Sự phân tích nguyên tố của môđun con căn và chiều đều của môđun

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN TUẤN SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN TỐ CỦA MÔĐUN CON CĂN VÀ CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN TUẤN SỰ PHÂN TÍCH NGUN TỐ CỦA MƠĐUN CON CĂN VÀ CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa họcPGS.TS NGÔ SỸ TÙNG NGHỆ AN – 2011 MỤC LỤC Trang Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tổng trực tiếp 1.2 Môđun cốt yếu môđun 1.3 Môđun nguyên tố môđun 11 1.4 Sự phân tích ngun tố mơđun 11 1.5 Mơđun có chiều hữu hạn 13 Chương 2: Sự phân tích ngun tố mơđun chiều môđun 15 2.1 Iđêan liên kết môđun 15 2.2 Sự phân tích ngun tố mơđun 17 2.3 Môđun iđêan nguyên tố liên kết môđun 22 Kết luận 27 Tài liệu tham khảo 28 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Các ký hiệu luận văn chủ yếu dựa vào F W Anderson and K R Fuller [1], P F Smith [7] A  B : Giao tập hợp A tập hợp B N  M : N tập M m N  M : N môđun môđun M N  M : N môđun cốt yếu môđun M N  M : N hạng tử trực tiếp M A  B : Tổng trực tiếp môđun A môđun B M : Tổng trực tiếp môđun M iI i i với tập số I u ( M ) : Số chiều môđun M M iI i : Tập hợp mà phần tử tổng gồm hữu hạn phần tử thuộc tập hợp M i , i  I MỞ ĐẦU Cho R vành có đơn vị, M R  môđun trái Môđun M gọi có chiều hữu hạn (finite uniform dimension) M không chứa tổng trực tiếp số vô hạn môđun khác không M Giả sử N môđun mơđun M Khi N gọi mơđun (radical submodule) M N giao môđun nguyên tố M Môđun N gọi có phân tích ngun tố (prime decomposition) N giao tập gồm hữu hạn môđun nguyên tố M Mối quan hệ tính chất mơđun N có phân tích ngun tố tính chất mơđun thương M N có chiều hữu hạn P F Smith quan tâm, nghiên cứu đến năm 2004, P F Smith chứng minh môđun N R  môđun M cho mơđun thương M N có chiều hữu hạn có phân tích ngun tố Mục đích luận văn tìm hiểu trình bày tường minh số kết nói P F Smith báo [7] Vì chúng tơi chọn đề tài luận văn phân tích nguyên tố môđun chiều môđun Luận văn chia làm hai chương với phần mở đầu, kết luận, danh mục ký hiệu tài liệu tham khảo Chương 1: Chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất có liên quan đến luận văn Chương 2: Chúng tơi trình bày đặc trưng môđun với số chiều hữu hạn, trình bày tính chất mối quan hệ mơđun có phân tích ngun tố chiều mơđun, ngồi chúng tơi trình bày số tính chất mơđun iđêan ngun tố liên kết mơđun Kết chương là: Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.2.1, Hệ 2.2.2, Hệ 2.2.3, ịnh lí 2.2.5, Hệ 2.2.6, ịnh lí 2.3.4, ịnh lí 2.3.5 Hệ 2.3.6 Luận văn tháng năm 2011, thực hoàn thành trường ại học Vinh hướng dẫn Thầy giáo PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo hướng dẫn, người trực tiếp động viên, dìu dắt tận tình, bảo nghiêm túc suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn, giúp cho tác giả tự tin trình độc lập sáng tạo, tu dưỡng rèn luyện khả tập dượt nghiên cứu khoa học Trong trình học tập viết luận văn, tác giả nhận giúp đỡ tận tình Thầy giáo, Cơ giáo tổ ại số, Trường ại học Vinh Tác giả xin cảm ơn đến Thầy, Cô giáo khoa Toán, Khoa tạo Sau đại học trường ại học Vinh, học viên cao học khoá 17, Sở Giáo dục tạo Nghệ An, Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT DTNT Tân Kỳ động viên giúp đỡ để luận văn hoàn thành kế hoạch Luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo Thầy Cô giáo tất bạn đồng nghiệp Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất có liên quan đến luận văn Các khái niệm, tính chất ký hiệu chúng tơi dựa chủ yếu theo F W Anderson and K R Fuller [1]; N V Dung, D V Huynh, P F Smith and R Wisbauer [3]; J C McConnell and J C Robson [5]; P F Smith [7] Trong tồn luận văn, vành ln xét vành kết hợp, có đơn vị ký hiệu môđun môđun trái unita vành R (nếu khơng nói thêm) 1.1 Tổng trực tiếp Định nghĩa 1.1.1 Cho R  môđun M họ môđun  Ai iI M Kí hiệu:  A  { a | i iI Khi A i iI iF i F tập hữu hạn I ,  Ai , i  F} R  môđun M gọi tổng môđun Ai Định nghĩa 1.1.2 Cho R  môđun M họ môđun  Ai iI M Giả sử A iI i thỏa mãn:   Ak    Ai   0, k  I  iI ,i k  Khi A iI i gọi tổng trực tiếp mơđun Ai Kí hiệu  Ai iI Mệnh đề 1.1.3 Cho R  môđun M họ môđun  Ai iI M Khi điều kiện sau tương đương: (i) A iI i  Ai ; iI (ii) Giả sử x phần tử  A Khi x có biểu diễn iI i x   , F tập hữu hạn I ,  Ai , i  F ; iF (iii) Phần tử   Ai có biểu diễn = + + … + iI (khơng có phần tử khác 0) Chứng minh (i)  (ii): Gọi x phần tử thuộc  A Giả sử có hai iI i biểu diễn x   x   b j iF jK F , K tập hữu hạn I ;  Ai , b j  Aj , i  F , j  K Bằng cách bổ sung phần tử 0, ta có hai biểu diễn x  a1  a2   an x  b1  b2   bn (n ¥  ) Giả sử tồn phần tử k 1, , n cho ak  bk Khi  ak  bk   a1  b1     ak 1  bk 1    ak 1  bk 1     an  bn  đẳng thức mâu thuẫn với (i) Vậy ak  bk ; k  1,2, , n (ii)  (iii): Hiển nhiên   (iii)  (i): Giả sử tồn k  I mà Ak    Ai   Khi tồn  iI ,i k  phần tử khác không ak  Ak ak   iI ,i  k Ai , ta suy ak  a1   ak 1  ak 1   an (n ¥  ) từ đẳng thức trên, ta có a1   ak 1   ak   ak 1   an  0, ak  điều mâu thuẫn với (iii) W Định nghĩa 1.1.4 Cho họ R  mơđun M i iI Kí hiệu:  Mi  iI  x , x , , x  | n  ¥ i1 i2 in   , xi j  M i j ; j  1,2, , n Trên  M i trang bị hai phép toán: iI  x , , x    y , , y    x i1 in i1  in i1        yi1 , , xin  yin ,  xi1 , , xin , yi1 , , yin  M i ;    I r xi1 , , xin  rxi1 , , rxin ,  xi1 , , xin  M i , r  R I Khi  M i R  môđun gọi tổng trực tiếp (ngồi) iI mơđun M i , i  I Mệnh đề 1.1.5 Cho họ R -mơđun M i iI Đặt M   M i với iI i  I , ta kí hiệu Ai   0, , , ,0  |  M i  Khi đó: (i) Ai mơ đun M Ai  M i , i  I ; (ii) Tồn tổng trực tiếp  Ai  Ai   M i iI iI iI 10 1.2 Môđun cốt yếu môđun Định nghĩa 1.2.1 Cho R  môđun M A mơđun M Khi A gọi môđun cốt yếu (essential submodule) M với môđun khác không X M ta có X  M  Kí hiệu A  M Định nghĩa 1.2.2 Cho R  mơđun U Khi U gọi mơđun (uniform module) với môđun khác không A B U ta có A  B  Mệnh đề 1.2.3 Cho R  môđun M (i) Giả sử A môđun M Khi A  M với phần tử khác không x M , ta có A  Rx  m m m (ii) Giả sử A  B  C  M Khi A  C A  B B  C m n n i 1 i 1 (iii) Giả sử Ai  Bi  M , i  1, , n Khi  Ai   Bi (iv) Giả sử f : M  N đồng cấu R -môđun B  N Khi ta có f 1  B   M (v) Giả sử K A  M A Khi K  M m (vi) Giả sử Ai  M i  M , i  I tồn  Ai Khi tồn  M i iI iI  Ai   M i iI iI m m (vii) Giả sử A  M Khi tồn A  M cho tồn A  B A  B  M 16 mơđun cốt yếu M Khi đó, V j ,  j  m môđun độc lập M cho V1  V2   Vm cốt yếu M n  m Định nghĩa 1.5.3 Trong Mệnh đề 1.5.2, số nguyên dương n gọi số chiều mơđun M Kí hiệu u  M  Mệnh đề 1.5.4 Giả sử N môđun R  môđun M Xét tập: S  {L môđun M | L  N  0} Khi S có phần tử cực đại, phần tử cực đại gọi phần bù giao (complement) N M Chứng minh Dựa vào phần đầu chứng minh Mệnh đề 1.2.3 (vii) W Định nghĩa 1.5.5 Một môđun K R  môđun M gọi phần bù giao (trong M ) tồn môđun N M cho K phần bù giao N M Mệnh đề 1.5.6 [3, 1.10 and 5.10] Giả sử L N môđun R  môđun M với L  N  Khi tồn phần bù giao K N cho L  K Hơn nữa, M có chiều hữu hạn  uM   u N   uK   u M K   u  K  17 CHƯƠNG MÔĐUN VỚI SỐ CHIỀU ĐỀU HỮU HẠN Trong chương này, chứng minh môđun N R  môđun M cho môđun thương M N có chiều hữu hạn có phân tích ngun tố chúng tơi nghiên cứu iđêan nguyên tố liên kết môđun Trước hết chúng tơi trình bày khái niệm iđêan liên kết mơđun số tính chất chúng nhằm chuẩn bị cho việc chứng minh ịnh lý 2.2.4 Khái niệm iđêan liên kết môđun dựa theo A W Chatters and C R Hajarnavis [2] 2.1 Iđêan liên kết môđun Mệnh đề 2.1.1 Giả sử R vành U R  môđun Đặt: P  {r  R | rV  với môđun khác không V U } Khi P iđêan R Chứng minh Vì  P nên P   Với a, b  P, với r  R ta có aV  0, bV  0, ta suy  a  b V  (ra)V  r (aV )  ta có a  b  P  P Mặt khác (ar )V  a(rV )  aV  0, nên ta có ar  P Do P iđêan R W Định nghĩa 2.1.2 [2] Iđêan P Mệnh đề 2.1.1 gọi iđêan liên kết (assassinator ideal) môđun U Mệnh đề 2.1.3 [2] Giả sử P iđêan liên kết R  mơđun U Khi PW  với mơđun khác khơng W U P iđêan nguyên tố R 18 Định nghĩa 2.1.4 Cho R  mơđun M Khi môđun N M gọi không rút gọn hay tố giản (irreducible) môđun thương M N môđun Mệnh đề 2.1.5 Cho U môđun R  môđun M P iđêan liên kết U Giả sử PM  U  Khi tồn môđun P  nguyên tố không rút gọn K M cho K  U  Chứng minh Từ giả thiết mệnh đề ta có PU  0, theo Mệnh đề 2.1.3, ta có P iđêan nguyên tố vành R Gọi K phần bù giao U M cho PM  K (Mệnh đề 1.5.6) Giả sử r  R L môđun M chứa K cho rL  K Khi r  L  U   K  U  Từ ta có L  U  (trong trường hợp L  K ) L  U  (trong trường hợp r  P ) P iđêan liên kết U Do K mơđun P  ngun tố M Theo Mệnh đề 1.5.6, ta có M K mơđun từ K mơđun P  nguyên tố không rút gọn M W Mệnh đề 2.1.6 Giả sử R  môđun M thỏa mãn môđun M môđun U môđun M với iđêan liên kết P Khi PM  U  Chứng minh Gọi A iđêan trái sinh từ tập hữu hạn R cho A  P Khi tồn môđun V khác U cho AV  Do môđun M môđun căn, nên tồn môđun nguyên tố K     M cho   K Với   Nếu V   K  AV   K dẫn tới AM  K Từ AM  V  K , ta có AM  V   K  Tiếp theo ta có  AM  U   V  AM  V  0,  19 AM  U  U mơđun Từ ta có PM  U  W 2.2 Sự phân tích ngun tố mơđun Trước trình bày tính chất, mơđun N mơđun M thỏa mãn mơđun thương M N có chiều hữu hạn N có phân tích ngun tố, chúng tơi trình bày đặc trưng môđun với số chiều hữu hạn (Mệnh đề 2.2.1) tính chất (Bổ đề 2.2.4) Mệnh đề 2.2.1 Cho số nguyên dương n Khi mơđun M có số chiều n tồn môđun Li (1  i  n) M cho: (i) M Li môđun với i  1,2, , n; (ii)  L1  L2   Ln (iii)  L1   Li1  Li1   Ln với i  1,2, , n Chứng minh Giả sử M có số chiều n Theo Mệnh đề 1.5.2, ta có tồn mơđun độc lập Ui (1  i  n) M cho U1  U   U n môđun cốt yếu M Với i  1,2, , n, đặt K i phần bù giao U i M cho U1   Ui1  Ui1   U n  Ki (Mệnh đề 1.5.6) Theo Mệnh đề 1.5.6, ta có M Ki mơđun M với i  1,2, , n Giả sử K1  K2   Kn  Khi U1  U   U n cốt yếu M , nên ta có ( K1   Kn )  (U1   U n )  ta suy tồn phần tử khác không x  ( K1   Kn )  (U1   U n ) 20 Do x U1   U n , suy x  u1  u2   un với ui Ui , i  1,2, , n Từ u1  x  (u2   un ), x  K1, u2   un U   U n  K1 ta có u1  K1 điều kéo theo u1  K1  U1  0, ta suy u1  Lập luận tương tự ta có ui  (2  i  n), ta suy x  0, mâu thuẫn iều chứng tỏ K1  K2   Kn  Mặt khác với i  1,2, , n ta có Ui  U  U3   Ui   U n  K1, ta suy U i  K1, tương tự ta có Ui  K j , j  2, , i  1, i  1, , n Vì ta có Ui  K1   Ki1  Ki1   Kn mà U i  nên suy K1   Ki1  Ki1   Kn  0, i  1,2, , n Ngược lại giả sử M chứa môđun Li (1  i  n) thỏa mãn (i), (ii) (iii) Xác định ánh xạ  : M   M     M   L1   Ln  cho   m    m  L1, , m  Ln  , m  M Từ (ii), ta có  đơn cấu Với i  1,2, , n theo (iii), tồn phần tử khác không mi  L1   Li1  Li1   Ln kết hợp với (ii), ta có mi  Li iều dẫn tới   0, ,0, mi  Li ,0, ,0     mi    M  Khi 21     ( M )       M  0, i  1,2, , n     Li   Từ   M  môđun cốt yếu ( M L1 )   ( M Ln ) kết hợp với Mệnh đề 1.5.2 (i), ta có u  M   u    M    n W Từ Mệnh đề 2.2.1, ta có hệ sau: Hệ 2.2.2 Mơđun khác khơng M có chiều hữu hạn môđun M giao tập gồm hữu hạn môđun không rút gọn M Chứng minh Hệ 2.2.2 trực tiếp suy từ Mệnh đề 2.2.1 ịnh nghĩa 2.1.4 W Hệ 2.2.3 Cho số nguyên dương n R  mơđun M Khi phát biểu sau tương đương (i) Tồn môđun độc lập Ui (1  i  n) M cho U1  U   U n môđun cốt yếu M (ii) Tồn môđun L j (1  j  n) M cho M Lj môđun với j  1,2, , n  L1  L2   Ln phân tích khơng rút gọn (iii) Mơđun M có số chiều n Chứng minh Hệ 2.2.3 trực tiếp suy từ Mệnh đề 2.2.1 Mệnh đề 1.5.2 W Bổ đề 2.2.4 Giả sử R  mơđun khác khơng M có chiều hữu hạn Khi 22 M ln chứa môđun Chứng minh Giả sử ngược lại, M khơng chứa mơđun Khi M khơng phải mơđun Do tồn môđun khác không K1 L1 M cho K1  L1  Tiếp theo K1 mơđun đều, nên ta có tồn môđun khác không K L2 K1 cho K2  L2  Ta lại có K môđun đều, nên tiếp tục trình dẫn đến M chứa tổng trực tiếp vô hạn L1  L2  môđun khác không M , mâu thuẫn với môđun M có chiều hữu hạn Vậy M ln chứa môđun W Định lý 2.2.5 Giả sử R vành M R  môđun khác cho môđun M mơđun Khi phát biểu sau tương đương (i) Môđun M giao tập gồm hữu hạn môđun nguyên tố không rút gọn M (ii) Mơđun M có chiều hữu hạn Hơn nữa, trường hợp  K1  K2   Kn phân tích khơng rút gọn được, K i mơđun nguyên tố không rút gọn M với i  1, , n, ta có n  u  M  Chứng minh (i)  (ii) phần cuối định lý suy từ Mệnh đề 2.2.1 (ii)  (i): Giả sử M có chiều hữu hạn Gọi U1 môđun M (Bổ đề 2.2.4) P1 iđêan liên kết U1 Sử dụng Mệnh đề  U1  từ Mệnh đề 2.1.5, ta có tồn mơđun 2.1.6, ta có PM 23 P1  nguyên tố không rút gọn K1 M cho K1  U1  Nếu u  M   K1  ta có điều phải chứng minh Giả sử u  M   Gọi U môđun U1  U  Nếu K1  U1  U   K1  U1  U   Khi ta đặt K1  U1  U  M cho K2  M Giả sử chứa U (vì K1  U1  ) nên ta suy K1  U1  U  môđun M Gọi P2 iđêan liên kết K1  U1  U  Lập luận tương tự trên, sử dụng Mệnh đề 2.1.6 Mệnh đề 2.1.5, ta có tồn mơđun P2  nguyên tố không rút gọn K M cho K2  [K1  U1  U  ]  từ  K1  K2   U1  U   Nếu u  M   U1  U cốt yếu M từ K1  K2  ta có điều phải chứng minh (vì K2  M K môđun nguyên tố không rút gọn được) Giả sử u  M   Gọi U môđun M cho U1  U   U3  Lập luận tương tự trên, ta có tồn môđun K M cho  K1  K2  K3   U1  U  U   0, K3  M K môđun nguyên tố không rút gọn M Lặp lại trình ta thu môđun độc lập U i (i  1) môđun Ki (i  1) cho K1 môđun nguyên tố không rút gọn với số i  2,3, Ki  M K i môđun nguyên tố không rút gọn thỏa mãn  K1   Kn   U1   U n   24 với số nguyên dương n Giả sử n  u  M   Khi U1   U n môđun cốt yếu M từ K1   Kn  W Hệ 2.2.6 Giả sử N môđun R  mơđun M Khi N giao tập gồm hữu hạn môđun nguyên tố không rút gọn M mơđun thương M N có chiều hữu hạn Như vậy, môđun N mơđun M thỏa mãn mơđun thương M N có chiều hữu hạn N có phân tích nguyên tố Chứng minh Hệ 2.2.6 trực tiếp suy từ ịnh lý 2.2.5 Nhận W t 2.2.7 Nếu môđun N R  môđun M có phân tích ngun tố ta chưa kết luận mơđun thương M N có chiều hữu hạn Chẳng hạn, xét F trường V không gian vectơ vô hạn chiều F Khi ta có F  mơđun V Xét môđun (không gian V ) F  mơđun V Khi dễ thấy môđun nguyên tố F  môđun V , ta suy môđun có phân tích ngun tố Tuy nhiên mơđun V khơng có chiều hữu hạn V chứa tổng trực tiếp Fe1  Fe2   Fen  gồm số vô hạn môđun khác không Fei (i  1,2, , n, ) F  mơđun V (trong e1, e2 , , en ,  sở không gian vectơ V ) 2.3 Môđun iđêan nguyên tố liên kết môđun Trong phần này, chúng tơi tìm hiểu trường hợp mơđun mơđun M giao môđun nguyên tố không rút gọn M ngồi chúng tơi tìm hiểu thêm iđêan nguyên tố liên kết môđun 25 Mệnh đề 2.3.1 [4, Proposition 1.4 (ii)] Giả sử N môđun P  nguyên tố R  môđun M , với P iđêan nguyên tố vành R giả sử K môđun M chứa N cho K N phần bù giao M N Khi K môđun P  nguyên tố M Mệnh đề 2.3.2 Giả sử N môđun P  nguyên tố R  môđun M , với P iđêan nguyên tố vành R giả sử L môđun khác M cho N  L  Gọi K phần bù giao L M cho N  K Khi K mơđun P  nguyên tố M Hơn nữa, L mơđun M K mơđun P  nguyên tố không rút gọn M Chứng minh Do K phần bù giao L M L  nên ta có K  L  K  M Từ ta có K N phần bù giao L  N  M N N Từ Mệnh đề 2.3.1, ta có K mơđun P  nguyên tố M Giả sử L mơđun  M Khi sử dụng Mệnh đề 1.5.6, ta có u M K   u  L   điều kéo theo K môđun P  nguyên tố không rút gọn M W Mệnh đề 2.3.3 Giả sử P iđêan nguyên tố vành R M R  môđun cho môđun M môđun P  nguyên tố M môđun khác không M chứa môđun M Khi mơđun giao môđun P  nguyên tố không rút gọn M Chứng minh Sử dụng Bổ đề Zorn, ta có M chứa tập hợp cực đại U      gồm môđun độc lập M từ giả thiết, ta suy 26  U  môđun cốt yếu M Giả sử  , ta đặt L   U     Khi L mơđun M thỏa mãn L  U   Sử dụng Mệnh đề 1.5.6 , ta có tồn phần bù giao K  U  M cho L  K  Từ Mệnh đề 2.3.1, ta suy K  môđun P  nguyên tố M Ta có   K    U       từ ta có  K  0, K  mơđun P  ngun tố M với    W Định lý 2.3.4 Giả sử M R  môđun thỏa mãn với môđun nguyên tố K M với phần tử m  M \ K , môđun  Rm  K  K chứa mơđun Khi với iđêan ngun tố P vành R mơđun P  nguyên tố M giao môđun P  nguyên tố không rút gọn M Hơn nữa, môđun M giao môđun nguyên tố không rút gọn M Chứng minh Giả sử P iđêan nguyên tố vành R K môđun P  nguyên tố M Sử dụng Mệnh đề 2.3.3 cho môđun thương M 0 (  K K ), K  mơđun chứa K cho P  nguyên tố không rút gọn M K K K K , ta có mơđun với   Dễ dàng nhận thấy K   K , K  môđun P  nguyên tố không rút gọn  M với   Từ kết hợp với định nghĩa môđun căn, ta 27 có mơđun M giao môđun nguyên tố không rút gọn M W Định lý 2.3.5 Giả sử N môđun R  môđun M cho mơđun thương M N có chiều hữu hạn Khi P iđêan nguyên tố liên kết N P iđêan liên kết mơđun mơđun thương M N Chứng minh Do môđun thương M N có chiều hữu hạn nên tồn mơđun L M chứa N cho L 2.2.4) Giả sử P là iđêan liên kết L N N môđun (theo Bổ đề Sử dụng Mệnh đề 2.1.6, ta có P   N : L  từ Mệnh đề 1.4.7, ta có P iđêan nguyên tố liên kết N Ngược lại, giả sử P iđêan nguyên tố liên kết N ặt N  K1  K2   Kn phân tích nguyên tố chuẩn tắc N , K i môđun Pi  nguyên tố M với iđêan nguyên tố Pi , i  1,2, , n ( n số nguyên dương) Không tính tổng quát, ta giả sử P  P1 (Mệnh đề 1.4.4) Nếu n  N  K1 N mơđun P  nguyên tố M Gọi H môđun M chứa N cho H  N H Khi dễ dàng kiểm tra P iđêan liên kết H môđun N N Bây ta giả sử n  Khi K2  K3   Kn  N nên tồn môđun G K2  K3   Kn chứa N , G  N cho 28 G N môđun Ta có PG  K1  K2   Kn  N Mặt khác, giả sử rR J môđun G cho rJ  N Khi rJ  K1  K2   Kn , ta suy rJ  K1 Từ ta có J  K1 (trong trường hợp J  K1  K2   Kn  N ) r  P Từ P iđêan liên kết môđun G N M N W Hệ 2.3.6 Giả sử N môđun R  môđun M cho M N có chiều hữu hạn Khi iđêan nguyên tố P vành R iđêan liên kết mơđun môđun thương M N P   N : L  , L môđun M Chứng minh Hệ 2.3.6 trực tiếp suy từ Mệnh đề 1.4.7 2.3.5 ịnh lý W 29 KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu hệ thống hóa kết sau Trình bày kiến thức sở có liên quan đến luận văn: tổng trực tiếp môđun, môđun cốt yếu môđun đều, môđun ngun tố mơđun căn, phân tích ngun tố môđun, iđêan nguyên tố liên kết môđun, phần bù giao mơđun mơđun có chiều hữu hạn Trình bày số tính chất iđêan liên kết môđun đều, đặc trưng môđun với số chiều hữu hạn, trình bày tính chất mối quan hệ mơđun có phân tích ngun tố chiều mơđun trình bày số tính chất mơđun iđêan nguyên tố liên kết môđun Các kết là: Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Mệnh đề 2.2.1, Hệ 2.2.2, Hệ 2.2.3, ịnh lý 2.2.5, Hệ 2.2.6, ịnh lý 2.3.4, ịnh lý 2.3.5 Hệ 2.3.6 Hướng phát triển luận văn: Luận văn tiếp tục nghiên cứu theo hướng, tìm điều kiện cho mơđun N mơđun M có phân tích ngun tố mơđun thương M N có chiều hữu hạn 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.W.Anderson and K.R.Fuller (1992), Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Math No 13, Springer-Verlag, New York [2] A.W.Chatters and C.R.Hajarnavis (1980), Rings with chain conditions (Pitman, Boston) [3] N.V.Dung, D.V.Huynh, P.F.Smith and R.Wisbauer (1994), Extending Modules, Pitman, London [4] R.L.McCasland and P.F.Smith (1993), Prime submodules, of Noetherian modules, Rocky Mtn J 23, 1041-1062 [5] J.C.McConnell and J.C.Robson (1987), Noncomutative Noetherian rings (Wiley-Interscience, Chichester) [6] P.F.Smith (2003), Uniqueness of primary decompositions, Turkish J Math 27, 425 - 434 [7] P.F.Smith (2004), Radical Submodules and Uniform Dimension of Modules, Turkish J Math 28, 255 - 270 ... Tổng trực tiếp 1.2 Môđun cốt yếu môđun 1.3 Môđun nguyên tố môđun 11 1.4 Sự phân tích ngun tố mơđun 11 1.5 Mơđun có chiều hữu hạn 13 Chương 2: Sự phân tích ngun tố mơđun chiều môđun 15 2.1 Iđêan...2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN VĂN TUẤN SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN TỐ CỦA MÔĐUN CON CĂN VÀ CHIỀU ĐỀU CỦA MÔĐUN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05... luận văn: tổng trực tiếp môđun, môđun cốt yếu môđun đều, môđun nguyên tố mơđun căn, phân tích ngun tố môđun, iđêan nguyên tố liên kết môđun, phần bù giao mơđun mơđun có chiều hữu hạn Trình bày