0052 về một lớp các md đại số tổng quát và lớp các md(5kc) phân lá luận văn tốt nghiệp

BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠOTRƯỜNG ĐẠIHỌCSƯ PHẠMTP.HỒCHÍMINH NGUYỄNANHTUẤN VỀ MỘT LỚP CÁC MD-ĐẠI SỐ TỔNGQTVÀLỚPCÁCMD(5,kC)PHÂNLÁ LUẬNÁNTIẾNSĨTỐNHỌC THÀNHPHỐ HỒCHÍ MINH– 2017 Cơng trình hồn thành tại:TrườngĐạihọcSưphạmTP.Hồ ChíMinh Ngườihướngdẫn khoahọc: 1.PGS.TS.LêAnhVũ 2.TS.Nguyễn HàThanh Phảnbiện1: Phảnbiện2: Phảnbiện3: LuậnánsẽđượcbảovệtạiHộiđồngchấmluậnáncấptrườnghọptại: ………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… Cóthểtìm hiểuluận án tại: - ThưviệnQuốc gia ViệtNam - Thưviện Đại họcSưphạm TP Hồ Chí Minh - Thưviện KhoahọcTổng hợp TP Hồ Chí Minh i MỤCLỤC MỞĐẦU Chương1–KIẾNTHỨCCHUẨNBỊ .5 1.1 1.2 1.3 1.4 LớpMD .5 Tôpôphânlá C*-đạisốliên kếtvớiphânlá PhươngphápK-hàmtử Chương2 –LỚPMD(n,1) VÀLỚPMD(n,n-1) 10 2.1 2.2 2.3 Phânloạilớp MD(n,1) 10 Phânloạilớp MD(n,n-1) .11 Mộtsố nhận xét 11 Chương3 –LỚPMD(5,kC)-PHÂNLÁ .14 3.1 3.2 3.3 Hình họccủacácMD(5,kC)-phân 14 C*-đại sốliên kết vớicácMD(5,kC)-phân .17 Mộtsố nhận xét 18 KẾTLUẬN 21 DANHMỤCCƠNGTRÌNHCỦATÁCGIẢ 22 TÀILIỆUTHAMKHẢO 23 MỞĐẦU Lýdochọnđềtài Khoảng năm 1870, Sophur Marius Lie (1842–1899) nghiêncứu số loại phép biến đổi hình học đặt móng cho lýthuyết đặc biệtvề sau gọi làLý thuyếtLie Ngày nay, Lý thuyết Lie, hiểu lý thuyết liên quan đến nhómLie đại số Lie, phát triển vượt bậcv i p h m v i ứ n g d ụ n g đ a l ĩ n h vực [3, 4, 12, 13] nên nhận quan tâm đặc biệt cộng đồng toánhọc Tuy nhiên, tốn Lý thuyết Lie làphân loại nhóm Lievàđạisố Lielạilàbàitốnkhó nayvẫn cịnlà bàitốn mở Kết Lý thuyết Lie cho thấy hạn chế xét lớp cácnhóm Lie liên thơng đơn liên, có song ánh tập cácnhóm Lie liên thông đơn liên tập đại số Lie Bởi vậy, phépphân loại lớp nhóm Lie liên thơng đơn liên (tươngứng, đại số Lie) “phiên dịch”' thành phép phân loại trênlớp đại số Lie (tương ứng, nhóm Lie liên thơng đơn liên) Trong luậnánnày, tác giảtiếpcậnbàitốnphânloạitrênlớpcácđạisốLie Theo Định lý Levi–Malcev [16, 17] năm 1945 với kết củaCartan [6] năm 1894 Gantmacher [10] năm 1939, toán phân loạicác đại số Lie tổng quát quy phân loại đại số Lie giải được.Có hai cách tiếp cận toán phân loại đại số Lie giải được:phân loạitheo số chiềuhoặc phân loạitheo cấu trúc Nhìn chung, cáchcách tiếp cận theo số chiều khó vượt qua số chiều Tuy nhiên, có thểtiếp cận vấn đề phân loại theo cấu trúc, tức phân loại đại số Lie giảiđượcvớimộthaymộtvàitính chấtbổsungnào Luận án tiếp cận việc phân loại đại số Lie giải theo cấutrúclà số chiều cácK-quỹ đạo [15] nhóm Lie liên thơng, đơnliêntươngứngvớiđạisốLieđó.DựatrênquansátsốchiềucủacácKquỹđ o c ủ a n h ó m L i e H e i s e n b e r g  2m1 H2m1 vàn h ó m Li e -chiều Kim cương thực 4-chiều, Diep [9] năm 1980 đề xuất việc khảo sát lớpcác nhóm Lie giải (và đại số Lie tương ứng) có tính chất tương tựmà gọi MD-nhóm MD-đại số Cụ thể hơn, mộtMDnnhómlàmột nhómLiethực giảiđượcn-chiều màcácK-quỹđạochỉcósốchiều 0hoặcsốchiềucựcđại.ĐạisốLiecủamộtMDn-nhómđượcgọilàmột MDn-đạisố BàitốnphânloạilớpMDchỉmớigiảiquyếtđượclớpMD4bởiVu [23] năm1990vàvẫnkhơngcóthêmkếtquảnàođángkểvề lớpMDn với n4 chođ ế n 0 Đ ể g i ả m t t í n h p h ứ c t p k h i p h â n l o i l p MDn, xét thêm hạn chế số chiều ideal dẫn xuất thứnhất đại số Lie thuộc lớp MDnđó Cụ thể hơn, lầnlượtxétcáclớp MDn,kcủa lớp MDnbaogồmcácMDn-đạisốcó ideald ẫ n x u ấ t t h ứ n h ấ t l k -chiềuv p h â n l o i l p M D nd ự a t r ê n v i ệ c phânl o i t n g l p c o n M D n,kv i kn1.T h e o ý t ởn g n y , gầnđây,từ2008đến2011,lớpMD5đãđượcphânloạitriệtđể[24,26] Nhưv ậ y , n h ữ n g k ế t q u ả v ề p h â n l o i l p M D n,kt r o n g t r n g h ợp tổng quát hay trường hợp riêng đóng góp cho bàitốnvềphânloạiđạisốLiethựcgiảiđượctheohướngtiếpcậnbằngcấutrúc[4,tr.87] Một điểm đặc biệt đáng ý khác họ cácK-quỹ đạo chiều cựcđại MD-nhóm lập thành mộtphân Về mặt lịch sử, Lý thuyếtphân bắt đầu xuất công trình Reeb [19] năm 1952 vàngày trở thành cơng cụ kết nối lý thuyết phương trình vi phânthông thường Tôpô vi phân [18, Mở đầu] Chính vậy, phân trởthànhm ộ t đ ố i t ợ n g c ự c k ỳ t h ú v ị t r o n g H ì n h h ọ c h i ệ n đ i N ó i c c h khác,K-quỹ đạo “chiếc cầu nối” lớp MD lớp phân Bởi vậy,bàitoán nghiên cứu lớpMDlà có ýnghĩa khoa học Trong tơpơ phân lá, họ nghiệm hệphương trình vi phân thích hợp nên tính chất hình học lácũng đặc trưng tơpơ họ nghiệm Những tính chất hình họcđặc biệt dẫn tới hai lớp phân quan trọng có nhiều ýnghĩa phân trắc địa hoàn toàn phân Riemann nhiềunhà toán học quantâmkhảo sát Một hướng khác nghiên cứu tôpô phân kết hợp lý thuyếtphânl v đ i s ố t o n t N ă m , C o n n e s [ ] đ ã l i ê n k ế t m ộ t cách chínhtắcmỗiphâ nlá  V,Fvới mộtC*-đại sốkýhiệulàC * VF  vàđềraý tưởng làkhảosátC * VF  vìC * VF  cungcấpthông tin vềkh ôn g gi anl ác phâ n láđa ng xét.Một câuhỏi lậptức nả y sinhlà làmthếnàođểmô tảcấutrúccủaC * VF  ? Lý thuyết C*-đại số khai sinh Gelfand & Neumark [11]năm 1943 Và nhận nhiều quan tâm cộngđồng toán học Năm 1975, Diep [8] sử dụng cácK-hàm tử đồng điềuBDFcủaBrown &Douglas&Fillmore[5]để đặctrưngcấu trúc tồncục C*đạis ố n h ó m c n h ó m L i e A f f ¡ c c p h é p b i ế n đ ổ i a f f i n e t r ê n đườngthẳngthực.Năm1976,Rosenberg[20]đãsửdụng“Z’ep’smethod”đ ể đ ặ c t r n g c ấ u trúc t o n c ụ c C * - đ i s ố n h ó m c n h ó m Li e Aff£c c p h é p b i ế n đ ổ i a f f i n e t r ê n đ n g t h ẳ n g p h ứ c v m ộ t vài nhómgiảiđược khác Mộtcâuhỏirấttựnhiênlà:cóthểmơtảC*-đạisốConnesC *V,F liênk ế t v i p h â n l  V,F bằngphươngphápK- hàmtửkhông?Đáng ý, câu trả lời khẳng định! Các cơng trình Torpe [22] năm 1985,Vu[23]năm1990 Hịa [1]năm2014 đãthểhiện điềuđó Những lập luận cho thấy việc kếth ợ p g i ữ a h n g n g h i ê n c ứ u phân loại đại số Lie giải theo cấu trúc với hướng nghiên cứu cấutrúc C*-đại số Connes liên kết với phân tạo cácK -quỹ đạochiều cực đại MD-nhóm phương phápK-hàm tử vấnđề có ý nghĩa khoa học Vì vấn đề đặt rộng đòi hỏi nhiều kỹthuật phức tạp nên luận án tập trung vào hai vấn đề cốt yếu nhưsau:  NhữngkỹthuậtcủaVu[23]trênlớpMD(4,1)-đạisốvàlớpMD(4,3)-đại số, Vu & Shum [24] lớp MD(5,1)-đại số lớpMD(5,4)-đại số phát triển để nghiên cứu lớp MD-đại sốtổng quát lớp MD-đại số có ideal dẫn xuất 1-chiều đốichiều1  Nhữngkỹ thuật c Vu [ ] t rê nl ớp MD4-phânlá, Vu &Thanh [25] lớp MD(5,3C)-phân Hòa [1] lớp MD(5,4)phânláđược vậndụng, pháttriển đểnghiêncứulớpMD(5,kC)-phân Đó sở, xuất phát điểm để tác giả lựa chọn đề tàinghiên cứu luận án làVề lớp MD-đại số tổng qt lớpcácMD(5,kC)-phân Luậnánnàynàycóhaimụcđíchchính: Thứ nhất,nghiên cứu toán phân loại đại số Lie thực, giảiđược theo cấu trúc số chiều K-quỹ đạo Cụ thể hơn, tácgiả nghiên cứu toán phân loại lớp MD-đại số tổng quát cóideal dẫn xuấtthứ nhấtlà1-chiều đốichiềulà1 Thứ hai,nghiên cứu lớp phân cụ thể theo hai hướngtrong tôpô phân Chi tiết hơn, tác giả xét MD(5,kC)phân látạob i c c K quỹđ o c h i ề u c ự c c ủ a c c M D ( , kC)nhómv i 1k C ụ t h ể h n , t c g i ả s ẽ k h ả o s t t í n h c h ấ t h ì n h h ọ c c ủ a MD(5,kC)-phân phương diện toàn cục đồngthời nghiên cứu cấu trúc C*-đại số liên kết với MD(5,kC)-phânlábằngphươngphápK-hàmtử Với mục đích nghiên cứu cụ thể trên, luận án bố cục baogồm phần mở đầu, chương chuẩn bị, hai chương nội dung phần kếtluận Cụthểhơn:  Phầnmởđầu:giớithiệuvềxuấtxứđềtài,mụcđíchnghiêncứuv àbố cục luận án  Chương1 : t r ì n h b y v ắ n t ắ t n h ữ n g k i ế n t h ứ c c h u ẩ n b ị đ ợ c s dụngtrongnhữngchươngvề sau  Chương2– 3:trìnhbàychitiếtcáckếtquảnghiêncứuđượcvớiđầyđủ phép chứngminh  Phầnkếtluận: đề xuấtnhữngvấnđềmởcót hể nghiêncứutiếpt heo CáckếtquảđạtđượccủaluậnánđãđượcbáocáotạimộtsốHộinghịToán họctrongnước quốc tếnhưsau:  Hội nghị Đại số – Hình học – Tơpơ tháng 11/2011 Đại họcTháiNguyên,tháng12/2014tạiTuầnChâu,QuảngNinhv tháng1 0/2016tạiCao ĐẳngSư phạmĐắc Lắc  Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp (VFJC) tháng 08/2012tại Đạihọc Sư phạm,Đạihọc Huế  Hội nghị Toán học Ứng dụng (ICMA-MU) tháng 01/2013 tạiĐại họcMahidol, Bangkok,Thái Lan  Hộithảokhoahọctháng10/2012,tháng11/2014vàtháng10/2015tạiT rườngĐạihọcSư phạmTP HồChíMinh Chương1 KIẾNTHỨCCHUẨNBỊ 1.1 LớpM D Địnhnghĩa1.7(Biểudiễnđối phụ hợp).Cho nhómLie G v G l *l đạisốL i e c ủ a G K ý h i ệ u G k h ô n g g i a n đ ố i n g ẫ u c ủ a G T c     độngK :G Aut G * ,g GaK (g)Aut G * x c địnhbởi: KgF,Y ởđókýhiệu F ,Ad  g 1Y, F,Y đểchỉgiátrịcủa FG * ,Y G FG *t i Y G cònA d l biểu diễnphụhợp,đượcgọilàbiểu diễnđốiphụhợpcủaG t r o n g G* Địnhnghĩa1.8(K-quỹđạo).MỗiquỹđạoứngvớiK-biểudiễnđượcgọi làK G*.K - quỹđ o c ủ a G q u a F k ý h i ệ u l quỹđạocủaGtrong F KgF:gG Định nghĩa 1.11 (Lớp MD).MD-nhómlà nhóm Lie thực giải đượcmà cácK-quỹ đạo có số chiều chiều cực đại Đại số Lie MDnhóm gọi làMD-đại số.Lớp MDlà tập tất MD-đại số.Nếu số chiềulànthìtasẽ cóMDn-nhóm, MDn-đại số,lớpMDn Địnhnghĩa1.13(LớpMD n,kv MD n,kC).MộtMDn-đạisố G vớid i m G k đượcgọ ilà M D n,k-đạis ố Th êmnữa,nếu G1g i a o hốn(tươngứng, G1k h n g giaohốn)thì G đ ợ c gọilàMD n,kC đạisố(tươngứng,MD n,kNC-đạisố).LớpMD n,kv MD n,kC tươngứnglàtậptấtcảcácMD n,k-đạisốvàMD n,kC-đạisố 1.2 Tôpôphânlá Địnhnghĩa1.5(Phânlá).PhépphânhoạchF= LcủaVbởicác A đatạpconliênthôngđượcgọilàmộtC r-phânlánếuvớimọi x V,tồn ¡ tạim ộ tC r-bảnđ ồ(hệtọa đ ộđịa p hư ơn g)   1,2:U ¡