Tính toán mở rộng kép của một số đại số lie toàn phương giải được có chiều bằng 7

Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Lê Thị Thúy Diễm Tính toán mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An - 2018 Bộ Giáo Dục Đào tạo Trường Đại Học Vinh Lê Thị Thúy Diễm Tính toán mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số M· sè: 46 01 04 Ng­êi h­íng dÉn khoa häc TS Ngun Qc Th¬ NghƯ An - 2018 Mơc lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Nhóm Lie - Đại số Lie 1.2 Biểu diễn đại sè Lie 16 1.3 Đại số Lie giải - Đại số Lie lũy linh 22 Më réng kÐp cña mét số đại số Lie toàn phương giải có chiều 2.1 30 Đại số Lie toàn phương giải ®­ỵc 30 2.2 Mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Kết luËn 35 44 Lời nói đầu Lý chọn đề tài Đại số Lie toàn phương đại số Lie hữu hạn chiều trường đóng ®¹i sè K cïng víi mét d¹ng song tun tÝnh đối xứng, bất biến không suy biến Đại số Lie toàn phương đối tượng đại số xuất thời gian gần nghiên cứu nhiều khía cạnh khác Đầu tiên nghiên cứu mặt cấu trúc: Một đại số toàn phương tổng trực tiếp trực giao iđêan không suy biến tổng trực tiếp trực giao iđêan tâm không suy biến iđêan có tâm đẳng cự toàn (xem [4] [9]) Nếu sâu vào cấu trúc thì: Một đại số Lie toàn phương không tầm thường coi mở rộng kép đại số Lie có số chiều nhỏ đạo hàm phản xứng, đại số Lie toàn phương giải có số chiều chẵn mở rộng T đại số Lie đối chu trình cyclic (xem [4] [7]) Gần đà xuất toán phân loại đại số Lie toàn phương dùng cấu trúc đại số Lie toàn phương để nghiên cứu cấu trúc khác liên kết với nó, vÝ dơ nh­ cÊu tróc symplectic liªn kÕt víi cÊu trúc đại số Lie toàn phương có số chiều chẵn, cấu trúc đại số Novikov đối xứng, Mở rộng kép công cụ sử dụng nhiều nghiên cứu đại số Lie toàn phương, toán phân loại đại số Lie toàn phương Dựa vào khái niệm mở rộng kép đà chứng minh rằng: "Mọi đại số Lie toàn phương không gian hữu hạn chiều mở rộng kép đại số Lie toàn phương đại số Lie đơn đại số Lie phương giải chiều đại số chiều" " Một đại số Lie toàn n chiều nhận từ đại số Lie toàn phương (n 2) chiều tích nửa trực tiếp với đại số chiều khác" (xem [9]) Do nhiều người xem mở rộng kép kiểu mô tả quy nạp ! " Lời nói đầu kiểu mở rộng nhiều bước đại số Lie toàn phương Khái niệm mở rộng kép đóng vai trò quan trọng sở cho phương pháp phân loại quy nạp đại số Lie toàn phương Đối với đại số Lie toàn phương giải được, việc phân loại đà nhiều người quan tâm nghiên cứu Theo biết: ã Năm 2014, D M Thành [12] đà phân loại đại số Lie toàn phương giải chiều bé bằng phương pháp mở rộng kép không gian vectơ toàn phương ã Năm 2014, Benayadi [3] đà phân loại đại số Lie toàn phương không giải chiều bé 13 Gần nhất, công trình nghiên cứu mình, tác giả Dương Minh Thành đà mô tả mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải chiều nhỏ sử dụng mở rộng kép để phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều Với mong muốn tìm hiểu toán mô tả mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải có số chiều thấp, chọn đề tài: Tính toán mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều làm đề tài luận văn tốt nghiệp thạc sỹ Mục đích luận văn dựa nội dung hai báo " Một lớp mở rộng kép vài đại số Lie toàn phương giải chiều", đăng Tạp chí khoa học (Ngành Tự nhiên Công nghệ) Trường Đại học sư phạm Thành phố Hå ChÝ Minh, TËp 14, Sè (2017); 146 - 156 tác giả Nguyễn Thị Mộng Tuyền tài liệu liên quan để đọc hiểu, trình bày sè kÕt qu¶ vỊ mét líp më réng kÐp cđa vài đại số Lie toàn phương giải có chiỊu b»ng Néi dung nghiªn cøu cđa ln văn 2.1 Trình bày khái niệm nhóm Lie, đại số Lie, đại số Lie giải được, đại số Lie toàn phương giải số kiến thức liên quan Khái niệm mở rộng kép đại số Lie toàn phương có số chiều thấp # Lời nói đầu 2.2 Thể tường minh kết cho lớp đại số Lie toàn phương có số chiỊu thÊp, thĨ nh­: TÝnh to¸n më réng kÐp số đại số Lie toàn phương giải cã chiỊu b»ng Tỉng quan vµ cÊu tróc luận văn Ngoài phần Lời nói đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo nội dung luận văn trình bày hai chương Chương 1: Kiến thức sở Nội dung chương này, trình bày khái niệm số tính chất nhóm Lie, đại số Lie, biểu diễn tuyến tính đại số Lie, đại số Lie giải số khái niệm liên quan trực tiếp đến nội dung chương Các nội dung nói chia thành ba mục sau: 1.1 Nhóm Lie - Đại số Lie 1.2 Biểu diễn đại số Lie 1.3 Đại số Lie giải - Đại số Lie lịy linh Ch­¬ng 2: Më réng kÐp cđa mét số đại số Lie toàn phương giải có chiều Nội dung chương trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đại số Lie toàn phương, đại số Lie toàn phương giải được, khái niệm mở rộng kép tính toán mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Các nội dung nói chia thành hai mục sau: 2.1 Đại số Lie toàn phương giải 2.2 Mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Luận văn hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn Thầy giáo TS Nguyễn Quốc Thơ Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn Thầy, đà tận tình giúp đỡ suốt trình hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn Quý Thầy (Cô) Chuyên ngành Đại số Lý thuyết số Viện Sư phạm tự nhiên Phòng đào tạo Sau đại học Trường ĐH Vinh đà tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Tác giả xin cảm ơn Quý Thầy (Cô), đồng nghiệp nơi tác giả giảng dạy công tác đà tạo điều kiện thuận lợi, cổ vũ, động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp $ Lời nói đầu Cảm ơn hy sinh gia đình chỗ dựa tinh thần vững để tác giả vượt qua khó khăn, hoàn thành nhiệm vụ học tập Xin trân trọng kính tặng Gia đình thân yêu quà tinh thần với lòng biết ơn chân thành Mặc dù đà có nhiều cố gắng lực nhiều hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý nhà khoa học đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện tốt Nghệ An, ngày 18 tháng năm 2018 Tác giả Lê Thị Thúy Diễm Ch­¬ng KiÕn thøc c¬ së Néi dung chÝnh cđa chương này, trình bày lại khái niệm đại số Lie, đại số Lie giải được, đại số Lie lũy linh lý thuyết biểu diễn tương ứng Các khái niệm đà nhiều nhà khoa học viết thành giảng, giáo trình sách chuyên khảo Trong luận văn chủ yếu tham khảo trích dẫn tài liệu Bài giảng Lý thuyết nhóm Lie tác giả Đỗ Ngọc Diệp (xem [1]) tài liệu Lie groups, Lie algebras and representations gi¶ Brian C Hall (xem [5]) 1.1 Nhóm Lie - Đại số Lie 1.1.1 Định nghĩa Nhóm tập G = , trang bị ánh xạ tích G ì G G, (x, y) x.y ánh xạ G −→ G, x −→ x−1 , tháa m·n c¸c ®iỊu kiƯn sau: i) TÝnh kÕt hỵp: x.(y.z) = (x.y).z, x, y, z G ii) Tồn phần tử đơn vị iii) e G cho: e.x = x.e = x, ∀x ∈ G x−1 x = x.x−1 = e, x G % tác Chương & Kiến thức sở 1.1.2 Định nghĩa Tập hợp G = gọi nhóm Lie điều kiện sau thỏa mÃn: i) ii) G nhóm, G đa tạp khả vi, iii) Anh xạ G ì G G; (x, y) xy −1 1.1.3 NhËn xÐt vµ chØ phÐp nhân) ánh xạ trơn Định nghĩa tương đương với định nghĩa sau: G nhóm Lie G đa tạp trơn đồng thời có phép toán hai (ký hiệu G ì G G, (x, y) −→ x.y cho: i) PhÐp nh©n G có đơn vị trái phaần tử G có nghịch đảo trái, 1 G G, x −→ x−1 l cho xl x = e (tương ứng, nghịch đảo phải, x.xr = e.) ii) Các ánh xạ G ì G G, (x, y) x.y G −→ G, x −→ x−1 l Nhãm Lie nhóm Lie G (tương ứng nghịch đảo phải ánh xạ lấy nghịch đảo trái x x1 r ) ánh xạ trơn G gọi giao ho¸n nÕu phÐp to¸n nhãm giao ho¸n Sè chiỊu cđa số chiều đa tạp khả vi G Vì nhóm Lie vừa có cấu trúc nhóm, vừa đa tạp khả vi nên ta đưa nhiều công cụ đại số, giải tích, tôpô, hình học vi phân, để nghiên cứu cấu trúc nhóm Lie Ví dụ Nhóm tuyến tính tổng quát nhóm tuyến tính đặc biệt Cho K = R C trường số thực trường số phức Khi ®ã nhãm tun tÝnh tỉng qu¸t GLn (K) = {A ∈ M atn (K)|det(A) ̸= 0} lµ mét nhãm Lie Một nhóm đặc biệt GLn (K) nhóm tuyến tính đặc biệt SLn (K) = {A GLn (K)|det(A) = 1} cịng lµ mét nhãm Lie VÝ dụ Nhóm biến đổi afin Cho Affine K = R C trường số thực trường sè phøc XÐt nhãm biÕn ®ỉi Af f (K) = {φ : K −→ K|x −→ φ(x) = ax + b; a, b ∈ K; a ̸= 0} Khi ®ã Af f (K) nhóm Lie, đẳng cấu với nhóm nhân ma trận tam giác dạng {[ ] } a b |a, b ∈ K, a ̸= Ch­¬ng ' KiÕn thøc c¬ së VÝ dơ Nhãm trùc giao Cho vÞ cÊp K = R C trường số thực trường số phức In ma trận đơn n Khi tËp hỵp: G = {X ∈ M atn (K)|X T In X = In } lµ nhãm Lie gäi lµ nhãm trùc giao thùc O(n) nÕu K = R, hc nhãm trùc giao phøc O(n, C) nÕu K = C VÝ dô Nhãm symplectic [ ] In Cho K = R C trường số thực tr­êng sè phøc vµ A = −In , In ma trận đơn vị cấp n Khi nhóm ma trận symplectic thực phức Sp(2n, K) := {X ∈ M at2n (K)|X T AX = A} lµ nhãm Lie gäi lµ nhãm symplectic VÝ dơ Nhãm Unita Nhãm c¸c ma trËn U (n) := {X ∈ M atn (C)|X ∗ X = XX ∗ = In } lµ nhãm Lie gäi lµ nhãm unita 1.1.4 Định nghĩa Cho nhóm Lie i) H gọi G, đa tạp đa tạp 1.1.5 Định nghĩa Cho G1 G2 f ®ång cÊu nhãm Lie nÕu: i) f ii) f ®­ỵc gäi G, nÕu: lµ nhãm cđa H ii) G lµ mét nhãm Lie vµ ∅ ̸= H ⊆ G Tập H G hai nhóm Lie, xét ánh xạ f : G1 G2 Ta đồng cấu nhóm, ánh xạ khả vi Đặc biệt, f đẳng cấu nhóm nhóm Lie Hai nhóm Lie xạ đẳng cấu nhóm Lie G1 G2 f vi phôi đa tạp f đẳng cấu gọi đẳng cấu chúng tồn ánh Mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Chương (xem [7]) Cho 2.1.4 Định nghĩa H ideal i) ii) G G gọi đầy đủ H (G, B) đại số Lie toàn phương trường K G = G := [G, G] gọi không suy biến (đối với gọi đẳng hướng (đối với 2.1.5 Định nghĩa 2.1.6 không suy biến H trường K B ) B|HìH = (xem [7]) Một đại số Lie toàn phương gọi bất khả phân tồn hai iđêan B ) B|HìH I1 vµ I2 cđa (G, B) G cho ⊥ G = I1 ⊕ I2 I1 = {0} hc I2 = {0} Định nghĩa trường (xem [7]) Hai đại số Lie toàn phương (G, B) (G , B ) K gọi đẳng cấu đẳng cự tồn đẳng cấu đại số Lie ′ ′ Φ : G −→ G , cho B (Φ(x), Φ(y)) = B(x, y), ∀x, y ∈ G Trong trường hợp ta nói đẳng cấu đẳng cự 2.1.7 Định nghĩa phương G đẳng cấu đẳng cự Như vừa đẳng cấu vừa đẳng cự (xem [10]) Đại số Lie toàn phương (G, B) gọi địa có iđêan cực đại Với đại số Lie G, ta đặt M (G) tập hợp iđêan cực tiểu Soc(G) tổng iđêan cực tiểu G Theo [3], (G, B) địa phương G có iđêan cực tiểu Do vậy, đại số Lie toàn phương địa phương Soc(G) iđêan cực tiểu Cho G đại số Lie đối xứng, bất biến G K Ký hiệu F(G) tập tất dạng song tuyến tính B(G) tập tất tích vô hướng bất biến (tức dạng song tuyến tính đối xứng bất biến, không suy biến) G Khi theo [3] F(G) B(G) lập thành không gian vectơ K Hơn B(G) không gian vectơ 2.1.8 Định nghĩa toàn phương cđa bÊt biÕn trªn F(G) (xem [10]) Cho (G, B) K đại số Lie toàn phương Chiều (G, B) chiều không gian vectơ B(G) gồm tích vô hướng G, ký hiệu dq (G) Nghĩa là, dq (G) = dimK B(G) Theo [8], nÕu (G, B) đại số Lie toàn phương thì: F(G) = B(G) vµ dq (G) = dimK F(G) ! Më réng kÐp số đại số Lie toàn phương giải có chiều Chương Trọng đại số Lie mÃn điều kiện G tập hợp tất tự đồng cấu tuyến tính [x, y] = [x, y], ∀x, y ∈ G Víi B φ cđa G thỏa dạng song tuyến tính G Ký hiệu Cents (G, B) tập hợp tất phần tử B đối xứng trọng G Tức là, Cents (G, B) thì: B(x, y) = B(x, φy) vµ φ[x, y] = [φx, y], ∀x, y G 2.1.9 Định nghĩa cho G B (xem [10]) Đại số Lie toàn phương tồn iđêan thu hẹp biến Ngược lại, G J J ìJ (G, B) gọi khả quy không tầm thường thực (có nghĩa {0} = J = G ) dạng song tuyến tính đối xứng không suy gọi bất khả quy không tầm thường thực (có nghĩa G không tồn iđêan {0} = J = G ) cho B thu hẹp J J ìJ dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến 2.1.10 Định lý phương (xem [8]) Cho (G, B) đại số Lie toàn phương có chiều toàn dq (G) = Khi mệnh đề sau tương đương: i) G khả quy ii) G tổng trực tiếp hai iđêan đơn tổng trực tiếp iđêan đơn iđêan chiều Chøng minh Jk víi i) ⇒ ii) ≤ k n Giả sử G không khả quy Khi đó, n Jk k=1 với iđêan khả quy, không suy biến B(Jk , Jl ) = {0}, ∀k ̸= l Râ rµng n ∑ n ≥ G vµ cho dq (Jk ) ≤ dq (G) dq (G) = n nên k=1 dq (J1 ) = dq (J2 ) = Khi đó, J1 , J2 iđêan đơn iđêan chiều Nếu hai iđêan hoán ThËt vËy, víi 1− chiỊu th× G = J1 ⊕ J2 x, y ∈ G, x = x1 + x2 đại số Lie chiều giao y = y1 + y2 , ®ã: [x, y] = [x1 + x2 , y1 + y2 ] = [x1 , y1 ] + [x1 , y2 ] + [x2 , y1 ] + [x2 , y2 ] = Vậy G J1 , J2 đại số Lie giao hoán Suy dq (G) = 3, điều trái với giả thiết Do không đồng thời iđêan chiều Hay G tổng trực tiếp hai iđêan đơn tổng trực tiếp iđêan đơn iđêan chiều Ta có điều phải chứng minh !! Chương Mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiỊu b»ng ii) ⇒ i) Khi G lµ tỉng trực tiếp hai iđêan đơn tổng trực tiếp iđêan đơn iđêan chiều tầm thường thực mà hạn chế iđêan iđêan đơn Vậy 2.1.11 Định lý G tồn iđêan không B dạng không suy biến, cụ thể khả quy (xem [8]) Mọi đại số Lie toàn phương quy có chiều toàn phương 2.1.12 Định lý G (G, B) khác không, bất khả dq (G) = đại số Lie toàn phương địa phương (xem [8]) Cho (G, B) đại số Lie toàn phương không khả quy Khi đó: i) G địa phương giải Lie toàn phương lũy linh khác không tâm ii) (G, B) mở rộng kép đại số (A, T ) toán tử đạo hàm khả nghịch Z(A) A G địa phương đầy đủ đại số Lie toàn phương lũy linh (A, T ) (G, B) lµ më réng kÐp cđa mét bëi đại số Lie đơn : S Dera (A, T ) cho Z(A)S = {0} S qua phÐp biểu diễn !" Mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Chương 2.2 Mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều 2.2.1 Định nghĩa xạ tuyến tính (xem [7]) Giả sử : G G i) Đạo hàm G (G, B) C đại số Lie toàn phương Một ánh gọi là: ([x, y]) = [(x), y] + [x, (y)], x, y G, ii) Đạo hàm phản xứng G đạo hàm G vµ B(Φ(x), y) = −B(x, Φ(y)), ∀x, y ∈ G Cho đại số Lie toàn phương G Dera (G, B) (G, B) Ký hiệu Der(G) đại số Lie đạo hàm tập đạo hàm phản xứng G Khi đó, Dera (G, B) đại số Lie Der(G) gọi đại số Lie đạo hàm phản xứng G 2.2.2 Định nghĩa (xem [9]) Giả sử (A, T ) K đại số Lie toàn phương, B K ®¹i sè Lie XÐt biĨu diƠn ψ : B −→ Dera (A, T ) Gọi biểu diễn đối phụ hợp B (x, y)z := B((z)x, y), ∀x, y ∈ G, z ∈ B XÐt kh«ng gian vect¬ G = B ∗ ⊕ A ⊕ B, víi tích Lie [., ] xác đinh hệ thức: [f1 + x1 + y1 , f2 + x2 + y2 ] = (π(y1 )(f2 ) − π(y2 )(f1 ) + φ(x1 , x2 )) + ([x1 , x2 ]A + ψ(y1 )(x2 ) − ψ(y2 )(x1 )) + [y1 , y2 ]B víi mäi f1 , f2 ∈ B ∗ ; x1 , x2 ∈ A; y1 , y2 B Khi G gọi mở rộng kép A B trở thành đại số Lie vµ nhê phÐp biĨu diƠn DƠ dµng kiĨm tra dạng song tuyến tính B : G ì G K xác định B(f1 + x1 + y1 , f2 + x2 + y2 ) = T (x1 , x2 ) + f1 (y2 ) + f2 (y1 ) víi mäi f1 , f2 ∈ B ∗ ; x1 , x2 ∈ A; y1 , y2 ∈ B tích vô hướng bất biến, tức dạng song tuyến tính đối xứng, không suy biến G Do đó, (G, B) trở thành đại số Lie toàn phương Hơn nữa, với dạng song tuyến tính đối xứng bất biến B xác định tích vô hướng bất biến B xác định sau: G Cụ thể, Bγ Bγ : G × G −→ K, Bγ (f1 + x1 + y1 , f2 + x2 + y2 ) = T (x1 , x2 ) + γ(y1 , y2 ) + f1 (y2 ) + f2 (y1 ) víi mäi f1 , f2 ∈ B∗ ; x1 , x2 ∈ A; y1 , y2 ∈ B !# Më rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Chương (xem [10]) Cho 2.2.3 Mệnh đề G đạo hàm phản xứng đồng D = idG đạo hàm phản xứng (G, B) C đại số Lie toàn phương giao hoán G Giả sử G mở réng kÐp cđa D = D|G Khi ®ã: i) [x, y] = B(f, x)D(y)−B(f, y)D(x)+B(D(x), y)f, ∀x, y ∈ G, f ∈ Z(G) ii) NÕu G G vµ G mở rộng kép G đạo hàm phản xứng D = D, C đẳng cấu đẳng cự Chứng minh i) Được suy trực tiếp định nghĩa mở rộng kép ii) Vì G G G mở rộng kép theo định nghĩa ta có đạo hàm phản xứng tương ứng, G = G ⊕ (Ce ⊕ Cf ) = G Ký hiệu [., ] tích Lie G Xét ánh xạ : G G , xác định bởi: (f ) = f, (e) = s |G = idG Khi ta cã: Γ([e, x]) = D(x) = [Γ(e), Γ(x)] vµ Γ([x, y]) = [Γ(x), Γ(y)], ∀x, y ∈ G VËy đẳng cấu đẳng cự, hay G 2.2.4 Mệnh đề (xem [8]) Cho không giao hoán đạo hàm G đẳng cấu đẳng cự C đại số Lie toàn phương giải được, mở rộng kép chiều đại n − chiỊu (xem [10]) Cho Chøng minh Trªn (G, B) G dim(G) = n Khi ®ã G sè Lie toàn phương giải 2.2.5 Mệnh đề (G, B) đại số Lie toàn phương adG (x0 ) G Khi ®ã më réng kÐp G G khả phân ta định nghĩa phÐp to¸n nh­ sau: [x, y]G = [x, y]G + B([x0 , x], y)f ; [e, x] = [x0 , x] [f, G] = Khi dễ dàng chứng minh f Z(G) Vậy G khả phân e − x0 ∈ Z(G) (t©m cđa G, B(e − x0 , f ) = !$ Chương Mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều G2 tương ứng mở rộng kép đại số Lie đạo phản xứng D1 2.2.6 Mệnh đề toàn phương G (xem [10]) Cho x G G1 2.2.7 Định lý.(xem [8]) Cho G1 G2 D2 NÕu D1 − D2 = adG (x), đẳng cấu đẳng cự (A, T ) đại số Lie toàn phương Dera (A, T ) toán tử khả nghịch Khi mở rộng kép toàn phương Chứng minh Vì (G, B) cđa (A, T ) bëi δ cã chiỊu (G, B) lµ më réng kÐp cđa (A, T ) bëi δ nªn G = Ke∗ ⊕ A ⊕ Ke (với Ke = Z(G)) Đặt = K(e, e), β = K(e, e∗ ) Khi ®ã víi mäi x A, ta có: Gọi K dạng song tuyến tính đối xứng bất biến G K(e, x) = K(e, [e, δ −1 x]) = K([e, e], δ −1 x) = 0( tÝnh chÊt bÊt biÕn cña K) T­¬ng tù K(e∗ , x) = K(e∗ , [e∗ , δ −1 x]) = v× Ke∗ = Z(G) (theo Định lý 2.2.5) Bây giờ, x, y A cho (x, y) ̸= th×: = K([δ −1 x, y], e∗ ) = K([δ −1 x, y]A, e∗ )+T (x, y)K(e∗ , e∗ ) = T (x, y)K(e , e ) Từ suy K(e , e ) = nữa, với x, y ∈ A chóng ta cã: K(x, y) = K(x, [e, δ −1 y]) = K([δ −1 y, x], e) = T (x, y)K(e∗ , e) = βT (x, y) = B(x, y) (vì (G, B) mở rộng kép cđa (A, T ) nªn B(x, y) = T (x, y), ∀x, y ∈ A) Do vËy, nÕu S lµ dạng song tuyến tính xác định dễ dàng chứng minh Ví dụ Cho G = Span{x, y} dim(G) = Trªn G S(e, e) = 1, S(Ke∗ ⊕ A, G) = K = S + B, dimF(G) = đại số Lie toàn phương giải được, giao hoán ta định nghĩa dạng toàn phương B : G ì G −→ C, nh­ sau: B(x, y) = 1, c¸c tr­êng hợp lại không D ]là đạo hàm phản xứng G có ma trận sở {x, y} lµ AD = −1 Khi mở rộng kép G đạo hàm phản xứng D đại số Giả[sử Lie kim cương !% Chương Mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Chứng minh Thật vậy, ta đặt G = G Ce Cf định nghĩa tích Lie G nh­ sau: [x, y] = [x, y]G + B(D(x), y)f = f ; [e, x] = D(x) = x; [e, y] = D(y) = y, trường hợp lại không Khi dạng song tuyến tính định B G xác B (x, y) = B (e, f ) = 1, c¸c tr­êng hợp lại không Với tích Lie dạng song tuyến tính rộng kép xác định trên, ta dễ dàng suy mở (G, B ) (G, B) đại số Lie kim cương Cho VÝ dô B dim(G) = 3, G = Span{x, y, z} đại số Lie toàn phương, giao hoán, với dạng toàn phương B G định nghÜa nh­ sau: B : G × G −→ C, B(x, t) = B(y, z) = 1, trường hợp lại không D đạo hàm phản xứng G có ma trận sở {x, y, z} lµ ] AD = 0 −1 Khi ®ã më réng kÐp cđa G đạo hàm phản xứng D đại 0 số Lie toàn phương có chiều Giả sử [ Chứng minh Thật vậy, ta đặt G = G Ce Cf định nghĩa tÝch Lie trªn G nh­ sau: [y, z] = [y, z]G + B(D(y), z)f = f ; [e, y] = D(y) = x; [e, z] = D(z) = −y, c¸c trường hợp lại không Khi dạng song tuyến tính xác định B (x, z) = B (y, y) = B (e, f ) = 1, không Với tích Lie dạng song tuyến tính suy (G, B ) mở rộng kÐp cđa (G, B) B ′ B ′ trªn G trường hợp lại xác định trên, ta dễ dàng đại số Lie toàn phương dim(G) = Ví dụ Cho G = Span{x, y, z, t} dim(G) = 4, víi dạng toàn phương B : G ì G C, không đại số Lie toàn phương, giao hoán sau: B G định nghĩa sau: B(x, z) = B(y, y) = 1, c¸c tr­êng hợp lại !& Mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Chương phản xứng G có ma trận sở {x, y, z, t} D đạo hàm Giả sử 0 AD = 0 0 0 0 −1 0 0 Khi ®ã më réng kÐp G đại số Lie toàn phương có chiều Chứng minh Thật vậy, ta đặt G = G Ce Cf đạo hàm phản xứng định nghĩa tích Lie D G lµ nh­ sau: [y, z] = [y, z]G + B(D(y), z)f = f ; [e, y] = D(y) = x; [e, z] = D(z) = t, trường hợp lại không Khi dạng song tuyến tính xác định B (x, t) = B (y, z) = B (e, f ) = 1, kh«ng Với tích Lie dạng song tuyến tính suy ®­ỵc ′ (G, B ) më réng kÐp cđa (G, B) B B G trường hợp lại xác định trên, ta dễ dàng đại số Lie toàn phương dim(G) = Trong [2] đà cho ta danh sách phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều 7, kết thể định lý sau: 2.2.8 Định lý (xem [2]) Cho chiều G i) Nếu G khả phân giải (G, B) đại số Lie toàn phương giải số G đẳng cấu đẳng cự với G0 F, G0 đại số Lie chiều ii) Nếu G bất khả phân tồn sở {x1 , x2 , x3 , t, z1 , z2 , z3 } cho dạng song tuyến B xác định B(x1 , z1 ) vµ G = B(x2 , z2 ) = B(x3 , z3 ) = B(t, t) = đẳng cấu với đại số Lie sau: G7,1 : [x3 , x2 ] = x1 , [x3 , t] = x2 , [x3 , z1 ] = −z2 , [x3 , z2 ] = −t, [x2 , z1 ] = z2 , [t, z2 ] = z3 G7,2 : [x3 , x1 ] = x1 , [x3 , t] = x2 , [x3 , z1 ] = −z1 , [x3 , z2 ] = −t, [x1 , z1 ] = z3 , [t, z2 ] = z3 G7,3 : [x3 , x1 ] = x1 , [x3 , x2 ] = −x2 , [x3 , z1 ] = −z1 , [x3 , z2 ] = −z2 , [x1 , z1 ] = z3 , [t, z2 ] = −z3 , [x1 , x2 ] = t, [x1 , t] = −z2 , [x2 , t] = z1 !' Ch­¬ng Më réng kÐp cđa mét số đại số Lie toàn phương giải có chiều " Công việc tiếp theo, trình bày cách mô tả lớp mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải có chiều đà phân loại Định lý 2.2.8 2.2.9 Định lý phương G (xem [2]) Gọi đạo hàm phản xứng đại số Lie toàn ⊥ = G6,1 ⊕C Khi ®ã ma trËn biĨu diƠn D sở {x1 , x2 , x3 , z1 , z2 , z3 , y} xác định sau: x1 y1 −z1  D=    −t1 NÕu D −x2 −x3 −y2 −y3 −z2 x1 + y2 0 0 0 −t2 −t3 0 x1 x2 x3 0 0 0 y1 z1 y2 z2 y3 −(x1 + y2 ) 0  0  0 t1   , xi , yi , zi , ti ∈ C t2   t3  ⊥ ti = 0, ∀i = 1, 2, th× më réng kÐp cđa G = G6,1 ⊕ C bëi D sÏ lµ mét trường hợp sau: G9,1 : [x1 , x2 ] = z3 , [x2 , x3 ] = z1 , [x3 , 11 ] = z2 G9,2 : [e, x2 ] = x1 , [e, z1 ] = −z2 , [x1 , x2 ] = z3 , [x2 , x3 ] = z1 , [x2 , z1 ] = f, [x3 , x1 ] = z2 G9,3 : [e, x2 ] = x1 , [e, x3 ] = x2 , [e, z1 ] = −z2 , [e, z2 ] = −z3 , [x1 , x2 ] = z3 , [x2 , x3 ] = z1 , [x2 , z1 ] = f, [x3 , x1 ] = z2 , [x3 , z2 ] = f G9,4 : [e, x2 ] = x2 , [e, x3 ] = −x3 , [e, z2 ] = −z2 , [e, z3 ] = z3 , [x1 , x2 ] = z3 , [x2 , x3 ] = z1 , [x2 , z2 ] = f, [x3 , x1 ] = z2 , [x3 , z3 ] = −f G9,5 : [e, x1 ] = x1 , [e, x2 ] = x1 + x2 , [e, x3 ] = −2x3 , [e, z1 ] = −z1 − z2 , [e, z2 ] = −z2 , [e, z3 ] = 2z3 , [x1 , x2 ] = z3 , [x3 , x1 ] = z2 , [x1 , z1 ] = f [x2 , x3 ] = z1 , [x2 , z1 ] = f, [x2 , z2 ] = f, [x3 , x3 ] = −2f G9,6 : [e, x1 ] = x1 , [e, x2 ] = αx2 , [e, x3 ] = (−1 − α)x3 , [e, z1 ] = −z1 , [e, z2 ] = −αz2 , [e, z3 ] = (1 + α)z3 , [x1 , x2 ] = z3 , [x3 , x1 ] = z2 , [x1 , z1 ] = f [x2 , x3 ] = z1 , [x2 , z2 ] = αf, [x3 , z3 ] = (−1 − α)f Ch­¬ng Më réng kÐp cđa số đại số Lie toàn phương giải có chiều Chứng minh Giả sử xác định bëi ⊥ G = G6,1 ⊕ C = Span{x1 , x2 , x2 , z1 , z2 , z3 , y}, víi tÝch Lie [x1 , x2 ] = z3 , [x2 , x3 ] = z1 , [x3 , x1 ] = z2 , trường hợp lại tầm thường dạng song tuyến tính B xác ®Þnh bëi: B(x1 , z1 ) = B(x, z2 ) = B(x3 , z3 ) = B(y, y) = Nếu D đạo hàm phản xứng G ®èi víi c¬ së {x1 , x2 , x2 , z1 , z2 , z3 , y} ®· chän ë trên, ta dễ dàng tính ma trËn biĨu diƠncđa −x1 −x2 −x3 0 0 0 y1 z1 y2 z2 y3 −(x1 + y2 ) −t1 −t2 −t3 0 Víi mäi xi , yi , zi , b1 , c2 , c2 ∈ C, i = 1, 2,  −y1 −y2 −y3   −z1 −z2 x1 + y2  D =  −b1 −c1 x1  b −c2 x2   c1 c2 x3 D lµ: 0  0 t1   t2   t2  Theo MƯnh ®Ị 2.2.5, ta cã  thÓ chän b1 = c1 = c2 = Khi ®ã ma trËn cđa D ] [ A 0 −x1 −x2 −x3 −AT B  , với A = y1 y2 y3 viết lại sau: D =  −z1 −z2 x1 + y2 −B T 0 vµ B = [t1 t2 t3 ] Đặt G = G Ce Cf Xét tự đẳng cấu tự đẳng cấu ma trận B ⊥ ⊥ Γ : G6,1 ⊕ C −→ G6,1 ⊕ C, cho Γ = Λ ⊗ idC , G6,1 idC đồng C Không tính tổng quát, ta chọn ma trận không ma trậnA có vết hợp sau cđa A lµ: [ 0 NÕu A cã d¹ng A = 0 0 z3 , [x2 , x3 ] = z1 , [x3 , x1 ] = [z2 NÕu A cã d¹ng A = 0 0 0, nh­ vËy ta có trường ] 0 tích Lie G xác định bởi: [x1 , x2 ] = ] 0 th× tÝch Lie cđa G xác định bởi: [e, x2 ] = x1 , [e, z1 ] = −z2 , [x1 , x2 ] = z3 , [x2 , x3 ] = z1 , [x2 , z1 ] = f, [x3 , x1 ] = z2 [ ] NÕu A cã d¹ng A = 0 0 tích Lie G xác định bëi: [e, x2 ] = x1 , [e, x3 ] = x2 , [e, z1 ] = −z2 , [e, z2 ] = −z3 , [x1 , x2 ] = z3 , [x2 , x3 ] = z1 , [x2 , z1 ] = f, [x3 , x1 ] = z2 , [x3 , z2 ] = f " Ch­¬ng Mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều [ ] 0 NÕu A cã d¹ng A = 0 −1 th× tÝch Lie cđa G xác định bởi: [e, x2 ] = x2 , [e, x3 ] = −x3 , [e, z2 ] = −z2 , [e, z3 ] = z3 , [x1 , x2 ] = z3 , [x2 , x3 ] = z1 , [x2 , z2 ] = f, [x3 , x1 ] = z2 , [x3 , z3 ] = −f [ ] 1 NÕu A cã d¹ng A = 0 −2 tích Lie G xác định bởi: [e, x1 ] = x1 , [e, x2 ] = x1 + x2 , [e, x3 ] = −2x3 , [e, z1 ] = −z1 − z2 , [e, z2 ] = −z2 , [e, z3 ] = 2z3 , [x1 , x2 ] = z3 , [x3 , x1 ] = z2 , [x1 , z1 ] = f [x2 , x3 ] = z1 , [x2 , z1 ] = f, [x2 , z2 ] = f, [x3 , x3 ] = −2f [ 0 α NÕu A cã d¹ng A = 0 ] tích Lie G xác định bởi: [e, x1 ] = x1 , [e, x2 ] = αx2 , [e, x3 ] = (−1 − α)x3 , [e, z1 ] = −z1 , [e, z2 ] = −αz2 , [e, z3 ] = (1 + α)z3 , [x1 , x2 ] = z3 , [x3 , x1 ] = z2 , [x1 , z1 ] = f [x2 , x3 ] = z1 , [x2 , z2 ] = αf, [x3 , z3 ] = (1 )f 2.2.10 Định lý (xem [2]) Gọi D đạo hàm phản xứng đại số Lie toàn phương G = G7,1 Khi ma trËn  , x2 , x3 , t, z1 , z2 , z3 }  biĨu diƠn cđa D ®èi víi c¬ së {x 0 0 −b2 y1  0 0 b2 0    0 0 −y1 0 0 0 xác định sau: D =  0  , ∀x2 , y1 , b2 ∈ C   0 −x 0 0   0 0 0 0 x2 0 0 0 NÕu x2 = y1 = b2 = th× më réng kÐp cđa G = G7,1 bëi D lµ G9,7 , với tích Lie xác định bởi: [x2 , x3 ] = −x1 , [x2 , z1 ] = z3 , [x3 , t] = x2 , [x3 , z1 ] = −z2 , [x3 , z2 ] = −t, [t, z2 ] = z3 " Ch­¬ng Mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Chứng minh Ta chọn sở tắc {x1 , x2 , x3 , t, z1 , z2 , z3 } cđa G7,1 cho c¸c tÝch Lie [x3 , x2 ] = x1 , [x3 , t] = x2 , [x3 , z1 ] = −z2 , [x3 , z2 ] = −t, [x2 , z1 ] = z3 , [t, z2 ] = z3 dạng song tuyến tính B xác định bởi: B(x1 , z1 ) = B(x2 , z2 ) = B(x3 , z3 ) = B(t, t) = Gọi D đạo hàm phản xứng G7,1 Khi ta tính ma trận D xác định bởi: −e2 −f1 0 −b2 y1 0 −f2 −e2 b2 0   0 0 −y1 0   t2 0 e2  D = 0  , ∀e1 , e2 , f1 , f2 , x2 , y1 , b2 ∈ C 0 −x2 0 0   0 e1 e2 0 x2 −e2 −t2 f1 f2 Theo MƯnh ®Ị 2.2.5, ta cã thÓ chän  f1 = e2 = f2 = e1 = t2 = 0. Khi ®ã ma trËn cđa 0 0 −b2 y1  0 0 b2 0    0 0 y1 0 0 D viết l¹i nh­ sau: D =  0 0  , ∀x2 , y1 , b2 ∈ C  0 −x 0 0   0 0 0 0 x2 0 0 0 Đặt G = G7,1 Ce ⊕ Cf NÕu x2 = y1 = b2 = 0, tích Lie G xác định bởi: [x2 , x3 ] = −x1 , [x2 , z1 ] = z3 , [x3 , t] = x2 , [x3 , z1 ] = −z2 , [x3 , z2 ] = −t, [t, z2 ] = z3 "! Kết luận Luận văn có mục đích hệ thống lại kiến thức đà học đại số Lie, biểu diễn đại số Lie, đại số Lie giải được, đại số Lie lũy linh Tiếp theo tìm tòi, nghiên cứu số tính chất đại số Lie toàn phương, đại số Lie toàn phương giải mở rộng kép Cuối tính toán mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Cụ thể, luận văn đà trình bày vấn đề sau: Trình bày định nghĩa số tính chất đơn giản đại số Lie, đại số Lie giải được, đại số Lie lũy linh, tiêu chuẩn giải (Định lý 1.3.9), tiêu chuẩn Cartan đại số Lie giải (Định lý 1.3.14) Trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đơn giản đại số Lie toàn phương; chiều toàn phương đại số Lie toàn phương số tính chất liên quan đến đại số Lie toàn phương Khái niệm đại số Lie toàn phương giải số tính chất đơn giản Trình bày định nghĩa, số tính chất mở rộng kép đại số Lie toàn phương Mô tả mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải được, giao hoán chiều, chiều 4− chiỊu (VÝ dơ 1, VÝ dơ 2, VÝ dơ Mục 2.2) Phần cuối luận văn tính mở rộng kép cho số đại số Lie toàn phương giải chiều (Định lý 2.2.9, Định lý 2.2.10) "" Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Ngọc Diệp (2012), Lý thuyết nhóm Lie, Bài giảng Sau đại học, Viện Toán học Việt Nam [2] N T M Tun (2017), Mét líp më réng kép vài đại số Lie toàn phương giải chiều, Tạp chí khoa học ĐHSP TP Hồ ChÝ Minh, TËp 14, Sè 6, tr146 - tr156 TiÕng Anh [3] Benayadi S and Elduque A, Classification of quadratic Lie algebras of low dimensio, J of Math Phys, 55, 081703, - 17 [4] Bordemann M.(1997), Nondegenerate invariant bilinear forms on nonassociative algebras, Acta Math Uni Comenianac, LXVI(2), 151 - 201 [5] Brian C Hall Lie groups, Lie algebras and representations, Springer 2004 [6] Figueroa M J and Stanciu S (1996), On the structure of symmetric selfdual Lie algebras, J of Math Phys, 37, 4121 - 134 [7] Kac V (1985), Infinite - dimensional Lie algebras, Cambrigde University Press, New York [8] Ignacio Bajo, Said Benayadi (2007), Lie Algebras with quadractic dimension equal to 2, Journal of Pure and Applied Algebara, 209, 725 - 737 [9] Pinczon G and Ushirobira R (2007), New Application of Graded Lie Algebras to Lie Algebras, Generalized Lie Algebras and Cohomology, J Lie Theory, 17, pp 633 - 667 "# Tµi liƯu tham kh¶o [10] Thanh D M and Ushirobira R (2012), A new invariant of quadratic Lie algebras, Algebra Represent Theory, 15, pp 1163 - 1203 [11] Thanh D M (2013), Two - step nilpotent qudratic Lie Algebras and - dimensional non - commutative symmetric Novikov algebras, Vietnam Journal of Mathematics, Vol 41(2), pp 135 - 148 [12] Thanh D M Solvable quadratic Lie algebras of dimension at most 8, arXiv: 1407.6675v1 [math.RA] 25 Jul 2014 "$ ... niệm mở rộng kép đại số Lie toàn phương tính toán mở rộng kép số đại số Lie toàn phương giải có chiều Các đại số xét Chương đại số hữu hạn chiều trường số phức C 2.1 Đại số Lie toàn phương giải. .. niệm mở rộng kép đà chứng minh rằng: "Mọi đại số Lie toàn phương không gian hữu hạn chiều mở rộng kép đại số Lie toàn phương đại số Lie đơn đại số Lie phương giải chiều đại số chiều" " Một đại số. .. tả mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải chiều nhỏ sử dụng mở rộng kép để phân loại đại số Lie toàn phương giải có chiều Với mong muốn tìm hiểu toán mô tả mở rộng kép đại số Lie toàn phương giải