Thông tin tài liệu
CHUYÊN ĐỀ 2: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ Phương pháp: p - Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng q p ước hệ số tự do, q kà ước dương hệ số cao - Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử là: x – - Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử là: x + f (1) f ( 1) ; a a số - Nếu a nghiệm nguyên f(x) nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự f (1) 0; f (1) Đối với đa thức bậc hai : ax2 + bx + c Cách 1: Tách hạng tử bậc bx - Tính a.c phân tích a.c tích hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = - Chọn hai thừa số có tổng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b - Tách bx = a1x + c1x - Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x x b 3x x d x x 24 c x 11x e x x Lời giải a) Ta có: 3.4 = 12 = 2.6 , mà + = nên ta được: 3x x 3x x x x x b) Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 3x x 3x x x 3x x x x 3x Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: c) x 11x 28 x x e) x x x 1 x 3x x x x x x 3x d) x x 24 x x 3 Cách 2: Tách hạng tử bậc ax2 - Ta thường làm làm xuất đẳng thức: a b2 a b a b Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x x Lời giải 3x x x x x x x x x Ta có: Cách 3: Tách hạng tử tự c - Ta tách c thành c1 c2 để dùng phương pháp nhóm hạng tử tạo đẳng thức cách c1 nhóm với ax2 cịn c2 nhóm với bx Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3x x b) x x a c) x 12 x Lời giải a 3x x 16 12 3x 12 x 16 x 3x b x x x x 1 x 1 2 x 1 x c x 12 x x 12 x x 32 x x 1 2 Đối với đa thức bậc ba trở lên ( dùng phương pháp nhẩm nghiệm ) Cơ sở để phân tích: Xét đa thức Pn ( x) a n x n an 1 x n 1 a1 x a0 (an a0 Z , n 1) +) Nếu x = a nghiệm P(x) P(a) = Hệ Quả : Nếu Pn(x) = có nghiệm ngun nghiệm ước a0 +) Định lý Bezut: Nếu Pn(x) = có nghiệm x = a Pn(x) = (x - a) H(x) bậc (n - 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 4 Lời giải Ta nhận thấy nghiệm f(x) có x 1, 2 Chỉ có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhận tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: x3 x 4 x x x x x x x x Cách 2: x3 x 4 x3 x 4 x x x x x Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x x b x x x Lời giải a Ta có ước là: 1; 2; 4 Nhận thấy x = -2 nghiệm đa thức đa thức có nhân tử là: x – (-2) = x+2 x3 x x ( x 2) ( x x 2) 43 0 2 Hoặc: ( x 8) ( x 4) ( x 2)( x x 2) b Nhận thấy x = -1 nghiệm đa thức nên có nhân tử là: x + 2 x3 x x ( x x ) (4 x x) (4 x 4) ( x 1)( x 2) *) Chú ý: + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x x x 19 x 30 d x3 x x 10 b x x x c e x x x x Lời giải a Ta có: + = nên đa thức có nhân tử x + x x ( x 1)(6 x 5) b Ta có tổng hệ số tổng chẵn tổng lẻ nên có nhân tử x2 -1 x x x ( x 1) ( x x ) ( x 1)( x 1)( x x 1) x x x ( x x ) ( x 1) ( x 1)( x 1)( x x 1) c Ta có x = -3 nghiệm nên có nhân tử x + x3 19 x 30 x 3x 3x x 10 x 30 ( x 3)( x 3x 10) ( x 3)( x 2)( x 5) d Ta có: x = -1 nghiệm đa thức nên có nhân tử là: x + x3 x x 10 x x 3x 3x 10 x 10 ( x 1)( x 2)( x 5) e Ta có tổng chẵn tổng lẻ nên có nhân tử: x + 1, sau lại tổng chẵn tổng lẻ x x x x ( x 1)( x 1)( x 3)(2 x 1) Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 11x Lời giải Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên -1, -2, -3, nên ta phân tích : x x 11x x 1 x x Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: a 4a 29a 24 Lời giải Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm 1,3 -8, nên có chứa nhân tử (a - 1), (a - 3) (a + 8), Ta có: a 4a 29a 24 a a 5a 5a 24a 24 a a 1 5a a 1 24 a 1 a 1 a 5a 24 = a 1 a 3 a 8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x Lời giải Nhận xét : Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử là: x + Như ta có : x3 x x x3 x x x x x 1 x Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a 7a 37 a 8a 12 Lời giải Nhẩm thấy đa thức có nghiệm x = 2, hay có nhân tử là: x - Ta có: 6a a 37 a 8a 12 (6a 12a ) (19 a 38a ) a 2a 6a 12 6a a 19a a a a a a 6a 19a a = a a 3 2a 1 3a Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 13x 12 x Lời giải Thấy tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có nghiệm -1 Ta có: = x x 13 x 12 x x x3 x3 x x x x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x = *) Trường hợp đặc biệt: Đa thức khơng có nghiệm ngun Xét đa thức Pn ( x) a n x n an 1 x n 1 a1 x a0 (an a0 Z , n 1) x +) Nếu Pn(x) = có nghiệm a Mq p [(p;q)=1] n q a0 Mp Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 3x x 17 x b x 15 x 43x 22 x 40 c x x 19 x 31x 30 Lời giải a Các ước là: 1; 5 Nhận thấy đa thức nghiệm ngun, ta tìm nghiệm hữu tỷ đa thức x p U (5) p q q U (3) ta thấy nghiệm đa thức x 1 x nên có nhân tử hay 3x -1 3 2 Vậy: 3x x 17 x x x x x 15 x (3x 1)( x x 5) b Ta thấy đa thức có nhân tử là: x 3x x 15 x3 43 x 22 x 40 (3 x 2)(3 x x 19 x 20) 2 Lại có nhân tử là: 3x + (3x 2)(3x x 19 x 20) (3 x 2)(3 x 4)( x x 5) 2 c x x 19 x 31x 30 (2 x 3)(3x 2)( x x 5) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 3x x Lời giải Nhận xét: Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử là: x – 1, chia đa thức cho x – ta được: x5 x 3x x x 1 x x x x x x3 x x khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Vì nên khơng phân tích Vậy x5 x 3x x x 1 x x3 x x Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 2017 x 2016 x 2017 Lời giải Cách 1: x 2017 x 2016 x 2017 x x 1 2016 x 2016 x 2016 x x 1 x x 2017 Cách 2: x 2017 x 2016 x 2017 x x 2017 x 2017 x 2017 x x 1 x x 2017 Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 2017.2018 Lời giải Ta có: x x 2017.2018 x 2017 x 2018 x 2017.2018 x 2017 x 2018 Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x x Lời giải Nhận thấy đa thức bậc khơng dùng máy tính Và đa thức khơng có hai nghiệm -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: Nên ta làm sau: 6 1 x x3 x x x x x x x x x x x x Đặt x 1 t x t x x x t 6t x t 6t x t 3 Đa thức trở thành : 2 2 x 3x 2 x x 3 x ( x x 1) x x Thay t trở lại ta : Vậy x x3 x x x 3x 1 Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 11x Lời giải Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên -1, -2, -3, nên ta phân tích : x x 11x x 1 x x Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 x 3 x 5 x 15 Lời giải Với dạng này, ta việc lấy số nhỏ nhân với số lớn nhất, để tạo số hạng giống : Đặt x 1 x x 3 x 15 x x x x 15 15 x x t t t 15 15 t 22t 105 15 t 22t 120 t 10 t 12 x x 10 x x 12 = x x 10 x x Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x x 17 x Lời giải Bấm máy tính cho ta có nghiệm x , nên có nhân tử : (3x - 1) 3 2 nên ta có : x x 17 x x x x x 15 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x Lời giải Bấm máy tính cho ta có nghiệm x , nên có nhân tử : (2x - 1) 3 2 Nên ta có : x x x x x x x x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x 14 x x Lời giải Bấm máy tính cho ta nghiệm : x 1 nên có nhân tử : (3x + 1) 3 2 Ta có : 3x 14 x x 3x x 15 x x x x x 1 x x 1 3x 1 x 1 x x 3 Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x Lời giải Bấm máy tính cho ta nghiệm : x= -1 x= -2 x3 x x x 1 x Như ta có : Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1997 x 1996 x 1997 Lời giải x Ta có: x 1 1996 x 1996 x 1996 x x 1 x x 1 1996 x x 1 x x 1 x x 1997 Bài 24: Phân tích thành nhân tử: x 2004x 2003x 2004 Lời giải x4 2004x2 2004x x 2004 x x 2004 x x x x3 2004 x2 x x x 1 x2 x 2004 x2 x x2 x x2 x 2004 Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 2001.2002 Lời giải Ta có: x x 2001 2001 1 x x 20012 2001 x 20012 x 2001 x 2011 x 2011 x 2011 x 2011 x 2012 Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a 7a 37a 8a 12 Lời giải Nhẩm thấy đa thức có nghiệm x = 2, hay có nhân tử x - Ta có : 6a a 37 a 8a 12 (6a 12a ) (19 a 38a ) a 2a 6a 12 6a a 19a a a a a a 6a 19a a = a a 3 2a 1 3a Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 13x 12 x Lời giải Thấy tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có nghiệm -1 Ta có : = x x 13 x 12 x x x3 x x x x x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x x 1 x = Đối với đa thức nhiều biến Tương tự phân tích đa thức dạng: ax bx c Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 a x xy y 2 b x xy y 2 c a 2ab b 2a 2b 2 d x ( y z ) y ( z x ) z ( x y ) Lời giải 2 2 a x xy y (2 x xy ) ( xy y ) ( x y )(2 x y ) 2 2 b x xy y x xy 3xy y ( x y )(2 x y ) 2 2 c a 2ab b 2a 2b (a b) 2(a b) (a b 1) d Ta có: x ( y z ) y ( z x ) z ( x y ) z ( x y ) x y x z y z y x z ( x y ) xy ( x y ) z ( x y ) ( x y )( y z )( z x) B PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ – Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm – Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức 2 2 2 Bài 1: Phân tích thành nhân tử A a (b c ) b(c a ) c (a b ) 2abc Lời giải: A a(b c ) b(c a ) c (a b ) 2abc a(a 2ab b ) (ab a 2b ) (ac bc ) c(a b)2 ab(a b) c (a b ) (a b)(b c )(c a ) 2 2 2 Bài 2: Phân tích thành nhân tử: A a (b c ) b(c a ) c(a b ) 3abc Lời giải: A (ab a 2b abc) (ac a 2c abc ) (bc b 2c abc) ( a b c)(ab bc ca ) Bài 3: Phân tích thành nhân tử: A abc (ab bc ca ) a b c Lời giải A (abc bc) (ab b) (ac c) (a 1) (a 1)(b 1)(c 1) Bài 4: Phân tích thành nhân tử: A 8abc 4( ab bc ca) 2(a b c) Lời giải A (8ab 4bc) (4ab 2b) (4ac 2c) (2a 1) (2a 1)(2b 1)(2c 1) 3 3 3 Bài 5: Phân tích thành nhân tử: A a (b c ) b(c a ) c(a b ) abc(a b c) Lời giải 2 Ta có: A (a b c )(ab bc ca ) C PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC Cần nắm cách biến đổi đẳng thức sau: 1) a b a b 2ab a b 4ab a b 2) a b 2ab a b 4ab 3) a b2 a b 2ab a b 2ab 4) a b3 a b a ab b2 a b 3ab a b 5) a b3 a b a ab b2 a b 3ab a b 6, a b2 a b a b 7) a b 2 2 3 2 a b 4ab a b4 a b a b a b 2ab 8) 2 a b a b 2ab ab 9) 2 10) a b3 c 3abc a b c a b2 c ab bc ca 11) a a 2b2 b4 a ab b a ab b 12) a a a a 1 a a 1 13) (a b c ) a b c 2ab 2bc 2ca 2 2 Bài 1: Phân tích thành nhân tử a 27a b 2 b x y 10 x y 16 3 3 d ( a b c) a b c 3 c a b c 3abc Lời giải 3 2 a 27 a b (3ab ) (2 3ab )(4 6ab 9a b ) 2 2 b x y 10 x y 16 ( x 5) ( y 3) ( x y 8)( x y 2) c Ta có: a 3a b 3ab b 3a 2b 3ab c 3abc (a b)3 c 3ab(a b c ) (a b c ) a b (a b)c c 2 3ab a b c a b c a b (a b)c c 3ab (a b c)(a b c ab bc ca ) a b c a b c (a b )3 3(a b ) c 3(a b)c c (a b ) c 3 d = a b a 2ab b 3ac 3bc 3c a ab b ab ac bc c a b b c c a Bài 2: Phân tích thành nhân tử 3 a x y xy b x y 12 xy x y 2 2 2 4 c 2(a b b c c a ) ( a b c ) Lời giải a Ta có: x3 y xy ( x y ) 3xy ( x y ) 3xy ( x y )3 3xy ( x y 1) ( x y 1)( x xy y x y 1) 2 b Ta có: x y 12 xy x y (2 x )2 (3 y )2 2.2 x.3 y 2(2 x y) (2 x y ) 2 (2 x y 1)(2 x y 3) c Ta có: 4b c (a b c 2b c 2a 2b 2c a ) (2bc)2 (b c a )2 (b c a )(b c a )(a b c)(a b c ) Bài 3: Cho biểu thức: A b2 c2 a2 4b2c2 a) Phân tích A thành nhân tử b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác A< Lời giải a) Ta có: A b2 c2 a2 4b2c2 b2 c2 a2 2bc 2 b2 c2 a2 2bc b2 c2 a2 2bc b c a b c a b c a b c a b) Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên: b c a 0,b c a 0,b c a 0,b c a A Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 2010 x 2009 x 2010 Lời giải x x 2009 x 2009 x 2009 x x 1 x x 1 2009 x x 1 x x 1 x x 2010 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( Sử dụng tách hạng tử ) a x x b x x x c x x x 16 d x 30 x 31x 30 e x 2010 x 2009 x 2010 Lời giải a a 2b b a 2ab b a b x y z xy yz zx 2 Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 y z x2 y z x2 y z x y z x y z 2 Lời giải Đặt: x y z a, x y z b, x y z c , 4 Khi ta có: Lại có : 2 2a b 2bc c 2a 2b b 2bc c a b b c a b 2 x y y z z x b c 2 xy yz zx , , 4 x y y z z x xy yz zx xyz x y z Thay vào ta : Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: c a b b a c a b c Lời giải Ta có : c a b b a b b c a b c = c a b b a b b b c a b c = 2 a b b c b c b c b a b a = a b b c b c a b a b b c c a Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y z3 y z x3 z x y3 Lời giải Ta có : z x y x x y z x y z x x y z x z x y x3 = z x y x3 x y y z x x3 z x = x y z x z zx x z x y x y xy x = x y z x z zx x y xy x x y z x z y z y x = Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: ab a b bc b c ac c a Lời giải Ta có : ab a b bc a b c a ac c a = ab a b bc a b bc c a ac c a = b a b a c c c a b a a b b c a c Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y x3 y y3 x Lời giải Ta có : x y x3 x y x y x = x y x3 x y x3 x y x = x y x3 x x3 y = x y x x x x xy y x y x y x y 1 = x y x x x x x y x xy y Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4a 2b2 2a b b 2c c b 4c a 2a c Lời giải Ta có : 4a 2b 2a b b 2c 2a c 2a b 4c a 2a c = 4a 2b 2a b b 2c 2a c b 2c 2a b 4c 2a 2a c = b a b a c c a c b 4a = b a b a c 2a c c a c a b a b = 2a c 2a b 2ab2 b 2c 2ac bc = 2a c 2a b b c 2ab 2ac bc Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 y z y z x z x y Lời giải Ta có : z x y x x y z x y z x = z x y x3 x y y z x x3 z x = x y z x3 z x y x3 = x y z x z zx x z x y x y xy x = x y z x z zx x y xy x x y z x z y z y x Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: bc a d b c ac b d a c ab c d a b Lời giải Ta có : bc ab ac bd dc ac ab bc ad dc ab ac bc ad bd = bc ab ac bd dc ac ab ac bd dc ac bc ad bd ab ac bc ad bd = ab ac bd dc bc ac ac bc ad bd ac ab = a d b c c b a c d a b a c b = b c b a ac dc ca ad b c b a c a d Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: a x y a y x3 x y a Lời giải Ta có : y a x x a x x y a x y = y a x x3 a x x x y a x y = a x y x3 x y x3 a3 = x a x y x xy y x y x a x xa a = x a x y x xy y x xa a = x a x y y a y a x 2 2 2 Bài 24: Phân tích thành nhân tử: x y xy xz yz x z y z 2xyz Lời giải Ta có: xy x y z2 x y z x y x y xy z2 xz yz x y y z z x F PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH - Chú ý: Hai đa thức hệ số lũy thừa tương ứng hai đa thức - Phương pháp dùng cho đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a f ( x ) x x 12 x 14 x b Q( x) x 3x x x c P ( x) x x 17 x 20 x 14 d R( x) x x x x 2 e H ( x, y ) 12 x x 12 y 12 y 10 xy f T ( x, y) x xy y x 13 y 2 Lời giải a Ta nhận thấy đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ 2 Giả sử f ( x) ( x ax+b)(x cx d ) x (a c) x (ac b d ) x (ad bc) x bd a c 6 ac b d 14 ad bc 14 bd b 1; 3 Đồng hệ số ta được: a c 6 b ac c 4; a 2(tm) f ( x) ( x x 3)( x x 1) a 3c 14 +) b Cách 1: Ta nhận thấy đa thức có nhân tử x + Q( x) x x3 x x ( x 1)(2 x3 ax bx c) x (a 2) x (a b) x (b c ) x c a 3 a b 7 a 5 b 2 Q( x) ( x 1)( x 2)(2 x x 4) b c c c Cách 2: Giả sử Q( x) (2 x +ax +b)(x cx d ) x (2c a) x (2d ac b) x (ad bc) x bd 2c a 3 b 2 2d ac b 7 d 4 Q( x) (2 x x 4)( x 1)( x 2) ad bc a c 1 bd Đồng hệ số: 2b n 7 2c p bn 17 cn bp 20 c cp 14 c 2; p 7(tm) b 2; n 3 2 d (2 x x 1) e Giả sử H ( x, y ) ax by c dx ey f adx af cd x bey (ce bf ) y cf (bd ac ) xy ad 12 af cd H ( x; y ) (3x y 1)(4 x y 3) be 12 ce bf 12 cf 3 c 1; f 3 a 3; d 4; b 2; e f T ( x, y ) x by c x ny p n 2, b 3, c 1, p x Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: y xy x y y z z x 2 Lời giải x = y xy x y y z z x x y x y x y xy x3 y x y y z z x 2 x y x y xy x y z x y x = x = y xy x y z x y y x y xy z x y x y z Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: x y2 x y z x y z 81x z y z y Lời giải Ta có: = 81x z y z y 81x z y z y = z = z y z y 3x 1 3x 1 x 1 y 81x 1 z y z y x 1 x 1 2 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x x y y y Lời giải 2 Ta có: x x x y y y x6 y x x y y x y x3 y x y x y 2 = x = = 2 y x3 y x y xy x y xy x y x xy y x y x xy y x y xy x y xy x = y xy x y xy x y 1 Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 63 Lời giải Ta có: x x 63 x ax b x cx d x2 x x2 4x x x 63 Đồng hệ số ta có: Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 x x 1 Lời giải Ta có: = x 1 x 1 2x = 4 x x 1 x 1 x x 1 1 x x 1 x x 1 x 1 x 1 2 = x x x 1 2 x 1 x 1 1 = x x x x 1 BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x x b x x c x n x n 15 Lời giải a Ta có: x x x x x x x ( x x 1) ( x 1)( x 1) x5 ( x x 1) ( x 1)( x x 1)( x 1) ( x x 1) x5 ( x 1)( x 1) 7 2 b x x ( x x ) ( x x 1) ( x x 1)( x x x x 1) 4n 2n 2n 2n 2n c x x 15 a 8a 15( x a ) (a 3)(a 5) ( x 3)( x 5) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2 a ( x y z )( x y z ) 3( xy yz zx) 3 b ( x y ) ( y z ) ( z x) 3 3 3 3 c ( x y ) ( y z ) ( z x ) 3 3 d (a b) (b c) (c a) 8(a b c) 3 3 e (a b c) (a b c) (b c a ) (c a b) Lời giải 2 2 a Ta có ( x y z ) x y z 2( xy yz zx) x2 y z a A a(a 2b).3b a 2ab 3b (a b)(a 3b) xy yz zx b Đặt A ( x y z xy yz zx )[(x y z 3( xy yz zx )] 3 b Ta biết: Nếu a b c a b c 3abc Đặt x y a 3 y z b a b c B a b c B 3abc 3( x y )( y z )( z x ) z x c c Tương tự câu b x3 y a 3 3 3 3 3 y z b a b c B a b c B 3abc 3( x y )( y z )( z x ) x z c d Đặt a b x 3 b c y x y z 2(a b c ) ( x y z ) 8(a b c ) c a z ; D x y z ( x y z )3 3 3 Ta có: ( x y z ) x y z 3( x y )( y z )( z x) D 3( x y )( y z )( z x ) 3 e Đặt m a b c n b c a p c a b thì: a b c m n p E (m n p )3 m n p 3(m n )(n p )( p m) E 3.2b.2c.2a 24abc Bài 3: Cho x, y, z thuộc Z Chứng minh rằng: số phương Lời giải S x y x y x 3y x y y4 2 2 Ta có: S ( x y )( x y )( x y )( x y ) y ( x xy y )( x xy y ) y St t (t y ) y (t y ) ( x xy y ) (dpcm) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x x x x 4 b x 15 x 35 x 30 x 2 c x 3x ( x x 1) ( x x 1) d x x x x Lời giải a Ta có: x x x x 4( x 1) x( x 1) x 4( x 1) x( x 1) x y xy x y xy 10 xy x (2 y x )(2 y x) (2 x x 2)(2 x x 2) (2 x x 2)( x 2)(2 x 1) b Ta có: x 15 x 35 x 30 x 2( x 4) 15 x( x 2) 35 x 2( x x) 15( x 2) 27 x y 15 y 27 x ( y 3x)(2 y x) ( x 3x 2)(2 x x 4) ( x 1)( x 2)( x 4)(2 x 1) c Ta có: x 3x ( x x 1) ( x x 1)3 x x y y x ( x y ) y ( x y )( x y ) ( x y)(2 x y xy ) ( x y )( x y )(2 x y ) ( x y ) (2 x y ) 2 d Ta có: x x x x ( x 2)(2 x 1)(2 x x 2) Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A( x) x 19 x 2002 x 9779 x 11670 b B( x ) x 10 x 34 x 47 x 52 x x 40 Lời giải a Ta nhận thấy đa thức có hai nhân tử x - x - A( x) ( x 2)( x 3)(ax bx c) a 2; c 1945; b 9 A( x) ( x 2)( x 3)(2 x x 1945) b Nhận thấy đa thức có nhân tử là: x – 3x + B( x) ( x 1)(3 x 2)( x x 11x 14 x 20) ( x 1)(3x 2)( x x 4)( x x 5) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a A ab(a b) bc(b c ) ca (c a ) 3 b B (a b) (b c) (c a) 3 c C a (b c ) b(c a ) c (a b) 5 d D ( a b) (b c) (c a ) Lời giải Đặt x a b; y b c x y a c a A abx bcy ca ( x y ) ax (b c ) cy (a b) axy cxy xy (a c ) (a b)(b c)(c a ) 3 3 3 b B x y ( x y ) x y x 3xy ( x y ) y 3xy ( x y ) 3(a b)(b c )(c a ) c Ta có: C ay b( x y )3 cx ay b x y 3xy ( x y ) cx y (a b) x (b c ) 3bxy ( x y ) xy x y 3bxy ( x y ) xy ( y x ) 3bxy ( x y ) xy ( x y )( y x 3b) xy ( x y )(b c a b 3b ) xy ( x y )(a b c) (a b)(b c )(c a )(a b c) d Ta có: ( x y )5 ( x y )( x y ) ( x y )( x xy y ) ( x y )( x x y y x y xy x y ) ( x y )( x y ) ( x y )(4 x y x y xy ) x y xy ( x y ) xy ( x y )(4 x xy y ) x5 y xy( x y )(5 x xy y ) x5 y xy ( x y )( x xy y ) D x y ( x y )5 x5 y x y xy ( x y )( x xy y ) 5 xy ( x y )( x xy y ) 5(a b)(b c)(c a ) (a b) (a b)(b c ) (b c) 5(a b)(b c)(c a )(a b c ab bc ca) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3 3 3 a A a (b c ) b(c a ) c (a b ) b B a (b c ) b3 (c a ) c (a b ) Lời giải 3 3 3 a Đặt x a b ; y b c x y a c A ay b ( x y ) cx y (a b) x (b c ) (b3 c )(a b) (a b3 )(b c) (b c )(a b)(b bc c a ab b ) (b c)(a b)(bc ab c a ) (b c )(a b)(c a )(a b c) 2 2 2 b Đặt x a b ; y b c x y a c B a y b3 ( x y ) c x y (a b3 ) x(b3 c ) (b c )(a b3 ) ( a b )(b c ) (b c)( a b) (b c )(a ab b ) ( a b)(b bc c ) b(a ab b b bc c ) (a 2c abc b 2c ab abc ac ) b(a c)(a b c ) ac (a c ) b (a c ) (a c )(ab b bc ac b ) (a c )(ab bc ca ) B (a b)(b c)( a c)(ab bc ca ) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3 3 a A (a b c) a b c 4 c C x ( x y ) y 3 b B x ( x y ) y ( y x ) 4 2 2 2 d D a b c 2(a b b c c a ) Lời giải a Đặt m a b c suy ra: A m a (b3 c ) (m a)( m ma a ) (b c)(b bc c ) (b c )(m ma a b bc a ) (b c ) (m b ) (a c ) (ma bc ) (b c ) (m b)(m b) (a c )(a c ) (a b)(a c) (b c )(a c )(m b a c a b) 3(b c)(c a)(a b) b Đặt m x y B x(m y )3 y (m x )3 x m3 3my (m y ) y y m3 3mx (m x ) x m3 ( x y ) xy ( x y ) 3mxy (m x m y ) ( x y )(m xy ( x y ) 3mxy ) m( x y )(m xy ) m( x y ) ( x y ) xy m( x y )3 ( x y )( x y )3 c Đặt m x y C (m y ) m y m4 4m3 y 6m y 4my y m y 2(m 2m y y ) 4my (m y ) 2m y 2 2( m2 y my) ( x y) y ( x y ) y 2( x xy y )2 2 d Đặt m a b c D (a b c ) 4(a 2b b 2c c a ) m b (a c ) c a m b (m b ) c a (m 2b ) (2ca) (m 2b 2ca)( m 2b 2ca) (a b c 2b 2ca)( a b c 2b 2ca ) (a c) b (a c) b (a c b)(a c b)(a c b)(a b c) Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 a A a (b c a) b(c a b) c(a b c) (b c a )(c a b)(a b c ) 3 3 b B (a b c ) (a b c ) (b c a ) (c a b) 3 c C ab(a b) b(b c ) ca (c a ) a b c 2abc Lời giải a Đặt m x y z; a b c x; b c a y; c a b z 2a y z; 2b z x; 2c x y A ( y z ) x ( x z ) y ( y x ) z xyz xy ( x y ) yz ( y z ) zx ( z x ) xyz xy (m z ) yz (m x) zx( m y ) xyz m( xy yz zx) xyz ( x y )( y z )( z x ) 8abc A 4abc b Đặt a b c z; b c a x; c a b y x y z a b c B ( x y z )3 x y z 3( x y )( y z )( z x ) 3.2c.2a.2b 24abc c Đặt a b c z; b c a x; c a b y 2a y z; 2b x z; 2c x y Ta có: 4C 4a (b c a ) 4b (c a b) 4c (a b c) 8abc ( y z ) x ( z x )2 y ( x y )2 z ( x y )( y z )( z x) xy ( x y ) yz ( y z ) zx( z x ) ( x y )( y z )( z x) xyz xy ( x y ) yz ( x y ) zx( x y ) z ( x y ) ( x y )( y z )( z x ) xyz ( x y )( xy yz zx z ) ( x y )( y z )( z x ) xyz ( x y )( y z )( z x ) ( x y )( y z )( z x ) xyz xyz C xyz (b c a )(c a b)(a b c ) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A Ứng dụng 1: Dùng để rút gọn biểu thức 3 2 Bài 1: Cho a + b + c = , Rút gọn A a b c(a b ) abc Lời giải Ta có: A a b3 c(a b ) abc a b3 a c b 2c abc (a a c ) (b3 b 2c) abc a (a c) b (b c ) abc a c b abc 0 A a (b) b ( a) abc ab(a b c) b c a Vì B Ứng dụng 2: Dùng để chứng minh 2 2 Bài 2: Cho a b 1; c d 1, ac bd Chứng minh rằng: ab cd Lời giải Ta có: ab cd ab.1 cd ab(c d ) cd (a b ) abc abd a cd b cd (abc a 2cd ) (abd b 2cd ) ac(bc ad ) bd (ad bc) (ad bc )(ac bd ) 0(ac bd 0) Bài 3: Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng thêm số phương Lời giải Gọi số tự nhiên liên tiếp là: n ; n + ; n + ; n + ( n thuộc N* ) Theo ta có: n(n 1)( n 2)(n 3) ( n 3n)( n 3n 2) ( k 1)( k 1) k ( n 3n 1) ( dpcm) 4 Bài 4: Chứng minh số A (n 1) n chia hết cho SCP khác với n nguyên dương Lời giải Ta có: A [(n+1) ]2 n ( n 2n 1) n ( n n 1) ( n 3n 1)( n n 1) ( n n 1) (n 3n 1)( n n 1) (n n 1)(n n 1) (n n 1)(2n 2n 1) 2( n n 1) (dpcm) Bài 5: Chứng minh với số nguyên x, ta có: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15M(x+6) Lời giải Dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta được: (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15M(x+6)=(x x 10)( x 2)( x 6) Bài 6: Chứng minh với số nguyên n, biểu thức: nguyên Lời giải Ta có: A n n n n3 3n 2n n( n 1)( n 2) n Z 3 6 A n n n3 3 số MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2 2 a a b (a b) c b (c b) a c (c a ) 2bc(b 2c) 2ac(c 2a ) 2ab(a 2b) abc c ab(b a ) bc(b c ) ac (c a ) 3bc(3b c) 3ac(3c a ) 3ab(3a b) 28abc b d 2 2 2 3 e* a(b c ) b(c a ) c(a b ) 2abc a b c Lời giải a Ta nhận thấy b = c A = Vậy đa thức có nhân tử b – c a 2b ( a b) c 2b (c b) a c (c a ) a 2b (a c c b) c 2b (c b) a 2c (c a ) a 2b (a c ) a 2b (c b) c 2b (c b ) a c (c a ) (c b)b (a c )(a c ) a (a c )(b c ) (a c)(c b) b (a c ) a (b c) a c c b (ab a 2b b c a 2c) (a b)(c b)(a c)(a b)( ab bc ca ) b Nhận thấy c = 2a B = Vậy đa thức có nhân tử c – 2a 2bc(b 2c) 2ac(c 2a) 2ab(a 2b) abc 2ac c 2a 2b 2c 4bc 2a 2b 4ab 7abc 2ac c 2a 2b c 2a 4bc c 2a 8abc 2a 2b 7abc 2ac c 2a 2b c 2a 4bc c 2a 8abc 2a 2b 7abc 2ac c 2a 2b c 2a 4bc c 2a ab c 2a c 2a 2ac 2b 4bc ab c a 2a a 2b b a 2b c 2a a 2b b 2c c Nhận thấy a = b nên có nhân tử a – b ab(b a) bc(b c) ac(c a) ab(b a ) b 2c bc ac a 2c ab(b a ) c(b a ) c (b a ) (b a)(ab cb ca c ) (b a)( a c )(b c) d Dự đoán c = 3b, đa thức có nhân tử 3b – c 3bc(3b c) 3ac(3c a ) 3ab(3a b) 28abc 3bc 3b c 9ac 3a c 9a 2b 3ab2 28abc 3bc 3b c 9ac 3b c 27abc 3a 3b c 3ab 28abc 3bc 3b c 9ac 3b c 3a 3b c abc 3b c 3b c 3bc 9ac 3a ab 3b c 3a b 3c a e Ta không nhẩm nghiệm đa thức a(b c ) b(c a ) c(a b ) 2abc a b3 c3 a (b c 2bc a ) b(c a b ) c (a b c ) a (b c) a +b(c a 2ac b ) c (a b c 2ab) a (b c) a +b c a b +c a b c 2 a b c a b c a +b c a b c a b c a b c a b c =( a b c) a b c a c a b c a b c a b c a c a b bc ab b ac bc c a b c a a c b b a c b c a c b a b c a c b b c a Bài 2: [ HSG – BG – 30/03/2013 ] A 2a a b ab2 2b3 2( a b3 ) ab( a b) (a b)(2a b)( a 2b) Bài 3: [ HSG – Long Biên – Hà Nội – 2015 ] 2 a Phân tích: x ( x 7) 36 x 2 b Dựa vào kết chứng minh: A n (n 7) 36n M210n N Lời giải 2 3 a x ( x 7) 36 x x( x x 6)( x x 6) x ( x 1)( x 2)( x 3)( x 1)( x 2)( x 3) b A tích số tự nhiên liên tiếp AM2,3,5, AM210 Bài 4: [ Bắc Giang 2013 ] a x 2013x 2012 x 2013 ( x y )( y z )( z x ) xyz b Lời giải 4 2 a x 2013 x 2012 x 2013 ( x x) 2013( x x 1) ( x x 1)( x x 2013) 2 2 2 b ( xy xz y yz )( x z ) xyz ( xyz x y x z ) ( xyz xz yz ) ( xyz xy zy ) x( xy yz zx) z ( xy yz zx) y ( xy yz zx) ( x y z )( xy yz zx ) Bài 5: [ Bắc Giang – 2014 ] a x( x 2)( x x 2) 2 b x xy y x y c x 13 x x Lời giải 2 2 a x( x 2)( x x 2) ( x x )[(x x) 2] ( x x 1) ( x 1) 2 2 b x xy y x y ( x y ) 4( x y ) ( x y 2) ( x y 5)( x y 1) c x 13 x x x x x x x x ( x 1) x( x 1) 3( x 1) ( x 1)(6 x x 3) ( x 1)(3 x 1)(2 x 3) CÔNG THỨC KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON A Công thức (a b) n Cn a n Cn1a n 1b Cn a n 2b Cn n1ab n1 Cn nb n Trong đó: Cn k n! (k 0,1, n k 0, n); n ! 1.2.3 n k !(n k )! +) Quy ước: 0!=1 +) Cn n! n! n! n! n! 1; Cn n 1; Cn1 n; Cn n 1 n 0!(n 0)! n ! n !(n n)! 1!(n 1)! (n 1)!(n n 1)! +) Bảng tam giác Pascal n=2 n=3 3 n=4 n=5 1 10 10 n=6 1 15 20 15 n = B Bài tập áp dụng 5 Bài 1: Phân tích thành nhân tử: A (a b) a b Lời giải A a 5a 4b 10a 3b 10a 2b 5ab b5 a b 5a 4b 10a 3b 10a 2b 5ab 5ab (a 2a 2b 2ab b ) 5ab[(a 3a 2b 3ab b3 ) (a 2b ab )]=5ab[(a+b)3 ab(a b)] =5ab(a+b)[(a+b) ab] 5ab(a b )(a ab b ) 5 Bài 2: Cho a b c Chứng minh rằng: a b c 5abc (ab bc ca ) Lời giải Từ: a b c c (a b) VP a b5 (a b)5 5ab( a b)[(a+b) ab] 5ab( c )[(a+b)c-ab] 5abc(ab bc ca ) VP (dpcm) a b c a b c a b5 c Bài 3: Cho a b c Chứng minh rằng: Lời giải Ta có: 5abc( ab bc ca) abc(ab bc ca) (1); a b c 3abc abc 3 VP Lại có: (a b c )2 a b c 2(ab bc ca ) a b2 c2 (ab bc ca ) VT abc(ab bc ca )(2).(1)(2) VT VP Bài 4: CMR : (a b) (b c) (c a ) (a b)3 (b c)3 (c a)3 (a b)5 (b c)5 (c a )5 Lời giải Ta có: (a b) (b c) (c a) Đặt x a b; y b c; z c a x y z x y z x3 y z x5 y z Ta cần chứng minh: Bài 5: Cho a,b số nguyên CMR số sau số phương A ( a b) a b Lời giải A a 4a 3b 6a 2b 4ab b a b a b 3a 2b 2ab(a b ) (a b ) (ab) 2ab(a b ) (a b ab) ( dpcm) 6 Bài 6: Giải phương trình: ( x 2) ( x 2) x 128(*) Lời giải Ta có: ( x 2) x x 15 x 22 20 x 23 15 x 2 x.25 26 x 12 x5 60 x 160 x3 240 x 192 x 64 ( x 2)6 [x+(-2)]6 x 12 x5 60 x 160 x 240 x 192 x 64 VT x 120 x 480 x 128 (*) 120 x 480 x x 7 Bài 7: Cho a, b, c số nguyên, CMR: (a b) a b M7 Lời giải (a b) a a 6b 21a 5b 35a 4b3 35a 3b 21a 2b ab b (a b)7 a b7 7(a 6b 3a 5b 5a 4b3 5a 3b 3a 2b5 ab )M7 (dpcm) n Bài 8: Chứng minh rằng: A 16 15n 1M225 n N Lời giải +) n 16 15.0 0M225 15 +) n A 0M225 15 +) n A 225M225 15 ) n 16 n (15 1) n Cn 1n Cn1.1n 1 Cnn 15n (1 15n BS (225) (16n 15n 1) BS (225) M225n 2 n Bài 9: Chứng minh rằng: A (n 1) (n 1) Mn n N * Lời giải +) n = ; n = thỏa mãn n n n 2 n 2n 3 +) n (n 1) (1 n ) Cn Cn n Cn n Cn n n BS (n ) (1) Lại có: (1 n) n Cn02 Cn12 n Cn22 n C n2 n2 n3 n (n 1) n BS (n3 ) n(n 1) 3 n3 n3 BS ( n ) BS ( n ) Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh 2 ... 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x 2017.20 18 Lời giải Ta có: x x 2017.20 18 x 2017 x 20 18 x 2017.20 18 x 2017 x 20 18 Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: ... x 324 x 18 x 18 2.x 18 36 x 2 c) Ta có: 2 x 18 x x 18 x x 18 x 2 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4 b) 81 x y a) x 64 4... Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 3x 14 x 24 x Lời giải x x 8? ?? 3x x2 x 8? ?? x 2 , Đặt: x x y y xy x x Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: =>
Ngày đăng: 07/12/2022, 10:07
Xem thêm:
