Chương 10 phần tử dầm

Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM CHƯƠNG 10 PHẦN TỬ DẦM TS Lê Thanh Long ltlong@hcmut.edu.vn Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM Nội dung 10.1 Ma trận độ cứng 10.2 Tải nút tương đương 10.3 Ví dụ Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.1 Ma trận độ cứng Xét phần tử dầm phẳng đơn giản Trong đó: L: Chiều dài dầm I: momen quán tính mặt cắt ngang v = v(x): độ võng (chuyển vị ngang) trục θ= : góc xoay quanh trục z F = F(x): lực cắt M = M(x): momen quanh trục z Lý thuyết dầm d 2v EI  M ( x) dx My   I Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.1 Ma trận độ cứng Sử dụng kết từ lý thuyết dầm để tính cột ma trận độ cứng Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.1 Ma trận độ cứng Vector tải nút tương đương có thành phần R1, R2, M1, M2 y M2 M1 R1 R2 Với hàm dạng x2 x3 N1    ; L L x x3 N2  x   ; L L x2 x3 N3   ; L L x x3 N4    L L Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.1 Ma trận độ cứng Sau đó, ta biểu diễn chuyển vị dầm dạng ma trận: v( x)  Nu  vi     i v( x)   N1 ( x) N ( x) N ( x) N ( x)    v j   j  Đây hàm bậc ba Lưu ý quan hệ: N1 + N3 = N2 + N3L + N4 = x Có nghĩa chuyển động vật rắn biểu diễn hình dạng biến dạng giả định hàm Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.1 Ma trận độ cứng Độ cong dầm: d 2v d  Nu  Bu dx dx Trong đó, ma trận biến dạng-chuyển vị B cho bởi: d2 B  N   N ''1 ( x) N ''2 ( x) N ''3 ( x) N ''4 ( x)  dx x 12 x 6x   12 x         2 L L L L L L L   L Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.1 Ma trận độ cứng Thế biến dạng phần tử dầm: T 1 L  My   My  U    T  dV         dAdx A 2  I  E I   1 T M Mdx  0 EI 0 L L T  d 2v   d 2v    EI   dx  dx   dx  L T    Bu  EI  Bu  dx  u T 2  L BT EIBdx u  u T ku  Từ đó, ta có cơng thức ma trận độ cứng dầm đơn giản: L k   BT EIBdx Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.1 Ma trận độ cứng Ma trận độ cứng phần tử dầm: L 12 L   12  2  EI  L L 6 L L  k L  12 6 L 12 6 L   2  L L  L L   Phương trình phần tử hữu hạn: [k]{u} = {F} vi  i v j  j L 12 L   vi   Ri   12  L L2 6 L L2     M  EI    i    i  L3  12 6 L 12 6 L   v j   R j   2  L L  L L    j   M j  Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.1 Ma trận độ cứng Ma trận độ cứng phần tử dầm 2D tổng quát: 12 − 6 0 = − 0 − 12 − 12 6 − 0 − 0 12 − − 10 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.2 Tải nút tương đương Một số trường hợp vector tải nút tương đương cho kết cấu dầm:  qL       R1   N1 ( x)   qL  M     12  L  N ( x)   1    0   ( q ) dx     R2   N3 ( x)   qL   M   N ( x)       qL   12   a(2L3  2a L  a3 )q      2 L   R1   N1 ( x)   a (6L  8aL  3a )q   M  a  N ( x)   12   1   L2  (  q ) dx    0     a (2L  a)q  R2   N3 ( x)    M   N4 ( x)    L     a (4L  3a)q    12 L2   a2 a3    1    P  L L       a a3    R1   N1 (a)    a   P    M   N (a) L L2      1      (  P)    R N (a)      3 a  a  P   M   N4 (a)   L2 L3        a a3        P    L L   11 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.2 Tải nút tương đương Một số trường hợp vector tải nút tương đương cho kết cấu dầm: L   P   2   N1 ( )      R1   PL  L     N ( ) M     1  2     ( P)     R2   N ( L )  P   M         PL  L N4 ( )        3qL   20     R1   N1 ( x)   qL  M    a  N ( x) q  1  30     0   (  x) dx     R2   N3 ( x)  L  7 qL   M   N ( x )   20     qL   20   a2 (8a3 15a2 L 10L3 )q   20  L4    R1   N1( x)   a3 (6a2 15aL 10L2 )q   M  a N ( x)   30   1   q L3  (  x ) dx    0     a4 (8a 15L)q  R2   N3 ( x)  L   M2  N4 ( x)   20 L   a (4a  5L)q      20 L3 12 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.2 Tải nút tương đương Một số trường hợp vector tải nút tương đương cho kết cấu dầm:  qL       R1  N1(x) N1(x) 5qL  M  L/2 N (x)    96  L N2 (x) 2q  1   2q x)dx    ( x  2q)dx      0  (   L/2 N (x) R N ( x )  qL L L 3         M2  N4 (x) N4 (x)    2  5qL   96      20 Lq2  20 Lq1     R1   N1(x)  2    Lq  Lq M  L N (x)  30 20   1   q2  q1 x  q1 )dx      0  (  R N ( x ) L  2     Lq  Lq  M2  N4 (x)  20 20   1   L q2  L q1  30  20  13 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.3 Ví dụ Ví dụ 10.1: Cho dầm bị ngàm hai đầu, chịu lực P hướng xuống moment M dầm Tìm chuyển vị góc xoay nút phản lực hai đầu dầm 14 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.3 Ví dụ Ví dụ 10.1: Ma trận độ cứng phần tử: v1 1 v2 2 v2 2 v3 3 L 12 L   12  2  EI  L L 6 L L  [k ]  L  12 6 L 12 6 L   2   L L 6 L L  L 12 L   12  2  EI  L L 6 L L  [k1 ]  L  12 6 L 12 6 L   2  L L  L L   Ma trận độ cứng chung: v1 1 v2 2 v3 3 L 12 L 0   12  L L2 6 L L2  0   12 6L  EI  12 6 L 24 [K]    8L2 6 L L2  L  L L2  0 12 6 L 12 6 L   2  0 L L  L L   Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí v1 1 v2 2 v3 3 15 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.3 Ví dụ Ví dụ 10.1: Phương trình phần tử hữu hạn: L 12 L 0   v1   F1Y   12  L L2 6 L L2     M  0   1  1 12 L   v2   F2Y  EI  12 6 L 24       L2 6 L L2     M  L3  L L2  0 12 6 L 12 6 L   v3   F3Y      2   0 L L  L L       M  Điều kiện biên: v1  1  v3    F2Y   P, M  M Phương trình PTHH rút gọn: EI  24   v2    P    2  L  L     M  Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 16 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.3 Ví dụ Ví dụ 10.1: Giải hệ phương trình rút gọn, ta được:  v2  L      24 EI  PL2     3M  Phản lực hai đầu dầm: 3M   P    F1Y   12 L   12 L  L    M   6 L L2  v  6 L L2  PL  M   EI  L  PL     EI                3     F   12  L  12  L M L L 24 EI M  2    3Y  2 P       2  M   L   6L 2L   6L 2L   PL  M    17 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.3 Ví dụ Ví dụ 10.1: Lưu ý: Nghiệm PTHH xác theo lý thuyết dầm khơng có tải trọng phân bố diện nút Nhắc lại: d 2v EI  M ( x) dx Và: = = − ự − ả ắ ọ ầ ℎâ ố ê d 4v EI  q ( x) dx Nếu ( ) = 0, nghiệm xác chuyển vị (được mô tả biểu thức hàm dạng) ầ Vì vậy: hàm bậc 18 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.3 Ví dụ Ví dụ 10.2: Cho dầm bị ngàm đầu (dầm console), với tải trọng phân bố p Tìm chuyển vị góc xoay đầu bên phải 19 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.3 Ví dụ f Ví dụ 10.2: m Kết cấu có phần tử, ma trận độ cứng phần tử ma trận độ cứng kết cấu L 12 L   12  2  EI  L L 6 L L  [K ]=[K e ]  L  12 6 L 12 6 L   2  L L  L L   Phương trình PTHH: L 12 L   v1   F1Y   12     2  EI  L L 6 L L  1   M        12  L 12  L L  v2   F2Y   2  L L  L L      M  Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 20 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10.3 Ví dụ Ví dụ 10.2: Điều kiện biên: v1  1  0, pL pL2 F2Y   , M2  12 Phương trình PTHH rút gọn:  pL   EI  12 6 L   v2       L3  6 L L2     pL2   12  Giải hệ phương trình thu gọn, ta được:  pL4    v2   8EI      pL  2     EI  Lưu ý: Độ võng v( ) dầm tính phương pháp PTHH có sai khác với nghiệm xác Nghiệm xác từ thuyết dầm đa thức bậc , nghiệm PTHH (x) đa thức bậc 21 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 22 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí ... ĐHQG-HCM Nội dung 10. 1 Ma trận độ cứng 10. 2 Tải nút tương đương 10. 3 Ví dụ Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10. 1 Ma trận độ cứng Xét phần tử dầm phẳng đơn giản... ĐHQG-HCM 10. 1 Ma trận độ cứng Ma trận độ cứng phần tử dầm 2D tổng quát: 12 − 6 0 = − 0 − 12 − 12 6 − 0 − 0 12 − − 10 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10. 2 Tải... Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 10. 3 Ví dụ f Ví dụ 10. 2: m Kết cấu có phần tử, ma trận độ cứng phần tử ma trận độ cứng kết cấu L 12 L   12  2  EI  L L 6 L