Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 41 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Tiêu đề
Phân Tích Đa Thức Thành Nhân Tử
Định dạng
Số trang
41
Dung lượng
800,54 KB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ Phương pháp: p - Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng q p ước hệ số tự do, q kà ước dương hệ số cao - Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử là: x – - Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử là: x + f (1) f ( 1) ; a a số - Nếu a nghiệm nguyên f(x) nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự f (1) 0; f (1) Đối với đa thức bậc hai : ax2 + bx + c Cách 1: Tách hạng tử bậc bx - Tính a.c phân tích a.c tích hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = - Chọn hai thừa số có tổng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b - Tách bx = a1x + c1x - Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x x b 3x x d x x 24 c x 11x e x x Lời giải a) Ta có: 3.4 = 12 = 2.6 , mà + = nên ta được: 3x x 3x x x x x b) Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 3x x 3x x x 3x x x x 3x Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: c) x 11x 28 x x e) x x x 1 x 3x x x x x x 3x d) x x 24 x x 3 Cách 2: Tách hạng tử bậc ax2 - Ta thường làm làm xuất đẳng thức: a b2 a b a b Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x x Lời giải 3x x x x x x x x x Ta có: Cách 3: Tách hạng tử tự c - Ta tách c thành c1 c2 để dùng phương pháp nhóm hạng tử tạo đẳng thức cách c1 nhóm với ax2 cịn c2 nhóm với bx Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3x x b) x x a c) x 12 x Lời giải a 3x x 16 12 3x 12 x 16 x 3x b x x x x 1 x 1 2 x 1 x c x 12 x x 12 x x 32 x x 1 2 Đối với đa thức bậc ba trở lên ( dùng phương pháp nhẩm nghiệm ) Cơ sở để phân tích: Xét đa thức Pn ( x) a n x n an 1 x n 1 a1 x a0 (an a0 Z , n 1) +) Nếu x = a nghiệm P(x) P(a) = Hệ Quả : Nếu Pn(x) = có nghiệm ngun nghiệm ước a0 +) Định lý Bezut: Nếu Pn(x) = có nghiệm x = a Pn(x) = (x - a) H(x) bậc (n - 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 4 Lời giải Ta nhận thấy nghiệm f(x) có x 1, 2 Chỉ có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhận tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: x3 x 4 x x x x x x x x Cách 2: x3 x 4 x3 x 4 x x x x x Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x x b x x x Lời giải a Ta có ước là: 1; 2; 4 Nhận thấy x = -2 nghiệm đa thức đa thức có nhân tử là: x – (-2) = x+2 x3 x x ( x 2) ( x x 2) 43 0 2 Hoặc: ( x 8) ( x 4) ( x 2)( x x 2) b Nhận thấy x = -1 nghiệm đa thức nên có nhân tử là: x + 2 x3 x x ( x x ) (4 x x) (4 x 4) ( x 1)( x 2) *) Chú ý: + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x x x 19 x 30 d x3 x x 10 b x x x c e x x x x Lời giải a Ta có: + = nên đa thức có nhân tử x + x x ( x 1)(6 x 5) b Ta có tổng hệ số tổng chẵn tổng lẻ nên có nhân tử x2 -1 x x x ( x 1) ( x x ) ( x 1)( x 1)( x x 1) x x x ( x x ) ( x 1) ( x 1)( x 1)( x x 1) c Ta có x = -3 nghiệm nên có nhân tử x + x3 19 x 30 x 3x 3x x 10 x 30 ( x 3)( x 3x 10) ( x 3)( x 2)( x 5) d Ta có: x = -1 nghiệm đa thức nên có nhân tử là: x + x3 x x 10 x x 3x 3x 10 x 10 ( x 1)( x 2)( x 5) e Ta có tổng chẵn tổng lẻ nên có nhân tử: x + 1, sau lại tổng chẵn tổng lẻ x x x x ( x 1)( x 1)( x 3)(2 x 1) Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 11x Lời giải Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên -1, -2, -3, nên ta phân tích : x x 11x x 1 x x Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: a 4a 29a 24 Lời giải Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm 1,3 -8, nên có chứa nhân tử (a - 1), (a - 3) (a + 8), Ta có: a 4a 29a 24 a a 5a 5a 24a 24 a a 1 5a a 1 24 a 1 a 1 a 5a 24 = a 1 a 3 a 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x Lời giải Nhận xét : Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử là: x + Như ta có : x3 x x x3 x x x x x 1 x Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a 7a 37 a 8a 12 Lời giải Nhẩm thấy đa thức có nghiệm x = 2, hay có nhân tử là: x - Ta có: 6a a 37 a 8a 12 (6a 12a ) (19 a 38a ) a 2a 6a 12 6a a 19a a a a a a 6a 19a a = a a 3 2a 1 3a Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 13x 12 x Lời giải Thấy tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có nghiệm -1 Ta có: = x x 13 x 12 x x x3 x3 x x x x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x = *) Trường hợp đặc biệt: Đa thức khơng có nghiệm ngun Xét đa thức Pn ( x) a n x n an 1 x n 1 a1 x a0 (an a0 Z , n 1) x +) Nếu Pn(x) = có nghiệm a Mq p [(p;q)=1] n q a0 Mp Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 3x x 17 x b x 15 x 43x 22 x 40 c x x 19 x 31x 30 Lời giải a Các ước là: 1; 5 Nhận thấy đa thức nghiệm ngun, ta tìm nghiệm hữu tỷ đa thức x p U (5) p q q U (3) ta thấy nghiệm đa thức x 1 x nên có nhân tử hay 3x -1 3 2 Vậy: 3x x 17 x x x x x 15 x (3x 1)( x x 5) b Ta thấy đa thức có nhân tử là: x 3x x 15 x3 43 x 22 x 40 (3 x 2)(3 x x 19 x 20) 2 Lại có nhân tử là: 3x + (3x 2)(3x x 19 x 20) (3 x 2)(3 x 4)( x x 5) 2 c x x 19 x 31x 30 (2 x 3)(3x 2)( x x 5) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 3x x Lời giải Nhận xét: Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử là: x – 1, chia đa thức cho x – ta được: x5 x 3x x x 1 x x x x x x3 x x khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Vì nên khơng phân tích Vậy x5 x 3x x x 1 x x3 x x Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2017 x 2016 x 2017 Lời giải Cách 1: x 2017 x 2016 x 2017 x x 1 2016 x 2016 x 2016 x x 1 x x 2017 Cách 2: x 2017 x 2016 x 2017 x x 2017 x 2017 x 2017 x x 1 x x 2017 Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 2017.2018 Lời giải Ta có: x x 2017.2018 x 2017 x 2018 x 2017.2018 x 2017 x 2018 Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x x Lời giải Nhận thấy đa thức bậc khơng dùng máy tính Và đa thức khơng có hai nghiệm -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: Nên ta làm sau: 6 1 x x3 x x x x x x x x x x x x Đặt x 1 t x t x x x t 6t x t 6t x t 3 Đa thức trở thành : 2 2 x 3x 2 x x 3 x ( x x 1) x x Thay t trở lại ta : Vậy x x3 x x x 3x 1 Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 11x Lời giải Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên -1, -2, -3, nên ta phân tích : x x 11x x 1 x x Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 x 3 x 5 x 15 Lời giải Với dạng này, ta việc lấy số nhỏ nhân với số lớn nhất, để tạo số hạng giống : Đặt x 1 x x 3 x 15 x x x x 15 15 x x t t t 15 15 t 22t 105 15 t 22t 120 t 10 t 12 x x 10 x x 12 = x x 10 x x Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x x 17 x Lời giải Bấm máy tính cho ta có nghiệm x , nên có nhân tử : (3x - 1) 3 2 nên ta có : x x 17 x x x x x 15 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x Lời giải Bấm máy tính cho ta có nghiệm x , nên có nhân tử : (2x - 1) 3 2 Nên ta có : x x x x x x x x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x 14 x x Lời giải Bấm máy tính cho ta nghiệm : x 1 nên có nhân tử : (3x + 1) 3 2 Ta có : 3x 14 x x 3x x 15 x x x x x 1 x x 1 3x 1 x 1 x x 3 Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x Lời giải Bấm máy tính cho ta nghiệm : x= -1 x= -2 x3 x x x 1 x Như ta có : Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1997 x 1996 x 1997 Lời giải x Ta có: x 1 1996 x 1996 x 1996 x x 1 x x 1 1996 x x 1 x x 1 x x 1997 Bài 24: Phân tích thành nhân tử: x 2004x 2003x 2004 Lời giải x4 2004x2 2004x x 2004 x x 2004 x x x x3 2004 x2 x x x 1 x2 x 2004 x2 x x2 x x2 x 2004 Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 2001.2002 Lời giải Ta có: x x 2001 2001 1 x x 20012 2001 x 20012 x 2001 x 2011 x 2011 x 2011 x 2011 x 2012 Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a 7a 37a 8a 12 Lời giải Nhẩm thấy đa thức có nghiệm x = 2, hay có nhân tử x - Ta có : 6a a 37 a 8a 12 (6a 12a ) (19 a 38a ) a 2a 6a 12 6a a 19a a a a a a 6a 19a a = a a 3 2a 1 3a Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 13x 12 x Lời giải Thấy tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có nghiệm -1 Ta có : = x x 13 x 12 x x x3 x x x x x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x = Đối với đa thức nhiều biến Tương tự phân tích đa thức dạng: ax bx c Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 a x xy y 2 b x xy y 2 c a 2ab b 2a 2b 2 d x ( y z ) y ( z x ) z ( x y ) Lời giải 2 2 a x xy y (2 x xy ) ( xy y ) ( x y )(2 x y ) 2 2 b x xy y x xy 3xy y ( x y )(2 x y ) 2 2 c a 2ab b 2a 2b (a b) 2(a b) (a b 1) d Ta có: x ( y z ) y ( z x ) z ( x y ) z ( x y ) x y x z y z y x z ( x y ) xy ( x y ) z ( x y ) ( x y )( y z )( z x) B PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ – Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm – Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức 2 2 2 Bài 1: Phân tích thành nhân tử A a (b c ) b(c a ) c (a b ) 2abc Lời giải: A a(b c ) b(c a ) c (a b ) 2abc a(a 2ab b ) (ab a 2b ) (ac bc ) c(a b)2 ab(a b) c (a b ) (a b)(b c )(c a ) 2 2 2 Bài 2: Phân tích thành nhân tử: A a (b c ) b(c a ) c(a b ) 3abc Lời giải: A (ab a 2b abc) (ac a 2c abc ) (bc b 2c abc) ( a b c)(ab bc ca ) Bài 3: Phân tích thành nhân tử: A abc (ab bc ca ) a b c Lời giải A (abc bc) (ab b) (ac c) (a 1) (a 1)(b 1)(c 1) Bài 4: Phân tích thành nhân tử: A 8abc 4( ab bc ca) 2(a b c) Lời giải A (8ab 4bc) (4ab 2b) (4ac 2c) (2a 1) (2a 1)(2b 1)(2c 1) 3 3 3 Bài 5: Phân tích thành nhân tử: A a (b c ) b(c a ) c(a b ) abc(a b c) Lời giải 2 Ta có: A (a b c )(ab bc ca ) C PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Cần nắm cách biến đổi đẳng thức sau: 1) a b a b 2ab a b 4ab a b 2) a b 2ab a b 4ab 3) a b2 a b 2ab a b 2ab 4) a b3 a b a ab b2 a b 3ab a b 5) a b3 a b a ab b2 a b 3ab a b 6, a b2 a b a b 7) a b 2 2 3 2 a b 4ab a b4 a b a b a b 2ab 8) 2 a b a b 2ab ab 9) 2 10) a b3 c 3abc a b c a b2 c ab bc ca 11) a a 2b2 b4 a ab b a ab b 12) a a a a 1 a a 1 13) (a b c ) a b c 2ab 2bc 2ca 2 2 Bài 1: Phân tích thành nhân tử a 27a b 2 b x y 10 x y 16 3 3 d ( a b c) a b c 3 c a b c 3abc Lời giải 3 2 a 27 a b (3ab ) (2 3ab )(4 6ab 9a b ) 2 2 b x y 10 x y 16 ( x 5) ( y 3) ( x y 8)( x y 2) c Ta có: a 3a b 3ab b 3a 2b 3ab c 3abc (a b)3 c 3ab(a b c ) (a b c ) a b (a b)c c 2 3ab a b c a b c a b (a b)c c 3ab (a b c)(a b c ab bc ca ) a b c a b c (a b )3 3(a b ) c 3(a b)c c (a b ) c 3 d = a b a 2ab b 3ac 3bc 3c a ab b ab ac bc c a b b c c a Bài 2: Phân tích thành nhân tử 3 a x y xy b x y 12 xy x y 2 2 2 4 c 2(a b b c c a ) ( a b c ) Lời giải a Ta có: x3 y xy ( x y ) 3xy ( x y ) 3xy ( x y )3 3xy ( x y 1) ( x y 1)( x xy y x y 1) 2 b Ta có: x y 12 xy x y (2 x )2 (3 y )2 2.2 x.3 y 2(2 x y) (2 x y ) 2 (2 x y 1)(2 x y 3) c Ta có: 4b c (a b c 2b c 2a 2b 2c a ) (2bc)2 (b c a )2 (b c a )(b c a )(a b c)(a b c ) Bài 3: Cho biểu thức: A b2 c2 a2 4b2c2 a) Phân tích A thành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A< Lời giải a) Ta có: A b2 c2 a2 4b2c2 b2 c2 a2 2bc 2 b2 c2 a2 2bc b2 c2 a2 2bc b c a b c a b c a b c a b) Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên: b c a 0,b c a 0,b c a 0,b c a A Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 2010 x 2009 x 2010 Lời giải x x 2009 x 2009 x 2009 x x 1 x x 1 2009 x x 1 x x 1 x x 2010 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( Sử dụng tách hạng tử ) a x x b x x x c x x x 16 d x 30 x 31x 30 e x 2010 x 2009 x 2010 Lời giải a a 2b b a 2ab b a b x y z xy yz zx 2 Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 y z x2 y z x2 y z x y z x y z 2 Lời giải Đặt: x y z a, x y z b, x y z c , 4 Khi ta có: Lại có : 2 2a b 2bc c 2a 2b b 2bc c a b b c a b 2 x y y z z x b c 2 xy yz zx , , 4 x y y z z x xy yz zx xyz x y z Thay vào ta : Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: c a b b a c a b c Lời giải Ta có : c a b b a b b c a b c = c a b b a b b b c a b c = 2 a b b c b c b c b a b a = a b b c b c a b a b b c c a Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y z3 y z x3 z x y3 Lời giải Ta có : z x y x x y z x y z x x y z x z x y x3 = z x y x3 x y y z x x3 z x = x y z x z zx x z x y x y xy x = x y z x z zx x y xy x x y z x z y z y x = Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: ab a b bc b c ac c a Lời giải Ta có : ab a b bc a b c a ac c a = ab a b bc a b bc c a ac c a = b a b a c c c a b a a b b c a c Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y x3 y y3 x Lời giải Ta có : x y x3 x y x y x = x y x3 x y x3 x y x = x y x3 x x3 y = x y x x x x xy y x y x y x y 1 = x y x x x x x y x xy y Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4a 2b2 2a b b 2c c b 4c a 2a c Lời giải Ta có : 4a 2b 2a b b 2c 2a c 2a b 4c a 2a c = 4a 2b 2a b b 2c 2a c b 2c 2a b 4c 2a 2a c = b a b a c c a c b 4a = b a b a c 2a c c a c a b a b = 2a c 2a b 2ab2 b 2c 2ac bc = 2a c 2a b b c 2ab 2ac bc Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 y z y z x z x y Lời giải Ta có : z x y x x y z x y z x = z x y x3 x y y z x x3 z x = x y z x3 z x y x3 = x y z x z zx x z x y x y xy x = x y z x z zx x y xy x x y z x z y z y x Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: bc a d b c ac b d a c ab c d a b Lời giải Ta có : bc ab ac bd dc ac ab bc ad dc ab ac bc ad bd = bc ab ac bd dc ac ab ac bd dc ac bc ad bd ab ac bc ad bd = ab ac bd dc bc ac ac bc ad bd ac ab = a d b c c b a c d a b a c b = b c b a ac dc ca ad b c b a c a d Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: a x y a y x3 x y a Lời giải Ta có : y a x x a x x y a x y = y a x x3 a x x x y a x y = a x y x3 x y x3 a3 = x a x y x xy y x y x a x xa a = x a x y x xy y x xa a = x a x y y a y a x 2 2 2 Bài 24: Phân tích thành nhân tử: x y xy xz yz x z y z 2xyz Lời giải Ta có: xy x y z2 x y z x y x y xy z2 xz yz x y y z z x F PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH - Chú ý: Hai đa thức hệ số lũy thừa tương ứng hai đa thức - Phương pháp dùng cho đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a f ( x ) x x 12 x 14 x b Q( x) x 3x x x c P ( x) x x 17 x 20 x 14 d R( x) x x x x 2 e H ( x, y ) 12 x x 12 y 12 y 10 xy f T ( x, y) x xy y x 13 y 2 Lời giải a Ta nhận thấy đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ 2 Giả sử f ( x) ( x ax+b)(x cx d ) x (a c) x (ac b d ) x (ad bc) x bd a c 6 ac b d 14 ad bc 14 bd b 1; 3 Đồng hệ số ta được: a c 6 b ac c 4; a 2(tm) f ( x) ( x x 3)( x x 1) a 3c 14 +) b Cách 1: Ta nhận thấy đa thức có nhân tử x + Q( x) x x3 x x ( x 1)(2 x3 ax bx c) x (a 2) x (a b) x (b c ) x c a 3 a b 7 a 5 b 2 Q( x) ( x 1)( x 2)(2 x x 4) b c c c Cách 2: Giả sử Q( x) (2 x +ax +b)(x cx d ) x (2c a) x (2d ac b) x (ad bc) x bd 2c a 3 b 2 2d ac b 7 d 4 Q( x) (2 x x 4)( x 1)( x 2) ad bc a c 1 bd Đồng hệ số: 2b n 7 2c p bn 17 cn bp 20 c cp 14 c 2; p 7(tm) b 2; n 3 2 d (2 x x 1) e Giả sử H ( x, y ) ax by c dx ey f adx af cd x bey (ce bf ) y cf (bd ac ) xy ad 12 af cd H ( x; y ) (3x y 1)(4 x y 3) be 12 ce bf 12 cf 3 c 1; f 3 a 3; d 4; b 2; e f T ( x, y ) x by c x ny p n 2, b 3, c 1, p x Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: y xy x y y z z x 2 Lời giải x = y xy x y y z z x x y x y x y xy x3 y x y y z z x 2 x y x y xy x y z x y x = x = y xy x y z x y y x y xy z x y x y z Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y2 x y z x y z 81x z y z y Lời giải Ta có: = 81x z y z y 81x z y z y = z = z y z y 3x 1 3x 1 x 1 y 81x 1 z y z y x 1 x 1 2 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x y y y Lời giải 2 Ta có: x x x y y y x6 y x x y y x y x3 y x y x y 2 = x = = 2 y x3 y x y xy x y xy x y x xy y x y x xy y x y xy x y xy x = y xy x y xy x y 1 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 63 Lời giải Ta có: x x 63 x ax b x cx d x2 x x2 4x x x 63 Đồng hệ số ta có: Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 x x 1 Lời giải Ta có: = x 1 x 1 2x = 4 x x 1 x 1 x x 1 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 2 = x x x 1 2 x 1 x 1 1 = x x x x 1 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x x b x x c x n x n 15 Lời giải a Ta có: x x x x x x x ( x x 1) ( x 1)( x 1) x5 ( x x 1) ( x 1)( x x 1)( x 1) ( x x 1) x5 ( x 1)( x 1) 7 2 b x x ( x x ) ( x x 1) ( x x 1)( x x x x 1) 4n 2n 2n 2n 2n c x x 15 a 8a 15( x a ) (a 3)(a 5) ( x 3)( x 5) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2 a ( x y z )( x y z ) 3( xy yz zx) 3 b ( x y ) ( y z ) ( z x) 3 3 3 3 c ( x y ) ( y z ) ( z x ) 3 3 d (a b) (b c) (c a) 8(a b c) 3 3 e (a b c) (a b c) (b c a ) (c a b) Lời giải 2 2 a Ta có ( x y z ) x y z 2( xy yz zx) x2 y z a A a(a 2b).3b a 2ab 3b (a b)(a 3b) xy yz zx b Đặt A ( x y z xy yz zx )[(x y z 3( xy yz zx )] 3 b Ta biết: Nếu a b c a b c 3abc Đặt x y a 3 y z b a b c B a b c B 3abc 3( x y )( y z )( z x ) z x c c Tương tự câu b x3 y a 3 3 3 3 3 y z b a b c B a b c B 3abc 3( x y )( y z )( z x ) x z c d Đặt a b x 3 b c y x y z 2(a b c ) ( x y z ) 8(a b c ) c a z ; D x y z ( x y z )3 3 3 Ta có: ( x y z ) x y z 3( x y )( y z )( z x) D 3( x y )( y z )( z x ) 3 e Đặt m a b c n b c a p c a b thì: a b c m n p E (m n p )3 m n p 3(m n )(n p )( p m) E 3.2b.2c.2a 24abc Bài 3: Cho x, y, z thuộc Z Chứng minh rằng: số phương Lời giải S x y x y x 3y x y y4 2 2 Ta có: S ( x y )( x y )( x y )( x y ) y ( x xy y )( x xy y ) y St t (t y ) y (t y ) ( x xy y ) (dpcm) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x x x x 4 b x 15 x 35 x 30 x 2 c x 3x ( x x 1) ( x x 1) d x x x x Lời giải a Ta có: x x x x 4( x 1) x( x 1) x 4( x 1) x( x 1) x y xy x y xy 10 xy x (2 y x )(2 y x) (2 x x 2)(2 x x 2) (2 x x 2)( x 2)(2 x 1) b Ta có: x 15 x 35 x 30 x 2( x 4) 15 x( x 2) 35 x 2( x x) 15( x 2) 27 x y 15 y 27 x ( y 3x)(2 y x) ( x 3x 2)(2 x x 4) ( x 1)( x 2)( x 4)(2 x 1) c Ta có: x 3x ( x x 1) ( x x 1)3 x x y y x ( x y ) y ( x y )( x y ) ( x y)(2 x y xy ) ( x y )( x y )(2 x y ) ( x y ) (2 x y ) 2 d Ta có: x x x x ( x 2)(2 x 1)(2 x x 2) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A( x) x 19 x 2002 x 9779 x 11670 b B( x ) x 10 x 34 x 47 x 52 x x 40 Lời giải a Ta nhận thấy đa thức có hai nhân tử x - x - A( x) ( x 2)( x 3)(ax bx c) a 2; c 1945; b 9 A( x) ( x 2)( x 3)(2 x x 1945) b Nhận thấy đa thức có nhân tử là: x – 3x + B( x) ( x 1)(3 x 2)( x x 11x 14 x 20) ( x 1)(3x 2)( x x 4)( x x 5) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A ab(a b) bc(b c ) ca (c a ) 3 b B (a b) (b c) (c a) 3 c C a (b c ) b(c a ) c (a b) 5 d D ( a b) (b c) (c a ) Lời giải Đặt x a b; y b c x y a c a A abx bcy ca ( x y ) ax (b c ) cy (a b) axy cxy xy (a c ) (a b)(b c)(c a ) 3 3 3 b B x y ( x y ) x y x 3xy ( x y ) y 3xy ( x y ) 3(a b)(b c )(c a ) c Ta có: C ay b( x y )3 cx ay b x y 3xy ( x y ) cx y (a b) x (b c ) 3bxy ( x y ) xy x y 3bxy ( x y ) xy ( y x ) 3bxy ( x y ) xy ( x y )( y x 3b) xy ( x y )(b c a b 3b ) xy ( x y )(a b c) (a b)(b c )(c a )(a b c) d Ta có: ( x y )5 ( x y )( x y ) ( x y )( x xy y ) ( x y )( x x y y x y xy x y ) ( x y )( x y ) ( x y )(4 x y x y xy ) x y xy ( x y ) xy ( x y )(4 x xy y ) x5 y xy( x y )(5 x xy y ) x5 y xy ( x y )( x xy y ) D x y ( x y )5 x5 y x y xy ( x y )( x xy y ) 5 xy ( x y )( x xy y ) 5(a b)(b c)(c a ) (a b) (a b)(b c ) (b c) 5(a b)(b c)(c a )(a b c ab bc ca) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3 3 3 a A a (b c ) b(c a ) c (a b ) b B a (b c ) b3 (c a ) c (a b ) Lời giải 3 3 3 a Đặt x a b ; y b c x y a c A ay b ( x y ) cx y (a b) x (b c ) (b3 c )(a b) (a b3 )(b c) (b c )(a b)(b bc c a ab b ) (b c)(a b)(bc ab c a ) (b c )(a b)(c a )(a b c) 2 2 2 b Đặt x a b ; y b c x y a c B a y b3 ( x y ) c x y (a b3 ) x(b3 c ) (b c )(a b3 ) ( a b )(b c ) (b c)( a b) (b c )(a ab b ) ( a b)(b bc c ) b(a ab b b bc c ) (a 2c abc b 2c ab abc ac ) b(a c)(a b c ) ac (a c ) b (a c ) (a c )(ab b bc ac b ) (a c )(ab bc ca ) B (a b)(b c)( a c)(ab bc ca ) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3 3 a A (a b c) a b c 4 c C x ( x y ) y 3 b B x ( x y ) y ( y x ) 4 2 2 2 d D a b c 2(a b b c c a ) Lời giải a Đặt m a b c suy ra: A m a (b3 c ) (m a)( m ma a ) (b c)(b bc c ) (b c )(m ma a b bc a ) (b c ) (m b ) (a c ) (ma bc ) (b c ) (m b)(m b) (a c )(a c ) (a b)(a c) (b c )(a c )(m b a c a b) 3(b c)(c a)(a b) b Đặt m x y B x(m y )3 y (m x )3 x m3 3my (m y ) y y m3 3mx (m x ) x m3 ( x y ) xy ( x y ) 3mxy (m x m y ) ( x y )(m xy ( x y ) 3mxy ) m( x y )(m xy ) m( x y ) ( x y ) xy m( x y )3 ( x y )( x y )3 c Đặt m x y C (m y ) m y m4 4m3 y 6m y 4my y m y 2(m 2m y y ) 4my (m y ) 2m y 2 2( m2 y my) ( x y) y ( x y ) y 2( x xy y )2 2 d Đặt m a b c D (a b c ) 4(a 2b b 2c c a ) m b (a c ) c a m b (m b ) c a (m 2b ) (2ca) (m 2b 2ca)( m 2b 2ca) (a b c 2b 2ca)( a b c 2b 2ca ) (a c) b (a c) b (a c b)(a c b)(a c b)(a b c) Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 a A a (b c a) b(c a b) c(a b c) (b c a )(c a b)(a b c ) 3 3 b B (a b c ) (a b c ) (b c a ) (c a b) 3 c C ab(a b) b(b c ) ca (c a ) a b c 2abc Lời giải a Đặt m x y z; a b c x; b c a y; c a b z 2a y z; 2b z x; 2c x y A ( y z ) x ( x z ) y ( y x ) z xyz xy ( x y ) yz ( y z ) zx ( z x ) xyz xy (m z ) yz (m x) zx( m y ) xyz m( xy yz zx) xyz ( x y )( y z )( z x ) 8abc A 4abc b Đặt a b c z; b c a x; c a b y x y z a b c B ( x y z )3 x y z 3( x y )( y z )( z x ) 3.2c.2a.2b 24abc c Đặt a b c z; b c a x; c a b y 2a y z; 2b x z; 2c x y Ta có: 4C 4a (b c a ) 4b (c a b) 4c (a b c) 8abc ( y z ) x ( z x )2 y ( x y )2 z ( x y )( y z )( z x) xy ( x y ) yz ( y z ) zx( z x ) ( x y )( y z )( z x) xyz xy ( x y ) yz ( x y ) zx( x y ) z ( x y ) ( x y )( y z )( z x ) xyz ( x y )( xy yz zx z ) ( x y )( y z )( z x ) xyz ( x y )( y z )( z x ) ( x y )( y z )( z x ) xyz xyz C xyz (b c a )(c a b)(a b c ) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A Ứng dụng 1: Dùng để rút gọn biểu thức 3 2 Bài 1: Cho a + b + c = , Rút gọn A a b c(a b ) abc Lời giải Ta có: A a b3 c(a b ) abc a b3 a c b 2c abc (a a c ) (b3 b 2c) abc a (a c) b (b c ) abc a c b abc 0 A a (b) b ( a) abc ab(a b c) b c a Vì B Ứng dụng 2: Dùng để chứng minh 2 2 Bài 2: Cho a b 1; c d 1, ac bd Chứng minh rằng: ab cd Lời giải Ta có: ab cd ab.1 cd ab(c d ) cd (a b ) abc abd a cd b cd (abc a 2cd ) (abd b 2cd ) ac(bc ad ) bd (ad bc) (ad bc )(ac bd ) 0(ac bd 0) Bài 3: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phương Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n ; n + ; n + ; n + ( n thuộc N* ) Theo ta có: n(n 1)( n 2)(n 3) ( n 3n)( n 3n 2) ( k 1)( k 1) k ( n 3n 1) ( dpcm) 4 Bài 4: Chứng minh số A (n 1) n chia hết cho SCP khác với n nguyên dương Lời giải Ta có: A [(n+1) ]2 n ( n 2n 1) n ( n n 1) ( n 3n 1)( n n 1) ( n n 1) (n 3n 1)( n n 1) (n n 1)(n n 1) (n n 1)(2n 2n 1) 2( n n 1) (dpcm) Bài 5: Chứng minh với số nguyên x, ta có: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15M(x+6) Lời giải Dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta được: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15M(x+6)=(x x 10)( x 2)( x 6) Bài 6: Chứng minh với số nguyên n, biểu thức: nguyên Lời giải Ta có: A n n n n3 3n 2n n( n 1)( n 2) n Z 3 6 A n n n3 3 số MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2 2 a a b (a b) c b (c b) a c (c a ) 2bc(b 2c) 2ac(c 2a ) 2ab(a 2b) abc c ab(b a ) bc(b c ) ac (c a ) 3bc(3b c) 3ac(3c a ) 3ab(3a b) 28abc b d 2 2 2 3 e* a(b c ) b(c a ) c(a b ) 2abc a b c Lời giải a Ta nhận thấy b = c A = Vậy đa thức có nhân tử b – c a 2b ( a b) c 2b (c b) a c (c a ) a 2b (a c c b) c 2b (c b) a 2c (c a ) a 2b (a c ) a 2b (c b) c 2b (c b ) a c (c a ) (c b)b (a c )(a c ) a (a c )(b c ) (a c)(c b) b (a c ) a (b c) a c c b (ab a 2b b c a 2c) (a b)(c b)(a c)(a b)( ab bc ca ) b Nhận thấy c = 2a B = Vậy đa thức có nhân tử c – 2a 2bc(b 2c) 2ac(c 2a) 2ab(a 2b) abc 2ac c 2a 2b 2c 4bc 2a 2b 4ab 7abc 2ac c 2a 2b c 2a 4bc c 2a 8abc 2a 2b 7abc 2ac c 2a 2b c 2a 4bc c 2a 8abc 2a 2b 7abc 2ac c 2a 2b c 2a 4bc c 2a ab c 2a c 2a 2ac 2b 4bc ab c a 2a a 2b b a 2b c 2a a 2b b 2c c Nhận thấy a = b nên có nhân tử a – b ab(b a) bc(b c) ac(c a) ab(b a ) b 2c bc ac a 2c ab(b a ) c(b a ) c (b a ) (b a)(ab cb ca c ) (b a)( a c )(b c) d Dự đoán c = 3b, đa thức có nhân tử 3b – c 3bc(3b c) 3ac(3c a ) 3ab(3a b) 28abc 3bc 3b c 9ac 3a c 9a 2b 3ab2 28abc 3bc 3b c 9ac 3b c 27abc 3a 3b c 3ab 28abc 3bc 3b c 9ac 3b c 3a 3b c abc 3b c 3b c 3bc 9ac 3a ab 3b c 3a b 3c a e Ta không nhẩm nghiệm đa thức a(b c ) b(c a ) c(a b ) 2abc a b3 c3 a (b c 2bc a ) b(c a b ) c (a b c ) a (b c) a +b(c a 2ac b ) c (a b c 2ab) a (b c) a +b c a b +c a b c 2 a b c a b c a +b c a b c a b c a b c a b c =( a b c) a b c a c a b c a b c a b c a c a b bc ab b ac bc c a b c a a c b b a c b c a c b a b c a c b b c a Bài 2: [ HSG – BG – 30/03/2013 ] A 2a a b ab2 2b3 2( a b3 ) ab( a b) (a b)(2a b)( a 2b) Bài 3: [ HSG – Long Biên – Hà Nội – 2015 ] 2 a Phân tích: x ( x 7) 36 x 2 b Dựa vào kết chứng minh: A n (n 7) 36n M210n N Lời giải 2 3 a x ( x 7) 36 x x( x x 6)( x x 6) x ( x 1)( x 2)( x 3)( x 1)( x 2)( x 3) b A tích số tự nhiên liên tiếp AM2,3,5, AM210 Bài 4: [ Bắc Giang 2013 ] a x 2013x 2012 x 2013 ( x y )( y z )( z x ) xyz b Lời giải 4 2 a x 2013 x 2012 x 2013 ( x x) 2013( x x 1) ( x x 1)( x x 2013) 2 2 2 b ( xy xz y yz )( x z ) xyz ( xyz x y x z ) ( xyz xz yz ) ( xyz xy zy ) x( xy yz zx) z ( xy yz zx) y ( xy yz zx) ( x y z )( xy yz zx ) Bài 5: [ Bắc Giang – 2014 ] a x( x 2)( x x 2) 2 b x xy y x y c x 13 x x Lời giải 2 2 a x( x 2)( x x 2) ( x x )[(x x) 2] ( x x 1) ( x 1) 2 2 b x xy y x y ( x y ) 4( x y ) ( x y 2) ( x y 5)( x y 1) c x 13 x x x x x x x x ( x 1) x( x 1) 3( x 1) ( x 1)(6 x x 3) ( x 1)(3 x 1)(2 x 3) CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON A Công thức (a b) n Cn a n Cn1a n 1b Cn a n 2b Cn n1ab n1 Cn nb n Trong đó: Cn k n! (k 0,1, n k 0, n); n ! 1.2.3 n k !(n k )! +) Quy ước: 0!=1 +) Cn n! n! n! n! n! 1; Cn n 1; Cn1 n; Cn n 1 n 0!(n 0)! n ! n !(n n)! 1!(n 1)! (n 1)!(n n 1)! +) Bảng tam giác Pascal n=2 n=3 3 n=4 n=5 1 10 10 n=6 1 15 20 15 n = B Bài tập áp dụng 5 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: A (a b) a b Lời giải A a 5a 4b 10a 3b 10a 2b 5ab b5 a b 5a 4b 10a 3b 10a 2b 5ab 5ab (a 2a 2b 2ab b ) 5ab[(a 3a 2b 3ab b3 ) (a 2b ab )]=5ab[(a+b)3 ab(a b)] =5ab(a+b)[(a+b) ab] 5ab(a b )(a ab b ) 5 Bài 2: Cho a b c Chứng minh rằng: a b c 5abc (ab bc ca ) Lời giải Từ: a b c c (a b) VP a b5 (a b)5 5ab( a b)[(a+b) ab] 5ab( c )[(a+b)c-ab] 5abc(ab bc ca ) VP (dpcm) a b c a b c a b5 c Bài 3: Cho a b c Chứng minh rằng: Lời giải Ta có: 5abc( ab bc ca) abc(ab bc ca) (1); a b c 3abc abc 3 VP Lại có: (a b c )2 a b c 2(ab bc ca ) a b2 c2 (ab bc ca ) VT abc(ab bc ca )(2).(1)(2) VT VP Bài 4: CMR : (a b) (b c) (c a ) (a b)3 (b c)3 (c a)3 (a b)5 (b c)5 (c a )5 Lời giải Ta có: (a b) (b c) (c a) Đặt x a b; y b c; z c a x y z x y z x3 y z x5 y z Ta cần chứng minh: Bài 5: Cho a,b số nguyên CMR số sau số phương A ( a b) a b Lời giải A a 4a 3b 6a 2b 4ab b a b a b 3a 2b 2ab(a b ) (a b ) (ab) 2ab(a b ) (a b ab) ( dpcm) 6 Bài 6: Giải phương trình: ( x 2) ( x 2) x 128(*) Lời giải Ta có: ( x 2) x x 15 x 22 20 x 23 15 x 2 x.25 26 x 12 x5 60 x 160 x3 240 x 192 x 64 ( x 2)6 [x+(-2)]6 x 12 x5 60 x 160 x 240 x 192 x 64 VT x 120 x 480 x 128 (*) 120 x 480 x x 7 Bài 7: Cho a, b, c số nguyên, CMR: (a b) a b M7 Lời giải (a b) a a 6b 21a 5b 35a 4b3 35a 3b 21a 2b ab b (a b)7 a b7 7(a 6b 3a 5b 5a 4b3 5a 3b 3a 2b5 ab )M7 (dpcm) n Bài 8: Chứng minh rằng: A 16 15n 1M225 n N Lời giải +) n 16 15.0 0M225 15 +) n A 0M225 15 +) n A 225M225 15 ) n 16 n (15 1) n Cn 1n Cn1.1n 1 Cnn 15n (1 15n BS (225) (16n 15n 1) BS (225) M225n 2 n Bài 9: Chứng minh rằng: A (n 1) (n 1) Mn n N * Lời giải +) n = ; n = thỏa mãn n n n 2 n 2n 3 +) n (n 1) (1 n ) Cn Cn n Cn n Cn n n BS (n ) (1) Lại có: (1 n) n Cn02 Cn12 n Cn22 n C n2 n2 n3 n (n 1) n BS (n3 ) n(n 1) 3 n3 n3 BS ( n ) BS ( n ) Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh 2 ... 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 2017.20 18 Lời giải Ta có: x x 2017.20 18 x 2017 x 20 18 x 2017.20 18 x 2017 x 20 18 Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: ... x 324 x 18 x 18 2.x 18 36 x 2 c) Ta có: 2 x 18 x x 18 x x 18 x 2 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 b) 81 x y a) x 64 4... Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 3x 14 x 24 x Lời giải x x 8? ?? 3x x2 x 8? ?? x 2 , Đặt: x x y y xy x x Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: =>