Nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình vi phân hàm trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH - Phùng Văn Xuyên NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – HÀM TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2006 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phùng Văn Xuyên NGHIỆM HẦU TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – HÀM TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TSKH Trần Hữu Bổng Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2006 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CÁC KÍ HIỆU .5 CHƯƠNG PHỔ CỦA CÁC HÀM VÀ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM HẦU TUẦN HOÀN .7 1 Không gian hàm 1.2 Khoâng gian mạnh 1.3 Dãy đơn vị xấp xỉ bị chaën .9 1.4 Phoå Beurling .11 1.5 Hàm hầu tuần hoaøn 12 1.6 Điểm qui phổ rời rạc 16 1.7 Điều kiện để hàm hầu tuần hoàn .21 CHƯƠNG TÍNH HẦU TUẦN HOÀN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - HÀM 26 2.1 Phương trình vi phân – hàm, giả thiết .26 2.2 Tính chất biến đổi Fourier 28 2.3 Tính hầu tuần hoàn nghiệm phương trình vi phân hàm 33 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Những kết hầu tuần hoàn nghiệm bị chặn phương trình hàm thuộc Bochner S and Von Neuman J, Levintan B.M, Xobolev X.L, nhiều tác giả khác phát triển cho phương trình Parabol dạng tổng quát với hệ số Kết tương đối hoàn chỉnh nhờ sử dụng định lí Cadex M.U Những kết sử dụng tính đắn toán Côsi phương trình vi phân không gian Banach Trong luận văn nghiên cứu tính hầu tuần hoàn nghiệm phương trình vi phân, không giả thiết tính đắn toán Côsi Hơn mở rộng lớp phương trình lớp nghiệm, hàm thuộc không gian hàm Những kết luận văn dựa vào công trình [1,2] Bố cục Luận văn trình bày thành hai chương Trong chương nghiên cứu không gian hàm tính chất chúng, nghiên cứu tính hầu tuần hoàn hàm thuộc không gian hàm Trong chương nghiên cứu tính hầu tuần hoàn nghiệm phương trình vi phân hàm Cuối tài liệu tham khảo Trong trình thực hoàn thành luận văn nhận giúp đỡ, hướng dẫn khoa học nhiệt tình PGS TSKH Trần Hữu Bổng Nhân dịp xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn thầy giáo PGS TSKH Trần Hữu Bổng, thầy giáo tổ Giải tích – Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy cho khoá học K 14 – chuyên ngành Giải tích Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2006 Tác giả CÁC KÍ HIỆU C o ( , Y ) ≡ C ( , Y ) : Không gian hàm liên tục , nhận giá trị Y- không gian Banach { } C m ( , Y ) = f ∈ C o ( , Y ) : Dα f ∈ C o ( , Y ), ∀α : α ≤ m ⎪⎧ L1 ( , ) = ⎨ f : ⎪⎩ → ⎪⎫ đo được: ∫ f ( x) dx < +∞ ⎬ ⎪⎭ ⎧⎪ Lp ( , Y ) = ⎨ f : ⎪⎩ ⎫⎪ p → Y đo được: ∫ f ( x) dx < +∞ ⎬ ( ≤ p < +∞) ⎪⎭ L1Loc ( \, Y ) : Khoâng gian hàm khả tích địa phương \ với giá trị không gian Banach Y S (τ ) : Toán tử chuyển dịch hàm U ñi soá τ ∈ ( S (τ )ϕ ) (t ) = ϕ (t + τ ); t,τ ∈ : , ϕ ∈U AP ( , Y ) ⊂ C ( , Y ) : Hàm hầu tuần hoàn liên tục nhận giá trị Y APU : Tập hàm hầu tuần hoàn liên tục U Uc = {ϕ ∈ U : haøm t { 10 σ (ϕ , F ) = λ ∈ { 11 σ (ϕ , {0}) = λ ∈ S (t )ϕ : → U liên tục} } : ∀f ∈ I (ϕ , F ) ⇒ f (λ ) = : Phổ Beurling ϕ F } : ∀f ∈ I (ϕ , {0}) ⇒ f (λ ) = : Phổ Beurling ϕ 12 σ o (ϕ ) = σ (ϕ , APU ) : Tập không hầu tuần hoàn hàm ϕ 13 supp f = { x : f ( x) ≠ 0} : Giá hàm f ⎪⎧ 14 σ d (ϕ ) = ⎨λo ∈ ⎪⎩ α iλot ⎪⎫ e S (−t )ϕ dt = ϕo = ⎬ : Phổ rời rạc cuûa ϕ ∈ U c ∫ α →∞ α ⎪⎭ : ∃ lim 15 Co : Khoâng gian dãy số phức có giới hạn 16 A : → [ E , F ] : Biến đổi Fourier toán tử bị chặn A : U (l ) ( , E ) → U k ( , F ), (l, k ≥ 0) 17 Ak : → [ E , F ] , (k = 0, m) : Biến đổi Fourier Ak { 18 ρ ( L ) = λ ∈ 19 S( L ) = } : L (λ ) ∈ [ E , F ] khả ngược : Tập qui toán tử L \ ρ ( L ) : Tập kì dị toán tử L 20 FE : Không gian U ( , E ) CHƯƠNG PHỔ CỦA CÁC HÀM VÀ ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM HẦU TUẦN HOÀN 1 Không gian hàm Định nghóa 1.1 Khoâng gian Banach U = U ( \, Y ) hàm từ không gian tuyến tính L1Loc ( \, Y ) hàm khả tích địa phương \ với giá trị không gian Banach Y gọi không gian hàm thoả mãn điều kiện sau: Điều kiện 1: ∀τ ∈ , ∀ϕ ∈ U ⇒ S (τ )ϕ ∈ U Với ( S (τ )ϕ ) (t ) = ϕ (t + τ ); t,τ ∈ , ϕ ∈ U ; S (τ ) toán tử chuyển dịch hàm U số τ ∈ Điều kiện 2: Chuẩn toán tử chuyển dịch hàm U số τ ∈ chất: S (τ ) = 1, ∀τ ∈ có tính Điều kiện 3: ∀B ∈ [Y , Y ]; ∀ϕ ∈ U : ( Bϕ )(t ) = Bϕ (t ) ⇒ Bϕ ∈ U Bϕ U ≤ BY.ϕU Điều kiện 4: ∀f ∈ L1 ( ) = L1 ( , ), ϕ ∈ U ⇒ f * ϕ ∈ U f * ϕ Với nhân chập ( f * ϕ )(t ) = +∞ ∫ f ( s)ϕ (t − s)ds, t ∈ −∞ Điều kiện 5: U ≤ f ϕ U Neáu ∀ϕ ∈ U thoả điều kiện S (τ )ϕ = eiλoτ ϕ , ∀τ ∈ y ∈Y cho ϕ có dạng ϕ (t ) = yeiλot , t ∈ tồn véc tơ Một số ví dụ không gian Ví dụ 1: Không gian Lp ( , Y ), ≤ p < ∞ Ví dụ 2: Không gian C ( , Y ) Ví dụ 3: Không gian C m ( , Y ) , (m ≥ 1) 1.2 Không gian mạnh Định nghóa 1.2 Không gian Banach U=U (\, Y ) hàm từ không gian tuyến tính L1Loc ( \, Y ) hàm khả tích địa phương \ với giá trị không gian Banach Y gọi không gian mạnh thoả mãn điều kiện sau: Điều kiện 1: ∀τ ∈ , ∀ϕ ∈ U ⇒ S (τ )ϕ ∈ U Với ( S (τ )ϕ ) (t ) = ϕ (t + τ ); t,τ ∈ , ϕ ∈ U ; S (τ ) toán tử chuyển dịch hàm U số τ ∈ Điều kiện 2: Chuẩn toán tử chuyển dịch hàm U số τ ∈ chất: S (τ ) = 1, ∀τ ∈ Điều kiện 3: có tính ∀B ∈ [Y , Y ]; ∀ϕ ∈ U : ( Bϕ )(t ) = Bϕ (t ) ⇒ Bϕ ∈ U Bϕ U ≤ BY.ϕ U Điều kiện 4’: Toán tử S : → [U ,U ] liên tục mạnh, với S (τ ) toán tử chuyển dịch hàm U số τ ∈ Điều kiện 5: Nếu ∀ϕ ∈ U thoả điều kieän S (τ )ϕ = eiλoτ ϕ , ∀τ ∈ tồn véc tơ y ∈ Y cho ϕ có dạng ϕ (t ) = yeiλot , t ∈ Một số ví dụ không gian mạnh Ví dụ 1: Lp ( , Y ), ≤ p < ∞ Ví dụ 2: Không gian Cu ( , Y ) hàm liên tục đều, nằm không gian C ( , Y ) Ví dụ 3: Không gian AP ( , Y ) hàm hầu tuần hoàn ( Almost periodic), nằm không gian C ( , Y ) Ký hiệu Uc = {ϕ ∈ U : hàm t S (t )ϕ : → U liên tục} suy Uc = Cu ( ,Y ) neáu U = C ( ,Y ) 1.3 Dãy đơn vị xấp xỉ bị chặn Định nghóa 1.3.1 Cho U không gian hàm, dãy hàm số 10 { fn }∞n =1 ∈ L1( ) gọi dãy đơn vị xấp xỉ bị chặn thoả mãn tính chất: Tính chất 1: Supp fn tập compact ( n ≥ 1) Tính chất 2: Lim ∫ fn (t ) dt = 0, ∀a > n →∞ t ≥ a Tính chất 3: fn (0) = 1, ∀n ≥ Ví dụ dãy đơn vị xấp xỉ bị chặn Cho dãy hàm số f ∈ L1( ) có tính chất Supp f - compact, ∞ f (0) = , vaø {λn }n =1 dãy số cho lim λn = n →∞ Khi fn (t ) = λn f (λnt ),( n ≥ 1) dãy đơn vị xấp xỉ bị chặn Thật vậy, Ta có: + Supp fn (t ) = Supp λn f (λn t ) tập compact ( n ≥ 1) Vì Supp f compact (giả thiết) + Lim ∫ fn (t ) dt = nLim ∫ λn fn (λnt ) dt = 0, ∀a > (theo định lí hội tụ →∞ n →∞ t ≥ a t ≥a bị chặn) Thaät vaäy: Do lim λn = ⇒ ∃λo > : λn fn (λnt ) ≤ λo fn (λn t ) ∈ L1( ) vaø n →∞ lim λn fn (λnt ) = , suy n →∞ Lim ∫ fn (t ) dt = Lim ∫ λn fn (λnt ) dt = ∫ Lim λn fn (λnt ) dt = n →∞ t ≥ a + fn (0) = 1, ∀n ≥ n →∞ t ≥ a t ≥ a n →∞ 26 CHƯƠNG TÍNH HẦU TUẦN HOÀN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN - HÀM 2.1 Phương trình vi phân – hàm, giả thiết Giả sử U = U ( , Y ) không gian hàm U (k ) = U (k ) ( , Y ) ( k ∈ ϕ ( k −1) = Đặt ϕ k d ( k −1)ϕ dt ( k −1) ) không gian hàm ϕ ∈ U cho ϕ ∈ U ( k −1) , liên tục tuyệt đối ϕ ( k ) ∈ U = max ϕ ( j ) 0≤ j ≤ k chuẩn U ( k ) với ϕ (0) = ϕ U Giả sử E, F hai không gian Banach phức U ( , E ), U ( , F ) hai không gian hàm Ak : U ( m − k ) ( , E ) → U ( , F ) toán tử tuyến tính bị chặn, ( k = 0, m ) L : U ( m ) ( \ , E ) → U ( \ , F ) toán tử tuyến tính bị chặn với L(x) = m ∑ k =0 Ak dk x dt k , x ∈ U m (\ , E ) Xét phương trình Lx = ψ , ψ ∈ U ( , F ) , với L ( x ) = m ∑ k =0 Ak dk x dt k (2.1.1) Các trường hợp đặc biệt phương trình (2.1.1) Với m = 1, phương trình (2.1.1) viết dạng L1x = dx + Ax = ψ , ψ ∈ AP( , F ) dt (2.1.1.1) A : D( A) ⊂ F → F toán tử tuyến tính đóng Không gian E đóng vai trò miền xác định D( A) với chuaån: xo E = xo F + Axo F , ∀xo ∈ E = D( A) A1 : E → F , toán tử nhúng với A1x = xo , ∀xo ∈ D( A) = E ) vaø Ao xác định ( Ao x ) (t ) = Ax(t), ∀x ∈ C ( , F) 27 Baây giả sử Ak : C ( , E ) → C ( , F ) có dạng ∞ ∞ j =1 −∞ ( Ak x ) (t) = ∑ Ak j x(t + h j ) + ∫ Qk (t − s).x (s)ds ∞ Ak j ∈ [ E , F ] , ≤ k ≤ m, j ≥ 1, ∑ Ak j < ∞ Coøn Qk ∈ L1( ,[E , F ])) j =1 Với chọn lựa Ak phương trình (2.1.1) có dạng ( L2 x ) (t ) = ∞ ∞ ⎛ ∞ ⎞ (k ) (k ) ∑ ⎜ ∑ Ak j x (t + h j ) + ∫ Qk (t − s).x (s)ds ⎟ = ψ (t ) k = ⎝ j =1 −∞ ⎠ (2.1.1.2) Giả thiết 2.1.1 Các toán tử Ak (k = 0, m) giao hoán với toán tử chuyển dịch hàm Tức S2 (τ ) Ak = Ak S1(τ ), τ ∈ S1(τ )ϕ = ϕτ , ϕ ∈ U ( m ) ( , E ) , S2 (τ )ψ = ψ τ , ψ ∈ U ( , F ) Từ giả thiết 2.1.1 suy Bổ đề 2.1.2 Với hàm f ∈ L1( ) , ϕ ∈ U ( m ) ( , E ) ta có đẳng thức sau: L ( f * ϕ ) = f * Lϕ Chứng minh Từ định nghóa nhân chập hàm, tính liên tục toán tử L, tính giao hoán L với toán tử chuyển dịch S, ta có: ⎛∞ ⎞ L ( f * ϕ ) = L ⎜ ∫ f (τ ).ϕ (t − τ )dτ ⎟ ⎝ −∞ ⎠ ⎛∞ ⎞ = L ⎜ ∫ f (τ ).S1(−τ )ϕ (t )dτ ⎟ ⎝ −∞ ⎠ ∞ = ∫ f (τ ).L ( S1 (−τ )ϕ (t ) ) dτ −∞ 28 ∞ = ∫ f (τ )S2 (−τ )Lϕ (t )dτ −∞ = f * Lϕ Giả thiết 2.1.3 Các không gian U ( , E ), U ( , F ) chứa hàm dạng yoe voe iλo t tương ứng Với yo ∈ E , vo ∈ F , λo ∈ iλo t Bổ đề 2.1.4 Giả sử toán tử A : U (l ) ( , E ) → U ( , F ), (l ≥ 0) giao hoán với toán tử chuyển dịch hàm Khi với hàm ϕ ∈ U (l ) ( , E ) daïng ϕ (t ) = xoe iλo t , xo ∈ E , hàm Aϕ có dạng: ( Aϕ ) (t ) = yoeiλo t (2.1.2) với yo = A( xoeλo )(0) ∈ F vaø eλo (t ) = e iλo t Chứng minh Đẳng thức (2.1.2) suy từ đẳng thức sau cho s=0 ( Aϕt ) (s) = ( AS(t )ϕ ) (s) = A ( eiλot xoeλo ) (s) = eiλot A ( xoeλo ) (s) = ( Aϕ ) (s + t ) Thaät vaäy ( Aϕ ) (s + t ) = e iλo t ( ) A xoeλo (s) thay s =0 ta ( Aϕ ) (t ) = eiλot A ( xoeλo ) (0) = eiλot yo 2.2 Tính chất biến đổi Fourier Định nghóa 2.2.1 Cho A : U (l ) ( , E ) → U k ( , F ), (l, k ≥ 0) toán tử bị chặn, giao hoán với toán tử chuyển dịch hàm 29 Hàm A : → [ E , F ] gọi biến đổi Fourier toán tử bị chặn A A có dạng A(λ ) xo = A(eλ xo )(0), λ ∈ , xo ∈ E , eλ (t)=eiλ t Từ bổ đề 2.1.4 định nghóa 2.2.1 suy biến đổi Fourier L : m L (2.1.1) có daïng L (λ ) = ∑ (iλ )k Ak (λ ), λ ∈ k =0 ûđây Ak : (2.2.1) → [ E, F ] (2.2.2) → [ E , F ] , (k = 0, m) biến đổi Fourier Ak Trường hợp đặc biệt: Biến đổi Fourier L1 : C1( , E ) → C ( , F ) (2.1.1.1) laø L1(λ ) = iλ I o + A, λ ∈ (2.2.2.1) I o : E = D( A) → F toán tử nhúng A ∈ [ E , F ] Còn biến đổi Fourier L2 : C ( m ) ( , E ) → C ( , F ) (2.1.1.2) có dạng m ⎛ ∞ ⎞ ih λ L2 (λ ) = ∑ ⎜ ∑ Ak j (iλ )k e j + Qk (λ )(iλ )k ⎟ k = ⎝ j =1 ⎠ (2.2.2.2) Giả thiết 2.2.2 Biến đổi Fourier Ak Ak ( k = 0, m ) có tính chất ∀λo ∈ , ∃ε > vaø haøm f ∈ L1( ) cho: f (λo ) ≠ 0, supp f ⊂ (λo − ε , λo + ε ), vaø haøm f Ak : → [ E , F ] biến đổi Fourier hàm toán tử khả tổng ψ k ∈ L1 ( ,[ E , F ]) : ψ k * x = f * Ak x Bổ đề 2.2.3 Biến đổi Fourier L2 : U ( m ) ( , E ) → U ( , F ) thoả điều kiện giả thiết 2.2.2 Chứng minh 30 Với hàm f : haøm f L2 : → , ( f ∈ L1( )) có giá compact ⇒ → [ E , F ] có dạng m ⎛ ∞ ⎞ ih λ Φ(λ ) = f (λ ).L2 (λ ) = ∑ ⎜ ∑ Ak j (iλ )k f (λ ).e j + f (λ ).Qk (λ ).(iλ )k ⎟ k = ⎝ j =1 ⎠ m ⎛ ∞ ⎞ hàm Φ(t ) = ∑ ⎜ ∑ Ak j f ( k ) (t + h j ) + f ( k ) * Qk ⎟ thuộc không gian k = ⎝ j =1 ⎠ L1 ( ,[ E , F ]) ( giá compact f bảo đảm cho hàm f (k ) thuộc L1 ( ) ) Bổ đề chứng minh Định lí 2.2.4 (Bochner S.Phillips R.S) Cho haøm Φ : ∞ → [ E , F ] có dạng Φ(λ ) = ∑ Bk eihk λ + Φ o (λ ) k =1 Với hàm Φ o ∈ L1 ( ,[ E , F ]) có tính chất: Tính chất 1: Các toán tử Φ(λ ) ∈ [ E , F ] , (λ ∈ ) khả ngược liên tục Tính chất 2: sup Φ −1(λ ) < +∞ λ∈ Khi hàm Φ −1(λ ), (λ ∈ ) có dạng: ∞ Φ −1(λ ) = ∑ Ck eiμk λ + G(λ ) ,(λ ∈ ) k =1 ∞ ñaây Ck ∈ [ F ,E ] , ∑ Ck < +∞ , G ∈ L1 ( ,[ F , E ]) , μk ∈ , k ≥ k =1 Bổ đề 2.2.5 Biến đổi Fourier L : → [ E , F ] toán tử L có tính chất sau: Tính chất 1: L hàm liên tục 31 Tính chất 2: Nếu toán tử L (λo ) ∈ [ E , F ] liên tục khả ngược, tồn đoạn I (ε ) = [ λo − ε , λo + ε ] vaø haøm g ∈ L1( ) cho: (a) L (λ ) toán tử khả ngược, λ ∈ I (ε ) (b) supp g ⊂ I (ε ) , g = lân cận λo → [ F , E ] có dạng (c) Hàm toán tử Φ : ( ⎧ ⎪ g(λ ) L (λ ) Φ (λ ) = ⎨ ⎪⎩0 ) −1 , λ ∈ I (ε ) λ ∉ I (ε ) (2.2.3) biến đổi Fourier hàm Φ ∈ L1 ( ,[ F , E ]) Chứng minh Chứng minh tính chất 1: L hàm liên tục? Vì hàm Ak ,(k = 0, m) biến đổi Fourier địa phương hàm từ không gian L1 ( ,[ E , F ]) ( giả thiết 2.2.2) nên tất chúng liên tục m Do L (λ ) = ∑ (iλ )k Ak (λ ), λ ∈ k =0 ( theo đẳng thức (2.2.2) ), suy liên tục L Chứng minh tính chất 2: Nếu toán tử L (λo ) ∈ [ E , F ] liên tục khả ngược, tồn đoạn I (ε ) = [ λo − ε , λo + ε ] vaø haøm g ∈ L1( ) cho: (a) L (λ ) laø toán tử khả ngược, λ ∈ I (ε ) (b) supp g ⊂ I (ε ) , g = lân cận λo (c) Hàm toán tử Φ : → [ F , E ] có daïng 32 ( ⎧ ⎪ g(λ ) L (λ ) Φ (λ ) = ⎨ ⎪⎩0 ) −1 , λ ∈ I (ε ) λ ∉ I (ε ) (2.2.3) biến đổi Fourier hàm Φ ∈ L1 ( ,[ F , E ]) Thật vậy: Nếu toán tử L (λo ) khả ngược từ tính liên tục L suy tồn lân cận Vo λo cho ∀λ0 ∈ Vo toán tử L (λo ) khả ngược sup ⎡ L (λ )⎤ ⎣ ⎦ λ∈V −1 < +∞ o Vì hàm L biến đổi Fourier (địa phương) hàm L từ L1 ( ,[ E , F ]) , nên tồn hàm tuần hoàn H với chu kì ω > , H : → [ E , F ] có tính chất: Tính chất 1: H biểu diễn dạng chuỗi Fourier hội tụ tuyệt ñoái ∞ H (λ ) = ∑ H ne i 2π nλ n =−∞ ω , ∞ ∑ n =−∞ H n < +∞ , H n ∈ [ E , F ] , n ∈ Tính chất 2: Các toán tử H (λ ), λ ∈ khả ngược liên tục Tính chất 3: Tồn đoạn ⎣⎡λo − ε2 , λo + ε2 ⎦⎤ ⊂ Vo cho H (λ ) = L (λ ), ∀λ ∈ I(ε ) = ⎡⎣λo − ε2 , λo + ε2 ⎤⎦ với ε < ω2 Theo định lí 2.2.4 hàm H −1(λ ) có dạng ∞ H −1(λ ) = ∑ H 'n e n =−∞ i 2π nλ ω , ∞ ∑ n =−∞ H 'n < +∞ H 'n ∈ [ F , E ] , n ∈ Khi đối 33 với haøm g ∈ L1 ( ) cho supp g ⊂ I (ε ) , g = moät lân cận λo , hàm Φ(λ ) = g(λ )H −1(λ ), λ ∈ , có dạng công thức (2.2.3) biến đổi Fourier Φ ∈ L1 ( ,[ F , E ]) ( xem chứng minh bổ đề 2.2.3) bổ đề chứng minh Định nghóa 2.2.6 mà toán tử L (λ ) ∈ [ E , F ] khả ngược gọi Tập ρ ( L ) số λ ∈ tập qui toán tử Fourier L Tập \ ρ ( L ) gọi tập kì dị L kí hiệu S ( L ) Nhận xét: Từ tính chất bổ đề 2.2.5 suy tập ρ ( L ) tập mở S ( L ) tập đóng , tập 2.3 Tính hầu tuần hoàn nghiệm phương trình vi phân hàm Xét phương trình Lx = ψ , ψ ∈ U ( , F ) (2.3.1) L : U ( m ) ( , E ) → U ( , F ) cho công thức (2.1.1) Định nghóa 2.3.1 Hàm ϕ ∈ U ( , E ) gọi nghiệm suy rộng phương trình (2.3.1), ∀f ∈ L1( ) cho supp f tập compact, hàm f * ϕ ∈ U ( m ) ( , E ) nghiệm phương trình Lx = f *ψ Với ψ ∈ U ( , F) Do bổ đề 2.1.2 suy nghiệm phương trình (2.3.1) nghiệm suy rộng Thật vậy: Nếu ϕ ∈ U ( , E ) nghiệm phương trình (2.3.1) ta có Lϕ = ψ , f * ϕ ∈ U ( m ) ( , E ) nghiệm phương trình Lx = f *ψ , L ( f * ϕ ) = f * Lϕ = f *ψ 34 Bổ đề 2.3.2 Cho FE không gian U ( , E ) Khi nghiệm suy rộng ϕ phương trình (2.3.1) có tính chất sau: Tính chất 1: S (ϕ , FE ) ⊂ S( L ) , ∀ϕ ∈ FE ⊂ U ( , E ) Tính chaát 2: S (ϕ ) ⊂ S ( L ) ∪ S (ψ ) , ∀ψ ∈ U ( , F ) Chứng minh Chứng minh tính chất 1: S (ϕ , FE ) ⊂ S( L ) , ∀ϕ ∈ FE ⊂ U ( , E ) ? Lấy λo ∉ S (L ) , ta cần chứng minh λo ∉ S (ϕ , FE ) ? Thaät vậy: Do λo ∉ S( L ) Khi từ bổ đề 2.2.5 suy tồn hàm g ∈ L1( ) với tính chất nêu, thêm vào Φ : → [ F , E ] xác định từ công thức (2.2.3), biến đổi Fourier hàm Φ ∈ L1 ( ,[ F , E ]) Xét toán tử LΦ : U ( m ) ( , E ) → U ( , F ) cho công thức LΦ x = Φ * Lx , x ∈ U ( m ) ( , E ) Toán tử LΦ giao hoán với toán tử chuyển dịch hàm biến đổi Fourier LΦ : → [ E , E ] , có dạng LΦ (λ ) = Φ(λ ).L (λ ), λ ∈ Thật từ định nghóa biến đổi Fourier toán tử bổ đề 2.1.4 ta nhận LΦ (λ ) yeλ = Φ * L ( yeλ ) = Φ * L (λ )yeλ = LΦ (λ ) = Φ(λ ).L (λ ) yeλ t, y tuỳ ý thuộc E , λ ∈ , eλ (t ) = eiλ t Từ phương pháp xây dựng hàm Φ suy LΦ (λ ) = I E , toán tử đồng E , ∀λ ∈ I (ε ) = [ λo − ε , λo + ε ] 35 Cho ϕ ∈ U ( , E ) , laø nghiệm suy rộng (2.3.1) hàm f , g1 ∈ L1( ) có tính chất: Tính chất 1: supp g1 ∪ supp f ⊂ I (ε ) Tính chất 2: f (λo ) ≠ 0, g1 = lân cận tập supp f ∪ supp Φ ⊂ I (ε ) Khi f * ϕ ∈ U ( m ) ( , E ) Ngoài từ đẳng thức L ( f * ϕ ) = f * Lϕ = f *ψ vaø định nghóa không gian suy g1 * ( Φ * L ( f * ϕ ) ) = g1 * ( Φ * ( f *ψ ) ) ∈ F Mặt khác, ta có đẳng thức F ∋g1 * ( Φ * L ( f * ϕ ) ) = G * ( f * ϕ ) với G ∈ L1 ( ,[ E , E ]) , G(λ ) = g1(λ ).Φ(λ ).L (λ ) = g1(λ ) , từ mệnh đề bổ đề 1.5.3 suy ( sử dụng tính chất cuûa g1, f ): G * ( f * ϕ ) = ( g1 * f ) * ϕ = f * ϕ ∈ F Vì f (λo ) ≠ , neân suy λo ∉ S(ϕ , F ) , vaäy S (ϕ , FE ) ⊂ S( L ) Tính chất chứng minh Chứng minh tính chất 2: S (ϕ ) ⊂ S ( L ) ∪ S (ψ ) , ∀ψ ∈ U ( , F ) ? Bây giả sử ψ ∈ U ( , F ) ϕ nghiệm suy rộng phương trình (2.3.1) Lấy λo ∉ S ( L ) ∪ S (ψ ) , ta caàn chứng minh λo ∉ S (ϕ ) ? Thật vậy: với λo ∉ S ( L ) ∪ S (ψ ) Xét hàm f ∈ L1 ( ) với tính chất: Tính chất 1: f (λo ) ≠ Tính chất 2: 36 ( ) supp f ∩ S ( L ) ∪ S (ψ ) = φ Tính chất 3: supp f compact Khi từ bổ đề 2.1.2 mệnh đề bổ đề 1.3.5 suy L ( f * ϕ ) = f *ψ = f * ϕ nghiệm phương trình nhất, nên theo tính chất bổ đề ta có S( f * ϕ ) ⊂ S( L ) Mặt khác S ( f * ϕ ) ⊂ supp f ( theo tính chất bổ đề 1.3.5) tính chất hàm f ta S ( f * ϕ ) ∩ S ( L ) = φ Do f * ϕ = , tính chất nhận S( f * ϕ ) = φ Vì f (λo ) ≠ , từ định nghóa phổ Beurling suy λo ∉ S(ϕ ) Vaäy S (ϕ ) ⊂ S ( L ) ∪ S (ψ ) ⇒ Bổ đề chứng minh Định lí 2.3.3 Giả sử tập kì dị S ( L ) biến đổi Fourier toán tử L cho (2.1.1) không đếm Khi nghiệm suy rộng ϕ ∈ Uc ( , E ) phương trình (2.3.1) với ψ hàm hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn thoả mãn điều kiện sau: Điều kiện 1: U ( , E ) ≡ C ( , E ) , vaø không gian Banach E không chứa không gian đẳng cấu với Co (không gian dãy số phức có giới hạn 0) Điều kiện 2: Tập S ( L ) ∪ S (ψ ) điểm giới hạn tập compact thuộc Điều kiện 3: 37 U ( , E ) = C ( , E ) tập giá trị hàm ϕ compact yếu E Chứng minh Chứng minh suy từ bổ đề 2.3.2 định lí 1.7.2 1.7.3 Thật vậy, từ bổ đề 2.3.2 suy tính đếm phổ nghiệm suy rộng ϕ Từ tính đếm phổ nghiệm suy rộng ϕ dựa vào định lí 1.7.2 1.7.3 suy tính hầu tuần hoàn nghiệm suy rộng ϕ Trong trường hợp riêng, điều kiện định lí suy điều kiện định lí 1.7.2 thoả mãn Còn điều kiện định lý bảo đảm hoàn thành điều kiện định lí 1.7.3 Từ theo định lý 1.7.2 1.7.3 suy tính hầu tuần hoàn nghiệm suy rộng phương trình Định lí 2.3.4 Cho A : D( A) ⊂ F → F vaø σ ( A) phổ A Giả sử tập iσ ( A) ∩ tập không đếm Khi nghiệm (mạnh) ϕ : → D( A) , phương trình dx + Ax = ψ , ψ ∈ AP( , F ) với ψ hầu tuần hoàn hầu tuần hoàn (tức dt ϕ ∈ AP( , E ) ) thoả mãn điều kiện sau: Điều kiện 1: Không gian Banach E không chứa không gian đẳng cấu với không gian Co (không gian dãy số phức có giới hạn 0) Điều kiện 2: Tập σ ( A) điểm giới hạn hữu hạn trục ảo i mặt phẳng phức Chứng minh 38 Định lí 2.3.4 hệ trực tiếp định lí 2.3.3 xét toán tử L1 : C1( , E ) → C ( , F ) có dạng L1x = dx + Ax , E = D( A) dt 39 KẾT LUẬN Trên trình bày số kết tính hầu tuần hoàn nghiệm phương trình vi phân - hàm, không giả thiết tính đắn toán Côsi Hơn mở rộng lớp phương trình lớp nghiệm, hàm thuộc không gian hàm Qua trình nghiên cứu thấy, từ kết đạt tiếp tục tìm hiểu sâu tính khả ngược α - quy toán tử L không gian ứng dụng lý thuyết phổ nghiệm phương trình vi phân – hàm nói vào số lớp phương trình cụ thể 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Бacкaкoв A Г., Чaн Xыy Бoнг (1992), Oпorти Пepиogиrнocтиpeтeний Mнeйных Функциoнaльных ypaвнeний, ДАН,T.324(1), c.16 -19 2.Бacкaкoв A Г., Чaн Xыy Бoнг (1992), Cпeктpaльныe cвoйcтвa orpaнreнных peтeний Mнeйных gиФФepeнциaльнoФункциaльных ypaвнeний, ДАН, T.325(4), c.467-651 3.Бacкaкoв A Г.( 1978), Cпeктpaльныe кpитepии пorти пeprogиrнocти peтeний Функциoнaльных ypaвнeний, Maтeм Зaмeтки, T.24(2), c.195-206 4.Лeвитaн Б.M., Жикoв B.B (1978), Пoчти пepиogичecкиe Функции и gиФФepeнциaльныe ypaвнeния, M.: изд-вo MГУ, c.204 ... cứu không gian hàm tính chất chúng, nghiên cứu tính hầu tuần hoàn hàm thuộc không gian hàm Trong chương nghiên cứu tính hầu tuần hoàn nghiệm phương trình vi phân hàm Cuối tài liệu tham khảo Trong. .. hàm hầu tuần hoàn Mặt khác ta có ϕ = lim ϕn ( từ bổ đề 1.3.2), mà ϕn hàm hầu tuần hoàn n →∞ nên ϕ hầu tuần hoàn (định lí chứng minh) 26 CHƯƠNG TÍNH HẦU TUẦN HOÀN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN... LUẬN Trên trình bày số kết tính hầu tuần hoàn nghiệm phương trình vi phân - hàm, không giả thiết tính đắn toán Côsi Hơn mở rộng lớp phương trình lớp nghiệm, hàm thuộc không gian hàm Qua trình nghiên