1207 Phân loại tôpô các phân lá liên kết với các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3-chiều.docx

Lê Anh Vũ tgk Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ PHÂN LOẠI TÔPÔ CÁC PHÂN LÁ LIÊN KẾT VỚI CÁC MD5-ÐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 3-CHIỀU LÊ ANH VŨ*, NGUYỄN ANH TUẤN**, DƯƠNG QUANG HỊA** TĨM TẮT Trước hết, chúng tơi đưa phân loại tôpô tất MD5-phân liên kết với MD5nhóm liên thơng, đơn liên, bất khả phân mà đại số Lie tương ứng có ideal dẫn xuất giao hốn 3chiều Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu cấu trúc MD5-phân xét phân cho phân thớ (với thớ liên thông) sinh tác động thích hợp ¡ đa tạp phân Sau cùng, mô tả giải tích C* -đại số Connes MD5-phân cho phân thớ Từ khóa: nhóm Lie, đại số Lie, MD5-nhóm, MD5-đại số, K-quỹ đạo, phân lá, phân đo được, C*-đại số, C*-đại số Connes ABSTRACT The topological classification of foliations associated to MD5-algebras having 3dimensional commutative ideal Firstly, we proposed the topological classification of all MD5-foliations associated to connected, simply connected, indecomposable MD5-groups which have respective Lie algebras with 3-dimensional commutative derived ideals Next, we studied the construction of examined MD5-foliations and showed that these foliations either come from fibrations (with intercommunicating fibrations) or are produced by appropriate impacts of ¡ on varied foliations Finally, we analytically described the Connes’ C* -algebras of examined MD5foliations which come from fibrations Keywords: Lie group, Lie algebra, MD5-group, MD5-algebra, K-orbit, Foliation, Measured foliation, C*-algebra, Connes’ C*-algebras Mở đầu Xuất phát điểm vấn đề nghiên cứu tốn tìm lớp C*-đại số mơ tả K-hàm tử toán tử (KK-hàm tử) Năm 1980, nghiên cứu phương pháp quỹ đạo Kirillov, Đỗ Ngọc Diệp (xem [2]) đề xuất nghiên cứu lớp MD- nhóm Theo định nghĩa, MD-nhóm n chiều (MDn-nhóm) nhóm Lie thực, giải n-chiều mà quỹ đạo biểu diễn đối phụ hợp (cịn gọi K-quỹ đạo) 0-chiều có chiều cực đại; đại số Lie MDn-nhóm gọi MDn- đại số * ** PGS TS, Trường Đại học Kinh tế – Luật, Đại học Quốc gia TPHCM NCS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM Đối với MD-nhóm G , họ K-quỹ đạo chiều cực đại tạo thành phân đo theo nghĩa Connes (xem [1]) Phân gọi MD-phân liên kết với MD-nhóm G Trong trường hợp tổng quát, không gian phân (với tôpô thương) không gian khơng có nhiều tính chất tốt Để khắc phục, A.Connes liên kết phân đo với C*-đại số mà gọi C*-đại số Connes phân xét Trong trường hợp phân Reeb, A M Torpe (xem [4]) chứng tỏ phương pháp KK-hàm tử hiệu việc mô tả C*-đại số Connes Kết hợp phương pháp quỹ đạo A Kirillov ý tưởng đặc sắc A.Connes, năm 1990, Lê Anh Vũ xét lớp MD4-nhóm, phân loại tơpơ lớp MD4-phân liên kết với tất MD4-nhóm liên thơng, đơn liên, bất khả phân mô tả C*-đại số Connes tất MD4-phân (xem [3]) Gần đây, toán tương tự MD5-nhóm mà MD5-đại số tương ứng có ideal dẫn xuất giao hốn 4-chiều Lê Anh Vũ Dương Quang Hòa giải (xem [7]) Với MD5-nhóm mà MD5-đại số tương ứng có ideal dẫn xuất giao hoán 3-chiều, Lê Anh Vũ Dương Minh Thành mô tả K-quỹ đạo tương ứng (xem [8]) Bài báo tiếp nối [8] Ở đây, xét MD5-phân liên kết với MD5-nhóm liên thơng, đơn liên, bất khả phân mà MD5-đại số tương ứng có ideal dẫn xuất giao hoán 3-chiều Cụ thể là, đưa phân loại tôpô MD5phân tạo họ K-quỹ đạo chiều cực đại MD5-nhóm xét [8] Sau đó, mơ tả cấu trúc MD5-phân phân thớ với thớ liên thông tác động thích hợp ¡ mơ tả giải tích C*-đại số Connes MD5-phân cho phân thớ Phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 3-chiều Bài toán phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu) MD5-đại số Lê Anh Vũ cộng hoàn thành năm gần Tuy nhiên, mục đích báo, chúng tơi đề cập đến việc phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 3-chiều Kết phân loại trích [10] Lê Anh Vũ K P Shum Mệnh đề 2.1 Giả sử G MD5-đại số bất khả phân với G := [ G , G ] ≅ ¡ Khi đó, ta ln chọn sở thích hợp ( X1, X , X3, X 4, X5 cho G = ¡ X ⊕ ¡ X ⊕ ¡ X ≡ ¡ , ad [ X ,X = , ad ∈ End X1 ( G1 ) X2 ≅ Mat (¡ ) G đẳng cấu với đại số Lie G :ad  λ1 0  =  λ ; ) λ , λ ∈ ¡ \ { 0,1} , λ ≠ λ G ] , = X 5,3,1( λ1,λ2 ) X2     0 1 2 G  0  =   ; adX 5,3,2( λ ) :  G 5,3,3( λ ) : G 5,3,4 adX : adX G 5,3,5( λ ) : G 5,3,6( λ ) \ { 0,1}     λ 0  = λ ∈ ¡ \ { 1}  ;   0  1  0   =   0 1  adX adX : 0 λ λ ∈¡  λ 0  = 1  ;   0 1  1 0  =   ; 0 λ λ ∈ ¡ \ { 1} λ ∈¡ \ { 0,1}  G 5,3,7 : adX G 5,3,8( λ,ϕ) : ad  1 0   = 1    0  cosϕ X2  =  sinϕ ;  − sinϕ cosϕ 0 λ ∈ ¡ \ { 0} ,ϕ ∈( 0,π ) ■   0 λ   Nhớ rằng, đại số Lie thực G xác định nhóm Lie liên thơng, đơn liên G cho Lie( G ) = G Do đó, Mệnh đề 2.1 cho thấy có lớp gồm họ MD5-nhóm liên thơng, đơn liên, bất khả phân tương ứng với MD5-đại số liệt kê Để thuận tiện, MD5-nhóm kí hiệu số giống MD5-đại số tương ứng Chẳng hạn, G5,3,1( λ ,λ MD5-nhóm liên thông, ) đơn liên, bất khả phân tương ứng với MD5-đại số G 5,3,1( λ ,λ ) Số 43 năm 2013 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Bức tranh K-quỹ đạo MD5-nhóm tương ứng với MD5-đại số xét Giả sử G MD5-nhóm Gọi G = X1, X , X , X , X đại số Lie tương ứng G G * = G Với X *, X *, X *, X *, X * không gian đối ngẫu ( α; β F =αX*+βX*+γX*+δX*+σX* ≡ ;γ ;δ ;σ )1 tùy ý G * , ta kí hiệu ΩF K-quỹ đạo G qua F Trong [8], Lê Anh Vũ Dương Minh Thành mơ tả hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm xét thể mệnh đề Mệnh đề 3.1 K-quỹ đạo ΩF G mô tả Với G nhóm G G5,3,2( λ ) G5,3,3( λ ) G5,3,4 , G5,3,5( λ ) , 5,3,1( λ ,λ ) , G5,3,7 ta có , , , G5,3,6( λ ) a) Nếu γ = δ = σ = ΩF = { F} (quỹ đạo 0-chiều) b) Nếu γ + δ + σ ≠ F quỹ đạo 2-chiều sau đây: Ω    λa λ a a 1λ1−a  e  γ ; y; e γ ; e δ ; e σ  : y, a  G = G5,3,1( λ ,λ ) ∈¡  λ   λa a a a α + − e γ ; y; e γ ; e δ ; e σ : y, a ∈ ¡ nếu5,3,2 G(=λ G • • • {( • } ) )  1λa−  e  α +  λ  • ( λa a a γ ;e δ ;e σ  : y, a ∈  G = G5,3,3( λ ) ¡ γ ; y; e   { ( α + ( − e ) γ ; y; e γ ; e δ ; e σ ) : y, a ∈ ¡ } a  1λa−  e   α + )   a λa a a a a a  nếu5,3,4 G=G  Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ λ _ γ ; y; e _ _ _ _ _  • • _ _ _ _ _ _ γ ;e δ ; ae δ + e σ  : y, a ∈¡  _ Lê Anh Vũ tgk _ _ _ _ _ _  G = G5,3,5( λ ) _  {( α + ( − e ) γ ; y; e γ ; ae γ + e δ ; e σ ) : y, a ∈ ¡ } 5,3,6 G (=λ G )   a e   α + ( − e a ) γ ; y; e aγ ; ae aγ + e aδ ; a γ + ae aδ + e aσ : y, a ∈ ¡ a a a λa a       G = G5,3,7 Với G = G G* với ¡ 5,3,8( λ Đồng 5,3,8( λ , ϕ) ,ϕ ) với ( α; β ;γ + iδ ;σ ) × £ × ¡ F ( α; β ;γ ;δ ;σ Khi ta có ) a) Nếu γ = δ = σ = ΩF = { F} (quỹ đạo 0-chiều) b) Nếu γ + δ + σ ≠ Ω F quỹ đạo 2-chiều sau đây: { ( x; y;( γ + iδ ) eae iϕ ;eλaσ ) : y, a ∈¡ } ■ Phân loại tơpơ MD5-phân liên kết với MD5-nhóm xét Như đề cập phần mở đầu, lí khiến nghiên cứu lớp MD-nhóm vấn đề liên quan kiện sau: với MD-nhóm liên thơng, đơn liên, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại lập thành phân đo (theo nghĩa Connes) Cụ thể là, trường hợp MD5-nhóm xét trên, điều thể định lí (xem [8]) Định lí 4.1 Giả sử G MD5-nhóm liên thơng, đơn liên, bất khả phân tương ứng với MD5-đại số xét Gọi FG họ K-quỹ đạo 2-chiều G VG = U{ Ω : Ω∈ FG } Khi đó, ( VG , FG ) phân đo (theo nghĩa Connes) gọi MD5-phân liên kết với G ■ G* Hơn nữa, tất Đặc biệt, tập hợp VG đa tạp mở MD5-nhóm xét trên, đa tạp VG vi phôi với Bởi vậy, để thuận tiện, phân ( VG ,3,K , FG5,3,K ) kí hiệu tương ứng ( V , FK ) Kết báo định lí 4.2 Định lí 4.2 a) Có kiểu tơpơ họ MD5-phân xét Cụ thể là, tập xác định kiểu phân lá: {( V , F i 1( λ1 , λ2 ) )} ii {( V , F ( λ ,ϕ ) ) ,(V,F ) ,(V,F ) ,(V,F ) ,(V,F ) ,(V,F ) ,(V,F 2( λ ) 3( λ ) 5( λ ) 6( λ ) )} Ta kí hiệu hai kiểu tôpô phân F 1, F b) Hơn nữa, ta cịn có: i Mỗi MD5-phân thuộc kiểu F cho phân thớ (với thớ liên thông) đáy ( ¡ )* ii Mỗi MD5-phân thuộc kiểu F cho tác động nhóm Lie ¡ đa tạp phân V ≅ ¡ × £ * × ¡ * Chứng minh a) Nhắc lại rằng, hai phân ( V,F) ( V , F′ ) gọi kiểu tơpơ có phép đồng phôi h :V →V mà chuyển F thành F ′ i Bằng tính tốn trực tiếp, ta dễ dàng kiểm tra phân ( V , F2( ) ) , ( V , F3( ) ) , ( V , F5( ) ) , ( V , F6( ) ) , ( V , F7 ) λ λ kiểu tôpô với phân λ F4 ) (V,F( ), λ1,λ2 ) ( V, λ phép đồng phôi h h2( λ ) , h3( λ h3( λ ) oh5( λ ) , h6( λ ) , chuyển thành xác định 1( λ ,λ ) , , h7 ) công thức cho h ( x; y; z;t; s ) = λ x + z − sign ( z ) z λ ; y; sign ( z ) z λ ; sign ( t ) t λ ; s 1( λ1,λ2 ( ) ( h2( λ ) h y; x; z; t; s ) = ( x; y; z; 3( λ ) 1 ) λ t; sign ( s s z λ ; y; sign ( z ) z λ ; t; s ) ( x; z; t; s ) = (λx;x y; −z;sign t; s (− zt ln t ) ( t ≠ ) h) 5( =λ ) ( x; y; z; t; s ( x; y; z; 0; s) ( t = 0)    x; y; z; t − z ln z ; sign s s ( ) λ ( ( h6( λ ) ( = ) x; y; z; t; s )     h7 ( x; y; z;t; s ) = ( x; y; z;t%; s%) , đó:  t%= ( z = 0) t    t − z ln z s  s%= s − t ln t   s− t ln ( z ≠ 0) ) ( z ≠ 0) ( x; y; 0; t; sign ( s ) s λ ) ( z = ) 1 1 ) (  s − 21 t ln z −  ,ϕ )  * →V xác định bởi: ( x;) y; re ; s ) = x + r cos ( θ + ϕ ) ieiϕ ; sign ( s ) s 8( λ ,ϕ )  z = 0;t ≠ 0) ( z ≠ 0;t = z ln z ) t=0 ( t − z ln z ) ln t − z ln z ( z ≠ 0;t ≠ z ln z ) ii Tương tự ánh xạ h8( λ :V ≅ ¡ ×£ * × ¡ )h( ( z iθ  )( ( )  ( + Im e ln r iθ ieiϕ ; y; e ln r iθ  λ        phép đồng phôi chuyển phân V ,F thành phân  V ,F   8( λ,ϕ )  8 1,π     2      b) Nhắc lại rằng, phân ( V,F ) nói cho phân thớ (với thớ liên thông) p :V →B thớ p :V →B ( V , F ) ; cịn có nhóm Lie G tác động (liên tục) lên V cho quỹ đạo G ( V,F ) phân ( V,F ) nói cho tác động nhóm Lie G lên đa tạp phân V i Từ Mệnh đề 3.1, ta nhận thấy γ + δ + σ ≠ K-quỹ đạo 2-chiều phân ( V , F4 ) nửa mặt phẳng 2-chiều đánh số ( ¡ ) Do đó, phân thuộc kiểu F cho phân thớ đáy ( ¡ )* ii Xét tác động liên tục nhóm Lie giao hốn ¡ V ≅ ¡ 2×£*ס V * * lên đa tạp phân ánh xạ ρ : ¡ ×V → xác định sau: ( ρ ( ( r; a ) ; ( x; y; z + it; s ) ) = x − ( sin a ) z − ( 1− cos a ) t; y + r; ( z + it ) e−ia ;ea s ) Dễ thấy, ρ -quỹ đạo qua phần tử ∈V  ( α; β ;γ + iδ ;σ ) là: α −( sin a ) γ − ( 1− cos a ) δ ; β + r ;( γ + iδ ) e−ia;eaσ  : r, a∈¡ ΩF = { ( x; y; ( γ + iδ ) e phân V ,F   ¡ nhóm Lie ) ;eaσ : y, a ∈¡  }  1, π đa ( ) tạp phân V ≅ ¡ × £ * × ¡ * Định lí chứng minh hoàn ■ toàn Theo A Connes (xem [1]), phân ) ( V,F liên thơng) p :V →B C*-đại số Connes C* ( V , F với  Do đó, phân thuộc kiểu F cho tác động 28 −ia      2y  Rõ ràng (hay K-quỹ đạo):  cho phân thớ (với thớ ) phân ( V,F) đẳng cấu C*-đại số C0 ( B) ⊗ K , C0 ( B ) C*-đại số hàm liên tục nhận giá trị phức B mà triệt tiêu vô K C*-đại số tốn tử tuyến tính compắc khơng gian Hilbert tách được, vơ hạn chiều Do đó, Định lí 4.2 cho ta hệ trực tiếp Hệ 4.3 C*-đại số Connes tất MD5-phân thuộc kiểu F đẳng cấu với C*-đại số C0 ((¡ ) * ) ⊗K ■ Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Lê Anh Vũ tgk _ _ _ _ _ _ TÀI LIỆU THAM KHẢO Connes A (1982), “A Survay of Foliations and Operator Algebras”, Proc Symp Pure Math., 38, 512-628, Part I Diep D N (1996), “Non Commutative Geometry Methods for Group C*-algebras”, Institute of Mathematics, Chapman&Hall/CRC Reseach Notes in Mathematics Series, No 416, Boca Raton Florida, New York, Washington DC, London 1999 Kirillov A A (1976), “Elements of the Theory of Representations”, Springer Verlag, Berlin - Heidenberg - New York Torpe A M., (1985), “K-theory for the Leaf Space of Foliations by Reeb Components”, J Funct Anal., 61, 15-71 Vu L A (2005), “On a subclass of 5-dimensional Lie Algebras Which have 3dimensional Commutative Derived Ideals”, East-West J Math, Vol 7, (1), 13-22 Vu L A (1990), “The foliation formed by the K-orbits of Maximal Dimension of the MD4-group”, PhD Thesis, Ha Noi (1990) (in Vietnamese) Vu L A., Hoa D M (2009), “The topology of foliations formed by the generic Korbits of a subclass of the indecomposable MD5-groups”, Science in China A: Mathematics, Vol 52, (2), 351–360 Vu L A., Thanh D M (2006), “The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits”, Contributions in Math And App., Proceeding of the International Conference in Math And App., Bangkok, Thailand, A special Volume Published by East-West J Math., 1-16 Vu L A., Tri N C (2006), “Some Examples on MD5-algebras and MD5-mesured Foliations Associated to Corresponding MD5-groups”, Scientific Journal of University of Pedagogy of Ho Chi Minh City, No (42), 14-32 (in Vietnamese) 10 Vu L A., Shum K P (2008), “Classifcation of 5-dimensional MD-algebras having commutative derived ideals”, Advances in Algebra and Combinatorics, Singapore: World Scientific, 353-371 (Ngày Tòa soạn nhận bài: 08-10-2012; ngày phản biện đánh giá: 07-01-2013; ngày chấp nhận đăng: 18-02-2013) 14 ... trúc MD5 -phân phân thớ với thớ liên thông tác động thích hợp ¡ mơ tả giải tích C*-đại số Connes MD5 -phân cho phân thớ Phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 3-chiều Bài toán phân loại. .. đến đẳng cấu) MD5-đại số Lê Anh Vũ cộng hoàn thành năm gần Tuy nhiên, mục đích báo, chúng tơi đề cập đến việc phân loại MD5-đại số với ideal dẫn xuất giao hoán 3-chiều Kết phân loại trích [10]... MD5 -phân liên kết với MD5-nhóm liên thơng, đơn liên, bất khả phân mà MD5-đại số tương ứng có ideal dẫn xuất giao hốn 3-chiều Cụ thể là, đưa phân loại tôpô MD 5phân tạo họ K-quỹ đạo chiều cực đại MD5-nhóm