PHẦN TỬ THANH TRONG KHÔNG GIAN 2 CHIỀU. TS. Lê Thanh Long

Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM CHƯƠNG PHẦN TỬ THANH TRONG KHÔNG GIAN CHIỀU TS Lê Thanh Long ltlong@hcmut.edu.vn Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM Nội dung 9.1 Ma trận độ cứng 9.2 Tải nút tương đương 9.3 Ứng suất phần tử 9.4 Ví dụ Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.1 Ma trận độ cứng Xét đồng chất lăng trụ sau: Hệ tọa độ cục Hệ tọa độ toàn cục x, y X, Y , , dof nút dofs nút Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.1 Ma trận độ cứng Trong toán chiều: = + =− với = Ở dạng ma trận: , + = − = = Hoặc = − = đó, ma trận chuyển đổi: = − trực giao Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.1 Ma trận độ cứng Ta có ma trận vị trí nút phần tử thanh: = − 0 0 Hoặc = với 0 0 − = 0 Các lực nút chuyển đổi theo cách tương tự: = Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.1 Ma trận độ cứng Ma trận độ cứng không gian 2D Trong hệ tọa độ cục bộ: −1 = −1 Thêm vào phương trình chuyển vị ngang, ta có: −1 Hoặc 0 0 −1 0 0 = 0 = Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.1 Ma trận độ cứng Dùng phép biến đổi cho phương trình trên, ta thu được: = Nhân vế cho lưu ý = , ta có: = Do đó, ma trận độ cứng phần tử k hệ tọa độ toàn cục là: = ma trận đối xứng 4x4 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.1 Ma trận độ cứng Dạng tường minh: − − = − − − − − − Trong đó: = = − , = = − Ma trận độ cứng toàn cấu trúc lắp ghép từ ma trận cứng phần tử theo cách thông thường trường hợp 1D Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.2 Tải nút tương đương Tương tự chương 6, vecto tải nút tương đương xác định biểu thức: = − − Hoặc: = + + + ′ với: [N] ma trận hàm nội suy, lực thể tích phần tử, lực bề mặt, P lực tập trung, M momen tập trung Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.3 Ứng suất phần tử Ứng suất phần tử không gian 2D: = ′ ′ = = − − − 1 0 0 Do đó: = 10 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Cấu trúc đơn giản minh họa trình lắp ghép giải nghiệm phần tử không gian 2-D Trong hệ tọa độ cục , ta có: ′ = −1 = ′ −1 Do nằm khác hệ trục nên hai ma trận lắp ghép với Ta cần chuyển chúng hệ tọa độ toàn cục OXY 12 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Phần tử 1: = 45°, = = Phần tử 2: 2 = 135°, =− , = 2 Dùng công thức ta thu ma trận độ cứng hệ trục toàn cục = ′ = 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 1 −1 1 13 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ = ′ = −1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1 −1 Lắp ghép thành phương trình PTHH cho tồn kết cấu: 1 −1 −1 0 0 1 −1 −1 −1 −1 −1 = −1 −1 −1 0 −1 1 −1 0 −1 −1 14 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Tải trọng điều kiện biên (BC): = = = = 0, = , = Phương trình PTHH viết dạng đọng: 2 0 = Giải, ta thu chuyển vị nút 2: = 15 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Ta tính ứng suất hai thanh: = −1 −1 = −1 −1 0 0 = = 2 2 + − 16 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Ví dụ 2: Cho hệ hình bên, = 1000 , =1 , = 210 , = 6.0 × 10 ℎầ = × 10 2, ℎầ Xác định chuyển vị phản lực 17 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Phần tử 1: = 90°, = 210 × 10 = 0, 6.0 × 10 =1 0 0 0 0 −1 0 −1 ( / ) Phần tử 2: = 0°, = 210 × 10 = 1, 6.0 × 10 =0 −1 0 0 ( / ) −1 0 0 18 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Ta có lăn nút cần lưu ý đặc biệt nghiệm PTHH Trước tiên thực lắp ghép phương trình PTTH cho hệ Phần tử 3: 1 = 45°, = , = 2 = 210 × 10 × 10 0.5 0.5 −0.5 −0.5 0.5 −0.5 −0.5 0.5 −0.5 −0.5 −0.5 0.5 0.5 −0.5 0.5 0.5 ( / ) 19 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Phương trình PTHH cho tồn kết cấu: 20 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Tải trọng điều kiện biên (BC): = = = 0, ′ = 0, = , = Từ quan hệ biến đổi điều kiện biên, ta có: ′ = − 2 = − 2 + = 0, Do đó: − =0 Đây ràng buộc đa điểm (multipoint constraint – MPC) 21 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Tương tự ta có quan hệ cho lực nút 3: Suy ra: 2 = 2 + =0 = + = 0, Áp dụng tải trọng điều kiện biên vào phương trình PTHH cho tồn kết cấu cách xóa hàng cột thứ 1, 4, ta được: −1 1260 × 10 −1 1.5 0.5 = 0.5 0.5 22 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Ngồi ra, từ MPC quan hệ lực nút 3, phương trình PTHH trở thành: 1260 × 10 −1 1260 × 10 −1 1.5 0.5 0.5 0.5 −1 −1 Từ phương trình thứ 3, ta có: = − = − = −1260 × 10 23 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Thay vào phương trình thứ xếp lại: 1260 × 10 −1 −1 = Giải, ta thu chuyển vị: = 2520 × 10 = 0.01191 ( ) 0.003968 24 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Từ phương trình PTHH tồn cục, ta tính phản lực: −0.5 −0.5 −0.5 −0.5 0 = 1260 × 10 −1 1.5 0.5 0.5 0.5 −500 −500 0.0 = −500 500 ( ) 25 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí