Chuong 3 tính gần đúng tích phân xác định và đạo hàm

Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM CHƯƠNG TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ĐẠO HÀM TS Lê Thanh Long ltlong@hcmut.edu.vn Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM Nội dung 3.1 Tính gần tích phân xác định 3.2 Tính gần đạo hàm 3.3 Đa thức nội suy Lagrange Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần tích phân xác định Hình 3.1: Các ví dụ ứng dụng tính tích phân thực tế (a)Tính diện tích cánh đồng bao quanh suối uốn lượn đường (b)Tính diện tích mặt cắt ngang sơng (c)Tính lực tác dụng gió thổi khơng vào mặt bên tịa nhà Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần tích phân xác định Cơng thức tích phân Newton-Leibnitz  b a b f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a) a F’(x) = f(x), F nguyên hàm f Nhưng thường ta phải tính tích phân hàm số y = f(x) xác định bảng số Khi khái niệm ngun hàm khơng cịn ý nghĩa Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần tích phân xác định Cơng thức tích phân Newton-Cotes Để tính gần tích phân xác định [a,b], ta thay hàm số f(x) đa thức nội suy fn(x): b b a a I   f ( x)dx   f n ( x)dx Với f n ( x )  a0  a1 x  a2 x   an x n Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần tích phân xác định Ví dụ 3.1: Tính tích phân sau phương pháp giải tích (Newton-Leibnitz) phương pháp số (Newon-Cotes) 1 (96 x  42 x  13) dx  Giải: 1 Gọi I1 tích phân tính phương pháp giải tích (Newton-Leibnitz) I2 tích phân tính phương pháp số (Newton-Cotes) - Phương pháp giải tích: 1 I1   (96 x  42 x  13) dx  (32 x  21x  13 x ) 1 1  38 1 - Phương pháp số: Tra bảng 1.1 phụ lục 1, hồnh độ điểm lấy tích phân xi trọng số tương ứng ωi x1 = -1, ω1 = ; x2 = 0, ω2 = ; x3 = 1, ω3 = 1 I   (96 x2  42 x 13)dx  [96(1)2  42(1) 13]  [96(0)2  42(0) 13]  [96(1)2  42(1) 13] 3 1  41 52 125    38 3 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang Dùng chuỗi Taylor bậc để tính gần b b a a , I   f ( x)dx   f1 ( x)dx Với f1 ( x)  f (a )  f (b)  f (a ) ( x  a) ba Ta được: b f (b)  f (a ) f (b)  f (a )  I    f (a)  ( x  a )  dx  (b  a ) a ba   Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang Cơng thức hình thang tương đương tính gần diện tích hình thang đường thẳng nối f(a) f(b) Sai số áp dụng công thức hình thang để tính tích phân xác định: Hình 3.2: Đồ thị mơ tả cơng thức hình thang (b  a)3  f "( x) 12 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang Ví dụ 3.2: Dùng CT hình thang để tính tích phân hàm f(x) = 0,2 + 25x từ a = đến b = Giải: f (a )  f (0)  0, f (b)  f (2)  50, I  (b  a ) Tính xác tích phân  f (b)  f (a ) 0,  50,  (2  0)  50, 2 f ( x)dx  (0, x  12,5 x )  50, Vì f(x) hàm tuyến tính bậc nhất, áp dụng CT hình thang cho kết xác Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.1 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang Ví dụ 3.3: Dùng CT hình thang tính tích phân hàm số f(x) = 0,2 + 25x + 3x2 từ a = đến b = Giải: f (0)  0, 2; f (2)  62, I  (b  a ) f (b)  f (a )  62, Tính xác tích phân:  2 f ( x) dx  (0, x  12,5 x  x )  58, Sai số tương đối kết quả: T  58,  62, 100%  6,85% 58, Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 10 Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM Bài tập Giải b) Áp dụng công thức Simpson ℎ= = /8 = 0; I  = /8; = /4; = /8; = /2  f (0)  4[ f ( / 8)  f (3 / 8)]  f ( / 4)  f ( / 2)  24 [9  4(12  3cos( / 8)  3cos(3 / 8))  2(6  3cos( / 4))  6]  12, 4252 20 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM Bài tập Giải c) Xác định sai số: KQ:  /2  /2  /2  (6  3cos x)dx   dx   cos xdx 0  3   12, 42478 Sai số CT hình thang: T  12,386  12, 42478 12, 42478 100%  0,312% Sai số CT Simpson: 12, 4252  12, 42478 T  100%  0, 003% 12, 42478 21 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.2 Tính gần đạo hàm Cho bảng số liệu với mốc cách (h): x y Tính gần giá trị … … , "( ) 22 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.2 Tính gần đạo hàm Tính gần đạo hàm cấp Hình 3.3: Đồ thị mơ tả cơng thức tính đạo hàm cấp sai phân tiến, sai phân lùi sai phân hướng tâm 23 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.2 Tính gần đạo hàm Tính gần đạo hàm cấp Công thức sai phân tiến: f ( xi 1 )  f ( xi ) f '( xi )  h Công thức sai phân lùi: f ( xi )  f ( xi 1 ) f '( xi )  h Công thức sai phân hướng tâm: f '( xi )  f ( xi 1 )  f ( xi 1 ) 2h Trường hợp tính cho điểm nút  f  x0  2h   f  x0  h   f  x0  h   f  x0  2h  f   x0   12h Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 24 Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.2 Tính gần đạo hàm Tính gần đạo hàm cấp Ví dụ 3.8: Tính đạo hàm cấp hàm f(x) x=0,5 h=0,5 f ( x)  0,1x  0,15 x  0,5 x  0, 25 x  1, Giải  xi  0,5  f ( xi )  0,925   x  x  h    i 1  f ( xi 1 )  1, i x  x  h   f ( x )  0, i 1  i  i 1 Công thức sai phân tiến: f ( xi 1 )  f ( xi ) f '( xi )   1, 45 h Công thức sai phân lùi: f '( xi )  Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí f ( xi )  f ( xi 1 )  0,55 h 25 Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.2 Tính gần đạo hàm Tính gần đạo hàm cấp Ví dụ 3.8: Giải Cơng thức sai phân hướng tâm: f ( xi 1 )  f ( xi 1 ) f '( xi )   1, 2h Tính xác đạo hàm = -0,9125 => Dùng công thức sai phân hướng tâm khoảng chia nhỏ để đạt kết có sai số bé 26 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.2 Tính gần đạo hàm Tính gần đạo hàm cấp Công thức sai phân tiến: f "( xi )  f ( xi  )  f ( xi 1 )  f ( xi ) h2 Công thức sai phân lùi: f ( xi )  f ( xi 1 )  f ( xi  ) f "( xi )  h2 Công thức sai phân hướng tâm: f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi 1 ) f "( xi )  h2 Trường hợp tính cho điểm nút f   x0    f  x0  2h   16 f  x0  h   30 f  x0   16 f  x0  h   f  x0  2h  Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 12h 27 Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.2 Tính gần đạo hàm Tính gần đạo hàm cấp Ví dụ 3.9: Tính đạo hàm cấp hàm f(x) x = 0,5 h = 0,25 f ( x)  0,1x  0,15 x  0,5 x  0, 25 x  1, Giải  xi  0,5  f ( xi )  0,925  x  0, 25  f ( x )  1,1035 i  i 1    xi     f ( xi  )  1,  x  0, 75  f ( x )  0, 6363 i 1 i 1    xi    f ( xi  )  0, Dùng CT s.p tiến: f "( xi )  2,362 Dùng CT s.p lùi: f "( xi )  1,312 Dùng CT s.p hướng tâm: f "( xi )  1, 7632 So sánh: Kết đạo hàm xác = -1,75 28 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM Bài tập Dùng liệu để tính vận tốc gia tốc t=10 giây Dùng công thức sai phân hướng tâm: t, s x, m 10 12 14 16 0,7 1,8 3,4 5,1 6,3 7,3 8,0 8,4 29 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM Bài tập Giải f ( xi 1 )  f ( xi 1 ) f '( xi )  2h • Vận tốc: f '( x5 )  f '(10)  f ( x6 )  f ( x4 ) 2h f (12)  f (8) 7,3  5,1   0,55(m / s) 2 2 • Gia tốc: f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi 1 ) f "( xi )  h2 f "( x5 )  f "(10)  f ( x6 )  f ( x5 )  f ( x4 ) h2 f (12)  f (10)  f (8) 7,3   6,3  5,1    0, 05( m / s ) 2 2 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 30 Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM Bài tập Tính gần giá trị y’(1) y”(1) hàm = , với h = 0,1 Kết quả: = −0,17824017 "(1) = 0,3573462 31 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.3 Đa thức nội suy Lagrange Đa thức nội suy Lagrange định dạng khác đa thức Newton để giảm sai số q trình tính tốn Một cách tổng qt, đa thức nội suy Lagrange viết ngắn gọn sau: n f n ( x)   Li ( x) f ( xi ) i 0 Trong đó: n Li ( x)   j 0 j i x  xj xi  x j 32 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3.3 Đa thức nội suy Lagrange Ví dụ 3.10: Sử dụng đa thức nội suy Lagrange bậc bậc để tính hàm f(x) = ln(x) x = dựa liệu cho sẵn sau: x0  f ( x0 )  x1  f ( x1 )  1,386294 x2  f ( x2 )  1, 791760 Giải: Giá trị đa thức nội suy Lagrange bậc x = 2: f1 (2)  24 1 0 1,386294  0, 4620981 1 4 1 Tương tự, giá trị đa thức nội suy Lagrange bậc x = 2: f (2)  (2  4)(2  6) (2  1)(2  6) (2  1)(2  4) 0 1,386294  1, 791760  0,5658444 (1  4)(1  6) (4  1)(4  6) (6  1)(6  4) 33 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 34 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí ... dung 3. 1 Tính gần tích phân xác định 3. 2 Tính gần đạo hàm 3. 3 Đa thức nội suy Lagrange Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3. 1 Tính gần tích phân xác định Hình 3. 1:... học Bách khoa - ĐHQG-HCM 3. 2 Tính gần đạo hàm Tính gần đạo hàm cấp Hình 3. 3: Đồ thị mơ tả cơng thức tính đạo hàm cấp sai phân tiến, sai phân lùi sai phân hướng tâm 23 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa... ĐHQG-HCM 3. 1 Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson Ví dụ 3. 6: Với n = 4, tính tích phân sai số hàm: = 0,2 + 25 − 200 + 675 − 900 + 400 Từ a = đến b = 0,8 Cho biết kết tích phân xác 1,640 533