Chương 9 phần tử thanh trong không gian hai chiều

Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM CHƯƠNG PHẦN TỬ THANH TRONG KHÔNG GIAN CHIỀU TS Lê Thanh Long ltlong@hcmut.edu.vn Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM Nội dung 9.1 Ma trận độ cứng 9.2 Tải nút tương đương 9.3 Ứng suất phần tử 9.4 Ví dụ Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.1 Ma trận độ cứng Xét đồng chất lăng trụ sau: Hệ tọa độ cục Hệ tọa độ toàn cục x, y X, Y , , dof nút dofs nút Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.1 Ma trận độ cứng Trong toán chiều: ui  u  ui cos  vi sin   l m     vi  u  vi'  ui sin   vi cos    m l   i   vi  ' i với l = cosθ, m = sin θ Ở dạng ma trận: ui'   l m  ui   '   v   m l v  i  i  '  u Hoặc i  T u i đó, ma trận chuyển đổi: = − ma trận trực giao Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.1 Ma trận độ cứng Ta có ma trận vị trí nút phần tử thanh:  ui'   l m 0   ui   '   v  v  m l 0  i    i   '  l m  u j  u j   0  v 'j   0 m l   v j    Hoặc = với = 0 Các lực nút chuyển đổi theo cách tương tự: f'  Tf Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.1 Ma trận độ cứng Ma trận độ cứng không gian 2D Trong hệ tọa độ cục bộ: ' ' EA  1  ui   fi   '    '   L  1  u j   f j  Thêm vào phương trình chuyển vị ngang, ta có: 1  EA  L  1  0 1 0 0   ui'   f i '        vi'        u 'j   f j'     v 'j    Hoặc k’u’ = f’ Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.1 Ma trận độ cứng Dùng phép biến đổi cho phương trình trên, ta thu được: k 'Tu  Tf Nhân vế cho TT lưu ý TTT = I, ta có: T T k 'Tu  f Do đó, ma trận độ cứng phần tử k hệ tọa độ toàn cục là: k  T T k 'T ma trận đối xứng 4x4 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.1 Ma trận độ cứng ui Dạng tường minh: Trong đó: l  cos  vi  l2 lm  m2 EA  lm k L  l lm   lm  m  X j  Xi L , uj vj l lm   lm m  l2 lm   lm m2  m  sin  Y j  Yi L , Ma trận độ cứng toàn cấu trúc lắp ghép từ ma trận cứng phần tử theo cách thông thường trường hợp 1D Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.2 Tải nút tương đương Tương tự chương 6, vector tải nút tương đương xác định biểu thức: 1 T T T U   [ ] { }dV   [f ] {p}dV   [f ] {q}dS 2 Vì thế, {f }e   [N ]T {g}e dV   [N ]T {p}e dS  [N ]Tx0 P  [N ']Tx0 M với: [N] ma trận hàm nội suy, {g}e lực thể tích phần tử, {p}e lực bề mặt, P lực tập trung, M momen tập trung Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.3 Ứng suất phần tử Ứng suất phần tử không gian 2D:  u 'i     E  EB    E    L u ' j  Do đó: E    l L  ui  v  l m 0  i  1   L   0 l m  u j   v j  m l  ui  v   i m   u j   v j  10 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Ví dụ 9.1: Một giàn khung đơn giản lắp ghép từ hai giống (với E, A L), chịu tải hình Tìm: Chuyển vị nút 2 Ứng suất 11 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Cấu trúc đơn giản minh họa trình lắp ghép giải nghiệm phần tử không gian 2-D Trong hệ tọa độ cục , ta có: EA  1 k '1   k '2   L  1  Do nằm khác hệ trục nên hai ma trận lắp ghép với Ta cần chuyển chúng hệ tọa độ toàn cục OXY 12 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Bảng Tơ-pơ Phần tử 1: = 45°, = =  1 1 1   EA  1 1 1 [k1 ]  L  1 1 1      1   Phần tử 2: = 135°, =−  1 1    EA  1 1 1 [k2 ]  L  1 1 1     1   Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí , = 13 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Ma trận độ cứng kết cấu:  1 1 1 0   1 1 1 0    EA  1 1 1  [K ]    L  1 1 1  0 1 1 1   0   1   Phương trình PTHH cho tồn kết cấu:  1 1 1 0   u1   F1 X   1 1 1 0   v   F       1Y  EA  1 1 1  u2   F2 X       L  1 1 1  v2   F2Y   0 1 1 1 u3   F3 X       v F 0   1         3Y  14 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Tải trọng điều kiện biên (BC): u1  v1  u3  v3  0, F2 X  P1 , F2Y  P2 Phương trình PTHH viết dạng rút gọn: EA  1 u2   P1       L  1   v2   P2  Giải hệ phương trình trên, ta thu chuyển vị nút 2: u2  L  P1      v EA  2  P2  15 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Ta tính ứng suất hai thanh: 0   E L 0 1   1 1 1  P   ( P1  P2 ) L EA   A  P2   P1    E L  P2  2  1 1 1 1    ( P1  P2 ) L EA   A   16 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Ví dụ 9.2: Cho hệ hình bên, P = 1000 kN, L = 1m, E = 210 Gpa, A1,2 = x 10-4 m2 phần tử 2, A3 = x 10-4 m2 phần tử Xác định chuyển vị phản lực 17 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Phần tử 1: θ = 900, l = 0, m = 0  (210 x109 )(6 x104 ) 0 [k1 ]  0  0 1 0 1 ( N / m)  0  1 Phần tử 2: θ = 00, l = 1, m = 1  (210 x109 )(6 x104 )  [k1 ]   1  0 Phần tử 3: θ = 450, l = 1  0  ( N / m) 0  0 0 ,m=  0,5 0,5 0,5 0,5   (210 x109 )(6 x104 )  0,5 0,5 0,5 0,5 [k3 ]  ( N / m)    0,5  0,5 0,5 0,5    0,5  0,5 0,5 0,5   Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 18 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Ma trận độ cứng kết cấu:  0,5 0,5 0 0,5 0,5   1,5   0,5  0,5    1  [K]  1260 x10   ( N / m) 0    1,5 0,5    Sym 0,5   Phương trình PTHH cho toàn kết cấu:  0,5 0,5 0 0,5 0,5  u1   F1 X    v   F  1,5   0,5  0,5      1Y   1  u2   F2 X  1260 x10       v F 0 2 Y       1,5 0,5  u3   F3 X       v F Sym 0,5         3Y  19 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Tải trọng điều kiện biên (BC): u1  v1  v2  0, v '3  0, F2 X  P, F3 X '  Từ quan hệ biến đổi điều kiện biên, ta có:  2  u3  v '3    (u3  v3 )      v3   Do đó: u3 – v3 = Đây ràng buộc đa điểm (multipoint constraint – MPC) Tương tự ta có quan hệ cho lực nút 3:  2   F3 X  F3 X '   ( F3 X  F3Y )      F3Y   Suy ra: F3X + F3Y = 20 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Áp dụng tải trọng điều kiện biên vào phương trình PTHH cho tồn kết cấu cách xóa hàng cột thứ 1, 4, ta được:    u   P      1260x105  1 1,5 0,5 u3    F3 X   0,5 0,5  v3   F3Y  Ngoài ra, từ MPC quan hệ lực nút 3, phương trình PTHH trở thành:    u   P      1260x105  1 1,5 0,5 u3    F3 X   0,5 0,5 u3   F3 X   1  P  u      1260x10  1      F3 X  u3        F3 X  Từ phương trình thứ 3, ta có: F3X = - 1260 x 105u3 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 21 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9.4 Ví dụ Thay vào phương trình thứ xếp lại:  1 u2   P  1260x10       1  u3    Giải, ta thu chuyển vị: u2  3P   0, 01191      ( m)  u3  2520x10  P  0, 003968 Từ phương trình PTHH tồn cục, ta tính phản lực:  F1 X   0,5 0,5  500  F   0,5 0,5 u  500     1Y        0  u3     (kN )  F2Y   1260x10      F   v  1,5 0,5  500 3X          0,5 0,5   F3Y   500  22 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 23 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí ... thể tích phần tử, {p}e lực bề mặt, P lực tập trung, M momen tập trung Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 9. 3 Ứng suất phần tử Ứng suất phần tử không gian 2D:... khoa – ĐHQG-HCM 9. 4 Ví dụ Phần tử 1: θ = 90 0, l = 0, m = 0  (210 x1 09 )(6 x104 ) 0 [k1 ]  0  0 1 0 1 ( N / m)  0  1 Phần tử 2: θ = 00, l = 1, m = 1  (210 x1 09 )(6 x104 ) ... ĐHQG-HCM 9. 4 Ví dụ Cấu trúc đơn giản minh họa trình lắp ghép giải nghiệm phần tử không gian 2-D Trong hệ tọa độ cục , ta có: EA  1 k '1   k '2   L  1  Do nằm khác hệ trục nên hai ma trận