1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

(LUẬN văn THẠC sĩ) phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k

52 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 52
Dung lượng 833,25 KB

Nội dung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NHAN QUỐC MINH PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011 download by : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN B Tơi xin chân thành tỏ lịng biết ơn q Thầy Cơ khoa Tốn - tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Thầy Cô tổ đại số trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh trực tiếp giảng dạy trang bị cho đầy đủ kiến thức làm tản cho trình viết luận văn Đặc biệt tơi xin chân thành tỏ lịng biết ơn sâu sắc PGS.TS Mỵ Vinh Quang người trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Cô phịng Khoa học Cơng nghệ Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Trung học phổ thông Trung An, huyện Cờ Đỏ, Thành phố Cần Thơ giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập Tơi tỏ lịng biết ơn đến gia đình, anh em bạn bè hỗ trợ giúp đỡ tinh thân vật chất để tơi hồn thành luận văn download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC B LỜI CẢM ƠN T T MỤC LỤC T T BẢNG KÍ HIỆU T T LỜI MỞ ĐẦU T T Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN T T 1.1.Các khái niệm mở rộng trường T T 1.1.1.Định nghĩa: T T 1.1.2 Khái niệm mở rộng tập, mở rộng đơn mở rộng lặp T T 1.1.3 Phần tử đại số T T 1.1.4 Mở rộng đại số T T 1.2.Phần tử nguyên T T 1.2.1.Định nghĩa T T 1.2.2 Định lý: T T 1.3.Bao đóng nguyên vành 10 T T 1.3.1 Các khái niệm 10 T T 1.3.2 Các tính chất 10 T T 1.4.Các phần tử liên hợp đầy đủ 12 T T 1.5.Các ideal O K 13 T R R0 T 1.5.1 Định thức hệ phần tử 13 T T 1.5.2 Định thức phần tử 13 T T 1.5.3 Tính chất 14 T T 1.6.Miền Dedekind 17 T T 1.7.Hàm chuẩn hàm Euler 22 T T download by : skknchat@gmail.com Chương 2: PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ T NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K 27 T 2.1 Chuẩn ideal nguyên tố 27 T T 2.2 Phân tích thành nhân tử vành số nguyên đại số bậc k 30 T T 2.3 Phân tích thành nhân tử vành số nguyên đại số bậc 36 T T 2.4 Phân tích thành nhân tử trường vòng 41 T T KẾT LUẬN 50 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 T T download by : skknchat@gmail.com BẢNG KÍ HIU B Ê - s phc Ô - tập số hữu tỉ ¢ - tập số nguyên [ E : F ] - bậc mở rộng AB - bao đóng nguyên A B P P Ω - vành đóng ngun ¢ £ OK - vành số nguyên đại số trường K irr (α , F ) - đa thức tối tiểu ca trờn F Fl ( , Ô ) - a thc trng ca trờn Ô D ( ) - định thức phần tử α D ( I ) - định thức ideal I N ( I ) - chuẩn ideal I ∅ - tập rỗng ord P ( A ) - số mũ P phân tích A N (α ) - chuẩn phần tử α Tr (α ) - vết phần tử α I - số phần tử tập I indθ - số θ p a - p | a, p /| a ζ m - nguyên thuỷ bậc m M n ( ¢ ) - vành ma trận vng cấp n ¢ ■ - kết thúc phép chứng minh download by : skknchat@gmail.com LỜI MỞ ĐẦU B Cho K l mt trng m rng hu hn Ô O K vành số nguyên đại R R số K Ta biết O K nói chung khơng phải miền nhân tử hố Cụ thể R R O K định lý số học khơng cịn nữa, số phân tích R R thành tích số nguyên tố theo nhiều cách khác Bởi số học O K R R khó nghiên cứu Tuy nhiên, dựa theo ý tưởng Dedekind “mỗi iđean O K R R phân tích thành tích iđean nguyên tố”, xây dựng số học vành số nguyên đại số Bởi định chọn đề tài “Phân tích thành nhân tử vành số nguyên đại số bậc k” áp dụng số trường mở rộng bậc cao số học vành Bố cục luận văn chia thành chường : • Chương 1: Các kiến thức Trong chương chúng tơi tình kiến thức liên quan đến đề tài: Các khái niệm mở rộng trường, phần tử nguyên, bao đóng nguyên vành, phần tử liên hợp đầy đủ, ideal O K , miền Dedekind, hàm R R chuẩn hàm Euler • Chương : phân tích thành nhân tử vành số nguyên đại số bậc k Trong chương chúng tơi phân tích ideal

thành tích nhân tử nguyên tố vành số nguyên đại số bậc k áp dụng phân tích dó vành số ngun đại số bậc trường vịng Vì khả thời gian cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong qúy Thầy Cơ bạn đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn hoàn chỉnh download by : skknchat@gmail.com Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN B Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm mở rộng trường, vành số nguyên đại số, miền Dedekind, tính chất chúng Chúng ta chứng minh ideal vành số nguyên đại số phân tích thành tích ideal nguyên tố từ xây dựng số học vành số nguyên đại số 1.1.Các khái niệm mở rộng trường B 1.1.1.Định nghĩa: B Cho F, E trường, F trường E E gọi mở rộng F Khi E khơng gian vectơ F, dim F E = [ E : F ] bậc mở rộng E F • Nếu [ E : F ] = ∞ E mở rộng vơ hạn F • Nếu [ E : F ] = n E mở rộng hữu hạn (bậc n) F Cho tháp mở rộng trường F ⊂ E ⊂ G Ta có [ G : F ] = [ G : E ] [ E : F ] Hơn { xi }i =1,n sở E F {x y } i j i =1, n j =1, m {y } j j =1, n sở G E sở G F 1.1.2 Khái niệm mở rộng tập, mở rộng đơn mở rộng lặp B Cho E mở rộng F, X tập E F ( X ) giao tất trường E vừa chứa F X, F ( X ) gọi mở rộng F X F ( X ) trường nhỏ trường E chứa F X Đặc biệt download by : skknchat@gmail.com •  f (a)  F (a) = f , g ∈ F [ x ] , g ≠  gọi X = {a} F ( X ) =   g (a)  mở rộng đơn • X = • {a1 , a2 , , an } , n ≥  f (a1 , a2 , , an )  F(X ) = F (a1 , a2 , , an ) = f , g ∈ F [ x1 , x2 , , xn ] , g ≠     g (a1 , a2 , , an ) gọi mở rộng lặp 1.1.3 Phần tử đại số B Định nghĩa Cho E mở rộng trường F Lấy α ∈ E , α gọi đại số F tồn f ( x) ∈ F [ x ] , deg f ≥ cho f (α ) = • Số phức đại số ¤ gọi số đại số • Cho α phần tử đại số F, tồn f ( x) ∈ F [ x ] , f ( x) đơn khởi, bất khả quy F [ x ] nhận α làm nghiệm Đa thức f ( x) gọi đa thức tối tiểu α F kí hiệu irr (α , F ) • Nếu α đại số bậc n F  F (α ) : F  =n 1, α , α , , α n −1 sở F (α ) F F (α ) = {a + a1α + + an−1α n−1 ∈ F } 1.1.4 Mở rộng đại số B a Các định nghĩa • Cho E mở rộng F, E mở rộng đại số F phần tử α ∈ E đại số F Mở rộng không đại số gọi mở rộng siêu việt • Mở rộng chuẩn tắc Cho E mở rộng F, E mở rộng chuẩn tắc F đa thức p ( x) ∈ F [ x ] bất khả quy F [ x ] , có nghiệm α ∈ E p ( x) phân tích thành tích đa thức bậc E [ x ] (E chứa tất nghiệm p ( x) ) Từ khái niệm ta kết sau ∀α ∈ E , irr (α , F ) phân rã E download by : skknchat@gmail.com • Mở rộng tách  p ( x) ∈ F [ x ] tách F khơng có nghiệm bội F  F ⊂ E , α ∈ E gọi tách F irr (α , F ) tách  F ⊂ E , E mở rộng tách ∀α ∈ E , α tách F  Nếu charF = đa thức bất khả quy F [ x ] tách Suy mở rộng E F tách b Định lý phần tử nguyên thuỷ Định lý F ⊂ E , E mở rộng hữu hạn tách F E mở rộng đơn Nghĩa tồn α ∈ E cho F (α ) = E Phần chứng minh định lý độc giả sẻ tìm thấy Saban Alaca and Kenneth S Williams [2, định lý 5.6.1, định lý 5.6.2, pp 102 – 104] 1.2.Phần tử nguyên B 1.2.1.Định nghĩa B  Cho A B miền nguyên A ⊂ B Phần tử b ∈ B gọi nguyên A b nghiệm đa thức đơn khởi, hệ số thuộc A  Một số phức nguyên ¢ gọi nguyên đại số  ∀b ∈ B, b nguyên A B gọi nguyên A 1.2.2 Định lý: B Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B Nếu B A_mơđun hữu hạn sinh B ngun A 1.2.3 Định lý Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B, b ∈ B , b nguyên A A [b ] A_môđun hữu hạn sinh 1.2.4 Định lý Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B, b1 , , bn ∈ B b1 , , bn nguyên A A [b1 , , bn ] A_môđun hữu hạn sinh Chứng minh định lý 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6 độc giả tìm thấy Saban Alaca and Kenneth S Williams [3, định lý 4.1.3, định lý 4.1.9, pp 77 – 80] download by : skknchat@gmail.com 10 1.2.5 Định lý Cho A, B, C miền nguyên A ⊂ B ⊂ C Nếu B nguyên A C nguyên B C nguyên A Chứng minh Lấy c ∈ C suy c nguyên B, tồn b0 , , bn −1 ∈ B cho Suy c nguyên A [b0 , , bn−1 ] , A [b0 , , bn−1 , c ] c n + bn−1c n−1 + + b0 = A [b0 , , bn −1 ] _môđun hữu hạn sinh Mặt khác b0 , , bn −1 ∈ B nên A [b0 , , bn −1 ] A_môđun hữu hạn sinh Suy A [b0 , , bn−1 , c ] A_môđun hữu hạn sinh ■ Vậy C nguyên A 1.3.Bao đóng nguyên vành B 1.3.1 Các khái niệm B • Cho A, B miền nguyên, A ⊂ B AB = {b ∈B| b nguyên A} P PR R vành B chứa A gọi bao đóng ngun A B • Cho A miền nguyên, K trường thương A Bao đóng nguyên A K gọi bao đóng ngun A Kí hiệu AK P P • Miền nguyên A gọi vành đóng nguyên AK = A P P Cho tháp mở rộng trường ¤ ⊂ K ⊂ £ , [ K : ¤ ] = n £ { α ∈ £ α nguyên ¢ } gọi bao đóng ngun ¢ • Ω = ¢= £ • α ∈ Ω gọi số nguyên đại số • a ∈ ¢ gọi số nguyên hữu tỉ K { α ∈ K | α nguyên ¢ } gọi l vnh cỏc s nguyờn i s ã O= Â= K trường K Chú ý: ¢ = Ω ∩ ¤ OK = Ω ∩ K 1.3.2 Các tính chất B i) Mỗi số đại số viếc dạng α = u u số nguyên đại a số a số nguyên hữu tỉ download by : skknchat@gmail.com 38 ∑∏ ( x − θ ) n = f '( x ) n j i =1 j =1 j ≠i Từ suy f ' (θi ) = ∏ (θ n j =1 j ≠i i − θ j ), i = 1, 2, , n Khi ∏∏ (θ n n f ' (θi ) ∏= =i n =i =j j ≠i i −θ j ) = ∏ (θi − θ j ) 1≤i < j ≤ n ∏ (θ 1≤ j

Ngày đăng: 31/03/2022, 17:09

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w