Chương 6 phương pháp số và các khái niệm cơ bản trong cơ học

Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC TS Lê Thanh Long ltlong@hcmut.edu.vn Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM Nội dung 6.1 Các khái niệm học 6.2 Quan hệ biến dạng chuyển vị 6.3 Luật vật liệu đẳng hướng, bất đẳng hướng 6.4 Nguyên lý cực trị toàn phần Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.1 Các khái niệm học • Cơ học vật rắn nghiên cứu ứng xử vật rắn tác dụng lực từ bên (ngoại lực) Dưới tác động ngoại lực, vật rắn (ở trạng thái cân học hay chuyển động) có xu hướng thay đổi hình dáng so với trước chịu tác dụng lực gọi biến dạng, vật xuất ứng suất để chống lại biến dạng • Cơ học vật rắn biến dạng nghiên cứu dịch chuyển tương đối chất điểm thuộc vật rắn chịu tác dụng hệ lực cân Từ ta tính tốn sức chịu đựng vật liệu Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.1 Các khái niệm học • Khối: bao bọc mặt phẳng • Tấm vỏ: tập hợp vô số đoạn thẳng, thể mặt vật thể, khối rắn, vỏ, v.v • Đường: tập hợp vô số điểm Khối Tấm vỏ Đường Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.1 Các khái niệm học • Nội lực: Nội lực độ tăng lực liên kết phần tử thuộc vật rắn vật thể chịu tác dụng hệ lực cân Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.1 Các khái niệm học • Ứng suất: Xét diện tích nhỏ ∆F điểm C mặt cắt phần A Hợp lực nội lực ∆F ∆ Định nghĩa ứng suất trung bình C:   P p tb  F Ứng suất thực C:    P d P p  lim  F  F dF Ứng suất p phân thành thành phần: p2     : Ứng suất pháp hướng theo pháp tuyến mặt cắt : Ứng suất tiếp nằm mặt cắt Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.1 Các khái niệm học • Biến dạng:  Biến dạng dọc: biến dạng dài theo phương dọc trục  Biến dạng ngang: biến dạng theo phương vng góc với trục Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.1 Các khái niệm học • Chuyển vị: Chuyển vị thay đổi vị trí mặt cắt (mỗi điểm) kết cấu tác dụng ngoại lực: tải trọng, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị liên kết Khi biến dạng hầu hết mặt cắt có vị trí mới, nên chuyển vị hệ biến dạng Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.2 Quan hệ biến dạng chuyển vị Các thành phần ứng suất viết dạng ma trận:  x     y  z  T                 x y z xy xz yz   xy   xz     yz  T  11 22 33 12 13 23 x  1, y  2, z  Các thành phần chuyển vị viết dạng ma trận: ux  T T T     u  uy   ux uy uz   u v w  u1 u2 u3  uz  Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.2 Quan hệ biến dạng chuyển vị Các thành phần biến dạng viết dạng ma trận: x     y  z           x  xy    xz      y z  y z  xy  xz  y z  T      x x  yy  zz  xy  xz     1  22  33 2 12 2 13 2 yz  T T 2 23  10 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.3 Luật vật liệu đẳng hướng, bất đẳng hướng • Luật vật liệu đẳng hướng: Trong phạm vi đàn hồi, tuyến tính, biến dạng ứng suất có quan hệ qua biểu thức:     S   x   y z    xy   xz    y z   E   v   E   v     E                v E E v  E v E v  E E   0 0 0 0 0 1  v  E 0 0 1  v  E 0 0 1  E               v     x   y  z   x y  x z    y z          15 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.3 Luật vật liệu đẳng hướng, bất đẳng hướng • Luật vật liệu đẳng hướng: Quan hệ ứng suất biến dạng thể qua biểu thức:     D   v 0  1  v v  v 1 v v  0  x     x        v v  v 0  y   y   2v  z  E    z  0 0         xy  1  v 1  2v    xy    2v  xz   0 0   xz         yz    yz      2v 0 0     16 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.3 Luật vật liệu đẳng hướng, bất đẳng hướng • Luật vật liệu đẳng hướng: Đối với tốn ứng suất phẳng, ta có:  z   xz   yz   yz   xz  z   v  x   y  1 v Do vậy, quan hệ biến dạng ứng suất có dạng:   E x      v   y    E  xy       v E E      x      y     xy  1  v   E  hay  1  x  E       y   v2 v   xy    0  v   x     y   v    xy    17 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.3 Luật vật liệu đẳng hướng, bất đẳng hướng • Luật vật liệu đẳng hướng: Tương tự, toán biến dạng phẳng, ta có:  z   xz   yz   yz   xz   z  v  x   y  Do vậy, quan hệ ứng suất biến dạng: x  1  v  v   1 v    y   E  v  v  xy   0     x      y    xy    1 v v  x    x     E    y  hay  y    v 1 v  v  v    xy   1 2v   xy        18 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.3 Luật vật liệu đẳng hướng, bất đẳng hướng • Luật vật liệu đẳng hướng: Đối với toán đối xứng trục, quan hệ biến dạng chuyển vị:   rr      zz    rz u   r   u   r      w   z    w u   z  r            Ma trận độ cứng vật liệu: v v  1  v  v 1 v  v   E  D   v v 1 v  1  v 1  2v     v   0   19 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.3 Luật vật liệu đẳng hướng, bất đẳng hướng • Luật vật liệu đẳng hướng: Trường hợp kết cấu chịu biến dạng ban đầu     S     , ta có:      D       Nếu vật liệu đẳng hướng, có hệ số dãn nở nhiệt chịu lượng tăng nhiệt độ ∆ , vật thể dãn nở theo phương khơng có biến dạng góc, nghĩa là:  yz0   xz0   xy0  hay    T 1  x0   y0   z0  T T 1 0 0 20 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.3 Luật vật liệu đẳng hướng, bất đẳng hướng • Luật vật liệu bất đẳng hướng: Đối với toán phẳng, vật liệu trực hướng (orthotropic), hệ tọa độ vật liệu 1-2, quan hệ ứng suất biến dạng biểu diễn sau: E 11 v12 E 22   1  v v   v v 12 21 12 21    1    E 22       v 21 E 11   1  v v     2  v v 12 21 12 21          0 G 12      với E11 môđun đàn hồi theo phương dọc 1, E22 môđun đàn hồi theo phương ngang 2, G12 môđun đàn hồi trượt mặt phẳng 1-2, v12 hệ số Poisson v21 hệ số Poisson phụ 21 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.3 Luật vật liệu đẳng hướng, bất đẳng hướng • Luật vật liệu bất đẳng hướng: Ta có:     D Với: E11  1  v v 12 21   v 21 E11 D     v1 v       v1 E 2  v1 v E 22  v1 v       G 12    22 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.3 Luật vật liệu đẳng hướng, bất đẳng hướng • Luật vật liệu bất đẳng hướng: Quan hệ biến dạng ứng suất có dạng:   E     11       v1  2  E 11         v 21 E 22 E 22     S                 12    G12  Trong đó,    E11  v1 S      E11    Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí  v 21 E 22 E 22         G 12  23 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6.4 Nguyên lý cực trị toàn phần Thế toàn phần vật thể đàn hồi:  U  A Với: • U biến dạng • A cơng ngoại lực Biểu thức toàn phần viết tắt dạng ma trận: T T T       D        dV   u  f v  dV   u  f s  ds 2V V St Với {fv} lực thể tích {fs} lực bề mặt  Nguyên lý cực trị tồn phần tóm tắt sau: Trường chuyển vị tương ứng với cân vật thể ⇔ =0 24 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM Bài tập Xác định ma trận độ cứng vật liệu thép có module đàn hồi Young E = 200000 MPa, ν = 0,29 hai trường hợp: a/ Ứng suất phẳng b/ Biến dạng phẳng 25 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM Bài tập a/ Ứng suất phẳng: Với trạng thái ứng suất phẳng, ta có:   1    218364, 45 63325,69    E  63325,69 218364, 45  MPa [D]            0 77519,38 0     b/ Biến dạng phẳng Với trạng thái biến dạng phẳng, ta có:  1    E [D ]    (1   )(1  2 )       262089,33 107050,57     MPa   107050,57 262089,33     2 0 77519, 40     26 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM Bài tập Xét vật liệu có module đàn hồi Young E = 70000 MPa, hệ số Poisson ν = 0,3 tương ứng với trạng thái ứng suất a/ Xác định ma trận độ cứng vật liệu b/ Xác định biến dạng tương ứng 27 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM Bài tập Với trạng thái ứng suất phẳng, ta có:   1    76923,08 23076,92    E   MPa [D ]     23076,92 76923,08         0 26923,08 0     Các biến dạng tương ứng suy từ biểu thức: x   x   0,0084       1    [D]    0,0064  y  y    xy   xy   0,0056      28 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 29 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí ...Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM Nội dung 6. 1 Các khái niệm học 6. 2 Quan hệ biến dạng chuyển vị 6. 3 Luật vật liệu đẳng hướng, bất đẳng hướng 6. 4 Nguyên lý cực trị tồn phần... hướng 6. 4 Nguyên lý cực trị tồn phần Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6. 1 Các khái niệm học • Cơ học vật rắn nghiên cứu ứng xử vật rắn tác dụng lực từ bên (ngoại... Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 6. 1 Các khái niệm học • Khối: bao bọc mặt phẳng • Tấm vỏ: tập hợp vô số đoạn thẳng, thể mặt vật thể, khối rắn, vỏ, v.v • Đường: tập hợp vô số điểm