hệ 3.2 Cho λ0 nghiệm thực phương trình đặc trưng (3.3) với tính chất (3.4) Khi với φ ∈ C ([−r ,0], R) , nghiệm x (3.1)(3.2) không dao động, ngoại trừ hàm φ thỏa L (λ0 ;φ ) = Hướng dẫn chứng minh Xem λ0 nghiệm thực (3.3) thỏa tính chất (3.4), với φ ∈ C ([−r ,0], R) , đặt L (λ0 ;φ ) định lý 3.1 Rõ ràng toán tử L (λ0 ;.) tuyến tính Hơn nữa, tồn hàm φ0 ∈ C ([−r ,0], R) cho L (λ0 ;φ0 ) ≠ Trang 39 Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch Thật vậy, lấy φ0 (t ) = eλ t với t ∈ [−r ,0] φ0 ∈ C ([−r ,0], R) , ta có 0 ⎡ ⎤ λ0 s L (λ0 ;φ0 ) ≡ φ0 (0) + ∫ ⎢φ0 (s) − λ0e ∫ e − λ0uφ0 (u)du ⎥df (s) s −a ⎣ ⎦ + ∫e λ0 s −b = 1+ ∫ ⎡⎣e −a = 1+ ⎡ − λ0u ⎤ ⎢ ∫ e φ0 (u)du ⎥ dg(s) ⎣s ⎦ λ0 s − λ0 e (−s)⎤⎦df (s) + ∫ eλ0 s (− s)dg(s) λ0 s −b ∫ [1 − λ (−s)] e −a λ0 s df (s) + ∫ (−s)eλ0 s dg(s) −b = + γ (λ0 ) > 3.2 Sự ổn định Định lý 3.2 Cho λ0 nghiệm thực phương trình đặc trưng (3.3) thỏa tính chất (3.4) đặt 0 γ (λ0 ) = ∫ [1 − λ0 (−s)]eλ s df (s) + ∫ (−s)eλ s dg(s) −a −a vaø 0 μ (λ0 ) = ∫ [1 + λ0 (−s)]eλ s dV ( f )(s) + ∫ (− s)eλ s dV ( g)(s) 0 −b −a Khi với hàm φ ∈ C([–r,0],R), nghiệm x (3.1)-(3.2) thỏa x (t ) ≤ N (λ0 ) φ eλ0t với t ≥ , ñoù N (λ0 ) = + μ (λ0 ) ⎡ + μ (λ0 ) ⎤ λ0r + ⎢1 + ⎥ μ (λ0 )max 1, e + γ (λ0 ) ⎣ + γ (λ0 ) ⎦ { Trang 40 } Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch Hơn nghiệm tầm thường (3.1) ổn định λ0 = , ổn định tiệm cận λ0 < , không ổn định λ0 > Tiêu chuẩn ổn định định lý phát biểu sau: Nghiệm tầm thường (3.1) ổn định điều kiện (3.17) thỏa, nghóa thỏa: g(− b) = g(0) vaø V ( f )(0) + ∫ (−s)dV ( g)(s) < −b Chứng minh Như chứng minh định lý 3.1, ta có < μ (λ0 ) < 1, γ (λ0 ) ≤ μ (λ0 ) vaø + γ (λ0 ) > Do N (λ0 ) > Xét hàm φ ∈ C([–r,0],R) bất kỳ, lấy x nghiệm (3.1)-(3.2) Đặt y z chứng minh định lý 3.1, nghóa là: y(t ) = e − λ0t x (t ) với t ≥ −r vaø z(t ) = y(t ) − L (λ0 ;φ ) + γ (λ0 ) với t ≥ −r , L (λ0 ;φ ) định nghóa định lý 3.1, nghóa là: L (λ0 ;φ ) = φ (0) + 0 0 ⎡ ⎤ ⎤ λ0 s − λ0 u λ0 s ⎡ − λ0 u φ ( s ) λ e e φ ( u ) du df ( s ) e e φ ( u ) du − + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥dg(s) ∫− a ⎣ ∫s ∫ ∫ −b ⎦ ⎣s ⎦ tương tự: M (λ0 ;φ ) = max e − λ0tφ (t ) − t∈[ − r ,0] L (λ0 ;φ ) + γ (λ0 ) Khi chứng minh định lý 3.1, z thỏa (3.15), nghóa z(t ) ≤ μ (λ0 ) M (λ0 ;φ ) với t ≥ Trang 41 Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch Do cách đặt z, bất đẳng thức treân cho ta y (t ) ≤ L (λ0 ;φ ) + μ (λ0 ) M (λ0 ;φ ) + γ (λ0 ) với t ≥ (3.18) Mặt khác, từ định nghóa M (λ0 ;φ ) dùng bất đẳng thức { e− λ0t ≤ max 1, eλ0r } với t ∈ [−r ,0] ta thu { } M (λ0 ;φ ) ≤ φ max 1, eλ0r + L (λ0 ;φ ) + γ (λ0 ) Vì (3.18) cho y (t ) ≤ + μ (λ0 ) L (λ0 ;φ ) + φ μ (λ0 )max 1, eλ0r + γ (λ0 ) { } với t ≥ (3.19) Hơn nữa, định nghóa L (λ0 ;φ ) ta thu 0 ⎡ ⎤ λ0 s L (λ0 ;φ ) ≤ φ (0) + ∫ ⎢φ (s) − λ0e ∫ e − λ0uφ (u)du ⎥ df (s) + s −a ⎣ ⎦ ∫e λ0 s −b ⎡ − λ0u ⎤ ⎢ ∫ e φ (u)du ⎥ dg(s) ⎣s ⎦ 0 ⎡ − λ0 s ⎤ = φ (0) + ∫ ⎢e φ (s) − λ0 ∫ e− λ0uφ (u)du ⎥ eλ0 s df (s) −a ⎣ s ⎦ ⎡ − λ0 u ⎤ + ∫ ⎢ ∫ e φ (u)du ⎥ eλ0 s dg(s) −b ⎣ s ⎦ ≤ φ (0) + ∫e −a 0 + ∫ ∫e − λ0 u φ (s) − λ0 ∫ e − λ uφ (u)du eλ s dV ( f )(s) − λ0 s 0 s φ (u)du eλ s dV (g)(s) −b s ⎡ − λ0 s ⎤ − λ0 u e φ ( s ) λ φ (u) du ⎥ eλ0s dV ( f )(s) + ∫e ∫− a ⎢⎣ s ⎦ 0 ⎡ ⎤ + ∫ ⎢ ∫ e− λ0u φ (u) du ⎥ eλ0 s dV (g)(s) −b ⎣ s ⎦ ≤ φ (0) + Trang 42 Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch Hệ ⎡ ⎛ −λ s ⎞ L (λ0 ;φ ) ≤ φ ⎢1 + ∫ ⎜ e + λ0 ∫ e− λ0u du ⎟ eλ0 s dV ( f )(s) s ⎠ ⎣⎢ − a ⎝ (3.20) ⎤ ⎛ − λ0u ⎞ λ0 s + ∫ ⎜ ∫ e du ⎟ e dV (g)(s)⎥ ⎥⎦ −b ⎝ s ⎠ Ta coù { e− λ0 s ≤ max 1, eλ0r ∫e ∫e với s ∈ [−a,0] { } với s ∈ [−a,0] { } với s ∈ [−b,0] − λ0 u du ≤ (−s)max 1, eλ0r − λ0 u du ≤ (−s)max 1, eλ0r s } s Vì vậy, (3.20) dẫn đến ⎧⎪ ⎛ L (λ0 ;φ ) ≤ φ ⎨1 + ⎜ ∫ [1 + λ0 (− s)]eλ0 s dV ( f )(s) ⎩⎪ ⎝ − a ⎞ + ∫ (−s)eλ0 s dV ( g)(s) ⎟ max 1, eλ0r −b ⎠ { ⎫ }⎪⎬ ⎪⎭ Do định nghóa μ (λ0 ) , biểu thức viết lại { } L (λ0 ;φ ) ≤ φ ⎡⎣1 + μ (λ0 )max 1, eλ0r ⎤⎦ Vì với t ≥ , (3.19) cho ⎧1 + μ (λ0 ) ⎫ ⎡1 + μ (λ0 )max 1, eλ0r ⎤ + μ (λ0 )max 1, eλ0r ⎬ φ y (t ) ≤ ⎨ ⎣ ⎦ ⎩ + γ (λ0 ) ⎭ { } { ⎧⎪1 + μ (λ0 ) ⎡ + μ (λ0 ) ⎤ λ0 r =⎨ + ⎢1 + ⎥ μ (λ0 )max 1, e ⎩⎪ + γ (λ0 ) ⎣ + γ (λ0 ) ⎦ { ⎫ }⎪⎬ φ ⎭⎪ định nghóa N (λ0 ) , ta có y(t ) ≤ N (λ0 ) φ với t ≥ Trang 43 } Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch Cuối theo định nghóa y, ta thu x (t ) ≤ N (λ0 ) φ eλ0t với tất t ≥ (3.21) Ta chứng minh phần đầu định lý Tiếp theo ta chứng minh tiêu chuẩn ổn định định lý Giả sử λ0 ≤ Lấy φ ∈ C([–r,0],R) hàm ban đầu bất kỳ, lấy x nghiệm (3.1)-(3.2) Khi (3.21) thỏa, x (t ) ≤ N (λ0 ) φ với t ≥ Vì N (λ0 ) > , nên x (t ) ≤ N (λ0 ) φ với tất t ≥ −r Dùng bất đẳng thức này, chứng minh nghiệm tầm thường (3.1) ổn định ( 0) Hơn nữa, λ0 < , (3.2) đảm bảo lim x (t ) = t →∞ Vì với λ0 < , nghiệm tầm thường (3.1) ổn định tiệm cận (tại 0) Vì tính chất tự điều khiển (3.1), nghiệm tầm thường (3.1) ổn định λ0 = ổn định tiệm cận λ0 < ø Cuối giả sử λ0 > ø ta nghiệm tầm thường (3.1) không ổn định Giả sử ngược lại, nghiệm tầm thường (3.1) ổn định (tại 0) Khi chọn số δ > cho với φ ∈ C ([−r ,0], \) , với φ < δ , nghiệm (3.1)-(3.2) thỏa x (t ) < cho tất t ≥ −r (3.22) Đặt φ0 (t ) = eλ t với t ∈ [−r ,0] φ0 ∈ C([–r,0],R), chứng minh hệ 3.1 định lý 3.1, ta có Trang 44 Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch L (λ0 ;φ ) = + γ (λ0 ) > (3.23) với φ ∈ C([–r,0],R), γ (λ0 ) L (λ0 ;φ ) định nghóa định lý 3.1 Tiếp theo, xét số δ với < δ < δ , đặt φ= δ0 φ φ0 Rõ ràng φ ∈ C([–r,0],R) φ = δ < δ Vì với hàm ban đầu φ này, nghiệm x (3.1)-(3.2) thỏa (3.22) Mặt khác, cách áp dụng định lý 3.1, kết hợp với (3.23) tính tuyến tính toán tử L (λ0 ;.) , ta thu lim ⎡⎣e − λ0t x (t )⎤⎦ = t →∞ L (λ0 ;φ ) (δ / φ0 ) L (λ0 ;φ ) δ = = >0 φ0 + γ (λ0 ) + γ (λ0 ) Vì λ0 > , từ (3.22) cho ta lim ⎡⎣e − λ0t x (t )⎤⎦ = t→∞ Điều mâu thuẫn Định lý chứng minh xong Xét trường hợp đặc biệt phương trình (3.1): chọn a số dương tùy ý với a ≤ b xem f hàm thực [−a,0] Phương trình (3.1) viết lại: x '(t ) = ∫ x(t + s)dg(s) (3.24) −b Nghieäm (3.24) hàm thực liên tục x xác định [−b, +∞) , khả vi liên tục [0, +∞) thỏa (3.24) với t ≥ Điều kiện ban đầu (3.2) trở thành Trang 45 Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch x (t ) = φ (t ) với t ∈ [−b,0] (3.25) Phương trình đặc trưng (3.24) λ = ∫ eλ s dg(s) (3.26) b ∫ e− s / b dg(s) > −1 (d) −b Bổ đề 3.2 Giả sử −b ∫ (−s)e −s / b (e) dV ( g)(s) ≤ −b Khi khoảng (−1/ b, ∞) , phương trình đặc trưng (3.26) có nghiệm λ0 ; nghiệm thỏa tính chất ∫ (−s)e λ0 s (3.27) dV (g)(s) < −b cho thêm điều kiện (f) b ∫ es / b dg(s) < −b nghiệm λ0 < Chứng minh Đặt F0 (λ ) = λ − ∫ eλ s dg(s) với λ ≥ −1/ b −b Từ (d) ta có F0 (−1/ b) < Với λ ≥ −1/ b , ta thu F0 (λ ) ≥ λ − ∫e −b λs 0 dg(s) ≥ λ − ∫ e dV ( g)(s) ≥ λ − ∫ e − s / b dV ( g)(s) λs −b F0 (∞) = ∞ Hơn với λ > −1/ b , ta có Trang 46 −b Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch F0 '(λ ) = + ∫ (−s)eλ s dg(s) ≥ − −b 0 ∫ (−s)e λs dg(s) −b ≥ − ∫ (−s)e dV ( g)(s) > − ∫ (− s)e − s / b dV ( g)(s) λs −b −b (e), F0 tăng nghiêm ngặt khoảng (−1/ b, ∞) Do khoảng (−1/ b, ∞) , tồn nghiệm λ0 phương trình F0 (λ ) = ( tương đương với phương trình (3.26)) Do (e), ta có λs ∫ (−s)e dV (g)(s) < −b ∫ (−s)e −s / b dV (g)(s) ≤ −b nghiệm λ0 thỏa (3.27) Bây giả sử (5) thỏa Suy F0 (1/ b) > Do dễ dàng suy nghiệm λ0 nhỏ 1/b Bổ đề chứng minh xong Xét trường hợp phương trình đặc trưng (3.26) có nghiệm thực λ0 thỏa tính chất (3.27) Điều cho ta + ∫ (−s)eλ s dg(s) > −b Khi ta có kết sau: Định lý 3.3 Cho λ0 nghiệm thực phương trình đặc trưng (3.26) thỏa tính chất (3.27) Khi với hàm φ ∈ C([–b,0],R), nghiệm x (3.24)-(3.25) thoûa lim ⎡⎣e − λ0t x (t )⎤⎦ = t →∞ A(λ0 ;φ ) + ∫ (− s)e dg(s) λ0 s −b A(λ0 ;φ ) = φ (0) + ∫ e −b λ0 s ⎡ − λ0u ⎤ ⎢ ∫ e φ (u)du ⎥ dg(s) ⎣s ⎦ Trang 47 Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch Hệ 3.3 Giả sử g(−b) = g(0) ∫ (−s)dV (g)(s) < (3.28) −b Do 0 −b −b ∫ (−s)dV (g)(s) < neân + ∫ (−s)dg(s) > Khi với hàm φ ∈ C([–b,0],R), nghiệm x (3.24)-(3.25) thỏa lim x (t ) = t →∞ ⎡0 ⎤ −b ⎣s ⎦ φ (0) + ∫ ⎢ ∫ φ (u)du ⎥ dg(s) + ∫ (−s)dg(s) −b Heä 3.4 Cho λ0 nghiệm thực phương trình đặc trưng (3.26) thỏa tính chất (3.27) Khi với hàm φ ∈ C([–b,0],R), nghiệm x (3.24)-(3.25) không dao động, ngoại trừ φ thỏa A(λ0 ;φ ) = , A(λ0 ;φ ) định nghóa định lý 3.3 Trang 48 KẾT LUẬN Như luận văn trình bày tính ổn định nghiệm, tồn nghiệm dao động không dao động phương trình vi phân đối số lệch cấp loại trung hòa bao gồm trường hợp tuyến tính không tuyến tính Các kết báo không trùng lặp bổ sung cho Chương xét tính ổn định nghiệm phương trình tuyến tính (1.1) với P(t), Q(t) hàm liên tục Đặc biệt P số luận văn ⎛ 1⎞ xét trường hợp p ∈ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ Trong chương 2, luận văn xét tính dao động nghiệm phương trình phi tuyến (2.1) với P số lớn 1, hàm f liên tục thỏa mãn u.f(u) > u ≠ Chương xét tính ổn định, không dao động phương trình tuyến tính (3.1) có đưa vào tích phân Riemann – Stieljes hàm có biến phân bị chặn Qua nghiên cứu để thực luận văn học tập số kỹ thuật để xác định tính ổn định nghiệm, nghiệm dao động không dao động Tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu thêm vấn đề đặt phương trình vi phân đối số lệch loại trung hòa Trang 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] X.H.Tang and XingFu Zou, Asymptotic stability of a neutral differential equation, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society (2002) 45,333 – 347 [2] John R.Graef, R Savithri, E.Thandapani, Oscillation of first order neutral delay differential equations, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations (2004) 12,1 – 11 [3] Christos G Philos and Ioannis K Purnaras, Asymptotic properties, nonoscillation, and stability for scalar first order linear autonomous neutral delay differential equations, Electronic Journal of Differential Equations (2004) 03, – 17 [4] J.S.Ju, Asymptotic stability for nonautonomous scalar neutral differential equations, J.Math.Analysis Appli.203 (1996),850 – 860 [5] I.Gy o ri and G.Ladas, Oscillation theory of delay differential equations with applications (Clarendon, Oxford,1991) [6] B.Li, Oscillation of first order delay differential equations, Proc.Amer.Math.Soc.124 (1996),3729 – 3737 [7] X.H.Tang, Oscillation for the first order superlinear delay differential equations,J.London Math.Soc.65 (2002),115 – 122 [8] Evelyn M.Silvia, Companion Notes of Advanced Calculus Trang 50 [9] Hoàng Tụy, Hàm thực Gải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [10] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân Lý thuyết ổn định, Nhà xuất Giáo dục 2000 Trang 51 ... nghiệm phương trình vi phân không tuyến tính trung hòa đối số lệch CHƯƠNG SỰ DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHÔNG TUYẾN TÍNH TRUNG HÒA ĐỐI SỐ LỆCH Xét phương trình vi phân trung hòa đối. .. vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRUNG HÒA ĐỐI SỐ LỆCH Xét phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch d [ x(t... minh Định lý [7] Trang 29 Tính ổn định không dao động nghiệm phương trình vi phân tuyến tính trung hòa đối số lệch CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ SỰ KHÔNG DAO ĐỘNG CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN