Skkn đồ thị của hàm đạo hàm với sự biến thiên và cực trị của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM VỚI SỰ BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Người thực hiện Lê Thị Hằng Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc mô[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM VỚI SỰ BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Người thực hiện: Lê Thị Hằng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2022 skkn MỤC LỤC TT Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận 1.4.2 Phương pháp điều tra, quan sát 1.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm Nội dung Đồ thị hàm đạo hàm biến thiên hàm số 2.1.1 Kiến thức 2.1.2 Các ví dụ minh họa Đồ thị hàm đạo hàm cực trị hàm số 10 2.2.1 Kiến thức 10 2.2.2 Các ví dụ minh họa 10 2.3 Bài tập dạng 15 2.4 Kết 17 Kết luận kiến nghị 18 3.1 Kết luận 18 3.2 Kiến nghị 18 2.1 2.2 Tài liệu tham khảo 19 skkn MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn Tốn bậc THPT, em học sinh học đạo hàm từ cuối học kỳ II lớp 11, đại đa số em học xong kiến thức đạo hàm biết vận dụng cơng thức để giải tốn tính đạo hàm, khảo sát hàm số Cịn việc ứng dụng đạo hàm để khai thác giải toán liên quan qua thực tế giảng dạy nhiều năm bậc THPT tìm hiểu tâm lý đối tượng học sinh tơi thấy học sinh cịn lúng túng, bỡ ngỡ Đây mội chủ đề thường gặp đề thi THPT Quốc Gia, đề thi tốt nghiệp THPT mơn Tốn hàng năm mà chưa có tài liệu bàn sâu Nhằm giúp em học sinh hứng thú học tập, biết cách khai thác, vận dụng kiến thức liên quan đến đạo hàm để giải toán đồ thị hàm đạo hàm tốn liên quan tơi chọn viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Đồ thị hàm đạo hàm với biến thiên cực trị hàm số” trình bày số kinh nghiệm thân tích luỹ giảng dạy nhằm phục vụ công tác dạy học nhà trường Trong q trình giảng dạy tơi cố gắng làm sáng tỏ mối quan hệ hàm số hàm số thơng qua số tốn liên quan Bằng cách xếp dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh, phát huy tính tích cực học sinh, ý sửa sai cho em, giúp học sinh hiểu phần tập có thuật giải rõ ràng, xác, có nhiều nội dung ứng dụng phong phú giúp học sinh định hướng lực tư tiếp cận kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022 1.2 Mục đích nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm tơi nhằm mục đích: - Đề tài giúp học sinh thấy mối quan hệ hàm số hàm số thông qua số tốn liên quan Từ đó, học sinh định hướng lực tư tiếp cận kỳ thi tốt nghiệp THPT với toán mối quan hệ đồ thị hàm số hàm số thông qua biến thiên cực trị hàm số - Nâng cao lực chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm người giáo viên 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Học sinh khối 12 năm học 2021-2022 trường THPT Yên Định - Chương trình tốn 12 - Đề tài nghiên cứu toán đồ thị hàm đạo hàm với biến thiên cực trị hàm số nhằm giúp học sinh hiểu sâu sắc vấn đề khảo sát hàm số như: hình dạng đồ thị, biến thiên, cực trị hàm số Từ đó, giúp học sinh hoàn thiện kỹ tiếp cận kỳ thi tốt nghiệp THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu: + Sách giáo khoa, sách giáo viên, nội dung giảm tải chương trình, hướng dẫn thực chương trình Toán 12 skkn + Sách tham khảo tài liệu Internet vấn đề liên quan đến đề tài 1.4.2 Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ, quan sát, lập phiếu điều tra thực trạng việc giải toán đồ thị hàm đạo hàm toán liên quan 1.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi hiệu đề tài skkn NỘI DUNG 2.1 Đồ thị hàm đạo hàm biến thiên hàm số 2.1.1 Kiến thức bản[1] a) Định nghĩa Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số đinh K Ta nói +) Hàm số nhỏ đồng biến (tăng) K với +) Hàm số nhỏ nhỏ lớn thuộc K mà , tức nghịch biến (giảm) K với xác thuộc K mà , tức Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K b) Tính đơn điệu dấu đạo hàm Cho hàm số có đạo hàm K +) Nếu với thuộc K hàm số đồng biến K +) Nếu với thuộc K hàm số nghịch biến K Tóm lại, K Chú ý: Nếu khơng đổi K 2.1.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ (Câu 39 mã đề 123 đề thi THPT Quốc Gia năm 2019) Cho hàm số , hàm số liên tục có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình ( tham số thực) nghiệm với A B C D Lời giải Ta có Dựa vào đồ thị hàm số ta có với Xét hàm số khoảng Suy hàm số nghịch biến khoảng skkn Do (*) Chọn phương án D Ví dụ 2[2] Hàm số xác định có đồ thị đường cong hình bên Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng B Hàm số đồng biến khoảng C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng Lời giải Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số suy Do đó, hàm số nghịch biến khoảng Chọn phương án D Cách 2: Từ đồ thị hàm số suy với số Lập bảng biến thiên hàm sau x f J (x) −∞ − −2 +∞ f (x) + 0 − f (0) f (−2) +∞ + +∞ f f (2) (2) Dựa vào bảng biến thiên hàm số , suy hàm số nghịch biến khoảng Nhận xét:  Chìa khóa tốn này, kỹ đọc đồ thị hàm số , từ xác định dấu đạo hàm cuối đưa bảng xét dấu biểu thức  cách 2, học sinh cần có kĩ xét tương giao đồ thị hàm số trục hồnh Từ đó, xây dựng dạng hàm số Ví dụ (THPTQG - Minh họa lần - 2020 - Câu 39) Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình vẽ Hàm số đồng biến khoảng −1 O x skkn B A C D Lời giải Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số , suy ra: Suy rằng: Đặt Hàm số X g (x) g(x) −∞ J + xác định có đạo hàm Lập bảng biến thiên hàm số −2 + − + − + − g(1) g(-2) g(3) Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến khoảng Cách 2: Dựa vào đồ hàm số suy sau +∞ − + + , suy hàm số Chọn phương án C , với Do đó, với số Do đó: Suy hàm số lập bảng biến thiên sau X gJ (x) −∞ − −2 + − +∞ + skkn +∞ g(x) g(1) g(−2) Dựa vào bảng biến thiên hàm số hàm số Cách 3: Đặt khoảng +∞ g(3) , suy khoảng đồng biến Ta có Từ đồ thị hàm số , suy Hàm số đồng biến khoảng Nhận xét  Ở cách 1, học sinh cần có kĩ xét dấu     cách phần đồ thị nằm phía trên, phía trục hồnh, suy dấu Ở cách 2, học sinh cần tương giao đồ thị hàm số với trục hoành, từ xây dựng dạng hàm số có đồ thị hình vẽ, suy dạng hàm số Việc xét dấu đơn giản cần dựa vào tích nhị thức bậc mà học sinh học lớp 10 Ở cách 2, để tìm phân tích tịnh tiến nghiệm suy Ở cách 3, học sinh xét dấu trực tiếp cách dựa vào đồ thị hàm số Qua ba cách giải trên, phương án gây nhiễu dựa vào sai lầm cách tư học sinh Chẳng hạn phương án A, D dựa sai lầm học sinh đơn giải bất phương trình mà chưa thấy mối quan hệ quan hệ ràng buộc Phương án B nhiễu số hàm số đồng biến khoảng Với phân tích trên, hồn tồn xây dựng hàng loạt tập tương tự để học sinh rèn luyện kĩ tư cách trực quan qua đồ thị hàm số sau: Bài toán tổng quát Cho hàm số a số thực Hàm số hình bên Hàm số đồng biến khoảng có đồ thị mO skkn n p A B C D Bài toán tổng quát Cho hàm số a số thực Hàm số hình bên Hàm số đồng biến khoảng có đồ thị A mO np B C D Bài toán tổng quát Cho hàm số a số thực Hàm số hình bên Hàm số nghịch biến khoảng có đồ thị A B m C O p D Ví dụ 4[6] Cho hàm số có đạo hàm liên tục cho hình bên Xét hàm số sai ? A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số đồ thị hàm số Mệnh đề y đồng biến nghịch biến nghịch biến nghịch biến −112 Ox −2 −4 skkn Lời giải Cách 1: Do nên Khi đó: Mặt khác, từ đồ thị hàm số Do hàm số x gJ (x) g(x) suy có bảng biến thiên sau: −∞ -2 + − 0 -1 + + + − g(0) + + − +∞ + + + + g(-2) g(2) Từ bảng biến thiên hàm số , hàm số đồng biến khoảng nên khẳng định hàm số nghịch biến khoảng sai Chọn phương án B suy hàm số Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số dạng với có , suy Do đó: Bảng biến thiên hàm số x −∞ −2 J g (x) − + +∞ g(x) là: −1 0 + g(0) − − +∞ + +∞ skkn g(−2) Cách 3: Từ g(2) suy Khi Từ (1) suy phương án A Từ (4) suy phương án C Từ (2) suy phương án B sai Từ (3) suy phương án D nghiệm Nhận xét  Như vậy, tình cụ thể mức độ toán thay đổi Bài toán tổng quát theo hướng tác động đồ thị hàm số tác động vào hàm số Ví dụ 5[5] Cho hàm số hình bên Đặt đúng? A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số Lời giải Chẳng hạn chọn Đồ thị hàm số Mệnh đề đồng biến khoảng đồng biến khoảng nghịch biến khoảng nghịch biến khoảng Do nên tương giao đồ thị hàm số Vẽ đường thẳng , dựa vào đường thẳng , ta có: skkn Từ ta có Suy ra, hàm số x h J (x) h (x) có bảng biến thiên sau: −∞ −2 − + +∞ h(2) h(−2) − +∞ + +∞ h(4) Dựa vào bảng biến thiên hàm số , chọn phương án D Nhận xét  Trong ví dụ 1, ví dụ ví dụ dựa vào tương giao đồ thị hàm số trục hoành để xét dấu biểu thức Để xét dấu biểu thức ví dụ lại dựa tương giao đồ thị hàm số đường thẳng 2.2 Đồ thị hàm đạo hàm cực trị hàm số 2.2.1 Kiến thức bản[1] a) Định nghĩa Hàm số xác đinh  Điểm khoảng  Điểm gọi điểm cực đại hàm số cho tồn gọi điểm cực tiểu hàm số tồn khoảng cho b) Điều kiện cần đủ để hàm số có cực trị Điều kiện cần Nếu hàm số đạt cực trị điểm hàm số có đạo hàm , Tuy nhiên hàm số đạt cực trị điểm mà hàm số khơng có đạo hàm, chẳng hạn với hàm Điều kiện đủ  Nếu  Nếu , đại cực trị Tức là, đạo hàm hàm số X −∞ f J (x) − khơng có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua +∞ + 10 skkn +∞ +∞ f(x) Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu Nếu đạo hàm hàm số x −∞ J f (x) đổi dấu từ dương sang âm qua +∞ − + f(x) −∞ −∞ Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại 2.2.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ 1[3] Cho hàm số xác định có đồ thị hàm hình vẽ Hỏi hàm số cho có cực trị? A B C D Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số , suy bảng biến thiên sau: x f J (x) −∞ +∞ − + − + +∞ + +∞ f(x) Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số có cực trị Ví dụ 2[4] Cho hàm số liên tục , đồ thị đạo hàm hình vẽ bên Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A đạt cực tiểu B đạt cực tiểu C đạt cực đại D Cực tiểu nhỏ cực đại Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số suy bảng biến thiên hàm số sau: x −∞ −2 +∞ 11 skkn f J (x) f (x) + f(−2) −∞ − + +∞ f(0) Từ bảng biến thiên suy ra:  Hàm số đạt cực tiểu điểm Phương án A  Hàm số đạt cực đại điểm Phương án C  Hàm số có Phương án D Chọn phương án B Ví dụ 3[9] Cho hàm số đa thức xác định, liên tục có đồ thị hình sau Chọn phát biểu nói hàm số A Hàm số có điểm cực trị B Giá trị lớn giá trị C Hàm số nghịch biến khoảng D Lời giải Từ đồ thị hàm số suy hàm số x −∞ f J (x) +∞ f(x) có bảng biến thiên sau −4 -2 − + − f(−2) f(−4) Từ bảng biến thiên, suy  Hàm số có điểm cực trị  Hàm số đồng biến khoảng khoảng Phương án C sai +∞ + +∞ f(3) Phương án A sai nên hàm số đồng biến Phương án D sai   Hàm số liên tục đoạn nghịch biến Chọn phương án B Nhận xét nên hàm số Do Phương án B Có thể viết lại 12 skkn với C số, a > Với C với a suy Khi đó: Vậy: Ví dụ 4[7] Cho hàm số xác định, liên tục có đồ thị hình sau Xác định điểm cực tiểu hàm số A B Khơng có điểm cực tiểu D C Lời giải Cách Vì , nên tịnh tiến đồ thị hàm số đơn vị, ta nhận đồ thị hàm số (xem hình vẽ bên) Dựa vào đồ thị hàm số , ta thấy đổi dấu từ âm sang dương qua điểm Vậy hàm số đạt cực tiểu Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số , suy Lập bảng biến thiên hàm số x −∞ g J (x) − +∞ g(x) − sau: + g(1) dọc theo trục tung lên g(2) +∞ − −∞ Dựa vào bảng biến thiên hàm số , suy hàm số đạt cực tiểu Chọn phương án D Ví dụ 5[2] Cho hàm số xác định có đồ thị hình vẽ Đặt Hàm số 13 skkn đạt cực đại điểm sau đây? B A C Lời giải Do hàm số hàm số vị D nên Do đồ thị có cách tịnh tiến đồ thị dọc theo trục tung xuống đơn ta thấy đổi dấu từ Từ đồ thị hàm số dương sang âm qua điểm Do đạt cực đại Ví dụ 6[8] Cho hàm số liên tục , hàm số đồ thị hình vẽ Hàm số điểm cực trị là: B A C Lời giải Do có có số D nên Khi đó: Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt Do hàm số cho có điểm cực trị phân biệt Ví dụ 7[8] Cho hàm số có đạo hàm liên tục Đồ thị hàm số hình vẽ bên Số điểm cực trị hàm số là: A B C D Lời giải: Từ đồ thị hàm số , suy phương trình Xét hàm số có nghiệm , có 14 skkn Suy Từ đồ thị hàm số suy ra: Khi đó: Lập bảng biến thiên hàm số x f (x) sau −∞ +∞ − J + +∞ +∞ f(x) Dựa vào bảng biến thiên hàm số hàm số cho có điểm cực trị Ví dụ 8[9] Cho hàm số với Hàm số điểm sau? A B , suy có đồ thị hình vẽ đạt cực đại điểm C D Lời giải Do nên Vẽ parabol dựa vào tương giao đồ thị hàm số parabol ta có bảng biến thiên hàm số sau x −∞ +∞ J g (x) − + − + +∞ g(1) +∞ g(x) g(0) g(2) Vậy, hàm số đạt cực đại Chọn phương án B 15 skkn 2.3 Bài tập dạng Bài Hàm số có đạo hàm hàm số Biết đồ thị hàm số cho hình vẽ Hàm số nghịch biến khoảng trong; khoảng sau? A B C Bài D Cho hàm số số đúng? có đạo hàm liên tục , hàm đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau A Đồ thị hàm số có điểm cực trị B Hàm số nghịch biến C Hàm số đồng biến D Hàm số Bài đồng biến Cho hàm số với Biết hàm số có đạo hàm hàm số có đồ thị hình vẽ bên nhận xét sau sai? A Trên khoảng (-2; ) hàm số x tăng B Hàm số giảm đoạn có độ dài C Hàm số đồng biến khoảng D Hàm số nghịch biến khoảng y Bài (THPT Quốc Học Quy Nhơn) Cho hàm số liên tục khoảng (-3; 4) có đạo hàm liên tục (-3; 4) Đồ thị hàm số khoảng (-3; 4) cho hình vẽ bên Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2) B Hàm số đồng biến khoảng (-3; 0) C Hàm số đồng biến D Hàm số đồng biến khoảng (-2; 1) − − O 123 khoảng (2; 4) 16 skkn x Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm số hình vẽ Xét hàm số mệnh đề sau: I Hàm số có điểm cực trị II Hàm số đạt cực tiểu x = III Hàm số đạt cực đại x = IV Hàm số đồng biến khoảng (- 2; 0) V Hàm số g(x) nghịch biến khoảng (- 1; 1) Có mệnh đề mệnh đề trên? A B C D Bài Hàm số có đồ thị hình vẽ Khi số điểm cực trị hàm số y = f(x) A B C D x Bài Hàm số có đồ thị hình vẽ y = f (x2 - 3) Tìm số điểm cực trị hàm số A B C D Bài Hàm số có đồ thị hình vẽ Tìm số điểm cực trị hàm số A B C D 2.4 Kết Áp dụng đề tài học sinh lớp 12A4 thu kết quả: Trước thực đề tài Sau thực đề tài Xếp loại Số học sinh Tỉ lệ % Số học sinh Tỉ lệ % 17 skkn Giỏi 7,9 22 57,9 Khá 17 44,7 12 31,6 Trung bình 18 47,4 10,5 Yếu, 0 0 Quan trọng học sinh cảm thấy hứng thú chăm học với mơn Tốn học, không bị áp lực phải ngồi học học Toán, tạo niềm tin hứng thú học tập em KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy mơn tốn bậc trung học phổ thông nghiên cứu đề tài “Đồ thị hàm đạo hàm với biến thiên cực trị 18 skkn ... vẽ bên Khẳng định sau A Đồ thị hàm số có điểm cực trị B Hàm số nghịch biến C Hàm số đồng biến D Hàm số Bài đồng biến Cho hàm số với Biết hàm số có đạo hàm hàm số có đồ thị hình vẽ bên nhận xét... tác động đồ thị hàm số tác động vào hàm số Ví dụ 5[5] Cho hàm số hình bên Đặt đúng? A Hàm số B Hàm số C Hàm số D Hàm số Lời giải Chẳng hạn chọn Đồ thị hàm số Mệnh đề đồng biến khoảng đồng biến khoảng... 16 skkn x Bài Cho hàm số có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm số hình vẽ Xét hàm số mệnh đề sau: I Hàm số có điểm cực trị II Hàm số đạt cực tiểu x = III Hàm số đạt cực đại x = IV Hàm số đồng biến