Chương 8 phần tử thanh

Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM CHƯƠNG PHẦN TỬ THANH TS Lê Thanh Long ltlong@hcmut.edu.vn Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM Nội dung 8.1 Phần tử nút chiều 8.2 Phần tử nút chiều 8.3 Phần tử chịu xoắn Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.1 Phần tử nút chiều Ma trận độ cứng - Để giải toán chiều (1D) phương pháp phần tử hữu hạn, ta sử dụng quan hệ ứng suất - biến dạng quan hệ biến dạng - chuyển vị - Xét đồng chất lăng trụ: Với L: chiều dài A: tiết diện mặt cắt ngang E: module đàn hồi u = u(x): chuyển vị ε = ε(x): biến dạng σ = σ(x): ứng suất Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.1 Phần tử nút chiều Ma trận độ cứng Quan hệ biến dạng - chuyển vị:  du dx (8.1) Quan hệ ứng suất - biến dạng:   E (8.2) Với toán chiều, vi phân thể tích viết dạng: (8.3) dv  Adx Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.1 Phần tử nút chiều Ma trận độ cứng Xác định hai hàm dạng tuyến tính sau: N j ( )   N i ( )    , (8.4) Với : x   ,   1 L Khi xác định hàm dạng, trường chuyển vị phần tử biểu diễn thông qua chuyển vị nút: u ( x)  u ( )  N i ( ) u i  N j ( ) u j (8.5) Hoặc: u   N i  ui  N j     Nu u j  (8.6) Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.1 Phần tử nút chiều Ma trận độ cứng Từ phương trình (1) (6):  du  d    N  u  Bu dx  dx  (8.7) Trong ma trận B gọi ma trận biến dạng-chuyển vị phần tử: B d d d  N i ( ) N j ( )    N i ( ) N j ( )  dx d  dx  1 B L 1 L  (8.8) Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.1 Phần tử nút chiều Ma trận độ cứng Theo định luật Hooke, ta có biểu thức ứng suất:   E  EBu (8.9) Các biểu thức u = Nu, ε = Bu, σ = EBu mô tả chuyển vị, biến dạng ứng suất qua giá trị chuyển vị nút phần tử Ta biểu thức vào biểu thức để thiết lập ma trận độ cứng ma trận lực nút phần tử Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.1 Phần tử nút chiều Ma trận độ cứng Thế biến dạng phần tử: T U     dV   (u T BT EBu)dV 2  u T   (BT EB)dV  u   (8.10) Ta có cơng thực hai lực nút: 1 T W  f i ui  f j u j  u f 2 (8.11) Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.1 Phần tử nút chiều Ma trận độ cứng Cho hệ bảo tồn lượng, ta có: U  W T T T   u  (B EB)dV u  u f      (BT EB)dV  u  f    ku  f Với =∫ (8.12) ma trận độ cứng phần tử f ma trận lực nút phần tử Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.1 Phần tử nút chiều Ma trận độ cứng Dùng ma trận biến dạng-chuyển vị (8.8) để tính phương trình (8.12) Ma trận độ cứng phần tử:  1  L  L   k   E     L  L  1 EA  1   Adx  L L  1  (8.13) Thế biến dạng phần tử: T U  u ku 10 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.2 Phần tử nút chiều Ví dụ Ví dụ 8.1: Cho trục bậc chịu tác dụng lực P = 10 kN Biết tiết diện đoạn: A1 = 20 mm2, A2 = 10 mm2; chiều dài đoạn l1 = l2 = 100 mm; module đàn hồi E1 = E2 = 200 GPa Hãy xác định chuyển vị B C; phản lực A; biến dạng; ứng suất đoạn trục AB, BC 15 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.2 Phần tử nút chiều Ví dụ Chia trục thành hai phần tử Bảng ghép nối phần tử thiết lập sau: Phần tử Nút i Nút j 1 2 Xác định ma trận độ cứng phần tử 2: 4  A1 E1  1  [k1 ]   10  N / mm     1  4 l1     2  A2 E2  1  [k2 ]   10   N / mm  2 l2  1    Xác định ma trận độ cứng chung [K]: 4 0 4  4  [K]  104  4  2   104  4 2  N / mm   2  2  Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 16 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.2 Phần tử nút chiều Ví dụ • Vector lực nút tương đương: {F} = [R1 • Hệ phương trình phần tử hữu hạn: [K]{u} = {F} 10x103]T  4   u1   R1       104  4 2  u2      2  u3  10x103  • Điều kiện biên: Ta có u1 = liên kết ngàm A, ta có hệ phương trình rút gọn:  2  u2     10     3 u  2 10x10   3   17 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.2 Phần tử nút chiều Ví dụ • Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất: Giải hệ phương trình, ta được: u2 = 0,25 mm u3 = 0,75 mm Phản lực liên kết: R1 = 104(-4u2) = -10 kN Biến dạng tính cho phần tử: u  u 1   2,5x103 l1 u2  u3 2   5x103 l2 Ứng suất phần tử thanh:   E11  200x109 x106 x2,5x103  500 N / mm   E2  200x109 x106 x5x103  1000 N / mm 18 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.2 Phần tử nút chiều Ví dụ Ví dụ 8.2: A B C Cho trục bậc chịu liên kết ngàm đầu tác dụng lực P = 200kN Biết tiết diện đoạn A1 = 2400 mm2, A2 = 600 mm2; chiều dài đoạn l1 = 300 mm, l2 = 400 mm; module đàn hồi E1 = 70 GPa, E2 = 200 GPa Hãy xác định chuyển vị B; phản lực A C; biến dạng ứng suất đoạn trục AB, BC 19 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.2 Phần tử nút chiều Ví dụ • Chia trục thành hai phần tử Bảng ghép nối phần tử thiết lập sau: Phần tử Nút i Nút j 1 2 • Xác định ma trận độ cứng phần tử 2: A1 E1  1 2400.70.103  1 [k1 ]   N / mm      1  1 l1  300    A2 E2  1 600.200.103  1 [k2 ]   N / mm     l2   1  400  1  • Xác định ma trận độ cứng chung [K]:   560 560 [K]  103  560 860 300  N / mm  300 300  Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 20 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.2 Phần tử nút chiều Ví dụ • Vector lực nút tương đương: {F} = [R1 • Hệ phương trình phần tử hữu hạn: [K]{u} = {F} 10x103 R3]T   u1   R1   560 560      103  560 860 300  u2   10x103   300 300  u3   R3  • Điều kiện biên: = = liên kết ngàm nút 3, ta có hệ phương trình rút gọn:  860.u2  200 21 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.2 Phần tử nút chiều Ví dụ • Xác định chuyển vị, biến dạng, ứng suất phản lực liên kết: Giải hệ phương trình, ta được: u2 = 0,23257 mm Phản lực liên kết: R1 = 103(-560u2) = -130,233 kN R3 = 103(-300u2) = -69,767 kN Biến dạng tính cho phần tử: u  u 1   7, 752x104 l1 u2  u3 2   5,814x104 l2 Ứng suất phần tử thanh:   E11  70x109 x106 x7, 752x104  54, 26 N / mm   E2  200x109 x106 x(-5,814x104 )  116, 28 N / mm 22 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.2 Phần tử nút chiều Ví dụ Ví dụ 8.3: A B C Cho trục bậc chịu liên kết ngàm đầu tác dụng lực P = 6x10 N Biết tiết diện đoạn A1 = A2 = 250 mm2; chiều dài đoạn L = 150 mm; module đàn hồi E = 20 GPa Khe hở C thành cứng 1,2mm Hãy xác định chuyển vị đoạn trục AB, BC phản lực A C 23 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.2 Phần tử nút chiều Ví dụ • Kiểm tra đầu C sau tác dụng lực có tiếp xúc với thành cứng hay không? PL 6x104 x150x106 0    1,8mm    1, 2mm EA 20.10 250 Như tiếp xúc có xảy 24 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.2 Phần tử nút chiều Ví dụ • Xác định ma trận độ cứng phần tử 2: [k1 ]  [k2 ]  AE  1 L  1  • Xác định ma trận độ cứng chung [K]:  1  AE   N / mm [K ]     L   1  • Vector lực nút tương đương: {F} = [R1 • Hệ phương trình phần tử hữu hạn: [K]{u} = {F}  1   u1   R1  AE   u    P     2   L   1  u3   R3  Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí P R3]T 25 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.2 Phần tử nút chiều Ví dụ • Điều kiện biên: = liên kết ngàm A, trình rút gọn: u = ∆= 1,2 , ta có hệ phương   AE  1    P L  • Xác định chuyển vị, phản lực liên kết: Giải hệ phương trình, ta được: Phản lực liên kết:  PL  u2       1,5 mm  EA  EA  u2   5x104 N L EA R3   u2  u3   104 N L R1  26 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.3 Phần tử chịu xoắn Hàm chuyển vị Trong đó:   B e viết dạng: B   B1 B2  ; 1 B1  , B2  l l Phương trình biến thiên chịu xoắn túy dạng ma l l trận có dạng:  eT  BT GJBdx e   eT  N T mdx,  eT 0 Trong J moment qn tính cực trị trọng tâm tiết diện ngang, m moment xoắn phân bố Do phương trình với  eT nên ta có: l Fe   N T mdx hay K e e  Fe 27 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8.3 Phần tử chịu xoắn Dựa phương trình cho, ta có: l l Fe   N T mdx K e   BT GJBdx 0 Trong phương trình trên, ma trận độ cứng phần tử chịu xoắn túy, vector lực nút tương đương phần tử Sau thực tích phân, ta có:  GJ  l Ke     GJ  l GJ   l   GJ  l   ml   2 Fe     ml    28 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 29 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí ... khoa – ĐHQG-HCM Nội dung 8. 1 Phần tử nút chiều 8. 2 Phần tử nút chiều 8. 3 Phần tử chịu xoắn Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8. 1 Phần tử nút chiều Ma trận độ... học Bách khoa – ĐHQG-HCM 8. 2 Phần tử nút chiều Ví dụ Chia trục thành hai phần tử Bảng ghép nối phần tử thiết lập sau: Phần tử Nút i Nút j 1 2 Xác định ma trận độ cứng phần tử 2: 4  A1 E1  1... Bách khoa – ĐHQG-HCM 8. 2 Phần tử nút chiều Ví dụ • Chia trục thành hai phần tử Bảng ghép nối phần tử thiết lập sau: Phần tử Nút i Nút j 1 2 • Xác định ma trận độ cứng phần tử 2: A1 E1  1 2400.70.103