Đang tải... (xem toàn văn)
SỐ BETTI VÀ KHÔNG GIAN CÁC ĐẠO HÀM PHẢN XỨNG CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC CÓ SỐ CHIỀU ≤ 7 CAO TRẦN TỨ HẢI*, DƯƠNG MINH THÀNH** TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi tính toán toàn bộ số Bet[.]
Cao Trần Tứ Hải tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ SỐ BETTI VÀ KHÔNG GIAN CÁC ĐẠO HÀM PHẢN XỨNG CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE TỒN PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC CĨ SỐ CHIỀU ≤ CAO TRẦN TỨ HẢI*, DƯƠNG MINH THÀNH** TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi tính tốn tồn số Betti đại số Lie tồn phương giải có số chiều ≤ vừa phân loại [5] Bên cạnh đó, khơng gian đạo hàm phản xứng chúng mơ tả tường minh Từ khóa: đại số Lie, đại số Lie toàn phương, đối đồng điều, đạo hàm phản xứng ABSTRACT The Betti numbers and the vector space of skew-symmetric derivations of solvable quadratic Lie algebras with dimension ≤ In this paper, we calculate all of the Betti numbers of solvable quadratic Lie algebras of dimensions ≤ which have classified in [5] Moreover, their vector space of skew-symmetric derivations is explicitly described Keywords: Lie algebras, Quadratic Lie algebras, Cohomology, Skew-symmetric derivations Mở đầu Trong báo này, xét g quadratic Lie algebra (tạm dịch đại số Lie toàn phương), tức đại số Lie trang bị dạng song tuyến tính đối xứng bất biến không suy biến, trường số phức £ Đại số Lie toàn phương đối tượng đại số xuất thời gian gần nghiên cứu nhiều khía cạnh khác Đầu tiên nghiên cứu mặt cấu trúc: đại số Lie toàn phương tổng trực tiếp trực giao ideal không suy biến tổng trực tiếp trực giao ideal tâm không suy biến ideal có tâm đẳng cự tồn (xem [2] [10]) Nếu sâu vào cấu trúc: Một đại số Lie tồn phương khơng tầm thường coi mở rộng kép đại số Lie có số chiều nhỏ đạo hàm phản xứng (xem [8] [9]), đại số Lie toàn phương giải chẵn chiều mở rộng T* đại số Lie đối chu trình cyclic [2] Tiếp theo nghiên cứu ứng dụng Vật lí đại số Lie toàn phương [7] Gần toán phân loại chúng dùng cấu trúc đại số Lie toàn phương để nghiên cứu cấu trúc khác liên kết với nó, ví dụ cấu trúc symplectic liên kết với cấu trúc đại số Lie toàn phương lũy linh chẵn chiều [1], cấu trúc đại số Novikov đối xứng, cấu trúc đại số Lie toàn phương lũy linh bậc (xem [4]) * ** ThS, Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận; Email: tuhai.thptlequydon@ninhthuan.edu.vn TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM Một tốn lí thú nghiên cứu đại số Lie nói chung mơ tả nhóm đối đồng điều Trong trường hợp g đại số Lie tồn phương, tốn mơ tả nhóm đối đồng điều thứ hai hệ số £ g có liên quan mật thiết đến mơ tả khơng gian đạo hàm phản xứng g , để từ liệt kê tồn mở rộng kép giúp cung cấp nhiều thơng tin cho tốn phân loại đại số Lie tồn phương (xem [5]) Mục tiêu báo tính số Betti (tức số chiều nhóm đối đồng điều hệ số ¡ £ ) đại số Lie toàn phương giải có số chiều ≤ vừa phân loại [5] mô tả không gian đạo hàm phản xứng chúng Bài báo chia làm mục: Mục nhắc lại số khái niệm kết phân loại; Mục nêu phương pháp mơ tả nhóm đối đồng điều trình bày bảng kết tính số Betti Ở đây, phương pháp tính đưa [10] Chúng tơi trình bày số ví dụ để minh họa chiều thấp, phần lại dành để nêu kết Mục phần kết mô tả không gian đạo hàm phản xứng đại số Lie toàn phương xét Giống Mục 2, làm cụ thể vài ví dụ, sau nêu kết tính tốn Các không gian vectơ xét báo hữu hạn chiều trường số phức□ Một số định nghĩa kết Định nghĩa 1.1 Cho đại số Lie phức hữu hạn chiều g Một dạng song tuyến tính đối xứng B : g ´ g ® £ gọi (i) không suy biến B (X ,Y ) = , " Ỵ g X = , Y (ii) bất biến (hay gọi kết hợp) B éX ,Y ù, Z B X , éY , Z ù với = ëê úû ëê X ,Y , Z Ỵ g úû ( ) ( ) Một đại số Lie tồn dạng song tuyến tính đối xứng, khơng suy biến bất biến gọi đại số Lie toàn phương Xét (g, B ) đại số Lie tồn phương W khơng gian vector g Thành phần trực giao W kí hiệu W^ = {X Ỵ g | B (X ,Y ) 0, " = Y Ỵ g} Mệnh đề 1.2 [2] Cho (g, B ) đại số Lie toàn phương, I ideal g Khi I ^ ideal g Ngoài ra, hạn chế B I ´ I khơng suy biến hạn chế B I ^ ´ I ^ é ^ {^ 0}và I Ç I = ù= khơng suy biến, I , I ëê úû Nếu hạn chế của B I ´ khơng suy biến ta gọi I ideal I ^ không suy biến g, để thích hợp ta sử dụng kí hiệu g = I Å I ^ {} Định nghĩa 1.3 ^ Đại số Lie toàn phương g gọi bất khả phân ta có g = g1 Å g2 g1 g2 = {0} Định nghĩa 1.4 Ta nói hai đại số Lie tồn phương (g, B ) (g ', B ') đẳng cấu đẳng cự tồn đẳng cấu đại số Lie A : g ® g' thỏa mãn B ' (A(X ), A(Y )) = B (X ,Y ) " X , ,Y Ỵ g Trong trường hợp ta nói A đẳng cấu đẳng cự Cuối mục nhắc lại kết phân loại đại số Lie toàn giải đến chiều phương pháp mở rộng kép đưa [3] [5]: Mệnh đề 1.5 Cho £ (g, B ) đại số Lie toàn phương giải có số chiều Giả sử g khơng giao hốn Khi g đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie sau: (i) g = span {X , X , Z , } với tích Lie xác định éX , X ù= X , Z 2 ê úû éX , Z ù= - Z éX , Z ù= Dạng song tuyến tính B đượcë xác định Z ëê úû ëê 2 úû B (X , Z )= , £ i , trường hợp khác i i £ (ii) g4 Å £ g = span {X , X ,T , Z , Z X ^ } với éX , ù= T , éX ,T ù= - Z 2 ëê úû ,T Z Dạng song tuyến tính B xác định B é Xë ù ê ú=û (X , £ i £ , trường hợp khác ëê i úû , Z i ) B (T ,T ) = = ^ Å £ g = span {X , X , X (iii) g Å £ , g ,Z ,Z , Z ^ } Dạng song tuyến tính B xác định B (X i , Z i ) = 1, £ i £ , trường hợp khác Có họ đại số không đẳng cấu đẳng cự sau: • g : éX , X ù= , éX , X ù= Z Z 6,1 ëê êë úû úû • g : éX , Z ù= Z éX , Z ù= l Z , , éX , X ù= Z ëê úû éX , X ù= - X , êë 1 6,2 êë 2 ëê úû é úû úû éZ , X ù= Z Z , X ù= l với l ¹ Z êë 1 úû êë 2 úû éX , Z ù= Z + Z • g : éX , Z ù= Z , , 6,3 ëê úû ëê úû éX , X ù= éZ , X ù= éZ , ù= éZ , X ù= Z X X êë 1 êë 2 úû êë úû ëê úû ^ úû ^ éX , X ù= - l X êë úû éX , X ù= - X - X , ëê úû ^ (iv) g Å £ , g Å £ , g Å £ g = span {X , X , X ,T , Z , Z ,Z song tuyến tính B xác định B (T ,T ) = 2 } Dạng , B (X i , Zi ) , £ i £ Có họ = đại số khơng đẳng cấu đẳng cự sau: éX , X ù= X éX ,T ù= X , éX , ù= - Z , éX , ù= - T , • g : , Z Z 7,1 ê 2ú ê úû úû úû éX , Z ëù= éT , Zû ù= Z ë ê ê ë ë ê ú ê ú ë û ë û éX ,T ù= X , éX , ù= - Z , éX , ù= - T • g7,2 : éX , X ù= X , Z Z êë úû úû úû ëê úû ê ê ë éX , Z ù= éT , Z ù= Z ë ëê 1 úû êë úû éX , X ù= - X éX , Z ù= - Z éX , Z ù= Z , • g : éX , X ù= X , , , 7, éX , Z ù= ëê úû 1 êë ú éZ , X ù= û , éX , X ù= Z T êë úû , éX ,T ù= Z êë úû éX ,T ù= Z ëê úû 1 êë úû 2 êë ëê úû êë 2 úû úû Số Betti đại số Lie toàn phương 2.1 Định nghĩa ® End(V ) Cho g đại số Lie, V không gian vectơ r : g biểu diễn g V Với k ³ tuyến tính phản xứng từ g ´ tử đối bờ dk 0, kí hiệu C k (g,V không gian ánh xạ k ) g ´ ´ g vào V k ³ C 0(g,V ) = V Toán : C k (g,V ) ® C k + 1(g,V ) định nghĩa sau: dk f (X 0, , X k ) = k ¶ i åi = (+ ( 1) r (X i ) f (X 0, , X i , , X k ) k ¶ i+j é ù å i