1209 Phân loại các siêu đại số Lie toàn phương giải được 8 chiều với phần chẵn bất khả phân 6 chiều.docx

Cao Trần Tứ Hải tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ PHÂN LOẠI CÁC SIÊU ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC CHIỀU VỚI PHẦN CHẴN BẤT KHẢ PHÂN CHIỀU CAO TRẦN TỨ HẢI*, DƯƠNG MINH THÀNH** TÓM TẮT Trong báo này, đưa phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn bất khả phân chiều Phương pháp phân loại dựa công cụ mở rộng kép kết phân loại quỹ đạo phụ hợp đại số Lie sp(2) Từ khóa: siêu đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương, mở rộng kép ABSTRACT A classification of solvable eight-dimensional quadratic lie superalgebras and the sixdimensional indecomposable even part In this paper, we give a classification of solvable eight-dimensional quadratic lie superalgebras and the six-dimensional indecomposable even part The method is based on the double extension and classification results of adjoin orbits of the Lie algebra sp(2) Keywords: Lie superalgebras Quadratic Lie superalgebras Double extension Mở đầu Một siêu đại số Lie g = g Å g gọi toàn phương g có dạng song tuyến tính B siêu đối xứng chẵn, bất biến khơng suy biến Trong trường hợp này, B gọi tích vơ hướng bất biến g Chẳng hạn, ta biết dạng Killing siêu đại số Lie thỏa mãn tính chất siêu đối xứng chẵn bất biến, g siêu đại số Lie cổ điển siêu đại số Lie nửa đơn siêu đại số Lie tồn phương dạng Killing cịn thỏa mãn tính chất khơng suy biến (tiêu chuẩn Cartan) Trong trường hợp g giải được, dạng Killing bị suy biến Tuy nhiên, tồn siêu đại số Lie giải mà xuất dạng song tuyến tính khác cho bảo đảm tính chất siêu đối xứng chẵn, bất biến khơng suy biến Đây đối tượng nghiên cứu báo Siêu đại số Lie toàn phương xem tổng quát hóa đại số Lie tồn phương Đối với đại số Lie toàn phương hữu hạn chiều trường đóng đại số đặc trưng 0, báo [10], A Medina P Revoy đưa khái niệm mở rộng kép với mục đích cung cấp mơ tả quy nạp đại số Lie toàn phương Ở dạng mơ tả này, đại số Lie tồn phương xem mở rộng kép đại số Lie tồn phương có số chiều thấp Sau đó, H Benamor S Benayadi [5] * ** NCS, Chun ngành Hình học Tơpơ, Trường Đại học Sư phạm TPHCM TS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: thanhdmi@hcmup.edu.vn tổng quát hóa khái niệm mở rộng kép cho siêu đại số Lie toàn phương Bên cạnh đó, đại số Lie tồn phương cịn mô tả cấu trúc khác: mở rộng T* đại số Lie, khái quát tích nửa trực tiếp đại số Lie không gian đối ngẫu Cách mơ tả M.Bordemann [2] phát ra, sau tổng quát hóa lên siêu đại số Lie tồn phương báo [4] S Bajo, S Benayadi M Bordemann Từ cơng trình này, hình thành hướng nghiên cứu siêu đại số Lie trang bị dạng song tuyến tính bất biến khơng suy biến ứng dụng chúng Trong viết này, quan tâm đến việc phân loại siêu đại số Lie tồn phương có số chiều thấp, cụ thể siêu đại số Lie toàn phương giải chiều Chúng tập trung vào trường hợp siêu đại số Lie có phần chẵn bất khả phân chiều với mục tiêu làm rõ cơng cụ phân loại để áp dụng cho trường hợp lại Nội dung báo chia làm mục: Mục nhắc lại số khái niệm siêu đại số Lie toàn phương; Mục đề cập số kết liên quan đến đại số Lie sp(2) dùng cho việc phân loại siêu đại số Lie toàn phương Mục 4; Mục trình bày khái niệm mở rộng kép siêu đại số Lie toàn phương; Mục nêu kết phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn bất khả phân chiều Các không gian vectơ xét báo hữu hạn chiều trường số phức □ Siêu đại số Lie toàn phương Định nghĩa 1.1 Cho siêu đại số Lie hữu hạn chiều g = g Å g Nếu g trang bị dạng song tuyến tính B : g ´ g ® £ thỏa mãn tính chất (i) siêu đối xứng B (X ,Y ) = 1)xy B (Y , X ) , " X Ỵ g ,Y Ỵ g , (x y không suy biến B (X ,Y ) , " Y Ỵ g X = , = é ù (iii) bất biến B X ,Y , Z = B X , éY , Z ù với X ,Y , Z Ỵ g , êë úû ëê úû (iv) chẵn B (g , g ) = (ii) ( ) ( ) g gọi siêu đại số Lie toàn phương Trong trường hợp dễ dàng thấy B phương - (g , B g´ g ) g ( g, g0´ g0 ) đại số Lie toàn module symplectic 1 Cho hai siêu đại số Lie toàn phương (g, B ), (g', B ') Ta nói rằng(g, B )và(g', B ') đẳng cấu đẳng cự có đẳng cấu siêu đại số Lie A : g ® g' cho B ' (A(X ), A(Y ))= B (X ,Y ), " X ,Y Ỵ g Khi A gọi ánh xạ đẳng cấu i đẳng cự ta kí hiệu (g, B )@(g', B ') ( Định nghĩa 1.2 Cho g, B ) đại số Lie toàn phương I ideal g (i) I gọi không suy biến B hạn chế I ´ I không suy biến, (ii) (g, B )được gọi bất khả quy g khơng có ideal khơng suy biến khác {0} g , (iii) Ideal không suy biến I gọi bất khả quy I không chứa ideal không suy biến khác {0} I , (iv) Ideal I gọi đẳng hướng hoàn toàn B (I , I ) = Mệnh đề sau quy việc nghiên cứu siêu đại số Lie toàn phương thành nghiên cứu ideal không suy biến Mệnh đề 1.3 [4] Cho (g, B ) siêu đại số Lie toàn phương, I ideal g Khi I ^ ideal g Ngoài ra, I khơng suy biến I ^ khơng suy biến, ^ éI , I ^ ù= I Ç I ^ = Trong trường hợp này, ta kí hiệu g I Å I^ { } { } = ëê úû Quỹ đạo phụ hợp đại số Lie symplectic sp(2) Trong mục này, nhắc lại số kết phân loại quỹ đạo phụ hợp đại số Lie sp(2) với mục đích sử dụng cho tốn phân loại siêu đại s Lie ổ a b ữ ỗ ton phng Đối với đại số Lie sp(2) , phần tử khỏc khụng ữ hoc l ly ố - ứữ ỗc a linh nửa đơn Điều nghĩa phần tử sp(2) , ta có th chn ỗ 01 ữ ỗ l ữ c sở tắc phù hợp £ để có ma trận biểu diễn ỉ ỉ ữ ữ ỗ ỗ ỗố0 0ứữ ỗố0 - l ứữ B 2.1 Cho A, B ẻ sp(2 cho [A, B ] ) = Khi A, B phụ thuộc tuyến tính Chứng minh Đại số Lie sp(2)có sở } {H , X ,Y với [H , X ] = 2X , [H ,Y ] = 2Y , - [X ,Y ] = H Gọi A = aH + bX + cY , B = a 'H+ b 'X+ c 'Y Từ giả thiết éA, B ù= ëê úû kéo theo (bc '- b 'c)H + 2(ab a 'b)X - 2(ac a = Điều tương đương '''c)Y với hai ba (a,b,c) (a ',b ',c ') tỉ lệ hay A, B phụ thuộc tuyến tính Bổ đề 2.2 Cho A, B ,C Ỵ sp(2) , [A, B ] = C ,[A,C ] [B ,C ] = = Chứng minh Do [A,C ] [B ,C ] = = C = 0 nên theo Bổ đề 2.1, ta có A C phụ thuộc tuyến tính ; B C phụ thuộc tuyến tính Nếu C ¹ A, B phụ thuộc tuyến tính Dẫn đến C = [A, B ] = (mâu thuẫn) Bổ đề 2.3 Cho A, B Ỵ giá trị riêng ,- sp(2) , B ¹ cho [A, B ] = B Khi A nửa đơn có B lũy linh 2 Chứng minh ổ ỗ 1ửữ ổ l ỗ ửữ Ta chọn sở tắc phù hợp để A cú dng ỗ ữ hoc ỗ ữ ỗố0 0ứữ çè0 - l ø÷ ỉ ç 1ư Nếu A = ỗ ữ ữ= X , gi B ỗố0 0ứữ vi ổ l ỗ A= ỗố0 2l bX - a = 0, l = aH + bX + cY Khi [A, B ] = B tương đương dẫn đến B = (vơ lí) Do - 2aX + cH = aH + + bX cY ö ÷ ÷= l H , gọi B = aH + + cY Từ giả thiết [A, B ] B ta - ÷ bX = ø l 2cl = aH + + cY , dẫn đến a = 0, 2l b = b, = c , kéo theo Y bX 2cl a = 0, 1 l = 2,c = = - 2,b = Mở rộng kép siêu đại số Lie toàn phương Định nghĩa 3.1 Cho (g, B ) siêu đại số Lie tồn phương D : g ® g siêu đạo hàm g Ta nói D siêu đạo hàm phản xứng g thỏa mãn tính chất: B (D(X ),Y ) = - B (X , D(Y "X Ỵ g )), ,Y Kí hiệu Dera (g, B khơng gian siêu đạo hàm phản xứng (g, B ) Khi ) Dera (g, B với phép tốn siêu hoán tử lập thành siêu đại số Lie ) Mệnh đề 3.2 ([4, Theorem 2.4]) Cho (g, B ) siêu đại số Lie toàn phương,h siêu đại số Lie f :h ® Dera (g) đồng cấu siêu đại số Lie Gọi y ánh xạ từ g´ g vào h* xác định bởi: y (X ,Y )(Z ) = (- 1)(x + y)z B (f (Z )(X ),Y ) , " X Ỵ g , " Y Ỵ g , " Z Ỵ h x y z Khi khơng gian vectơ g = h Å g Å h* với phép nhân [H + X + f , K + + g]= [H, K ]h + [X,Y ]g + f (H)(Y (- 1)xy f (K )(X ) + ad*(H)(g) Y )- (- 1)xyad*(K )(f ) + y (X ,Y ), " H Ỵ h , " X Î g , " f Î h*, " K Î h , " Y Ỵ g , " g Ỵ h* x x x y y y siêu đại số Lie Hơn nữa, g dạng song tuyến tính siêu đối xứng bất biến h g với dạng song tuyến tính xác định bởi: B (H + X + f,K + Y + g) = g(H , K ) + B (X ,Y ) + f (K ) + (- 1)xy g(H ) siêu đại số Lie toàn phương gọi mở rộng kép (g, B ) h theo nghĩa f Trường hợp h đại số Lie chiều, g gọi mở rộng kép chiều (g, B ) Mệnh đề sau thể tầm quan trọng mở rộng kép chiều nghiên cứu cấu trúc siêu đại số Lie toàn phương Mệnh đề 3.3 [3] Cho (g, B ) siêu đại số Lie tồn phương bất khả phân có số chiều n > cho tồn phần tử chẵn thuộc tâm Khi (g, B ) mở rộng kép chiều siêu đại số Lie toàn phương n - chiều Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn bất khả phân chiều Mục tiêu báo phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn bất khả phân chiều Do g giải nên g giải Do g g6,1, g6,2(l ), bất khả phân nên g đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie phân loại [6] g6,3 Nếu g khả phân, gọi j = j Å j ideal không suy biến thực g , j^ ideal không suy biến g Nên j ideal không suy biến khác ( ) { 0} g j^ 0 ideal không suy biến khác ( ) phân nên ta có j = g j^ { 0} g Nhưng g bất khả 0 = g Khơng tính tổng qt, ta giả sử 0 0 ( ) j = g Å j ideal không suy biến thực g , suy j = {0} , j^ 1 = {0} Cao Trần Tứ Hải tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ (j ) = g Vì g = ^ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ^ g Å g với 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ g đại số Lie toàn phương bất khả phân giải chiều, g không gian vectơ symplectic chiều [g , g ] = {0} 1 Sau ta xét trường hợp g siêu đại số Lie toàn phương bất khả phân, B ( X i , X j ) = B ( Zi , Z j ) = , g0 = span {X i , Z i }, ≤ i ≤ , Z j ) = δ ij , g = span {Y ,T ,T 1 }, B (Y ) = 1 B ( Xi , 1 4.1 Với g = g6,1 Theo [6], tích Lie khác không éX , X ù= Z ëê úû Z ( g ) = span {Z1, Z 2, Z 3} Chú ý , éX , X ù= Z êë úû ad(X ) , éX , X ù= Z ( g1 êë Ỵ sp g , B g´ g 1 ) úû = sp , () = "X Ỵ g é ù é ù Ta có êad(X g ,ad(X ) g ad(Z g , êad(X i g ,ad(Z ) g nên ) ) ú ú = ) 1û 1 1û ë ë theo Bổ đề 2.2, Tương tự ad(Z ) = ad(Z ) = Suy ad(Z ) g = g 0 g 1 Z (g) Ç g = Z ( g ) = span {Z1, Z 2, Z } Theo Bổ đề 2.1, ad(X 1) , ad(X ) ad(X ) g1 g , 1 g , ad(X ) đôi phụ thuộc tuyến tính Nếu ba g khả phân Do , ad(X ) g ad(X ) g1 không đồng thời Hơn nữa, theo phân loại Sp (g1 )- quỹ đạo sp(g ), ta chọn sở tắc ,T } để ma trận biểu {Y 11 g Số 12(90) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ diễn ad(X ) , g _ _1 _ _ _ ad(X ) , _ _ _ _ _ ad(X ) g g1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ dạng chéo tam giác ngặt Ta có trường hợp sau: ỉm ÷ ổl ữ ổ ửữ ỗ n ã Vi ad(X ) g =ỗ ữ,ad(X ) ỗữ, ad(X ) = ỗ g ỗ ữ ữ ỗố0 - l ỗố0 - ứữ g = ỗ ữ, ta cú: ỗ ữ ỗố0 - n ứữ mứữ ộX ,Y ù= l Y , éX ,T ù= - l T éX ,Y ù= mY , éX ,T ù= - mT , , êë úû 1 1 ëê 1 ú û ëê ú û ëê éX ,Y ù= nY , éX ,T ù=1ú- û (dễ dàng kiểm tra tích Lie thỏa mãn Đồng thức nT êë úû úëêû Jacobi) Theo tính bất biến, khơng suy biến chẵn B , ta có B ( g , [Y ,Y ]) = B ([g ,Y ],Y ) = nên [Y ] = 0, ,Y 1 1 1 1 1 B ( g ,[T ,T ]) = B ([g ,T ],T ) = nên [T ,T ] = 12 B ([span {Z 1, Z 2, Z 3},Y ],T1) = 0, B (span {Z 1, Z 2, Z 3}, [Y 1,T1 ]) = B (X 3,[Y ,T ]) B ([X ,Y ],T ) n, B (X ,[Y ,T ]) B ([X ,Y ],T ) = l , 1 1 1 1 1 = = = B (X 2,[Y ,T ]) = B ([X 2,Y ],T ) = m nên [Y ] = l Z + mZ + nZ ,T 1 1 1 s g8,2,1 Ta kí hiệu siêu đại số Lie (l , m, n) với tích Lie khác 0: éX , X ù= Z , ëêû ú éX , X ù= Z , úû êë éX , X ù= Z , úû êë 3 éX ,Y ù= mY , éX ,T ù= - mT , 1 ëê úû ëê úû [Y ,T ] l Z + mZ + nZ = éX ,Y ù= l Y , ,T ê1 úëû éX 1 éX ,Y ù= nY , ëê úû êë ù= - l T , úû éX ,T ù= - nT , ëê úû Ta dễ dàng chứng minh gs (l , m, n), (l ', m', n đẳng cấu đẳng 8,2,1 s g ') 8,2,1 cự với (l ', m', n ') hoán vị (l , m, n) (- l , - m, - n) æ 1ử ổ0 l ổ0 m ữ ỗ ữ ã Vi ad(X ) = ỗ ữ, ad(X ) = ỗ ữ ữ, ad(X ) = ỗ ữ (sau ố mt phộp i c s trờn ỗ0 0ữ g éX), ta có g g ,T ự= Y ố0 ỗ ữ ,ộ ,T ự= lộ Y , X X g ố ỗ0 ÷ ,T ù= mY Lại êë 3ú 1 1 1 úû û êë úû êë theo tính bất biến B , ta có B ( g ,[Y , g ]) = B ([g ,Y ], g ) = nên [Y , g ] = Tương tự với cách làm ta có 1 1 1 [T ,T ] l Z + mZ + Z Kí hiệu siêu đại số Lie = 1 é gs với tích Lie khác không X ,X ù= Z , éX , X ù= , éX , X ù= Z , (l m), Z 8,2,2 êë úû êë êë úû úû éX , ù= Y , éX , ù= l Y , éX ,T ù= mY , [T ] = l + + Z ,T Z mZ T T êë 1 êë úû úû ëúêû 1 1 Ta dễ dàng chứng minh g cự với (l s 8,2,2 (l , m), gs (l ', m') đẳng cấu đẳng 8,2,2 ', m') hoán vị (l , m) 4.2 Với g = g6,2(l ) Các tích Lie khác khơng ù= éX , Z ëê éZX, úû êë úû éX , X ù= - l , éZ , X ù= Z éZ , X ù= l X , Z ê ê ú êë 2 úû ë ë1 û úû g ) đẳng cấu l = ± (l l 6,2 ad (Z ) g g ,ad (X ) ad (Z ) g l Z , éX , X ù, Z = 2 1 Z(g) Ç g = Z(g ) = span{Z3} 0 êë l, ¹ với úû ) 6,2 - l = l thỏa mãn Bổ đề 2.2 nên ad (Z ) g (l g = , ù= - X , Ta có Do Cao Trần Tứ Hải tgk TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Chú ý ad(X 1) g ) ,ad(X g ) Đặt V ad(X 1) = ad(X ) g1 Vì dimV = g Ỵ ) g ) êë = ad(Z ) g g sp g , B ( g´ g 1 ) = sp(2) ad(X ) ,ad(Z ù g ú= ta = úû nên g g , é = êad(X g ,ad(Z2 ) , i = 1, 2,3 j = 1, Nếu , ad(Z j ad(X ) g ) ad(Z 1) 3) g ,ad(Z1) { g1 = span ad(X i suy ,ad(X 1 } Tương tự g1 = có g khả phân Vì ta xét ¹ ad(X i ) g , ad(Zi ) , 1, 4.2.1 Nếu dimV = Đặt ad(X 1) i = 1, , phụ thuộc tuyến tính (Bổ đề 2.1) nên g = x1ad(X g ,ad(X = x 2ad(X g , ad(Z 1) g z1ad(X ) g , g ) ) ) = 1 1 é ù Do = 1 ëêad(X )1 ,ad(X )1 û ú= - ad(X 1) ad(Z nên ad(X2)1 )g =g z2ad(X 3) g g g g Tương tự, ta có Ta có ad(X ) g 0, ad(Z 1) g , ad(Z ) g = = = g1 1 B ([g , g ],[g , g ]) = B ([[g , g ],g ], g ) = 0 1 0 1 suy [g , g ] Ì [g , g ]^ = Z( g ) = £ Z 1 0 Theo Mệnh đề 3.3, g mở rộng kép chiều o(q ) Å sp(g ) q0 = span {Z 1,Z 2, X 1, X }) ad(X ) Áp dụng phân loại (với Sp (g )15 Số 12(90) năm 2016 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ quỹ đạo sp(g1 ), ta có trường hợp sau ỉ 10 0 ỗ ỗ0 l 0 ỗ ã ad(X ) = ỗỗ0 - ỗl 0 ỗ ỗ0 0 ỗ ỗố0 0 s g8,2,3 (l ) với tích Lie khác không 16 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ad(X ) 0ư÷ ÷ 0÷ 0÷ ÷ Ta kí hiệu siêu đại số Lie 0÷ ÷ 1÷ ÷ 0ø÷ éX , Z ù= Z , éX ,ùZ = ëê ú ê úû éZ , ùû= Z , éZ ,ë ù= éX l Z , X X ờỳởỷ ỳỷ ờở ổ ỗ0 ỗ ç0 ç • ad(X ) = ç ç0 ç0 çè0 33 0 l 0 - , X ù= X lé Z , X , éX , X ù= - l X , êë úû êë úû ,T ù= , éT ù= Z Y ,T êë 1 úû êë ú û ö 0 ÷÷ 0 0÷ ÷ ÷ 0 0 -l 0 0 0 m 0 ÷ Ta kí hiệu siêu đại số Lie ÷ 0÷ ÷ - ÷ m ø÷ s với tích Lie khác khơng g8,2,4 (l , m) éX , Z ù= Z , ,ùZ lé Z , , X ù= - , éX , X ù= - l X , éX = X X 2 1 êë úû ëê ú ê ú êë úû éZ , X ûù= , éZ , ëX ùû= l Z , ù é ù ,Y ù= mY é éX , ,T = - mT , Y ,T = mZ Z X 1ú êë 1 úû êúëû 1 3ú êë 2 33 êë 31 êë úû û û 4.2.2 Nếu dimV = Do ad(X 1) , ad(Z1) g g ) ad(X tính tổng quát ta giả sử ad(Z 1) g ) , ad(Z có vai trị nhau, khơng g1 g1 ¹ Ta có ad(X1) g1 ,ad(Z1) g1 phụ thuộc tuyến tính é = xad(Z1) g1 Mà - ad(X 1) g1 = êad(X ) g1 , ad(X 1) gùú= xad(Z1) g ë 1û ù é = ad(Z ) nên ad(X ad(X 1) g = Do nửa đơn có êëad(X ) g ,ad(Z g ú g1 1 g 1û ) ) 11 lũy linh (xem Bổ đề 2.3) Ta chọn sở 1 ad(Z ) giá trị riêng , nên ad(X1) g1 2 1 g tắc {Y ,T } g để ad(X ) 1 g ổ ỗ = ỗ2 ữ ,ad(Z ) 1ữ ỗ g ổ ỗ m ữ = ữ ,mạ ỗố0 - ø÷ Thay Y := ỉ Y ,T := mT , ta c ad(Z ) = ỗ0 1ữữ g ỗ m Gi s 1 ad(X ) = g = é trên, êad(X g , ad(Z éë Từ ) ) g ë ) , ad(Z ) , ad(X bad(Z 1) g1 Suy luận tương tự g suy l = ad(Z ) g1 = ú= l ad(X ) g ù ú= l ad(Z 2) g 1ỷ ự g ờad(X ) g ỗố0 ứữ çè0 0ø÷ aad(Z 1) û g suy l = - ad(X ) g = Nếu l = - ta thay vai trò X 2, Z cho nên xem l = Do ta xét trường hợp sau: • Nếu ad(Z ) g = ad(X ) = s hiệu siêu đại số Lie kí g g , ta tính [Y ,T ] = 1 Z ,[T ,T ] X Ta = 1 (l ) với tích Lie khác không éX , Z ù= Z , 8,2,5 ê ú éX , Z ù= l , éX , X ù= - , éX , X ù= - l , éZ , X ùë= Z3 ,1 û Z X X êë 1 êë 2 êë 1 úû ëê úû úû úû éZ , 1 X é ù ù= l Z , é ù é ù é ù êë 2 ú Z 3, êX 3,Y 1ú= Y 1, êX 3,T ú= T1, êZ 1,T 1ú= Y êY ,T - , û éT ,T ù= X êë 1 úû • Nếu l = ë ë û 2 ad(X ) = 0, ad(Z ) g ổ = ỗỗ0 g biến B , ta có [Y ,T ] = mX ỷ mữử,ữm ỷ , theo tớnh cht bt ỗố0 ứữ Ta kí hiệu siêu đại số Lie Z , [T ,T ] = X + 1 (m) với tích Lie khác 2khơng s éXg ë û ú= 1 1 , Z ù= Z , éX , ù= Z , éX , ù= - X , Z X 8,2,6 úû úû ëê úû 1 é ù é ù êë êë é ù é ù êX 3, X ú= - X 2, êZ 1, X ú= Z 3, êZ 2, Z 3, êX 3,Y 1ú= Y , X ú= ë û ë û ë û ë û éX ,T ù= - T , éZ ,T ù= Y éZ ,T ù= Y , éùY ,T = , êë êë 1 ê1úëû1 úû 1úû ëê úû 4.3 Với g = g 6, Khi đó, tích Lie khác khơng , éX , X ù= X ëê úû - X , éX , X { V = span ad(X êë úû , ad(X g ) ) , ad(X g ) g ad(Z ) g ) , ad(Z1) g êë 1 úû éX , Z ù= Z , ad(Z g ,ad(Z ) g1 éX , Z ù= Z + Z , } g Đặt Lập luận tương Z ( g) Ç g = Z ( g ) = span {Z } , ad(X ) , ad(X ) , ê 1ú ê 2ú ù= - X éZë, X ù= ûéZ , ù= ëéZ , X ûù= X Z êë 1 êë úû êë 2 úû úû tự tiểu mục 4.2, ta có Z , éT ,T ù= X + mX ¹ 0, ad(X 1) g g đôi phụ thuộc tuyến tính nên dimV = 1, 4.3.1 Nếu dimV = Lập luận tương tự tiểu mục 4.2.1, ta có ad(X i ) g , = ad(Zi ) = g i = 1, , [g , g ] Ì [g , g ]^ = Z( g ) = £ Z , g mở rộng kép chiều o(q ) Å sp(g ) 1 0 ... toàn phương n - chiều Phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn bất khả phân chiều Mục tiêu báo phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn bất khả phân chiều. .. loại siêu đại số Lie toàn phương Mục 4; Mục trình bày khái niệm mở rộng kép siêu đại số Lie toàn phương; Mục nêu kết phân loại siêu đại số Lie toàn phương giải chiều với phần chẵn bất khả phân chiều. .. việc phân loại siêu đại số Lie tồn phương có số chiều thấp, cụ thể siêu đại số Lie toàn phương giải chiều Chúng tập trung vào trường hợp siêu đại số Lie có phần chẵn bất khả phân chiều với mục