Sự hội tụ không điều kiện trong không gian banach

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC SỰ HỘI TỤ KHÔNG ĐIỀU KIỆN TRONG KHÔNG GIAN BANACH CHUN NGÀNH : TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 1.01.01 NGƢỜI THỰC HIỆN : TRẦN GIA TÙNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH -1997 - LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC ĐƢỢC HỒN THÀNH TẠI TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 1997 **** Thầy hƣớng dẫn: PTS ĐẬU THẾ CẤP Khoa Khoa Học Cơ Bản Trƣờng Sĩ Quan Kỹ Thuật Vin-Hem-Pich Thầy phản biện 1: PTS DƢƠNG LƢƠNG SƠN Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Đại Học Quốc Gia TP.HCM Thầy phản biện 2: PTS NGUYỄN THÀNH LONG Trƣờng Đại Học Đại Cƣơng Đại Học Quốc Gia TP.HCM Ngƣời thực : TRẦN GIA TÙNG Khoa Thống Kê - Toán - Tin Học Trƣờng Đại Học Kinh Tế LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƢỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỜI CẢM ƠN * Chân thành cảm ơn thầy : PTS ĐẬU THẾ CẤP hƣớng dẫn, giúp đỡ việc nghiên cứu để hoàn thành luận văn * Chân thành cám ơn quý thầy : PTS DƢƠNG LƢƠNG SƠN - PTS.NGUYỄN THÀNH LONG đọc cho ý kiến phản biện luận văn * Chân thành cảm ơn Thầy : GS.TS NGUYỄN DUY TIẾN quan tâm, động viên cung cấp tài liệu có tính thời giúp cho việc thực luận văn * Chân thành cám ơn quý thầy: - PGS PTS NGUYỄN TRỌNG KHÂM - TS TRẦN VĂN TẤN - PTS NGUYỄN BÍCH HUY - PGS TS TRẪN HỮU BỔNG - PTS DƢƠNG LƢƠNG SƠN - PGS PTS BÙI TƢỜNG TRÍ - PTS TRẦN HUYÊN - PTS TRỊNH CÔNG DIỆU Đã tận tâm giảng dạy truyền đạt kiến thức cho thời gian học Cao học - Quý cán nhân viên phòng nghiên cứu Khoa Học giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học Cao học nhƣ thời gian hoàn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh 1997 TRẦN GIA TÙNG LỜI NÓI ĐẦU Chuỗi số đời từ nhu cầu nghiên cứu số, hàm phép tính hàm, đặc biệt phép tính vi phân tích phân Sau chuỗi đƣợc xét khơng gian vectơ tôpô tổng quát Chuỗi công cụ đắc lực để nghiên cứu không gian tốn tử Có ý kiến cho chuỗi dãy đặc biệt, nghiên cứu dãy đủ Tình hình khơng đơn giản nhƣ Hàng loạt khái niệm quan trọng sinh chuỗi mà khơng có dãy Các khái niệm gắn liền với khơng gian tốn tử, làm rõ tầm quan trọng chúng nhƣ giải thích bí ẩn chúng Vì lý trên, nói lý thuyết chuỗi gắn liền với phát triển toán học đại Các nhà toán học tiếng nhƣ Leibnitz, Gauss Riemann, Weierstrass, Cauchy, Grothendieck có cơng trình quan chuỗi Trong tiểu luận này, chúng tơi đặt cho nhiệm vụ khảo sát loại hội tụ phân kỳ chuỗi, mà đối tƣợng trung tâm chuỗi hội tụ không điều kiện vấn đề liên quan Ở đây, chuỗi đƣợc xét không gian Banach-loại không gian mà thành tựu chuỗi phong phú quan trọng Chúng khảo sát miền tổng chuỗi bƣớc đầu khảo sát loại toán tử đặt biệt toán tử khả tổng tuyệt đối Tiểu luận gồm có chƣơng Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Trong chƣơng chúng tơi tóm tắt số kiến thức chuỗi số, không gian tôpô, không gian Banach, HilBert, không gian định chuẩn hữu hạn chiều, toán tử tuyến tính, khơng gian đối ngẫu Chương 2: Các loại hội tụ chuỗi không gian Banach Trong chƣơng đề cập đến loại hội tụ chuỗi, hội tụ tuyệt đối, hội tụ khơng điều kiện, hội tụ có điều kiện hội tụ hồn hảo loại phân kỳ, phân kỳ hồn hảo Chúng tơi nêu mối liên hệ loại hội tụ Trong không gian Banach hội tụ tuyệt đối kéo theo hội tụ không điều kiện: hội tụ khơng điều kiện hội tụ hồn hảo tƣơng đƣơng Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiểu hội tụ tuyệt đối, hội tụ khơng điều kiện hội tụ hoàn hảo tƣơng đƣơng với Chúng tơi đƣa ví dụ chứng tỏ khơng gian vơ hạn chiều có chuỗi hội tụ không điều kiện nhƣng không hội tụ tuyệt đối Kết quan trọng chƣơng chứng minh định lý: Nếu X khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều chuỗi Σxk phân kỳ hoàn hảo nêu khơng có limxk = Chúng tơi chứng minh trực tiếp cách dựa vào tính compact địa phƣơng không gian hữu hạn chiều, không cần dựa vào tính chất hình học Rn (nhƣ đa diện, điểm cực biên, ) Và nhƣ phƣơng pháp chứng minh chúng tơi sử dụng để chứng minh số kết biết theo cách khác Cuối chƣơng đƣa số ví dụ chuỗi khơng gian Banach vơ hạn chiều có số hạng tổng quát hội tụ nhƣng phân kỳ hồn hảo Chúng tơi cho ví dụ tốn thú vị tơpơ giải tích hàm Chƣơng : Chuỗi hội tụ có điều kiện Ta gọi tất tổng hoán vị khả tổng chuỗi Σxk miền tổng chuỗi, ký hiệu DS(Σxk) Giả sử Σxk chuỗi không gian Banach X Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f X gọi phiếm hàm khả tổng chuỗi Σ | f(xk)| < ∞ Ký hiệu F tập tất phiếm hàm khả tổng Σxk Trong chƣơng trình bày chi tiết chứng minh định lý quan trọng Steinitz: Nếu X không gian hữu hạn chiều Σxk= s miễn tổng Σxk DS(Σxk) = s + Γo Γo linh tử hóa F tức Γo={x∈X : f(x) = với f ∈F} Γo khơng gian tuyến tính đóng cửa X, từ định lý Steinitz suy miền tổng chuỗi không gian hữu hạn chiều đa tạp tuyến tính, có số chiều từ đến n Trong R2 ta xét chuỗi Σxk với Mọi phiếm hàm f(ξ, μ.) = aξ + bμ R2 ta có Từ đƣờng chéo R2 nên miền tổng chuỗi xét Bởi Cũng R2 , ta xét chuỗi Σxk với Với phiếm hàm ta có Khi k = 2lvới l lẻ |f(xk)| có dạng (1) Khi k = 2l với l chẵn |f(xk)| có dạng (2) Do Vậy F có phân tử phiêm hàm 0, nghĩa Γo = R2 DS (Σxk ) = R2 Định lý Steinetz không trƣờng hợp X vô hạn chiều Chúng không gian Lp[0,1] , ≤ p < ∞ tồn chuỗi Σxk có miền tổng tập hợp lồi, tức đa tạp tuyến tính Chƣơng 4: Chuỗi hội tụ khơng điều kiện Trong chƣơng chúng tơi trình bày định lý Dvoretzky - Rogers : Nếu X không gian Banach vô hạn chiều (ak) dãy số dƣơng cho Σa2k < ∞ X tồn dãy (xk) cho ‖xk ‖= ak Σxk hội tụ không điều kiện Nếu chọn ak = k định lý cho ta khẳng định khơng gian Banach vơ hạn chiều có chuỗi hội tụ không điều kiện nhƣng không hội tụ tuyệt đối Từ đó, tốn đặt có hay không gian Banach vô hạn chiều mà tính hội tụ khơng điều kiện chuỗi Σxk suy đƣợc điều kiện hạn chế cho chuỗi số có số hạng tổng quát Có dạng liên quan với ‖xk ‖ , đƣơng nhiên yếu điều kiện Σ ‖xk ‖ < ∞ Câu trả lời Định lý Orlicz : Giả sử chuỗi Σxk Lp [0,1] hội tụ không điều kiện Khi : Nếu ≤ p ≤ chuỗi Σ ‖xk ‖2 hội tụ Nếu ≤ p ≤ ∞ chuỗi Σ ‖xk ‖p hội tụ Một tốn khác, xét tính hội tụ khơng điều kiện chuỗi khơng gian Banach khảo sát tính hội tụ tuyệt đối khơng gian Banach khác có tơpơ yếu Vấn đề lại phát triển, dẫn đến việc nghiên cứu toán tử khả tổng tuvệt đối Và đó, ta có định lý Grothendieck: Mọi tốn tử tuyến tính liên tục T: l1 → l2 tốn tử khả tổng tuyệt đối Chúng tơi chứng minh đƣợc kết tƣơng tự cho toán tử tuyến tính T: L1[0,1] → L2[0,1] điều khơng hiển nhiên chứng minh ta phải chọn hệ tuyến tính trù mật khác thay cho hệ luyến tính trù mật quen thuộc L1[0,1] tập đa thức, ngồi thay áp dụng định lý Omnibus hay định lý Gelfand dùng mệnh đề đơn giản Từ kết ta thấy có mối liên hệ mật thiết lp Lp Vì thú vị đƣợc : tồn đơn cấu φ : l1→ L1[0,1] cho φ(l1) không tập ( ) → L1[0,1] đóng ̅̅̅̅̅̅̅ Chúng tơi mong đƣợc có dịp tiếp tục phát triển đề tài này, chẳng hạn nghiên cứu vấn đề liên quan đến tốn tử lấy tổng mà liên hệ giải tích đại số đƣợc thể rõ nét MỤC LỤC CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.Chuỗi số §2 Khơng gian khả ly - khơng gian compact §3 Khơng gian Banach §4 Tốn tử tuyến tính 10 CHƢƠNG CÁC LOẠI HỘI TỤ CỦA CHUỖI TRONG KHÔNG GIAN BANACH 12 §1 Các loại hội tụ 12 §2 Sự phân kỳ hồn hảo 19 CHƢƠNG 3: CHUỖI HỘI TỤ CÓ ĐIỀU KIỆN 26 §1 Miền tổng chuỗi hội tụ có điều kiện không gian định chuẩn hữu hạn chiều 26 §2 Một trƣờng hợp vơ hạn chiều 35 CHƢƠNG CHUỖI HỘI TỤ KHÔNG ĐIỀU KIỆN 37 §1 Định lý Dvoretzky - Rogers 37 §2 Định lý Orlicz 40 §3 Tốn tử khả tổng tuyệt đối 48 CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.Chuỗi số Định nghĩa Cho dãy số (xn), ta ký hiệu Sn = x1+x2 + + xn (n ≥ 1) Nếu (Sn) hội tụ đến S ta nói chuỗi số hội tụ có tổng S, ký hiệu Trong trƣờng hợp ngƣợc lại, ta nói chuỗi phân kỳ Dựa vào định nghĩa áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho dãy (Sn) ta có Tiêu chuẩn Cauchy Chuỗi số hội tụ Với ɛ > 0, tồn số N cho n ≥ N p > |xn-1 + + xn+p| < ɛ Hệ : ( Điều kiện cần) Nếu chuỗi hội tụ Chuỗi hội tụ tuyệt đối 3.1 Định nghĩa Chuỗi số đƣợc gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi 3.2 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy bất đẳng thức Ta có Định lý: Nếu chuỗi số hội tụ tuyệt đối hội tụ Trang hội tụ Hoán vị chuỗi 4.1 Định nghĩa Một hoán vị tập số tự nhiên N ánh xạ - từ N lên 4.2 Định lý xk ≥ ∀k Khi Giả sử Với hoán vị π N ta có chuỗi hội tụ có tổng S Chứng minh Ta ký hiệu ∀k nên Do σj ≤ S ∀j Có nghĩa dãy (σj) tăng bị chặn S, từ đó: Mặt khác : ta có π-1 hốn vị N Bằng lý luận tƣơng tự, ta suy đƣợc Vậy S - ̅ Định lý đƣợc chứng minh 4.3 Định lý hội tụ tuyệt đối Khi với hốn vị π N ta có chuỗi Giả sử chuỗi hội tụ Chứng minh Với số thực x , ta ký hiệu x > x ≤ - x = x+ - x Ta có x + k ≥0 Trang Vậy T khả tổng tuyệt đối Mệnh đề đƣợc chứng minh Số K nhỏ thỏa mãn (1) đƣợc gọi chuẩn tổng tuyệt đối toán tử T ký hiệu π(T) Ta có {xi} hữu hạn ⊂ X không đồng thời o Thật : Với {xi} hữu hạn khơng đồng thời ta có Do số K nhỏ thỏa mãn (1) số K nhỏ thỏa mãn (4) Từ định nghĩa π(T) định nghĩa sup ta có (3) Mệnh đề Giả sử X,Y hai không gian Banach Gọi π(X,Y) tập toán tử khả tổng tuyệt đối từ X vào Y Thế π(X,Y) không gian Banach với chuẩn π(T) Chứng minh: Trong π(X,Y) ta định nghĩa hai phép toán +, nhƣ sau: Với U,T ∈ π(X,Y) (U + T)x = Ux + Tx với X ∈ X Với vô hƣớng λ, với T ∈ π(X,Y) (λ.T)x = λ.Tx với x∈X Rõ ràng π(X,Y) với hai phép toán +, không gian vectơ Với T ∈ π(X,Y) ta có π(T) số K nhỏ thỏa mãn với tập hữu hạn {xi} ⊂ X Từ : • π(T) ≥ với T, vế trái (1) ln ln ≥ • π(T) = Tx = với x, có nghĩa T tốn tử O nêu T = hiển nhiên π(T) =0 • Do (1) T tốn tử tuyến tính, tính chất chuẩn X,Y, ta có: π(T) = π(T) \λ\ π(T) với vơ hƣớng λ • Với U, T∈ π(X, Y), với tập hữu hạn {xi} ⊂ X, ta có Trang 52 Cho nên π(U+T) ≤ π(U) + π(T) Ta chứng minh π(X,Y) với chuẩn π(.) không gian đủ Giả sử (Tn) dãy Cauchy π(X,Y) Từ định nghĩa π(.) với {xi} = {x} , ta có Mà (Tn) dãy Cauchy nên π(Tn - Tm) < ɛ với ɛ > cho trƣớc, m, n đủ lớn Dần đến (Tnx) dãy Cauchy Y, Y khơng gian đủ nên dãy có giới hạn thuộc Y Từ : với X ∈ X ta đặt Rõ ràng T tốn tử tuyến tính từ X→Y Ta chứng minh T khả tổng tuyệt đối Với ɛ > cho trƣớc, (Tn) dãy Cauchy π(X,Y) nên có N cho với m, n ≥ N π(Tn - Tm) < ɛ Khi đó, với tập hữu hạn {xi} ⊂ X Cho m→∞, ta đƣợc (theo cách đặt với n ≥ N Ta suy n ≥ N Tn - T ∈π(X.Y) theo mệnh đề §3 chƣơng Nhƣ Hơn từ (2) theo định nghĩa π(.) ta có π(Tn - T) ≤ với n ≥ N Điều dẫn đến (Tn) có giới hạn T ∈π(X.Y) Mệnh đề đƣợc chứng minh Bất đẳng thức Grothendieck Tồn số KG cho với không gian HilBert H với n ∈N , với ma trận vô hƣớng (aịj)n x m , với vectơ vectơ x1, ,xn, y1, ,yn thuộc cầu đóng đơn vị BH ,ta có Trang 53 KG phụ thuộc vào cách chọn trƣờng vô hƣớng R hay C Bổ đề Xét hàm Rademacher rn: [0,1]→R , n ∈ N xác định nhƣ sau với t ∈[0,1] Khi Với a1, , am ∈ R ta có Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh p≠n Thật : Ta giả sử p < n Ta có Trên đoạn rp(t) = với t∈ rp(t) = -1 với t∈ Mỗi đoạn có chứa 2n-p đoạn có độ dài 2n , mà với hai đoạn liên tiếp rn thay đổi dấu , Trang 54 (2) Từ (1) (2) , (3) ta suy Bằng cách chứng minh tƣơng tự nhận xét với k thi r2k(t) = với t∈ [0,1] ,ta có Nếu bốn số i, j, k, l có hai cặp số hay bốn số Trong trƣờng hợp cịn lại Ta có Có đẳng thức (*) chứng minh phần đầu nhận xét tổng Σ a2i a2j có chứa tổng ∑ Từ(*) ∑ có chƣa tổng ∑ ≥ 0, ta suy Mặt khác , ri2(t) = với t ∈ [0,l] Nhƣ : Trang 55 với i≠j , ta có Bổ đề đƣợc chứng minh Chứng minh bất đẳng thức Grothendieck Ta cần chứng minh cho trƣờng hợp ma trận thực không gian HilBert thực Trong trƣờng hợp phức, cách tách phần thực phần ảo ta có số KG hai lần hàng số trƣờng hợp thực nên bất đẳng thức (G) tƣơng đƣơng với Để đơn giản ta viết Supremum (*) lấy tất không gian HilBert H tất vectơ x1, ,xn y1, , yn BH Supremum tồn Gọi W không gian sinh x1, , xn, y1, ,yn W có sở trực chuẩn {ck} Khi Đặt Thì Xi, Yj thuộc L1[0,1] Nhận xét r2k (t) = với t k ≠ m, ta có Trang 56 Gọi M số dƣơng mà ta xác định Ta ký hiệu X để xi hay yj i.j = 1, , n Ta định nghĩa XL XU thuộc L2[0,1] nhƣ sau | X(t)| ≤ M trƣờng hợp cịn lại • Theo cách đặt • Ta chứng tỏ Thật Với t ∈ [0,1] XU t (t) = XU t (t)≠0 Nếu XU t(t)≠0 X(t) > M |XU(t)| = |X(t)| - M ( X(t) XL (t) dấu) Cho m, s với m > bất đẳng thức 4m2 - 4ms + s2 ≥ ta có với m = M Từ (*) bổ đề ta có (Vì Dẫn đến Trang 57 Nhƣ vậy, với x1, ,xn ,y1, ,yn thuộc BH , Xi = + , Yj = thức tam giác ta có cách đặt ‖a‖,‖a‖’ Có (*) Dẫn đến M > Bằng khảo sát hàm số cách chọn M tốt M = √ M > √ √ Vậy Ta suy Và theo nhận xét phần đầu ta có bất đẳng thức (G) Định lý Grothendieck Mọi tốn tử tuyến tính liên tục T: l1→l2 khả tổng tuyệt đối Trang 58 + đẳng Sau chứng minh [1] mù số kỹ hiệu thay đổi thành ký hiệu quen thuộc dùng Ta chứng minh chi tiết kết tương tự cho tốn tử tuyến tính liên lục T: L1[0,1] → L2[0,1] thay dùng định lý Omnibus ta dùng kết đơn giản mệnh đề (§3 Chương này) , có điểm khác thay đổi hệ tuyến tính trù mật Tuy nhiên, để áp dụng Bất đẳng thức Grothendierk ta khơng dùng hệ tuyến tính trù mật quen thuộc L1[0,1] tập đa thức mà chọn hệ tuyến tính trù mật khác Chứng minh Khơng tính tổng qt ta giả sử ||T|| ≤ 1và cần chứng minh cho trƣờng hợp trƣờng vô hƣớng R Giả sử hội tụ không điều kiện l1, ta có hội tụ hồn hảo, có nghĩa hội tụ với dãy (αn) αn = ± Ta có v tốn tử từ l*1 vào l1 định lý Omnibus Ta cần chứng minh Đầu tiên ta giảm xuống trƣờng hợp hữu hạn chiều để áp dụng bất đẳng thức Grothendieck Với m ∈ N δ> cho trƣớc Ta chọn n ≥ m vectơ y1, ,ym ln1 ⊂ l1 cho ||xi - yi|| ≤ δ/2i với 1≤ i ≤ m Nếu n > m ta đặt ym+1 = = yn =0 Với I ta có e1 , ,en sở ln1 ‖ej ‖=1 với j Điều cho ta ma trận a - (aij) đế áp bất đẳng thức Grothendieck Chọn αh , , αn = ± cho: Đây vế phải bất đẳng thức Grothendieck Mặt khác Trang 59 Cho δ→ ta suy điều phải chứng minh Mệnh đề Mọi tốn tử tuyến tính liên lục T: L1[0,1] → L2[0,1] toán tử khả tổng tuyệt đối Chứng minh Ta cần chứng minh cho trƣờng hợp trƣờng vô hƣớng R ta giả sử ||T|| = Xem chuỗi ∑ hội tụ không điều kiện L1[0,1] Với m ∈ N , δ > cho trƣớc, ta có y1,y2, ,ym hàm liên lục [0,1] cho Vì yi liên tục [0,1] nên tồn θi > cho Đặt Khi tồn n ∈ N cho n < θ n > m Đặt i = 1,2, ,m Ta có : Trang 60 Đặt Đặt Zm+1 = = zn = Nhƣ vậy: i = 1, ,n Trong Nếu ≤ i ≤ m Nếu m + ≤ i ≤ n aij = Với (j = 1, 2, ,n) αi = ± Mà Trang 61 Ta viết tích phân [0,1] thành tổng tích phân Do cách chọn ej nên (*) có dấu "=" Mặt khác Từ (2) (3), ta chọn ̅i = ±1 cho Ta có Mà Trang 62 , , Nên tồn vi , ‖vi ‖2 = cho : (Ta chọn vi cho Áp dụng bất đẳng thức Grothendieck cho ma trận (aij)n x n H = L2[0,1] ; v1, , vn, Te1, , Ten thuộc qua cầu đóng đơn vị Ta có Từ (l),(4),(5),(6),(7), ta suy Cho δ→0 ta có với m Theo mệnh đề §3 chƣơng này, ta có số M cho với m Vậy hội tụ Mệnh dề đƣợc chứng minh Trang 63 Mệnh đề ( ) Tồn đơn cấu φ: l1→L1[0,1] cho φ(l1) không tập đóng L1[0,1] ̅̅̅̅̅̅̅ = L1[0,1] Chứng minh Ta cần chứng minh cho trƣờng hợp trƣờng vô hƣớng R Ta lập quy tắc φ: với a = (a0,a1 , ,an, ) = (an) ∈ l1 , φ(a) xác định nhƣ sau Trƣờng hợp 1: tồn N cho ai= ∀i ≥ N a = (a0 ,a1, ,an, 0, ) Đặt φ(a) = a0 + a1x + + anxn Trƣờng hợp : trƣờng hợp cịn lại a = (a0, a1, ,an, ) nên [0,1] chuỗi có hàm tổng f(x) liên tục [0,1], f∈L1[0,1] nguyên Đặt φ(a) = f Ta có • Sự xác định φ hiển nhiên • φ đồng cấu : ∀a ∈ R , ∀a, b ∈ l1 • φ đơn ánh Giả sử φ(a) = φ(b) = f với a = (a0, a1 , , an, ) b = (b0,b1, ,bn, ) Ta cần xét nƣờng hợp Do tính chất chuỗi nguyên hội tụ lân cận O (cơ sở giải tích tốn học G.M.Fichtengơn, tập 2) ta suy đƣợc an = bn với n = 0,1, 2, dẫn đến a=b • φ(l1) khơng đóng L1[0,1] Xét ( ) (hội tụ theo chuẩn sup hội tụ theo chuẩn L1) Rõ ràng f ∈ ̅̅̅̅̅̅̅ f không thuộc φ(l1) Thật : Nếu f =φ(a) với a=(an)∈ l1 Trang 64 Ta cần xét trƣờng hợp Một lần áp dụng kết dùng ta đƣợc với n = 1,2, Nhƣng không thuộc l1 Vậy f khơng thuộc φ(l1) ( ) = L1[0,1] • Do tập hợp đa thức trù mật L1[0,1] nên ̅̅̅̅̅̅̅ Mệnh đề đƣợc chứng minh Bổ sung : Ta chứng minh đƣợc φ liên tục Trang 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] JOE DIESTEL - HANS JARCHOW - ANDREW JONGE Absolutely Summing Operators Cambridge University 1995 [2] V.M.KADETS - M.I.KADETS Rerangements of Series in Banach Spaces [3] WALTER RUDIN Real and Complex Analysis [4] WALTER RUDIN Functial Analysis [5] G.M.FICH TEN GƠN Cơ Sở Giải Tích Tốn Học [6] JEAN DIEUDONNÉ Cơ Sở Giải Tích Hiện Đại [7] HỒNG TỤY Giải Tích Hiện Đại [8] ĐẬU THẾ CẤP Giáo trình Giải Tích Hàm ĐHSP Vinh 1992 ... hệ loại hội tụ Trong không gian Banach hội tụ tuyệt đối kéo theo hội tụ không điều kiện: hội tụ khơng điều kiện hội tụ hồn hảo tƣơng đƣơng Trong không gian định chuẩn hữu hạn chiểu hội tụ tuyệt... 1.3 Hội tụ có điều kiện Chuỗi đƣợc gọi hội tụ có điều kiện hội tụ nhƣng không hội tụ không điều kiện 1.4 Hội tụ hoàn hảo Chuỗi đƣợc gọi hội tụ hoàn hảo chuỗi chọn hệ số ak = ±1 Sự liên hệ loại hội. .. đối ngẫu Chương 2: Các loại hội tụ chuỗi không gian Banach Trong chƣơng đề cập đến loại hội tụ chuỗi, hội tụ tuyệt đối, hội tụ không điều kiện, hội tụ có điều kiện hội tụ hồn hảo loại phân kỳ, phân