Bài viết chỉ ra một giải pháp thực hiện mới, giúp cải thiện rất lớn về độ phức tạp tính toán, từ đó rút ngắn thời gian thực hiện một cách vượt trội khi so sánh với kỹ thuật gốc trong các kết quả thực nghiệm dưới dạng phần mềm. Đặc biệt, các đề xuất này có thể mở rộng một cách tự nhiên lên không gian n-chiều.
Tạp chí Khoa học Cơng nghệ 132 (2019) 027-032 Đề xuất kỹ thuật thực thi nhanh lọc trung bình khơng gian 2-chiều A New Technique Reduces the Computational Complexity for 2D Mean Filters Nguyễn Hữu Tài* Trường Đại học Khoa học Huế, 77 Nguyễn Huệ, Tp Huế, Việt Nam Đến Tòa soạn: 18-7-2018; chấp nhận đăng: 18-01-2019 Tóm tắt Bộ lọc trung bình khơng gian số lọc dụng phổ biến lĩnh vực xử lý tín số nói chung xử lý ảnh nói riêng Vì việc nghiên cứu cải tiến kỹ thuật thực lọc mang lại ảnh hưởng tích cực xét khía cạnh phần cứng (Hardware) lẫn phần mềm (Software) Những nghiên cứu báo giải pháp thực mới, giúp cải thiện lớn độ phức tạp tính tốn, từ rút ngắn thời gian thực cách vượt trội so sánh với kỹ thuật gốc kết thực nghiệm dạng phần mềm Đặc biệt, đề xuất mở rộng cách tự nhiên lên khơng gian n-chiều Từ khóa: Bộ lọc trung bình, Lọc nhiễu, Lọc làm mờ ảnh, Xử lý ảnh, Xử lý tín hiệu số Abstract Mean filters are among the most commonly used filters in the field of digital signal processing in general and image processing in particular Therefore, the research and improvement of the filter technology will have a positive impact on both the hardware and the software Our studies in this paper have shown a new implementation solution, which greatly improves computational complexity, thus reducing the time taken for implementation to be superior to that of the original technique in experimental results in the form of software In particular, these suggestions can naturally expand into the n-dimensional space Keywords: 2D mean filter, Noise filter, Blur filter, Digital image processing, Digital signal processing Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số, ảnh số X có kích thước M´N (M cột N dòng) xem tín hiệu chiều ( , ), đó: Mở đầu Bộ*lọc trung bình khơng gian 2-chiều, hay gọi với thuật ngữ “2D Mean Filter”, lọc sử dụng phổ biến lĩnh vực xử lý ảnh để thực tác vụ làm trơn ảnh (smoothing), làm mờ (blur), tăng cường chi tiết (sharpen details), hay khử nhiễu (remove noise) [2-5] nhiều ứng dụng khác lĩnh vực xử lý tín hiệu số nói chung Do đó, việc nghiên cứu nhằm cải tiến kỹ thuật thực thi lọc quan tâm [6-8], kết góp phần đơn giản hóa kiến trúc mạch xử lý tín hiệu số (DSP) giải pháp phần cứng (Hardware), hay cải thiện thời gian thực lọc cho giải pháp phần mềm (Software) Từ đó, báo tập trung nghiên cứu kỹ thuật thực lọc trung bình có, đề xuất cải tiến nhằm mang lại kết tốt kỹ thuật ( ( )= , 0≤ 0≤ ngược lại ) , với ≤ ≤ lọc số 2-chiều H xác định qua giá trị đáp ứng xung ( , ) Bộ lọc 2-chiều H gọi có đáp ứng xung hữu hạn khi: ( ( , , ) ≥ với ≤ ≤ ) = ngược lại ≤ ≤ m´n gọi kích thước lọc Khi m = n ta có lọc hình vng Lọc ảnh đầu vào X lọc H thực qua thao tác nhân cuộn (convolution) 2-chiều, hay gọi nhân chập, cho công thức sau: Các kiến thức liên quan ( 2.1 Nhân chập 2-chiều lọc chia tách [1] = * Địa liên hệ: Tel.: (+84) 905.103.928 Email: nhtai2004@gmail.com 27 , )= ( ( , , ) ) ( ( , , ) ) (1) Tạp chí Khoa học Cơng nghệ 132 (2019) 027-032 Hình Lọc trung bình khơng gian 2-chiều (a) Ảnh gốc mandril_color kích thước 512x512, (b) Kết lọc với kích thước lọc 5´5, (c) Kết lọc với kích thước lọc 9´9 Hình Nhân cuộn ( , ) với đáp ứng xung 2-chiều ( , )≥0 ( , )=0 0≤ ≤ + 0≤ ≤ + ngược lại 1 ( , )= Trong đó: Từ đó, kích thước ảnh đầu Y (M+m1)´(N+n-1), cần thực (M+m-1)´(N+n1)´(m´n) phép xử lý toán học, với phép xử lý toán học gồm phép nhân phép cộng ( ) ) ( (3) ( ) = với [0, ( ) = với [0, ] ] Từ (2) (3) ta có: ( Khi kích thước ảnh lớn so với kích thước lọc, hay M,N≫m,n, số phép xử lý toán học cần xử lý xấp xỉ: ( ´M)´(n´m) ) chia tách Trong trường hợp ( , ) chuỗi chia tách (separable sequence), biểu diễn dạng: Kết đầu thu ảnh Y biểu diễn qua tín hiệu 2-chiều ( , ) có giá trị xác định là: ( , , ( , = = (2) ( Với giá trị 28 )= ( , ) ) ( ) cố định, ( , ( ) , ) ( ) ) ( ) (4) Tạp chí Khoa học Công nghệ 132 (2019) 027-032 ( , ) ( Hình 3(a) minh họa cho giá trị đáp ứng xung h(n , n ) có kích thước 3´3 biểu diễn dạng ma trận (hay gọi mặt nạ lọc), dạng biểu diễn tương đương với hệ số nhân 1/9 (còn gọi Gain lọc) giá trị bên Dạng chuyển đổi số nguyên mang lại khả thực lọc hệ thống xử lý số nguyên ) (4) phép nhân cuộn 1-chiều (1-D convolution) ( , ) ( ) Nếu đặt: ( , )= ( , ) ( ) (5) (0, ) kết nhân cuộn 1-chiều (0, ) ( ) minh họa Hình Ta thấy, N giá trị ứng với cột ( , ) nhân cuộn 1-chiều với n giá trị ( ), thao tác cần thực M lần ứng với M giá trị khác Vì vậy, cần xấp xỉ (N+n-1)´n´M phép xử lý toán học Từ (4) (5) ta có: ( , )= ( ) ( , ) Hình Một số mặt nạ lọc lọc trung bình 2D (6) Vì tồn hệ số mặt nạ lọc trung bình chuyển đổi giá trị 1, nên thao tác nhân cuộn để thực lọc không cần thực ) Do đó, số phép nhân ( , ) ( , phép tốn để thực lọc trung bình 2-chiều tín hiệu ảnh đầu vào theo cơng thức (2) cho giá trị xấp xỉ: Với giá trị cố định, ( , ) có cách nhân cuộn 1-chiều ( ) với ( , ) Ví dụ, ( , 1) có cách nhân cuộn 1-chiều ( ) với ( , 1) Hình Ở ( , ) ( , ) đổi tên biến Thao tác nhân cuộn 1-chiều ( ) với hàng ( , ) cần thực (N+n-1) lần với (N+n1) hàng khác nhau, gian đoạn cần (M+m-1)´m´(N+n-1) phép xử lý toán học ( ´M)´(n´m) phép toán cộng ( ´M) phép toán chia Đề xuất kỹ thuật chia tách Như vậy, đáp ứng xung 2-chiều ( , ) chia tách thành tích đáp ứng xung 1-chiều ( ) ( ) độ phức tạp tính tốn thao tác lọc thông qua phép nhân cuộn 1-chiều là: [(N + n +[(M + m 1)´n´M] 1)´m´(N + n Rõ ràng, lọc trung bình 2-chiều chia tách thành lọc 1-chiều theo định nghĩa (3) (9) Cụ thể: ( ´M´(n + m) (8) ( , ) = ngược lại ≤ ,0 ≤ ≤ ) ( ) (11) ´ với ≤ ≤ (12) ( ) = với ≤ ( ) = ngược lại ≤ (13) ( , ), ( ) ( ) xác định mặt nạ lọc Hình Một lọc trung bình 2-chiều kích thước m´n xác định giá trị đáp ứng xung cho công thức sau: với ≤ ´n ( ( ) = ngược lại 2.2 Bộ lọc trung bình 2-chiều )= 1 = = ´n ´n )= ( )= Khi kích thước ảnh lớn so với kích thước lọc, hay M,N≫m,n, số phép xử lý toán học cần thực xấp xỉ: ( , , Trong đó: (7) 1)] (10) Như vậy, lọc trung bình 2-chiều kích thước thực cách nhanh chóng thơng qua lọc 1-chiều theo quy trình mơ tả Hình Theo cách thực này, từ công thức (8) (10), suy số phép toán cần thực giảm từ: (9) 29 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ 132 (2019) 027-032 Hình Mặt nạ lọc lọc trung bình 2-chiều kích thước m´n thành phần chia tách (a) Mặt nạ lọc trung bình 2-chiều , (b) & (c) Mặt nạ lọc chia tách ( ) theo dòng ( ) theo cột Như vậy, với giá trị cố định, giá trị đầu vị trí ( , + 1) tính đầu vị trí trước ( , ) cộng với giá trị đầu vào ( , + 1) trừ giá trị ( , ( + 1) ) (N´M)´(n´m) phép toán cộng (N´M) phép toán chia phương pháp gốc, xuống còn: N´M´(n+m) phép tốn cộng (N´M) phép toán chia (14) Như vậy, với phương pháp tính truy hồi qua cơng thức (17), để có giá trị đầu cột cần chi phí phép tốn cộng, ngoại trừ giá trị cột ứng với = phải thực phép tốn cộng Hay nói cách khác, m = n, giảm (N´M´m)/2 số phép toán cộng Đề xuất kỹ thuật tối ưu hóa quy trình thực lọc trung bình 2-chiều Trong phần này, chúng tơi tập trung phân tích số đặc điểm quan trọng quy trình thực nhân cuộn tín hiệu ảnh đầu vào với lọc thành phần ( ) ( ), trình bày mục Trước tiên, tiến hành nhân cuộn cột tín hiệu ảnh 2-chiều ( , ) với đáp ứng xung ( ) để thu tín hiệu trung gian ( , ) theo công thức (5) trở thành: ( , )= ( , ) ( Hình Minh họa cách tính nhanh giá trị phương pháp tính truy hồi ) = ( , ) = ( , ) Lập luận tương tự với giai đoạn tiếp theo, sử dụng tín hiệu đầu giai đoạn trước nhân cuộn 1-chiều với ( ) để thu đầu , sau: (15) Với giá trị i thuộc biến số , tìm cách biểu diễn đầu ( , + 1) dựa vào ( , ) có trước sau: ( , )= ( , + 1) = = = ( , )+ ( , ( , ( , ) (16) ( , )= ( = ´ ( , = ´ ( , ) ( , ) ) (18) ) Với giá trị thuộc biến số , tìm cách biểu diễn đầu ( + 1, ) dựa vào ( , ) có trước sau: ) (17) ) + ( , + 1) ( , + 1) ( , + 1) ( , ( + 1) qua (, ) )= Trong đó: 30 ´ ( , )= ´ (19) Tạp chí Khoa học Cơng nghệ 132 (2019) 027-032 ảnh đầu vào ( , ( + 1, )= ´ ) ( , 2´ ´( + 1)´( + cộng ( + nguyên ) theo đề xuất là: 1) + ´ + [2´( + 1) + ( + 1)´ ] phép (23) 1)´( + 1) phép chia Khi M,N ≫m,n số phép tốn xấp xỉ là: = ´ ( , ) + ( + 1, (4´ ´ ) phép cộng nguyên ) (20) ´ phép chia (24) Kết thực nghiệm thảo luận ( +1 = [ ´ + ( + 1, ) , ( +1 ) , )] Thực tính truy hồi cho giá trị công thức sau: = + ( + 1, ) ( +1 , Chúng tiến hành thực nghiệm cài đặt đề xuất mơi trường lập trình Microsoft Visual C++ MFC, kết thực nghiệm thể qua hình đây: ) qua (21) Từ (20) (21) có: ( + 1, )= ´ (22) Hình So sánh thời gian thực lọc trung bình theo kỹ thuật khác dựa ảnh đầu vào có kích thước 500x500, thực nghiệm máy tính HĐH Windows 10 Như vậy, với phương pháp tính truy hồi qua cơng thức (21) (22), để có giá trị đầu dòng , cần chi phí phép toán cộng phép chia với số nguyên m´n, ngoại trừ giá trị dòng ứng với = phải thực m phép toán cộng phép chia nguyên Mặt khác, để thực tính truy hồi, cần phải có biến nhớ để lưu trữ giá trị tổng thu bước để phục vụ cho bước tính sau Hình minh họa cho phương pháp tính giá trị dựa vào truy hồi Hình So sánh thời gian thực lọc trung bình kỹ thuật chia tách kỹ thuật cải tiến, thực nghiệm máy tính HĐH Windows 10 Hình So sánh thời gian thực lọc trung bình theo kỹ thuật cải tiến với kích thước ảnh đầu vào khác nhau, thực nghiệm máy tính HĐH Windows 10 Kết thể Hình cho thấy kỹ thuật chia tách kỹ thuật cải tiến đem lại cải thiện lớn tốc độ kích thước lọc tăng trưởng Và cho thấy kỹ thuật gốc có chi phí thời gian tăng nhanh theo kích thước lọc, chi phí thời gian dễ dàng tiến tới ngưỡng khó chấp nhận với ứng dụng đòi hỏi tốc độ đáp ứng cao mà điển Hình Minh họa cách tính nhanh giá trị qua phương pháp tính truy hồi dựa cơng thức (21) (22) Tóm lại, tổng số phép tốn cần thực để thu tồn tín hiệu ảnh đầu dựa vào tín hiệu 31 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ 132 (2019) 027-032 hình số ứng dụng thời gian thực (real time) Tài liệu tham khảo [1] JAE S LIM, Two-Dimensional Signal and Image Processing, Prentice Hall Ptr, USA (1990), page 1620 Hình cho thấy khác biệt lớn thời gian thực theo kỹ thuật chia tách kỹ thuật cải tiến theo tăng trưởng kích thước lọc [2] A.K.Jain, Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall (1989), page 246 Hình thể chi phí thời gian thực lọc theo kỹ thuật cải tiến với kích thước lọc kích thước ảnh đầu vào thay đổi Nó cho thấy thời gian thực theo kỹ thuật cải tiến gần bất biến với thay đổi kích thước lọc [3] Gonzalez RC, RE Woods, Digital image processing, 2nd edn Prentice Hall (2002), Upper Saddle River [4] Qingkun Song et al, Image Denoising Based on Mean Filter and Wavelet Transform, 2015 4th International Conference on Advanced Information Technology and Sensor Application (AITS), Harbin, China Tham khảo thêm video thực nghiệm so sánh tốc độ, giải pháp cải tiến cài đặt phần mềm ImPro với giải pháp gốc cài đặt chức lọc làm mờ (Box Blur) phần mềm Adobe Photoshop [5] [5] A Kundu, S Mitra, P Vaidyanathan, Application of two-dimensional generalized mean filtering for removal of impulse noises from images, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing (1984), Vol 32, Iss Kết luận [6] Songyot Nakariyakul, Fast spatial averaging: an efficient algorithm for 2D mean filtering, Springer Science+Business Media (2011), Vol 65, pp 262–273 Qua phân tích mặt lý thuyết kết thực nghiệm, thể rõ tối ưu kỹ thuật mà đề xuất báo Việc áp dụng kỹ thuật dạng phần mềm (software) giúp đẩy nhanh tốc độ tính tốn, mang lại tính khả thi cao cho ứng dụng phần mềm đòi hỏi xử lý thời gian thực Nếu triển khai dạng mạch xử lý (hardware) giúp giảm phần tử (nút) tính tốn, từ ảnh hưởng tích cực đến chi phí thiết kế sản xuất [7] Rajesh Reddy Datla, Adaptive fast spatial averaging filter, 2017 8th International Conference on Computing, Communication and Networking Technologies (ICCCNT), Delhi, India, DOI: 10.1109/ICCCNT.2017.8203929 [8] Archer et al., Two dimentional moving average filter, United States Patent, Patent No.: US 6,389,441 B1, Date of Patent: May 14, 2002 Xa nữa, kỹ thuật cải tiến mà chúng tơi đề xuất mở rộng cách tự nhiên cho tốn lọc tín hiệu nhiều chiều lọc trung bình khơng gian, điều mà kỹ thuật [7] [8] làm cách tiếp cận đơn giản bó buộc khơng gian chiều [9] Video thực nghiệm so sánh với kỹ thuật gốc phần mềm Adobe Photoshop Link: https://youtu.be/U3KJ9mI_J6M 32 ... hồi Hình So sánh thời gian thực lọc trung bình kỹ thuật chia tách kỹ thuật cải tiến, thực nghiệm máy tính HĐH Windows 10 Hình So sánh thời gian thực lọc trung bình theo kỹ thuật cải tiến với kích... nữa, kỹ thuật cải tiến mà chúng tơi đề xuất mở rộng cách tự nhiên cho tốn lọc tín hiệu nhiều chiều lọc trung bình khơng gian, điều mà kỹ thuật [7] [8] làm cách tiếp cận đơn giản bó buộc khơng gian. .. phí thời gian thực lọc theo kỹ thuật cải tiến với kích thước lọc kích thước ảnh đầu vào thay đổi Nó cho thấy thời gian thực theo kỹ thuật cải tiến gần bất biến với thay đổi kích thước lọc [3]