Chương 7 xấp xỉ bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM CHƯƠNG XẤP XỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TS Lê Thanh Long ltlong@hcmut.edu.vn Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM Nội dung 7.1 Phương pháp xấp xỉ phần tử hữu hạn 7.2 Xấp xỉ phần tử tham chiếu 7.3 Phép biến đổi hình học Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.1 Phương pháp xấp xỉ phần tử hữu hạn Giả sử V miền xác định đại lượng cần khảo sát (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.) Ta chia V nhiều miền ve có kích thước bậc tự hữu hạn Đại lượng xấp xỉ đại lượng tính tập hợp miền ve Phương pháp xấp xỉ nhờ miền ve gọi phương pháp xấp xỉ phần tử hữu hạn, có số đặc điểm sau: - Xấp xỉ nút miền ve liên quan đến biến nút gắn vào nút ve biên nó, - Các hàm xấp xỉ miền ve xây dựng cho chúng liên tục ve phải thoả mãn điều kiện liên tục miền khác Các miền ve gọi phần tử Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.2 Xấp xỉ phần tử tham chiếu Bài toán nội suy tổng quát Cho hàm số y = f(x) xác định điểm: xo  a  x1   xn  b : yi  f ( xi )i  n Ta cần tìm biểu thức giải tích đủ đơn giản g(x) để xác định giá trị gần y : y ≈ g(x) điểm x ϵ [a,b] cho điểm xi ta có g(xi) = yi Về phương diện hình học, ta cần tìm hàm g(x) có đồ thị qua điểm (xi, f(xi)) hình Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.2 Xấp xỉ phần tử tham chiếu Bài toán nội suy tổng quát Giả sử biết giá trị yi hàm số mốc nộin suy xi tương ứng Cho trước hàm phụ thuộc (n+1) tham số độc lập c j  j 0 ,  (c0 , c1 , , cn , x) thỏa mãn điều kiện định Người ta xác định cj cho biểu thức nội suy nhờ hệ phương trình:  (c0 , c1 , , cn , x)  yk , k  o, n n Với c j  xác định nhờ điều kiện, j 0 Hàm g(x) = Φ(c0, c1, …, cn, x) gọi hàm nội suy dùng làm cơng thức để tính giá trị f(x) Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.2 Xấp xỉ phần tử tham chiếu Đa thức Lagrange Lagrange xây dựng đa thức nội suy đơn giản sau đây: n Ln ( x)   yk Lkn ( x) k 0 Trong đó, Ln(x) đa thức bậc n có n nghiệm x = xj; j ≠ k = hay = ∀ ≤ Ta thấy k n L ( x)   k j  0, j  k x  xj xk  x j Như vậy, Ln(x) đa thức cần tìm Hoặc Lkn ( x)   nm  0,k  m x  xm xk  xm Với n số nút xm tọa độ nút thứ m Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.2 Xấp xỉ phần tử tham chiếu Đa thức Hermite Bài toán nội suy Hermite toán mở rộng nội suy Lagrange Taylor Cho xi, aki ϵ R với i = 1,2,…,n; k = 0,1,2,…, pi-1; xi ≠ xj, ∀i ≠ j, đó, p1 + p2 + … + pn = N Hãy xác định đa thức H(x) có bậc degH(x) ≤ N – thỏa mãn điều kiện: H ( k ) ( xi )  aki , i  1, 2, , n; k  0,1, , pi  Khi n số nguyên khơng âm nghiệm phương trình Hermite đa thức, gọi đa thức Hermite viết sau: n d n x  x2 H n ( x)  (1) e (e ), n  0,1, 2, n dx Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Hàm dạng Phần tử qui chiếu tứ giác có dạng hình vng xác định hệ toạ độ (, ) q6 q8 q5 y  (1,1) 3 q7 (-1,1) v (0,0) q2  u M(x,y) q1 q4 q3 x Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí (-1,-1) (1,-1) Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Hàm dạng Các hàm dạng Ni (i = 1, 2, 3, 4) có tính chất: • Ni = nút i nút khác Chẳng hạn: N1 nút 1; nút lại (2, 3, 4) • Yêu cầu N1 = nút 2, 3, có nghĩa N1 = dọc theo cạnh =1  =1 Vì vậy, N1 phải có dạng: N1 = c(1- )(1- ) ; c số cần xác định Từ điều kiện N1= nút ( = -1;  = -1), suy ra: c  Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Hàm dạng Tương tự trên, ta xác định biểu thức hàm dạng lại Cuối cùng, biểu thức hàm dạng Ni sau: 1   1    N  1   1    N  1   1    N  1   1    N1  10 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Hàm dạng Hoặc mơ tả dạng ma trận: u = Nq Trong đó: N N  0 N1 N2 0 N2 N3 0 N3 N4 0 N  Nhờ cách mô tả đẳng tham số, ta biểu diễn toạ độ điểm phần tử qua toạ độ nút phần tử nhờ hàm dạng Ni trên: x = N1x1 + N2x2 + N3x3 + N4x4 y = N1y1 + N2y2 + N3y3 + N4y4 12 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ma trận Jacobi Các đạo hàm bậc theo không gian phần tử tham chiếu phần tử thực có quan hệ với theo biểu thức hàm hợp: f f x f y    x  y  f f x f y    x  y  Hoặc  f   f      x   f   J  f       y      x   Trong J ma trận Jacobi phép biến hình J    x   y     y    13 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ma trận Jacobi Tương tự, ta có mối quan hệ: f f  f    x  x  y f f  f    y  x  y Hoặc  f   x   f      y  Trong j ma trận Jacobi phép biến hình  f     j   f        x j    y   x     y  14 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ví dụ Ví dụ 7.1: Tìm hàm dạng phần tử chiều hai không gian tham chiếu không gian thực -1 1 15 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ví dụ Giải: Áp dụng đa thức lagrange, hàm dạng phần tử tham chiếu sau: (  0)(  1) N1 ( )    (  1) (1  0)(1  1) [  (1)](  1) N ( )   (  1)(  1) [0  (1)](0  1) [  (1)](  0) N ( )    (  1) [1  (1)](1  0) 16 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ví dụ Tương tự, ta có hàm dạng phần tử thực: x  x2  x  x3   N1 ( x)   x1  x2  x1  x3  x  x1  x  x3   N ( x)   x2  x1  x2  x3  x  x1  x  x2   N ( x)   x3  x1  x3  x2  17 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ví dụ Ví dụ 7.2: Dùng đa thức Lagrange, tìm hàm dạng phần tử tứ giác nút (-1,1) (-1,-1) (1,1) (1,-1) 18 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ví dụ Giải: Áp dụng đa thức Lagrange cho hai biến ξ η ta tìm hàm dạng tương ứng với nút 1, 2, sau:  1  1  (1   )(1   ) 1  1    (1)   1 N ( , )  L2 L2   (1   )(1   )  (1) 1    (1)   (1) N3 ( , )  L3 L3   (1   )(1   )  (1)  (1)     (1) N ( , )  L4 L4   (1   )(1   ) 1  1  (1) N1 ( , )  L1 L1  19 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ví dụ Ví dụ 7.3: Xét phần tử tam giác nút không gian thực sau: Các giá trị biến nút (nhiệt độ) liên kết với nút 1, 2, T1 = 500, T2 = 600, and T3 = 700 Hãy nội suy nhiệt độ nút A(5,2) 20 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ví dụ Giải: Phương pháp 1: Nội suy phần tử thực Hàm nội suy nút: ( x2 y3  x3 y2 )  x( y2  y3 )  y ( x3  x2 ) 2A N ( x, y )  ( x3 y1  x1 y3 )  x( y3  y1 )  y( x1  x3 ) 2A N ( x, y )  ( x1 y2  x2 y1 )  x( y1  y2 )  y( x2  x1 ) 2A N1 ( x, y )  Trong đó, A diện tích tam giác 1-2-3 1 A  det  x1  y1 x2 y2 1 x3  y3  21 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ví dụ 1 1 13  A   với x1 = 2, y1 = 2, x2 = 7, y2 = 1, x3 = 5, y3 = 2 23  x  y N1 ( x, y )  13  2x  3y N ( x, y )   N1 (5, 2)  , N (5, 2)  , N (5, 2)  13 13 13 13 12  x  y N ( x, y )  13 Nhiệt độ điểm A nội suy qua biểu thức: TA  N1 (5, 2)T1  N (5, 2)T2  N (5, 2)T3  50  60  70  59, 230 13 13 13 Phương pháp 2: Nội suy phần tử tham chiếu SV tham khảo thêm Sách Bài tập PTHH 22 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ví dụ Ví dụ 7.4: Xét phần tử nút khơng gian tham chiếu không gian thực: 3 A Xác định tọa độ điểm A’, ảnh điểm A( = , = ) Tìm ma trận Jacobi phép biến đổi hình học điểm A Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí 23 Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ví dụ Giải: Tìm ảnh điểm A ( = , Ta có x   Ni ( , ) xi , i 1 Với = ) y   N i ( , ) yi i 1 N1 ( , )      , N ( , )   , N ( , )   Thay thông số từ đề vào, ta được: 1 1 1 1 1 11 x A '  N1 ( , ) x1  N ( , ) x2  N ( , ) x3  (1   ) x  x  x  3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 10 y A '  N1 ( , ) y1  N ( , ) y  N ( , ) y3  (1   ) x  x  x  3 3 3 3 3 24 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7.3 Phép biến đổi hình học Ví dụ Ma trận Jacobi phép biến đổi hình học điểm A   J11  ( N1 x1  N x2  N x3 )  [(1     ).2     4]=3     ( N1 y1  N y2  N y3 )  [(1     ).2     5]=1     J 21  ( N1 x1  N x2  N x3 )  [(1     ).2     4]=2     J 22  ( N1 y1  N y2  N y3 )  [(1     ).2     5]=3   J12   1 J     25 Bộ môn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 26 Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí ... dung 7. 1 Phương pháp xấp xỉ phần tử hữu hạn 7. 2 Xấp xỉ phần tử tham chiếu 7. 3 Phép biến đổi hình học Bộ mơn Thiết kế máy - Khoa Cơ khí Trường Đại học Bách khoa – ĐHQG-HCM 7. 1 Phương pháp xấp xỉ phần. .. hợp miền ve Phương pháp xấp xỉ nhờ miền ve gọi phương pháp xấp xỉ phần tử hữu hạn, có số đặc điểm sau: - Xấp xỉ nút miền ve liên quan đến biến nút gắn vào nút ve biên nó, - Các hàm xấp xỉ miền ve... xấp xỉ phần tử hữu hạn Giả sử V miền xác định đại lượng cần khảo sát (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.) Ta chia V nhiều miền ve có kích thước bậc tự hữu hạn Đại lượng xấp xỉ đại lượng