Mối liên hệ giữa miền hạn chế trong không gian 2 chiều và bao lồi của tập hữu hạn điểm trong không gian 3 chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - ĐINH THỊ DƯƠNG QUỲNH MỐI LIÊN HỆ GIỮA MIỀN HẠN CHẾ TRONG KHÔNG GIAN - CHIỀU VÀ BAO LỒI CỦA TẬP HỮU HẠN ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN - CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - - ĐINH THỊ DƯƠNG QUỲNH MỐI LIÊN HỆ GIỮA MIỀN HẠN CHẾ TRONG KHÔNG GIAN - CHIỀU VÀ BAO LỒI CỦA TẬP HỮU HẠN ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN - CHIỀU Chuyên ngành: HÌNH HỌC - TƠPƠ Mã số: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS PHAN THÀNH AN NGHỆ AN - 2012 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Danh sách ký hiệu Thuật tốn gói q tìm bao lồi tập hữu hạn điểm không gian - chiều 1.1 Tập lồi, bao lồi 1.2 Điểm cực biên, cạnh cực biên 1.3 Đường thẳng mặt phẳng E3 .13 1.4 Thuật tốn gói q tìm bao lồi tập hữu hạn điểm khơng gian - chiều 17 Mối liên hệ miền hạn chế không gian - chiều bao lồi tập hữu hạn điểm không gian - chiều 26 2.1 Miền hạn chế mặt định hướng không gian – chiều .26 2.2 Thuật tốn tìm bao lồi tập hữu hạn điểm không gian chiều miền hạn chế không gian - chiều 37 2.3 Kết tính tốn 42 Kết luận 44 Phụ lục 45 Tài liệu tham khảo 51 LỜI NĨI ĐẦU Hình học tính tốn lĩnh vực nghiên cứu để tìm thuật tốn hiệu thực thi máy tính cho tốn biểu diễn ngơn ngữ hình học Hình học tính tốn thường giải toán kinh tế như: xác định địa điểm để đặt nhà máy, trạm điện, bến xe, trường học; xác định đường ngắn cho tàu biển, lập trình cho rơbốt điện tử, … Có nhiều nhà tốn học nghiên cứu Hình học tính tốn, chẳng hạn D R Chand (1970), P McMullen (1971), R L Graham (1972), F P Preparata (1988), J O’Rourke (1998), P T An (2007), … Bài tốn thường gặp Hình học tính tốn tìm bao lồi tập hữu hạn điểm không gian - chiều Đây vấn đề nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, chẳng hạn như: D R Chand, S S Kapur, F P Preparata, M L Shamos, J O’Rourke, P T An (xem [6], [10] [11]), Năm 1970, D R Chand S S Kapur đề xuất thuật tốn gói q để giải tốn (xem [11]) Các thuật toán xác định bao lồi chạy với thời gian trung bình O(n log n), ví dụ thuật tốn chia để trị thuật toán tăng dần ngẫu nhiên (xem [10]) Tuy nhiên, thực nghiệm tính tốn trường hợp xấu thuật toán chạy với thời gian O(n2) O(n log n) Đó lý thực tế, thường sử dụng thuật tốn gói q chạy với thời gian O(nk), n số điểm, k số mặt bao lồi (xem [10], [11]) Một hướng tiếp cận để tìm bao lồi giới thỉệu [5] Dựa ý tưởng phương pháp mặt định hướng, năm 2011, P T An L H Trang đưa thuật toán hiệu tìm bao lồi tập hữu hạn điểm không gian - chiều với điều kiện hạn chế ([6]) Trong thuật toán này, bao lồi tạo thành mặt, số mặt mặt định hướng xác định từ miền hạn chế điểm phân bố mặt phẳng Trong luận văn này, chúng tơi trình bày cách tường minh kết báo [6] P T An L H Trang Do luận văn có tên ”Mối liên hệ miền hạn chế không gian - chiều bao lồi tập hữu han điểm không gian - chiều” Bố cục luận văn gồm chương Chương Thuật tốn gói q tìm bao lồi tập hữu hạn điểm không gian - chiều Trong chương này, chúng tơi trình bày khái qt số kiến thức sở cho nội dung chương sau, bao gồm:  Định nghĩa tập lồi, bao lồi, điểm cực biên, cạnh cực biên bao lồi số tình chất  Thủ tục xác định cạnh cực biên bao lồi mặt phẳng đưa ví dụ minh họa  Một số tính chất đường thẳng mặt phẳng E3  Thuật tốn gói q tìm bao lồi tập hữu hạn điểm không gian - chiều đưa ví dụ minh họa Chương Mối liên hệ miền hạn chế không gian - chiều bao lồi tập hữu hạn điểm khơng gian – chiều Nội dung luận văn trình bày chương này, bao gồm:  Định nghĩa tính chất miền hạn chế mặt định hướng không gian - chiều  Thủ tục xác định mặt định hướng  Thuật tốn tìm bao lồi tập hữu hạn điểm không gian - chiều sử dụng miền hạn chế không gian - chiều đưa ví dụ minh họa  Một số kết tính tốn Luận văn hồn thành vào tháng 09 năm 2012 Trường Đại học Vinh, hướng dẫn tận tình, chu đáo Thầy giáo, PGS TS Phan Thành An Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dạy tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Hữu Quang, PGS TS Phạm Ngọc Bội, PGS TS Nguyễn Huỳnh Phán, TS Nguyễn Duy Bình, thầy giáo Khoa Tốn thầy giáo phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh quản lý, nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến anh Lê Hồng Trang, em Đinh Thanh Giang, em Đồng Văn Việt, cán phịng Giải tích số Tính toán Khoa học Thầy giáo Viện Toán học giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới ban Giám hiệu Trường Đại học Hoa Lư, tập thể lớp K18 Hình học – Tơpơ, gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập trình hồn thành luận văn Nghệ An, tháng 09 năm 2012 Tác giả DANH SÁCH KÝ HIỆU E3 : Không gian Euclid - chiều R : Tập số thực conv  : Bao lồi tập     : Tập cạnh cực biên bao lồi conv  f a, b, p  : Mặt phẳng qua ba điểm a, b, p a, b, p  : Miền hạn chế mặt phẳng a, b, p    a : Tam giác a, b : Đường thẳng có hướng từ a đến b ab  ap : Tích có hướng hai vectơ ab ap  : Tập rỗng  : Góc phẳng □ : Kết thúc chứng minh  : Module vectơ a CHƯƠNG THUẬT TỐN GĨI Q TÌM BAO LỒI CỦA TẬP HỮU HẠN ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN - CHIỀU Với p, q  E3,   0,1, kí hiệu  p, q  : 1    p  q    1 Trong chương này, giả thiết rằng, tập hợp điểm xét không nằm đường thẳng mặt phẳng khơng có bốn điểm thuộc mặt phẳng 1.1 Tập lồi, bao lồi Định nghĩa 1.1 (xem [14]) Một tập   E gọi tập lồi với x1,x   đoạn thẳng x1, x2    Hình cho ví dụ tập lồi tập khơng lồi x2 x1  x1 x2  Hình Tập A lồi, tập B khơng lồi Ví dụ 1.2 Các hình tam giác, hình trịn mặt phẳng; nửa không gian tập lồi Nhận xét 1.3 Giao họ tập lồi tập lồi, nhiên hợp họ tập lồi chưa tập lồi Định nghĩa 1.4 (xem [3]) Một tổ hợp lồi dạng k k i 1 i 1 x1 , x , , x k  E tổng có  i xi , với i  i  1, k   i  Mệnh đề 1.5 (xem [3]) Giả sử   E tập lồi x1 , x2 , , xm   Khi đó, với i  R, i  i  1, m  cho m m  i   i x i   i 1 i 1 Chứng minh: Chúng chứng minh phương pháp quy nạp Nếu m  , với 1 , 2  , 1 , 2  R, 1  2  ; x1 , x   , theo Định nghĩa 1.1, ln có 1 x1  2 x   Giả sử mệnh đề với m  k , k  , cần chứng minh mệnh đề với m  k  , nghĩa là, với  k 1  x1 , x , , x k 1   ,  i  ,  i  R i  1, k  k 1  i  x :  i xi   i 1 i 1 k 1 Khơng tính tổng qt, giả sử  k 1  (vì  k 1  từ  i  i 1   i  i  1, k  suy 1  2   k  , x  xk 1   ) Khi đó, có  k 1  1    k  Suy Vì  i  i  1, k  k 1   k 1 k i    nên theo giả thiết quy nạp, chúng  k 1   k 1 i 1  k 1 k i xi   i 1   k 1 đặt y :  Vậy với y, x k 1   ,  k 1  (1  k 1 )  k 1  , có x  1  k 1  y  k 1 xk 1   □ Định nghĩa 1.6 (xem [14]) Cho tập   E Khi đó, giao tất tập lồi chứa  gọi bao lồi  , kí hiệu conv  Nhận xét 1.7 (xem [14]) (i) conv  tập lồi nhỏ chứa  (ii)  tập lồi conv    Định lý 1.8 (Định lý Caratheodory E3) (xem [3]) Bao lồi tập   E3 tập tất tổ hợp lồi không bốn điểm  Mệnh đề 1.9 (xem[2]) Bao lồi họ hữu hạn điểm  E2 hình đa giác lồi, đỉnh hình đa giác lồi thuộc  điểm cực biên conv  có điểm cực biên mà thơi Mệnh đề 1.10 ([9]) Bao lồi họ hữu hạn điểm  E3 hình đa diện lồi, mặt hình đa diện lồi có đỉnh thuộc  mặt cực biên conv  có mặt cực biên mà thơi Nhận xét 1.11 (xem [11]) Một khối đa diện lồi mô tả biên gồm mặt, cạnh đỉnh 1.2 Điểm cực biên, cạnh cực biên Định nghĩa 1.12 (xem [8]) Cho tập lồi   E , điểm x   gọi điểm cực biên tập  x  a, b; với a, b   x  a x  b (xem hình 2) xa b  Hình x điểm cực biên tập  38 Thủ tục xác định mặt định hướng Bài toán Cho:   { p i   xi , y i , z i   E : i  0,1, , n  1} , n  Tìm: Một mặt định hướng f e, p  qua cạnh e Nếu v   có số i (tức v  pi ) đặt v next : pi1 Theo Mệnh đề 1.20, chọn phần tử    Dựa vào Mệnh đề 2.3, thủ tục xác định mặt định hướng qua cạnh e trình bày Nếu khơng tồn mặt định hướng xác định mặt qua e Mô tả thủ tục ([6]) Dựa vào Định nghĩa 2.2, thủ tục xác định mặt định hướng mơ tả sau  Tìm cạnh cực biên e : a, b conv  (sử dụng Thủ tục 1)  Tìm p   \ a, b cho e, p  giao với mn (trong đó, mn giao hai mặt x max z max ) v nằm phía dương mặt f  e, p  , (nghĩa là, tìm v   \ a, b, p cho v   e, p ) Khi đó, mặt f  e, p  mặt định hướng qua cạnh e : a, b Thủ tục 2: Xác định mặt định hướng ([6]) Cho   E3, giả sử e : a, b cạnh bao lồi conv  Lấy p   \ a, b l : Xét f  e, pl  Giả sử nlx nl y hồnh độ tung độ tích có hướng hai vectơ ab  apl If nlx  nl y  39 While v   If v   e, pl  // Mệnh đề 2.3 (i), v nằm phía dương mặt f e, pl  đặt v : vnext Else, if v khơng nằm phía dương mặt f e, p l  // Định nghĩa 2.2, f e, pl  không mặt định hướng đặt l : l  goto else, đặt v : vnext // f e, pl  mặt định hướng qua e // kiểm tra f e, p  mặt conv  Else While v   \ a, b, pl  If V a, b, pl , v   // tức là, v nằm phía dương mặt f e, pl  đặt v : vnext Else, đặt l : l  goto // f e, p l  mặt qua cạnh e Thuật tốn tìm bao lồi miền hạn chế Bài toán Cho:  : p , p1 , , p n 1   E , n  Tìm: Q tập tất mặt conv  Mô tả thuật tốn ([6])  Tìm cạnh cực biên e conv  (sử dụng Thủ tục 1)  Tìm mặt định hướng qua e (sử dụng Thủ tục 2) Từ tìm mặt qua e  Tìm mặt cịn lại conv  giống thuật tốn gói q 40 Thuật tốn 2: Tìm bao lồi miền hạn chế ([6]) Đặt  ': p'0 , p'1 , , p' n1  với p'i  (0, y i , zi ) , i  0,1, , n   p0 , p1  xác đinh (4) Đặt e :  p , p1  Xét Q :     :  ; gọi Thủ tục để tìm mặt F1 ; gán cạnh F1 vào    ; gán Q  Q  F1 ; while Q    begin lấy F1 từ tập Q ; T đặt tập cạnh F1 ; for each e  T     // e chọn thuật tốn gói q begin gọi Thủ tục để tìm mặt F2 có chung cạnh e với F1 ; // thuật tốn gói q mặt định hướng gán vào    tất cạnh F2 chưa có    xố tất cạnh F2 có    ; gán Q  Q  F2 ; end; output F1 ; end; Trong không gian - chiều, chúng tơi nhìn mặt phẳng Oyz từ phía x   nhìn trục Oy từ phải qua trái Nếu u y  u y , a, b, p  nằm phía (tương ứng, phía trên) đường định hướng u p u p v y  v y (tương ứng, v y  v y ) v   a, b, p  Ngược lại, u y  u y , a, b, p  nằm phía (tương ứng, phía trên) đường định hướng u p u p v y  v y (tương ứng, v y  v y ) v   a , b, p  41 Theo (6), ta có u y  u y  z max  z n z ny v y  d  x max n x  v z n z  ny Suy ra, từ Mệnh đề 2.5 (i), kết luận u p nằm phía (tương ứng, phía dưới) mặt phẳng a, b, p ,   v y  d  xmax n x  v z n z  ny    nz  x 0  n y max  (9)  d  xmax n x  v z n z  n z (tương ứng,  v y  xmax  )   ny  ny v   a, b, p  Thay (1) (tương ứng, (2)) vào (9) (tương ứng, (8)), kiểm tra xem v có thuộc miền hạn chế (e, p) (tương ứng, v nằm phía dương mặt f (e, p) ) hay không Từ Mệnh đề 2.3 (i), n y  n x  v nằm phía dương mặt f (e, p) với v   , v   a, b, p  Sau đó, từ Thủ tục 2, kiểm tra xem   v  v x , v y , v z   nằm phía dương mặt f (e, p ) hay không (e, p ) mặt định hướng hay không, sử dụng (8) (9) sau if n x  , n y  then if n y v y  d  x max n x  v z n z then v nằm phía dương mặt f (e, p) else, if n x v x  d  v y n y  v z n z then v nằm phía dương mặt f (e, p) else f (e, p) không mặt định hướng, // Từ Mệnh đề 2.3 (iii), f (e, p) không mặt n x , n y , n z   ab  ap d : p x n x  p y n y  p z n z (10) 42 Ví dụ Trong khơng gian - chiều E3, cho điểm  ngẫu nhiên phân bố gồm 100 điểm (xem phụ lục) Thực tính tốn sử dụng thuật tốn (code thuật toán cho báo [6] P T An L H Trang) thu kết bao lồi có 196 mặt 294 cạnh; tổng số lượt điểm khơng cần phải xét tồn chương trình 15385 (vì cạnh bao lồi xét, hạn chế có miền hạn chế khác với cạnh khác) (xem hình 19) Hình 19 Biểu diễn bao lồi conv  2.3 Kết tính tốn Thuật tốn gói q thuật tốn trình bày mục 2.2 thực C (việc thực thụât tốn gói q có [7]) Code chương 43 trình chạy GNU C SuSe Linux 10.0 thực sử lý Pentium IV Tập   { pi   xi , y i , z i  : x, y, z R, z i  xi2  y i2 , i  0,1, , n  1}  E gồm điểm ngẫu nhiên nằm mặt paraboloid tất điểm  điểm cực biên bao lồi conv  Bảng cho thấy thuật tốn tìm bao lồi miền hạn chế mô tả mục 2.2 thực (10) chạy nhanh đáng kể thuật tốn gói q Input (số điểm ngẫu nhiên  3D) Thuật tốn gói q Thuật tốn miền hạn chế Thời gian thực thuật tốn tính theo giây n 2000 2.859683 2.770367 5000 19.908366 19.108360 7000 45.485017 42.728962 11000 108.292630 99.300761 15000 218.984432 183.929030 17000 288.311208 245.224522 Bảng 1: Thời gian chạy thuật tốn trình bày mục 2.2 thuật tốn gói q trình bày [11] (tính theo   { p i   xi , y i , z i  : x, y, z R, z i  xi2  y i2 , i  0,1, , n  1}  E3, giây) với xi , yi  : x, y R, i  0,1, , n  1 tập điểm ngẫu nhiên nằm hình vng kích thước 200x200 44 KẾT LUẬN Trong luận văn này, nghiên cứu ”Mối liên hệ miền hạn chế không gian - chiều bao lồi tập hữu hạn điểm không gian - chiều” đạt số kết quả, đưa số hướng nghiên cứu phát triển luận văn Cụ thể sau Kết đạt  Trình bày lại cách chi tiết thuật tốn gói q tìm bao lồi tập hữu hạn điểm không gian – chiều đưa ví dụ minh hoạ cho thuật tốn (mục 1.4)  Chứng minh lại số tính chất miền hạn chế mặt định hướng không gian E3 (mục 2.1)  Trình bày lại cách chi tiết thuật tốn tìm bao lồi khơng gian – chiều miền hạn chế không gian - chiều đưa ví dụ minh hoạ cho thuật tốn (mục 2.2)  Trình bày lại số kết tính tốn hai thuật tốn thực thi máy tính (mục 2.3) Hướng phát triển luận văn  Nghiên cứu mặt định hướng mặt phẳng Oxy , Oxz  Sử dụng miền hạn chế để tìm bao lồi tập hữu hạn điểm không gian nhiều chiều  Sử dụng mặt định hướng việc xây dựng tam giác phân Delaunay 45 PHỤ LỤC Bộ điểm  mặt bao lồi convP ví dụ mục 2.2 % Running time: 0.004575 % The total number of non-visiting points: 15385 %% Vertices: V = 100 %% index: x y z 18.153799 96.074402 10154.309570 46.582401 -34.160000 2557.671387 8.377230 11.709500 251.124939 44.406700 28.217699 2509.305664 80.825203 31.765699 6872.825684 76.652603 84.576897 12828.441406 66.527496 10.952200 3884.068848 -4.532080 -8.408730 131.042053 -25.853100 -25.150200 1464.623169 -36.320499 13.588200 2100.307129 55.629799 -68.258003 6595.734375 29.638800 78.324402 7328.852539 -53.452599 -13.298300 3623.670166 72.086197 -68.891602 8581.366211 36.326801 -88.066399 7992.571289 -12.120300 88.586304 8893.818359 -8.838850 55.113701 3710.414307 -81.314598 -49.418400 9692.999023 -2.324670 24.728500 892.618286 -19.988701 88.407997 9208.162109 94.976303 44.037800 10217.828125 6.015670 -26.323400 500.100647 -17.104900 20.224001 1119.449463 71.483902 -7.689850 4299.997559 88.290398 -71.363098 11312.244141 36.862701 16.516600 1370.849731 -29.988100 -92.322304 9104.084961 14.113300 -73.636902 4920.376465 -50.194000 24.038500 3943.469482 -39.651501 -95.950302 10547.619141 84.479202 99.026001 16762.740234 40.352001 5.041690 1260.022583 -25.450800 87.936699 9435.228516 -4.551970 59.420601 4128.834961 47.455299 47.711102 4387.193848 -88.603798 -15.426200 9084.306641 -36.076698 54.585701 5199.421875 -28.435801 -31.300900 1934.402832 29.786699 18.504999 1069.759277 12.737700 78.853500 6903.339355 46 -15.903300 99.493500 88.566803 -2.135910 -0.528460 29.715900 -23.523100 -69.084503 -88.282700 16.557600 -74.552399 33.363602 46.321301 47.215801 7.530930 -84.442902 -91.842796 55.342999 71.227798 5.617640 -81.139000 -4.562920 -24.302200 -65.807602 -33.631100 19.682600 -94.470398 87.833199 38.157700 86.289703 -55.033100 98.286003 -54.259499 75.897202 -13.380000 -22.619301 -22.104900 64.639999 68.530998 1.285370 -20.539200 28.504700 81.780899 85.610703 -12.790300 94.109100 21.865801 -21.362801 -80.233902 16.480301 -25.602501 12.378700 25.860901 90.542000 40.614498 -57.552700 -84.277199 -34.029202 63.332699 3.684680 78.233803 -26.318100 -78.862801 -67.466698 -3.543340 68.020798 -2.192490 -89.454803 -5.358090 -5.864630 -17.297800 80.566200 -19.962200 -90.246300 -13.769400 17.146099 28.863400 -54.578999 -29.131399 -95.767799 50.553501 -2.230650 -94.699699 -79.142601 -70.985397 84.357498 55.585300 -38.797001 -19.936001 75.501099 -48.801102 -14.608700 51.760300 -28.557199 -23.027599 -35.194401 -97.036697 89.252998 -65.779999 -67.494003 -21.753500 -45.856300 40.763802 -81.855499 -3.960470 -39.320499 -70.789497 30.495800 -90.043404 38.461300 20.242300 5.852930 93.062698 87.171700 9.037550 87.674698 5008.811523 8796.552734 13570.587891 566.311890 5653.184570 4594.742188 872.712891 10821.339844 8895.308594 7420.413086 6493.166992 751.535156 1802.428223 8842.208984 258.351379 15627.998047 9672.494141 2878.672607 5330.027832 2562.394043 8229.511719 8540.491211 3890.946289 5161.574707 9805.473633 5839.137695 14589.791016 14494.171875 4578.808594 7657.504395 3982.169922 14827.955078 5643.778320 4996.812988 3480.996094 1424.960693 1154.322021 4412.370605 12571.349609 8711.126953 4526.815430 4542.266602 6056.961426 8090.629883 2353.924805 13828.087891 251.226654 1999.912476 11905.107422 1296.742920 8409.979492 1840.094604 979.607300 7241.002930 10610.575195 12346.009766 8321.750977 10000.595703 47 81.024399 -0.958653 -92.559196 23.921101 13476.042969 826.023193 %% Faces: F = 196 %% List of all hull faces: %% v0 v1 v2 (vertex indices) %% 86 %% 86 92 %% 92 89 %% 89 99 %% 99 22 %% 22 %% 22 46 %% 46 76 %% 76 43 %% 43 54 %% 54 86 %% 54 86 51 %% 51 86 31 %% 31 86 38 %% 38 86 92 %% 38 92 %% 92 89 %% 89 68 %% 68 89 91 %% 91 89 99 %% 91 99 18 %% 18 99 22 %% 18 22 84 %% 84 22 62 %% 62 22 %% 22 46 %% 46 12 %% 12 46 %% 46 76 %% 76 75 %% 75 76 43 %% 75 43 87 %% 87 43 59 %% 59 43 21 %% 21 43 54 %% 21 54 %% 54 52 %% 52 54 51 %% 52 51 31 %% 52 31 23 %% 23 31 %% 31 57 %% 57 31 25 %% 25 31 38 %% 25 38 %% 25 57 %% 57 58 %% 58 34 %% 34 68 %% 34 68 53 %% 53 68 11 %% 11 68 39 48 %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% 39 39 33 16 84 16 74 74 40 36 28 28 63 63 70 70 37 37 37 72 80 80 44 27 81 81 45 10 77 77 73 73 93 93 58 4 20 42 5 94 94 0 79 79 15 40 40 15 19 32 97 97 95 68 91 91 91 91 84 84 62 62 62 62 9 12 12 8 75 87 87 87 59 59 59 59 59 1 1 52 52 23 23 6 58 34 34 34 34 53 53 11 11 39 39 33 33 33 16 40 40 40 40 36 36 91 33 16 84 18 74 62 40 36 28 63 12 70 37 75 87 72 80 59 44 27 81 21 45 10 77 52 73 23 93 58 57 34 20 42 53 94 11 39 79 33 15 40 16 74 19 32 97 36 95 47 49 %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% 47 47 96 96 50 50 60 72 60 17 88 29 29 26 90 90 61 49 49 65 65 65 14 14 78 13 13 83 69 82 82 82 41 41 41 71 71 67 67 30 30 30 95 97 19 15 97 30 55 66 66 56 48 48 48 35 35 56 36 28 28 63 63 70 70 70 72 72 72 72 80 80 80 44 44 44 27 27 81 45 45 10 10 10 77 77 77 77 73 93 93 20 20 42 42 5 94 0 0 19 95 95 95 47 47 47 96 50 50 60 60 28 96 63 50 70 60 72 37 17 88 29 80 26 90 44 61 49 27 65 81 45 14 10 78 13 77 83 69 82 73 93 41 20 71 42 67 30 94 95 97 19 15 79 32 55 66 47 56 48 96 50 35 60 56 17 50 %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% %% 56 66 66 55 55 78 61 64 64 61 78 78 14 55 98 98 24 24 85 85 41 85 85 30 85 85 85 35 %% Edges: showpage 17 17 88 88 29 29 29 29 26 26 61 49 49 78 78 13 13 83 83 69 69 41 71 71 30 55 98 56 66 88 55 29 78 61 64 26 61 90 49 14 65 98 13 24 83 85 69 41 82 71 30 67 55 98 24 48 E = 294 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] P T An (2010-2012), Bài giảng mơn hình học tính tốn, Viện Tốn học, Hà Nội [2] N H Điển (2005), Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo dục [3] Đ V Lưu P H Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kỹ thuật TIẾNG ANH [4] P T An (2007), A modification of Graham’s algorithm for determining the convex hull of a finite planar set, Annales Mathematicae et Informaticae, 34 pp 269-274 [5] P T An (2010), Method of Orienting Curves for determining the convex hull of a finite set of poínts in the plane, Optimization, 59 (2) pp 175-179 [6] P T An L H Trang (2011), An efficient convex hull algorithm for finite points sets in 3D based on the method of orienting curves, Optimization, DOI: 10.1080/02331934.2011.623163 [7] T Lambert, Gift wrapping algorithm in three dimensions, http://www.cse.unsw.edu.au/~ lambert/java/3d/giftwrap.html [8] S R Ley (1982), Convex sets and their applications, John Wiley & Sons [9] P McMullen G C Shephard (1971), Convex Polytopes and the Upper Bound Cojnecture, Cambridge University Press 52 [10] J O’Rourke (1998), Computional Geometry in C, Camberidge University Press, nd Edition [11] F P Preparata M L Shamos (1988), Computational Geometry – An Introduction, Springer – Verlag, New York, 2nd Edition [12] K Sugihara (1994), Robust gift wrapping for the three–dimensional convex hull, Journal of Computer and System Sciences, 49 pp 391407 [13] J V Tiel (2004), Convex Analysis, Roval Netherlands Metcorolovicalute [14] F A Valentine (1964), Convxe Sets, Mc Graw-Hill, New York ... -68 .25 80 03 6595. 734 375 29 . 638 800 78. 32 4 4 02 7 32 8 .8 525 39 - 53. 4 525 99 - 13 .29 830 0 3 6 23 .670166 72. 086197 -68.8916 02 8581 .36 621 1 36 . 32 6 801 -88.06 639 9 79 92. 57 128 9 - 12. 120 30 0 88.58 630 4 88 93. 81 835 9 -8. 838 850... 7657.50 439 5 39 82. 169 922 14 827 .955078 56 43. 778 32 0 4996.8 129 88 34 80.996094 1 424 .9606 93 1154. 32 2 021 44 12. 37 0605 125 71 .34 9609 8711. 126 9 53 4 526 .815 430 45 42. 2666 02 6056.961 426 8090. 629 8 83 23 53. 924 805 13 828 .087891... -15.9 033 00 99.4 935 00 88.5668 03 -2. 135 910 -0. 528 460 29 .715900 - 23 . 5 23 100 -69.0845 03 -88 .28 2700 16.557600 -74.5 5 23 99 33 .36 36 02 46. 32 1 30 1 47 .21 5801 7. 530 930 -84.4 429 02 -91.8 427 96 55 .3 429 99 71 .22 7798