Chương 2 các pp số trong đại số tuyến tính

Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TS Lê Thanh Long ltlong@hcmut.edu.vn Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM Nội dung 2.1 Ma trận định thức 2.2 Hệ phương trình đại số tuyến tính 2.3 Giá trị riêng vector riêng Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.1 Ma trận định thức Ma trận Định thức ma trận Tính chất định thức Các phương pháp tính định thức Ma trận nghịch đảo Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.1 Ma trận định thức Ma trận Ma trận A cỡ m x n trường K (thực phức) bảng hình chữ nhật gồm m hàng n cột Ký hiệu: A = (aij)m x n Phần tử aij (i=1 m;j=1 n) phần tử hàng thứ i, cột thứ j ma trận A Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.1 Ma trận định thức Ma trận MA TRẬN ĐƯỜNG CHÉO Là ma trận vuông mà phần tử ngoại trừ đường chéo MA TRẬN ĐƠN VỊ Là mà trận đường chéo mà phần tử đường chéo Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 1   A 0  0 0 0 1 0 0  0 0  2 1   A 0  0 0 0  0 0  0 1 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.1 Ma trận định thức Ma trận MA TRẬN HÀNG MA TRẬN CỘT Ma trận có hàng Ma trận có cột B  1  0   1  B 3   2 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.1 Ma trận định thức Ma trận MA TRẬN BẬC THANG Là mà trận có đường chéo chia ma trận làm phần, tất phần tử phần MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN  1    C   2  0    MA TRẬN TAM GIÁC DƯỚI  0   C   1   2    Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.1 Ma trận định thức Ma trận MA TRẬN ĐỐI Ma trận - A= (− a ) gọi ma trận đối ma trận A  2   1  B  ma trận đối A    0   3  Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.1 Ma trận định thức Ma trận TÍNH CHẤT Cho A, B, C ma trận cỡ: 1) A + B = B + A 2) A + (B + C) = (A + B) + C 3) α A + B = αA + αB, ∀α ∈ K 4) α + β A = αA + βA, ∀α, β ∈ K 5) A + = + A = A Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.1 Ma trận định thức Định thức ma trận Định thức ma trận vuông A= (a ) số, kí hiệu det(A) = |a | = |A| Bù đại số phần tử a A = (−1) định thức thu từ A bỏ hàng i, cột j 10 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Phương pháp khử Gauss-Jordan Ví dụ 2.8: Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình sau pp khử Gauss-Jordan  mx1  x2  x3    x1  mx2  x3  m  x  x  mx  m   m 1   m m  1 m m  1 m m         2  m m  m 1   m  m  m   m m  m  m         2 2  1 m m   1 m m  0  m m  m  m  0  m  m  m  *m=1 => r(A) = r(A) = < 3: VSN 1 m m     0  m m 1 m2  m  => *m=-2 => r(A) ≠ r(A) = 2: VN  0 (1  m)(m  2) (1  m)(1  m)  *m ≠ 1;-2 => r(A) = r(A) = = n: nghiệm Tiếp tục giải tìm nghiệm cho trường hợp 25 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Phương pháp Cramer (chỉ dùng số ẩn số phương trình) det Ai xi  ; i  n det A Ví dụ: x1  |A | | A1 | |A | ; x2  ; x3  | A| | A| | A| det(A) ≠ 0: Hệ phương trình có nghiệm det(A) = 0: + det(A ) ≠ 0: Hệ phương trình vơ nghiệm + det(A ) = 0: Hệ phương trình có vơ số nghiệm (dùng Gauss) 26 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Phương pháp Cramer (chỉ dùng số ẩn số phương trình) Ví dụ 2.9: Giải HPT sau theo phương pháp Cramer:  x1  x2  x3   2 x1  x2  x3  3 x  x  x   1  6  A   1   A  30; A1   1   A1  30  2   2  1  1  A2   2   A2  30; A3   1   A3  30  2     | A1 | 30 x   | A |  30    | A | 30   x2   1 | A | 30   | A3 | 30 x   1  | A | 30  27 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Phương pháp Cramer (chỉ dùng số ẩn số phương trình) Ví dụ 2.10: Giải biện luận HPT sau theo phương pháp Cramer: mx1  x2  x3    x1  mx2  x3  m  x  x  mx  m  m 1  A   m   det( A)  (m  1) (m  2)  1 m   1 1 m 1  m 1  A1   m m  ; A2   m  ; A3   m m   m m   m m   1 m  det( A1 )  (m  1) (m  1);det( A2 )  (m  1) ;det( A3 )  (m  1) (m  1) Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 28 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM det(A) ≠ => m ≠ 1; m ≠ -2: Hệ có nghiệm det A1 (m  1) (m  1) m 1 x1    det A (m  1) (m  2) m2 det A2 (m  1) x2    det A (m  1) (m  2) m  det A3 (m  1) (m  1) (m  1) x3    det A (m  1) (m  2) m2 det(A) = => m = 1; m = -2: m = -2: det(A ); det A ; det A ≠0: Hệ vô nghiệm m = 1: det(A ) =det(A ) = det(A ) = 0: Giải theo Gauss 29 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM HPT trở thành: r(A) = r(A) < n: Hệ có VSN  x1  x2  x3    x1  x2  x3   x1  x2  x3  x  x  x    x1       ; ,   R  x2   x    30 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Phương pháp Cholesky AX  B Ma trận vuông A, đối xứng xác định dương A  C.C T Các phần tử C xác định: c11  a11 ; ci1  ai1 (2  i  n) c11 i 1 cii  aii   cik2 ; (1  i  n) k 1 j 1 cij  (aij   cik c jk );(1  j  n) c jj k 1 CY  B  Y  C 1 B C T X  Y  X  (C T ) 1Y 31 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Phương pháp Cholesky Ví dụ 2.11:  2 3   x1      AX  B; A   2  ; X   x2  ; B   12     3   12   x3  Giải HPT sau theo phương pháp Cholesky: Giải A ma trận đối xứng 1   0;    0;    => A ma trận xác định dương  c11 A  C.C T   c21 c22  c31 c32  c11 c21   c22 c33   0 c11.c11   c11  2; c11.c21  2  c21  c31   2 3 c32    2  c33   3  2 2 3 3    2; c11.c31  3  c31   c11 c11 2 2 c21  c22   c22   c21  52  c21.c31  c22 c32   c32  1 (4  c21c31 )  (4  3)  c22 3 2 2 c312  c32  c33  c33   c31  c32   /  1/  1/ Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 32 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM   2 0    T  C   ;C       / 1/ 1/     0    1 CY  B  Y  C B        / 1/ 1/     T T 1 C X  Y  X  (C ) Y      3 /   1/   /   1    7/   12    5 /       12   1/    3 /   1/   1/  1  7/         5 /    2    1  1/    33 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.3 GIÁ TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG Trị riêng – Vec tơ riêng ma trận vuông A: Số λ gọi trị riêng ma trận A tồn vec tơ khác không thỏa: = λx Khi x gọi vec tơ riêng ứng với trị riêng λ ma trận A x ≠ VTR A Ax phương với x Tìm TR-VTR ma trận vng Bước 1: Lập phương trình đặc trưng det − λ = Bước 2: Giải phương trình đặc trưng tìm trị riêng Bước 3: Với TR λ , giải hệ (A - λ )x = Tìm VTR ứng với TR λ 34 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.3 GIÁ TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG 3 4 A  Ví dụ 2.12:   , 1  1, 2  Số trị riêng A? 6 5 : =λ  x1  x2   x1 4 x1  x2   x1   x1      x1     x   1 x   6 x  x   x  6 x  x    x    6 5   2  2 2  = =λ − , ≠ VTR ứng với TR λ = -1 A :  x1  x2  x1  x2   x1   x1     x1     x    x   6 x  x  x  6 x  x    x       2  2 2  Vì hệ có nghiệm = nên λ = không TR A 35 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.3 GIÁ TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG Các khái niệm bản: 1) Bội đại số trị riêng λ bội nghiệm λ phương trình đặc trưng 2) Không gian riêng trị riêng λ không gian nghiệm hệ (A - λ )x = 0, kí hiệu λ 3) Bội hình học λ số chiều λ 36 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2.3 GIÁ TRỊ RIÊNG, VECTOR RIÊNG Ví dụ 2.13: Tìm tất TR, sở chiều KG riêng tương ứng Cho = Giải: Phương trình đặc trưng det − λ = 1−λ  =0 3−λ  (1−λ)(3- λ)-2.4=0 λ = −1 Nghiệm đơn BĐS = λ − 4λ − =  λ = Nghiệm đơn BĐS = Với λ = -1 Giải hệ (A - λ )x = 1  (1) 0 2 0  2   2     x      (  1)    1     Cơ sở −2 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí BHH = dim( ) =1 37 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM Với λ = Giải hệ (A - λ )x = 2 0    1    x         1 2 0 Cơ sở 1 BHH = dim( ) =1 38 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 39 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí ... c11  2; c11.c21  ? ?2  c21  c31   ? ?2 3 c 32    ? ?2  c33   3  ? ?2 ? ?2 3 3    2; c11.c31  3  c31   c11 c11 2 2 c21  c 22   c 22   c21  5? ?2  c21.c31  c 22 c 32  ... dụ 2. 6:  x1  x2   x1  x2   x1  x2   x1       x2   x2  3 x1  x2  3( x2  3)  x2   x1  x2    x1  x2  10  x2   x1  x1   x2   x1     x2 ... khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 2. 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Phương pháp Cholesky Ví dụ 2. 11:  ? ?2 3   x1      AX  B; A   ? ?2  ; X   x2  ; B    12    