Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Văn Thân Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An - 2018 Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Nguyễn Văn Thân Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số vµ Lý thuyÕt sè M· sè: 46 01 04 Ngêi híng dÉn khoa häc TS Ngun Qc Th¬ NghƯ An - 2018 Mục lục Lời nói đầu Đại số Lie giải 1.1 Đại số Lie 1.2 Iđêan đồng cấu 13 1.3 Đại số Lie giải 21 Ph©n loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ 29 2.1 Đại số Lie toàn phương 29 2.2 Ph©n loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ 39 Kết luận 47 Lời nói đầu Lý chọn đề tài Nghiên cứu đại số Lie tổng quát nói chung lớp đại số Lie cụ thể nói riêng lĩnh vực nghiên cứu rộng Toán học cã nhiỊu øng dơng VËt lý VÝ dơ ®èi đại số Lie nửa đơn, công cụ hữu hiệu dụng nhiều nghiên cứu đại số Lie nửa đơn dạng Killing nhờ vào ba tính chất: đối xứng, bất biến không suy biến Chẳng hạn tiêu chuẩn Cartan toán phân loại đại số Lie đà rằng: Đại số Lie dạng Killing không suy biến G đại số Lie nửa đơn G ì G Đại số Lie toàn phương đại số Lie hữu hạn chiều trường đóng ®¹i sè K cïng víi mét d¹ng song tun tÝnh đối xứng, bất biến không suy biến Một công cụ dụng nhiều để nghiên cứu cấu trúc đại số Lie toàn phương phương pháp mở rộng kép đưa vào sách chuyên khảo (xem [8]) V Kac Đây kết hợp mở rộng tâm tích nửa trực tiếp đại số Lie Về mặt hình ảnh, cho trước đại số Lie toàn phương ngẫu G H ta gắn thêm hai đầu của H G đại số Lie H không gian đối để đại số Lie toàn phương Chất keo để gắn kết không gian mở rộng tâm tích nửa trực tiếp Nhờ vào khái niệm mở rộng kép mà người ta đà chứng minh được: Mọi đại số Lie toàn phương không gian hữu hạn chiều tạo nên đại số Lie chiều đại số Lie đơn dÃy phép dựng phép dựng tổng trực tiếp trực giao mở rộng kép (xem [9]) Đối với đại số Lie toàn phương giải được: Một đại số Lie toàn phương giải n chiều nhận từ đại số Lie toàn phương (n 2) chiều đại số chiều tích nửa trực tiếp với đại số chiều khác ! " Lời nói đầu (xem [11]) Do nhiều người xem mở rộng kép kiểu mô tả quy nạp kiểu mở rộng nhiều bước đại số Lie toàn phương Khái niệm mở rộng kép đóng vai trò quan trọng sở cho phương pháp phân loại quy nạp đại số Lie toàn phương Bài toán phân loại đại số Lie toàn phương nói chung lớp đại số Lie toàn phương giải có số chiều thấp nói riêng đà nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu, như: ã Năm 1987, Favre Santharoubane [7] đà phân loại đại số Lie toàn phương lũy linh chiều bé bằng phương pháp mở rộng kép không gian vectơ toàn phương ã Năm 2002, Baum Kath [3] đà phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều bé ã Năm 2007, G Pinczon R Ushirobira [9] đà phân loại đại số Lie toàn phương lũy linh chiều bé 10 phương pháp đối đồng điều toàn phương ã Năm 2007, F Zhu Z Chen [11] đà phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều phương pháp áp dụng phân tích Witt Sau kết tác giả khác kiểm chứng thông qua mở rộng kép ã Năm 2008, Campoamor Stursberg [6] đà phân loại đại số Lie toàn phương không giải chiều bé ã Năm 2014, D M Thành [10] đà phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều bé bằng phương pháp mở rộng kép không gian vectơ toàn phương ã Năm 2014, Benayadi [4] đà phân loại đại số Lie toàn phương không giải chiều bé 13 Với mong muốn tìm hiểu toán phân loại đại số Lie toàn phương nói chung đại số Lie toàn phương giải có số chiều thấp nói riêng, chọn đề tài: Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ tài luận văn tốt nghiệp thạc sỹ làm đề # Lời nói đầu Nội dung luận văn áp dụng kêt từ mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải chiều Dương Minh Thành (xem [10]), kết hợp với kết phân loại quỹ đạo đaị số Lie cổ điển O(n) (xem [11]) Đặc biệt nội dung luận văn dựa vào số kết hai báo "Novikov algebras witth associtive bilinear forms", J Physics A: Theory 40 (2007), pp 14234 - 14251 cña tác giả Zhu F Chen Z (xem [11]) báo "Một lớp mở rộng kép vài đại số Lie toàn phương giải chí Khoa học Trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh, Tập 14, chiỊu", T¹p Sè 6(2017), tr 146 - 156 cđa tác giả Nguyễn Thị Mộng Tuyền (xem [2]) để đọc hiểu, trình bày số kết toán phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ Kết cho ta thấy rằng: +) Trong trường hợp bât khả phân, đại số Lie toàn phương giải chiều mở rộng kép chiều đại số giao hoán ta nhận phân loại gồm họ đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân Phân loại đến đẳng cấu đẳng cự +) Đối với đại số Lie toàn phương giải không giao hoán chiều đại số Lie toàn phương kỳ dị +) Đối với đại số Lie toàn phương giải khả phân đẳng cự với đại số Lie toàn phương giải chiều đẳng cấu chiều Nội dung nghiên cứu luận văn 2.1 Trình bày cách có hệ thống kiến thức đại số Lie, biểu diễn đại số Lie, đại số Lie giải được, đại số Lie toàn phương khái niệm mở rộng kép đại số Lie toàn phương 2.2 Sử dụng kết mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ chiều nhỏ 7 để phân loại đại số Lie toàn phương giải có $ Lời nói đầu Tổng quan cấu trúc luận văn Ngoài phần Lời nói đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Đại số Lie giải Nội dung chương trình bày định nghĩa số tính chất đại số Lie, biểu diễn đại số Lie đại số Lie giải Nội dung chương trình bày ba mục sau: 1.1 Đại số Lie 1.2 Iđêan đồng cấu 1.3 Đại số Lie giải Chương 2: Phân loại đại số Lie toàn phương giải cã chiỊu nhá h¬n Néi dung chÝnh cđa ch¬ng trình bày định nghĩa số tính chất đại số Lie toàn phương, đại số Lie toàn phương giải được, mở rộng kép đại số Lie toàn phương Phần lại trình bày số kết toán phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ Nội dung chương trình bày hai mục sau: 2.1 Đại số Lie toàn phương 2.2 Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn Thầy giáo TS Nguyễn Quốc Thơ Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn Thầy, đà tận tình giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn Quý Thầy (Cô) Chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Viện Sư phạm tự nhiên, Ban Giám hiệu Phòng ban chức Trường ĐH Vinh đà tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Cảm ơn Trường Đại học Kinh tế Công nghiệp Long An đà tổ chức tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả học tập trường % Lời nói đầu Tác giả xin cảm ơn Quý Thầy (Cô), đồng nghiệp nơi tác giả giảng dạy công tác đà tạo điều kiện thuận lợi, cổ vũ, động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Cảm ơn hy sinh Vợ Con, chỗ dựa tinh thần vững để tác giả vượt qua khó khăn, hoàn thành nhiệm vụ học tập Xin trân trọng kính tặng Gia đình thân yêu quà tinh thần với lòng biết ơn chân thành Mặc dù đà có nhiều cố gắng lực nhiều hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý nhà khoa học đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện tốt Nghệ An, ngày 15 tháng năm 2018 Tác giả Nguyễn Văn Thân Chương Đại số Lie giải Trong luận văn trường K hiểu trường phức C không gian vectơ không gian vectơ hữu hạn chiều C Nội dung chương này, trình bày lại định nghĩa, ví dụ số tính chất đại số Lie đại số Lie giải Các khái niệm khái niệm đà nhiều tác giả viết thành giảng, giáo trình sách chuyên khảo, chủ yếu trích dẫn tài liệu thuyết nhóm Lie tác giả Đỗ Ngọc Diệp (xem [1]) vµ tµi liƯu algebras and representations 1.1 Bµi giảng Lý Lie groups, Lie tác giả Brian C Hall (xem [5]) Đại số Lie 1.1.1 Định nghĩa gian vectơ G Cho K trường G không gian vectơ K Không gọi đại số Lie K hay K đại số Lie G trang bị phép nhân gọi tích Lie [., ] :G ì G G (x, y) [x, y] cho tiên đề sau thỏa mÃn: L1 Tích Lie toán tư song tun tÝnh, tøc lµ ∀x, y, z ∈ G, , K, thì: [x + ày, z] = λ[x, z] + µ[y, z], [x, λy + µz] = [x, y] + à[x, z], & Chương ' Đại số Lie giải L2 Tích Lie phản xøng, tøc lµ: [x, y] = −[y, x], [x, x] = 0, ∀x, y ∈ G L3 TÝch Lie thỏa mÃn đẳng thức Jacôbi, tức là: [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0, ∀x, y, z ∈ G Tõ ®iỊu kiƯn NhËn xÐt (L2 ) char(K) = (L2 ) L2 +) Số chiều đại số Lie +) Nếu đại sè Lie G L2′ : [x, y] = −[y, x] Và tương đương G số chiều không gian vectơ [a, b] = 0, a, b G G +) Cho ta suy ®iỊu kiƯn G ta nói tích Lie đại số Lie tầm thường gọi giao hoán không gian hữu hạn chiều trường n Cấu trúc đại số Lie G sở {e1 , e2 , · · · , en } ®· chän tríc trªn G [ei , ej ] := n ∑ K Gi¶ sư sè chiỊu cđa G cã thĨ cho bëi tích Lie cặp vectơ thuộc sau: ckij ek , ≤ i < j ≤ n, cij K k=1 Khi hệ số cij gọi số cấu trúc đại số Lie G sở chọn +) Mỗi K đại số Lie K đại số Ngược lại, K đại số xem K đại số Lie ta định nghĩa tích Lie nhờ hoán tử phép nhân Cụ thể ta có định lý sau 1.1.2 Định lý (Đại số Lie cảm sinh từ đại số) Cho G K đại số Trên G định nghĩa tích Lie sau: [., ] : G × G −→ G (x, y) −→ [x, y] = xy − yx, ∀x, y ∈ G Khi đó, G với tích Lie trở thành K đại số Lie Như vậy, qua định lý ta thấy đại số Lie đại số (không kết hợp) Trong đó, đại số nói chung đại số Lie, ta chọn tích Lie hoán tử đại số trở thành đại số Lie 1.1.3 Định nghĩa gian Cho G đại số Lie H không gian vectơ G Không H gọi đại số Lie G, H đóng với tích Lie, tức là: x, y H [x, y] H Chương !# Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều ≤ Trong VÝ dơ cđa 1.1 Ch¬ng 1, đà nhắc tới đại số Lie toán tử vi phân K đại số A ký hiệu Der(A) Tiếp theo nhắc lại khái niệm đại số Lie toán tử vi phân phản xứng đại số Lie toàn G Từ định nghĩa mở rộng kép đại số Lie toàn phương G phương hàm phản xứng C G, khái niệm chiều toàn phương G môt đạo sử dụng để phục vụ cho toán phân loại đại số Lie toàn phương giải 2.1.13 Định nghĩa (G, B) K đại số Lie toàn phương Cho i) Toán tử tuyến tính d : G G gọi toán tử vi phân G d([x, y]) = [d(x), y] + [x, d(y)], ∀x, y ∈ G ii) To¸n tư vi phân d G gọi toán tử vi phân phản xứng G B(d(x), y) = B(x, d(y)), x, y G 2.1.14 Định nghĩa Der(G) Cho (G, B) K đại số Lie toàn phương Xét đại số Lie toán tử vi phân bao gồm toán tử vi phân G d G Ký hiệu Dera (G, B) phản xứng lµ tËp cđa Der(G) B, tøc lµ B(d(x), y) = −B(x, d(y)), ∀x, y ∈ G Khi ®ã Dera (G, B) đại số Lie Der(G) gọi đại số Lie toán tử vi phân phản xứng 2.1.15 Định nghĩa G (xem [8]) Giả sử (A, T ) K đại số toàn phương, B K đại số Lie Xét biểu diÔn ψ : B −→ Dera (A, T ) Gäi biểu diễn đối phụ hợp B φ(z, y), z := B(ψ(z)x, y), ∀x, y ∈ G, z B Xét không gian vectơ G = B ∗ ⊕ A ⊕ B, víi tÝch Lie [., ] xác đinh hệ thức: [f1 + x1 + y1 , f2 + x2 + y2 ] = (π(y1 )f2 − π(y2 )(f1 ) + φ(x1 , x2 )) + ([x1 , x2 ]A + ψ(y1 )(x2 ) − ψ(y2 )(x1 )) + [y1 , y2 ]B víi mäi f1 , f2 ∈ B ∗ ; x1 , x2 ∈ A; y1 , y2 ∈ B Khi ®ã G gọi mở rộng kép A B trở thành đại số Lie nhờ phép biểu diễn Nhận xét tính !$ Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều Chương Từ định nghĩa trên, ta dễ dàng chứng minh được: Một dạng song tuyến B : G ì G K xác định B(f1 + x1 + y1 , f2 + x2 + y2 ) = T (x1 , x2 ) + f1 (y2 ) + f2 (y1 ) víi mäi f1 , f2 ∈ b∗ ; x1 , x2 ∈ A; y1 , y2 ∈ B tích vô hướng bất biến, tức dạng song tuyến tính đối xứng, không suy biến G Do đó, (G, B) trở thành đại số Lie toàn phương Hơn nữa, với dạng song tuyến tính đối xứng bất biến B xác định tích vô hướng bất biến xác định sau: B G Cụ thể, B B : G ì G K, B (f1 + x1 + y1 , f2 + x2 + y2 ) = T (x1 , x2 ) + γ(y1 , y2 ) + f1 (y2 ) + f2 (y1 ) víi mäi f1 , f2 Cho +) G ∈ B∗ ; x1 , x2 ∈ A; y1 , y2 ∈ B đại số Lie F(G) tập tất dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến G Khi ta dễ dàng chứng minh +) K Ký hiệu: F(G) lập thành không gian vectơ K B(G) tập tất tích vô hương bất biến ( tức dạng song tuyến tính đối xứng bất biến, không suy biến) G lập thành không gian vectơ K Hơn B(G) không gian vectơ Khi ta dễ dàng chứng minh B(G) F(G) 2.1.16 Định nghĩa toàn phương bất biến (xem [8]) Cho (G, B) K đại số Lie toàn phương Chiều (G, B) chiều không gian vectơ B(G) gồm tích vô hướng G, ký hiệu dq (G) NghÜa lµ, dq (G) = dimK B(G) Trong [3], người ta đà chứng minh rằng: Nếu phương (G, B) đại số Lie toàn F(G) = B(G) dq (G) = dimK F(G) Cho (G, B) đại số Lie toàn phương Mỗi dạng song tuyến tính đối xứng B G xác ®Þnh mét ®ång cÊu φ : G −→ G cho B (x, y) = B(φ(x), y), ∀x, y ∈ G Khi ta dễ dàng chứng minh là: ánh xạ đối xứng (đối với B ), cã nghÜa B(φ(x), y) = B(x, φ(y)), ∀x, y ∈ G 2.1.17 MƯnh ®Ị i) ii) B ′ B (xem [9]) Với ký hiệu trên, ta có: bÊt biÕn vµ chØ ′ φ([x, y]) = [φ(x), y] = [x, φ(y)], ∀x, y ∈ G kh«ng suy biến khả nghịch Chương !% Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều Chứng minh i) Vì B dạng song tuyến tính đối xứng G xác định đồng cấu : G −→ G cho ′ B (x, y) = B(φ(x), y), ∀x, y ∈ G Khi ®ã, ∀x, y, z ∈ G, ta ′ cã: ′ B ([x, y], z) = B(φ([x, y]), z) vµ B (x, [y, z]) = B((x), [y, z]) Mặt khác, suy biến nên B ′ B B(φ(x), [y, z]) = B([φ(x), y], z) bÊt biến chứng minh ii) Giả sử bất biến nên B không B ([x, y]) = [(x), y] Tương tự ta dễ dàng ([x, y]) = [x, (y)] không suy biến Khi với phần tử B((x), y) = 0, y G khả nghịch Ngược lại, Do φ B(φ(x), y) = 0, ∀y ∈ G Do B x ∈ G mµ φ(x) = ′ B (x, y) = 0, ∀y ∈ G ⇒ x = khả nghịch B (x, y) = 0, y G không suy biến nên dẫn tới (x) = Vậy x = B không suy biến 2.1.18 Định nghĩa đối xứng (xem [9]) Cho : G G (G, B) đại số Lie toàn phương Một đồng cấu thỏa mÃn điều kiện φ([x, y]) = [φ(x), y] = [x, φ(y)], ∀x, y G gọi tự đồng cấu tâm Tập hợp tự đồng cấu tâm đại số Lie toàn phương G ký hiệu Cen(G) Khi Cen(G) không gian vectơ gọi không gian đồng tâm G Ký hiệu Cents (G) không gian sinh tự đồng cấu tâm khả nghịch Cen(G) 2.1.19 Mệnh đề (xem [11]) Cho (G, B) đại số Lie toàn phương Khi ®ã Cen(G) = Cents (G) Chøng minh +) Theo định nghĩa ta thấy hiễn nhiên +) Bây giê ta chøng minh Cen(G) ⊆ Cents (G) ThËt vËy: Víi Φ ∈ Cents (G) ⇒ Φ cđa G c¬ sở Ký hiệu E () Khi đa thức theo tính liên kết Cents (G) Cen(G) khả nghịch () Cen(G) Ta chọn sở tương ứng ma trận liên kết với P (x) = det(Γ(φ) − xΓ(Φ)) ̸= Φ vµ φ E (đa thức không), () (), nên tồn số C, cho Chương Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều !& P () = Do khả nghÞch VËy φ = (φ − λΦ) + λΦ ∈ Cents (G), Cents (G) Cents (G) Điều chứng tỏ Cen(G) Cents (G) VËy Cen(G) = Cents (G) Tõ kÕt qu¶ cđa MƯnh đề 2.1.19, ta thấy để tính chiều toàn phương số Lie toàn phương số chiều dq (G) đại G ta tính toán tự đồng cấu tâm khả nghịch G, sau tính Cents (G) không gian sinh tự đồng cấu tâm khả nghịch Vậy dq (G) = dim(Cen(G)) = dim(Cents (G)) Mặt khác theo [11], ta có công thức tính chiều toàn phương đại số Lie toàn phương G sau: 2.1.20 MƯnh ®Ị i) NÕu G ii) NÕu (xem [11]) Cho đại số Lie đơn G G chiều dq (G) = đại số Lie rút gọn không đơn không dq (G) = s(G) + iii) Nếu (G, B) đại số Lie toàn phương dim(Z(G))(1 + dim(Z(G))) đại số Lie không rút gọn dq (G) + s(G) + chiều Z(G) tâm G 2.1.21 Mệnh đề dim(Z(G))(1 + dim(Z(G))) s(G) số iđêan đơn phân tích Levi G (xem [11]) Cho (G, B) đại số Lie toàn phương kỳ dị rút gọn Khi dq (G) = + Z(G) tâm G dim(Z(G))(1 + dim(Z(G))) Chương 2.2 !' Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ Nội dung tiết trình bày chi tiết việc phân loại tính toán chiều toàn phương đại số Lie toàn phương giải có số chiều nhỏ Để trình bày vấn đề nêu dựa vào nội dung hai báo: Novikov algebras witth associtive bilinear forms, J Physics A: Theory pp 14234 - 14251 cđa c¸c t¸c giả Zhu F Chen Z (xem [11]) Một 40 (2007), lớp mở rộng kép vài đại số Lie toàn phương giải chiều, Tạp chí khoa häc §HSP TP Hå ChÝ Minh, TËp 14, Sè (2017), tr146 - tr156 tác giả Nguyễn Thị Mộng Tuyền (xem [2]) 2.2.1 Định lý (xem [11]) Cho chiều nhỏ ii) Nếu dim(G) = đại số Lie toàn phương giải có số Khi đó: dim(G) G i) Nếu (G, B) giao hoán G không giao hoán G đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie kim cương iii) Chiều toàn phương Chứng minh +) Vì nÕu dq (G) = [G, G] ̸= G Do ®ã, giao ho¸n VËy ta cã i) dim(G) = G không giao hoán, ta chứng minh G rút rọn Thật vậy, G không rút gọn, tồn vectơ x Z(G) cho B(x, x) = Điều chứng tỏ ta có nên là đại số Lie toàn phương giải nên dim(G) ≤ th× G ii) NÕu nÕu G G I = Cx iđêan không suy biến G, theo Định lý 2.1.9, G = I1 I , I đại số Lie toàn phương giải chiều, I giao hoán Do giao hoán, chứng tỏ Vì [G, G] Giả sử Z(G) G G giao hoán Điều mâu thuận với giả thiết phải rút gọn, tức P không Z(G) [G, G] = {0} dim(G) nên dim([G, G]) = Do dim(Z(G)) = sinh vectơ z Vì Z(G) tự đẳng hướng hoàn toàn, nên theo Định lý 2.1.12 (phân tích Witt) tồn không gian hoàn toàn G không gian chiều Q chiều đẳng hướng không suy biến G cho Chương " Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều G = Q (Z(G) P ) Mặt khác, ta có thĨ chän mét vect¬ c¬ së a cđa P c¬ së {b, c} cña Q cho B(a, z) = B(b, c) = vµ B(b, b) = B(c, c) = [G, G] = Z(G)⊥ V× [G, G] p2 c, nên nên ta giả sử vµ [G, G] = Span{z, b, c} Do [a, b], [a, c], [b, c] ∈ [a, b] = m1 z + n1 b + p1 c, [a, c] = m2 z + n2 b + [b, c] = m3 z + n3 b + p3 c, víi mi , ni , pi ∈ C, ≤ i ≤ MỈt kh¸c B(a, [a, b]) = B([a, a], b) = ⇒ B(a, m1 z + n1 b + p1 c) = m1 = Bằng cách tính hoàn toàn tương tự trên, ta có p1 = 0, tøc lµ [a, b] = n1 b Tõ tÝnh bất biến B thu B(b, [a, b]) = dẫn đến cách làm giống trên, ta [a, c] = p2 c vµ [b, c] = m3 z Mặt khác, từ đẳng thức B([a, b], c) = B(a, [b, c]) = −B([a, c], b) n1 = −p2 = m3 = a Đặt z := m3 z a := , ta có phép đổi sở m3 nên ta có { {z, b, c, a} := m3 z, b, c, së míi ta cã: a} m3 [a, b] = b, [a, c] = c [b, c] = z Mặt khác phép đổi sở phép đẳng cấu đẳng cự nên G đẳng cấu đẳng cự với đại số kim cương Vậy ta có ii) iii) Để tính chiều toàn phương đại số Lie toàn phương giải tìm ma trận biểu diễn tự đồng cấu tâm phải tính Vì : G G cña G, ta thùc G Muèn vËy, ta φ(a), (b), (c) (z) Thật vậy: (a) G, nên φ(a) = t1 a + t2 b + t3 c + t4 z, ®ã ti ∈ C, ∀i = 1, Ta cã = φ([a, a]) = [a, φ(x)] = [a, t1 a + t2 b + t3 c + t4 z] = t1 [a, a] + t2 [a, b] + t3 [a, c] + t4 [a, z] suy t2 = t3 = Nªn φ(a) = t1 a + t4 z, ∀t1 , t4 ∈ C Chương " Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều Mặt khác φ(b) = φ([a, b]) = [φ(a), b] = [t1 a + t4 z, b] = t1 [a, b] + t4 [z, b] = t1 b + = t1 b Tương tự ta có (c) = t1 c (z) = t1 z Tãm l¹i, ta cã φ(a) = t1 a + t4 z φ(b) = t1 b φ(c) = t1 c φ(z) = t1 z t1 0 t1 0 Do ®ã ma trËn cđa φ lµ Aφ = 0 t1 Tõ ma trËn trªn, ta nhËn thÊy φ t4 0 t1 chØ phơ thc vµo t1 , t4 Do ®ã ta cã thĨ chän c¬ së { 0 0 0 } 0 0 0 0 0 E = E1 = 0 0 , E2 = 0 0 0 0 1 0 VËy dq (G) = 2.2.2 Định lý (xem [11]) Cho phân có số chiều Khi đó: i) Tồn c¬ së {z1 , z2 , t, x1 , x2 } ≤ i, j ≤ 2; B(t, t) = 1, định Chứng minh i) Vì (G, B) chiều G 5, +) Nếu y G cho trường hợp lại B(xi , zj ) = δij víi vµ tÝch Lie xác [x1 , x2 ] = t, [x1 , t] = −z2 , [x2 , t] = z1 , tường hợp lại ii) Chiều toàn phương hướng (G, B) đại số Lie toàn phương giải được, bất khả nên G dq (G) = đại số Lie toàn phương giải được, bất khả phân có số đại số Lie toàn phương rút gọn Khi có hai khả dim(Z(G)) = dim(Z(G)) = dim(Z(G)) = Giả sử không gian G = F ⊕ (Cz ⊕ Cy) Z(G) = Cz Khi tồn vectơ đẳng F = (Cz ⊕ Cy)⊥ Ta chän mét c¬ së cđa {a, b, c} B(a, c) = B(b, b) = 1, trêng hỵp lại G cho B(z, y) = không gian F cho Chương Vì " Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều [G, G] = Z(G) nên [G, G] = Span{z, a, b, c} Mặt khác B([y, c], y) = B([y, c], c) = Do ®ã ta cã thĨ gi¶ sư [y, c] = t1 c + k1 b víi t1 , k1 ∈ C Khi ta nhận tích Lie xác định sau: [y, b] = t2 c + k2 a, [y, a] = t3 b + k3 a, [c, b] = t4 c + k4 z [c, a] = t5 b + k5 z, [c, b] = t6 b + k6 z, Tõ tÝnh chÊt bÊt biÕn cđa B ®ã ti , ki ∈ C, i = 2, suy ra: t1 = k5 = −k3 , k1 = k4 = −k2 , t2 = k6 = −t3 vµ t4 = t6 = t5 Do từ việc xác định tích Lie trên, ta có: [y, c] = h1 c + h2 b, [y, b] = h3 c − h2 a, [y, a] = −h3 b − h1 a [c, b] = h4 c+h2 z, [c, a] = −h4 b+h1 z, [b, a] = h4 a+h3 z, ∀hi , ∈ C, i = 1, NÕu h4 = đặt u1 = [c, b], u2 = [c, a], u3 = [b, a] Khi ®ã ta cã [u1 , u2 ] = −h24 [c, b] = −h24 u1 , [u2 , u3 ] = h24 u3 Điều chứng tỏ không gian vectơ đại số G giải Vậy h4 = hợp [u3 , u1 ] = −h24 u2 U = Span{u1 , u2 , u3 } trở thành đại số đại số không giải Điều mâu thuận với giả thiết Phần lại ta dễ dàng chứng minh vectơ số phức G h3 c h1 b + h2 a ∈ Z(G) vµ ba h1 , h2 , h3 không đồng trời không Do dim(Z(G)) > Vậy trường dim(Z(G)) = không xảy +) Nếu dim(Z(G)) = giả sử Z(G) = Span{z1 , z2 } tích Witt (Định lý 2.1.12), tồn ba vectơ Khi theo phân x1 , x2 , t cho: G = Span{z1 , z2 , t, x1 , x2 }, kh«ng gian W = Span{x1 , x2 } tự đẳng hướng hoàn toàn dạng song tuyến tính đối xứng B xác định bëi B(xi , zj ) = δij ≤ i, j 2; B(t, t) = 1, trường hợp lại Vì [G, G] = Z(G) , nªn [G, G] = Span{z1 , z2 , t} Do ®ã ta cã thĨ gi¶ sư [x1 , x2 ] = a1 z1 + a2 z2 + xt, [x1 , t] = b1 z1 + b2 z2 + yt, víi Chương Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều [x2 , t] = c1 z1 + c2 z2 + zt, Do bÊt biÕn nªn suy víi "! , bi , ci , x, y, z ∈ C, ≤ i ≤ [x2 , t] = c1 z1 , ®ã x1 x = −b2 = c1 ̸= Thùc hiÖn phép đổi sở, cách đặt x1 := z1 := cz1 , s ta thu tích Lie xác định bởi: [x1 , x2 ] = t, [x1 , t] = −z2 vµ B [x1 , x2 ] = st, [x1 , t] = b1 z2 [x2 , t] = z1 , trường hợp lại tầm thường ii) Lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2.1, để tính chiều toàn phương đại số Lie toàn phương giải bất khả phân tự đồng cấu tâm : G −→ G cđa G G, ta t×m ma trËn biĨu diễn Muốn làm điều đó, ta phải tính (x1 ), (x2 ), (t), (z1 ) (z2 ) Thật vậy: Vì (x1 ) khác G, nên φ(x1 ) = ax1 +bx2 +ct+dz1 +ez2 , víi a, b, c, d, e ∈ C MỈt = φ([x1 , x1 ]) = [x1 , φ(x1 )] ⇒ b = c = VËy φ(x1 ) = ax1 + dz1 + ez2 φ(t) = φ([x1 , x2 ]) = [φ(x1 ), x2 ] = [ax1 + ct + dz1 + ez2 , x2 ] = at φ(z2 ) = φ([t, x1 ]) = [t, φ(x1 )] = [t, ax1 + dz1 + ez2 ] = az2 φ(z1 ) = φ([x2 , t]) = [x2 , φ(t)] = [x2 , at] = a[x2 , t] = az1 Tương tự cách tính (x1 ), ta có (x2 ) = mx2 +nz1 +pz2 , víi m, n, p C Mặt khác ([x1 , x2 ]) = [x1 , φ(x2 )] = mt vµ φ([x1 , x2 ]) = [φ(x1 ), x2 ] = at Suy Ta cã m = a, ®ã φ(x2 ) = ax2 + nz1 + pz2 , víi a, n, p ∈ C B(x1 , φ(x2 )) = B(φ(x1 ), x2 )) ⇔ n = e Nªn φ(x2 ) = ax2 + ez1 + pz2 , víi a, e, p ∈ C Tãm l¹i φ(x1 ) = ax1 + dz1 + ez2 φ(x2 ) = ax2 + ez1 + pz2 φ(t) = at φ(z1 ) = az1 φ(z2 ) = az2 Ch¬ng "" Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều a 0 0 0 a 0 0 Do ma trận A = 0 a 0 Tõ ma trËn trªn, ta nhËn thÊy d e 0 0 e p 0 φ chØ phơ thcvµo a, d, ep Do ta có thể chọn sở E = {E , E2 , E3 , E4 }, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ®ã E1 = 0 0 0 , E2 = 0 0 0 , E3 = 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 vµ E4 = 0 0 0 VËy dq (G) = 0 0 0 0 2.2.3 Định lý (xem [11]) Cho (G, B) đại số Lie toàn phương giải được, bất khả phân số chiều G Giả sử G = Span{x1 ,{x2 , x3 , z1 , z2 , z3 } dạng ij với i, j song tuyến tính đối xứng B xác định B(xi , zj ) = trường hợp lại Khi G đẳng cấu với đại số Lie sau: G6,1 : [x1 , x2 ] = z3 , [x2 , x3 ] = z1 , [x3 , x1 ] = z2 , c¸c tường hợp lại 0, G6,2 () : [x3 , z1 ] = z1 , [x3 , z2 ] = λz2 , [x3 , x1 ] = −x1 , [x3 , x2 ] = −λx2 , [z1 , x1 ] = z3 , [z2 , x2 ] = λz3 với = 0, trường hợp lại G6,3 : [x3 , z1 ] = z1 , [x3 , z2 ] = z1 + z2 , [x3 , x1 ] = −x1 − x2 , [x3 , x2 ] = −x2 , [z1 , x1 ] = [z2 , x2 ] = [z2 , x1 ] = z3 Chứng minh Vì G G đại số Lie toàn phương giải được, bất khả phân số chiều 6, G mở rộng kép đại số Lie toàn phương có số chiều phân, nên suy Lie giải (H, B ) giải đạo hàm phản xứng Mặt khác G H phải giao hoán G bất khả mở rộng kép chiều đại số chiều Theo [8], ta có phân loại đẳng cấu mở rộng kép tương đương với phân loại quỹ đạo phụ hợp không gian xạ ảnh O(H) "# Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều Chương Mặt khác để thỏa mÃn điều kiện bất khả phân G có quỹ đạo tương trường hợp C ∈ O(H) nh sau: 0 0 1 0 0 0 0 0 0 λ 0 C1 = 0 0 0 , C2 (λ) = 0 −1 , E3 = 0 −1 0 −1 0 0 −λ 0 −1 Trong trường hợp này, sở {z1 , z2 , x1 , x2 } H chọn trước tháa m·n øng víi ′ ®iỊu kiƯn ′ B (z1 , x1 ) = B (z2 , x2 ) = 1, G6,1 , G6,2 () G6,3 trường hợp lại mở rộng kép nữa, [8], người ta đà chứng minh được: = 2.2.4 Định lý = λ2 (xem [2]) Cho chiỊu cđa G b»ng i) NÕu G khả phân giải (G, B) H Khi C1 , C2 () C3 H¬n thÕ G6,2 (λ1 ) ∼ = G6,2 (λ2 ) đại số Lie toàn phương giải số G đẳng cấu đẳng cự với G0 F, G0 đại số Lie chiều ii) Nếu G bất khả phân tồn sở {x1 , x2 , x3 , t, z1 , z2 , z3 } cho dạng song tuyến B xác định B(x1 , z1 ) vµ G = B(x2 , z2 ) = B(x3 , z3 ) = B(t, t) = đẳng cấu với đại số Lie sau: G7,1 : [x3 , x2 ] = x1 , [x3 , t] = x2 , [x3 , z1 ] = −z2 , [x3 , z2 ] = −t, [x2 , z1 ] = z2 , [t, z2 ] = z3 G7,2 : [x3 , x1 ] = x1 , [x3 , t] = x2 , [x3 , z1 ] = −z1 , [x3 , z2 ] = −t, [x1 , z1 ] = z3 , [t, z2 ] = z3 G7,3 : [x3 , x1 ] = x1 , [x3 , x2 ] = −x2 , [x3 , z1 ] = −z1 , [x3 , z2 ] = −z2 , [x1 , z1 ] = z3 , [t, z2 ] = −z3 , [x1 , x2 ] = t, [x1 , t] = −z2 , [x2 , t] = z1 Chứng minh i) Vì G theo [11], ta có đại sô Lie toàn phương giải được, khả phân G đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie giải G = G0 F, G0 đại số Lie giải chiều dim(G) = 7, chiều Do Chương "$ Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều ii) Ngược lại, G đại số Lie toàn phương giải được, bất khả phân dim(G) G mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải H mà dim(H) đạo hàm phản xứng Mặt khác, G bất khả phân, nên = 7, =5 H giao hoán, G mở rộng kép chiều đại số Lie giải chiều Lập luận tương tự trường hợp chiều, ta chän mét c¬ së cđa víi H nh sau: {h1 , h2 , t, k1 , k2 }, [h1 , h2 ] = t, [h1 , t] = −k2 , [h2 , t] = k1 , ®ã h1 , h2 , t, k1 , k2 ∈ F Khi ta dễ dàng kiểm tra ma trận biểu diễn tự đồng cấu tâm cho φ : G −→ G cña G x z 0 y −x 0 0 0 D = −b −c 0 −t b −x −y t c −z x Vậy theo [11] G tồn sở song tuyến B xác định B(x1 , z1 ) vµ G {x1 , x2 , x3 , t, z1 , z2 , z3 } cho d¹ng = B(x2 , z2 ) = B(x3 , z3 ) = B(t, t) = đẳng cấu với đại số Lie G7,1 , G7,2 G7,3 Kết luận Luận văn có mục đích tìm tòi, nghiên cứu số tính chất đại số Lie toàn phương giải việc phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ Trong luận văn đà trình bày vấn đề sau: Trình bày lại định nghĩa ví dụ, số rính chất đại số Lie tổng quát Khái niệm iđêan, biểu diễn đại số Lie, biểu diễn phụ hợp đối phụ hợp, K quỹ đạo nhóm Lie Định nghĩa, ví dụ số tính chất đại số Lie giải được; tiêu chuẩn giải (Định lý 1.3.6) Dạng Killing số tính chất Trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đại số Lie toàn phương; chiều toàn phương đại số Lie toàn phương Phần cuối luận văn trình bày kết việc phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ số Lie toàn phương giải có chiều Cụ thể: Phân loại đại 4, 5, 7, tương ứng nội dung Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3 Định lý 2.2.4 "% Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Ngọc Diệp (2012), Lý thuyết nhóm Lie, Bài giảng Sau đại học, Viện Toán häc ViƯt Nam [2] Ngun ThÞ Méng Tun (2017), Mét lớp mở rộng kép vài đại số Lie toàn phương giải chiều, Tạp chí khoa học §HSP TP Hå ChÝ Minh, TËp 14, Sè 6, tr146 - tr156 TiÕng Anh [3] Baum H and Kath I (2008), Doubly extended Lie groups - curvature, holonomy and parallel spinors, Differential Geom Appl, 19, No3, pp.253 - 280 [4] Benayadi S and Elduque A, Classification of quadratic Lie algebras of low dimensio, J of Math Phys, 55, 081703, - 17 [5] Brian C Hall Lie groups, Lie algebras and representations, Springer 2004 [6] Campoamor R Campoamor-Stursberg (2008), Quasi-classical Lie algebras and their contractions, Int J Theor Phys., 47.No2, pp 583 - 598 [7] Favre G and Santharoubane L J (1987), Symmetric, invariant, non - degenerate bilinear form on a Lie algebra, Journal Algebara, 105, pp.451 - 464 [8] Kac V (1985), Infinite - dimensional Lie algebras, Cambrigde University Press, New York "& "' Tài liệu tham khảo [9] G Pinczon and R Ushirobira (2007), New Application of Graded Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie Algebras and Cohomology, J Lie Theory, 17, pp 633 - 667 [10] Thanh D M (2014), A classification of solvable quadratic and odd quadratic Lie superalgebras in low dimensions, Revista de la Uniãn Matem¸tica Argentina, Vol 55, No 1, pp 119 - 138 [11] Zhu F and Chen Z (2007), Novikov algebras witth associtive bilinear forms, J Physics A: Theory 40, pp 14234 - 14251 ... số Lie giải được, đại số Lie toàn phương khái niệm mở rộng kép đại số Lie toàn phương 2.2 Sử dụng kết mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ chiều nhỏ 7 để phân loại đại số Lie toàn. .. trình bày số kết toán phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ Nội dung chương trình bày hai mục sau: 2.1 Đại số Lie toàn phương 2.2 Phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều nhỏ Luận... ta có đại sô Lie toàn phương giải được, khả phân G đẳng cấu đẳng cự với đại số Lie giải G = G0 F, G0 đại số Lie giải chiều dim(G) = 7, chiều Do Chương "$ Phân loại đại số Lie toàn phương giải