Khôi phục thông lượng nhiệt trên biên của thanh hữu hạn hai chiều từ các dữ liệu bên trong

Nghiên cứu này xem xét bài toán hồi phục toàn bộ thông lượng nhiệt theo thời gian trên bề mặt của một lớp bên trong của vật thể từ hai dữ liệu đo bên trong trong trường hợp không thuần nhất. Nghiên cứu tính không chỉnh theo nghĩa của Hadamard bằng cách sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân. Kết quả là ước lượng được sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 75 (03/2021) No 75 (03/2021) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/ KHÔI PHỤC THÔNG LƯỢNG NHIỆT TRÊN BIÊN CỦA THANH HỮU HẠN HAI CHIỀU TỪ CÁC DỮ LIỆU BÊN TRONG Reconstruction of the heat flux on the boundary of a two-dimensional finite slab from interior data ThS Nguyễn Quang Huy Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM TÓM TẮT Nghiên cứu xem xét tốn hồi phục tồn thông lượng nhiệt theo thời gian bề mặt lớp bên vật thể từ hai liệu đo bên trong trường hợp không Nghiên cứu tính khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard cách sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân Kết ước lượng sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác Từ khóa: tốn khơng chỉnh, liệu bên trong, phép chỉnh hóa, phương trình nhiệt, thơng lượng nhiệt ABSTRACT This research considers the two – dimensional heat problem of recovering the heat flux on the surface of a layer inside of a heat-conducting body from two interior temperature measurements in the nonhomogeneous case The ill-posedness in the sense of Hadamard by using a truncation method had been explored As a result, we obtain the error estimate between the regularized solution and the exact solution to the problem Keywords: ill-posed problem, interior data, regularization, heat equation, heat flux Bài toán giải trường hợp chiều [2-4] hai chiều [5-6] Trong nghiên cứu mình, A Carasso [2] giải tốn tìm hàm u(0, t )  f (t ) cho: Giới thiệu Bài toán xác định nhiệt độ từ phép đo đạc điểm bên miền nghiên cứu nhiều tác giả có nhiều ứng dụng Vật lý Địa chất Trên thực tế, nhiều toán vật lý [1], cảm biến nhiệt gắn bề mặt vật thể (chẳng hạn, phần vỏ tên lửa) Mặt khác, dễ dàng đo lịch sử nhiệt độ điểm bên vật thể Vì thế, để tìm lịch sử nhiệt vật thể, sử dụng nhiệt độ đo bên thân ut  a 2u xx ,  x  ,0  t  ,  u ( x,0)  0,  x   u (l , t )  g (t ), l  0,  t    Nhóm tác giả Lê cộng [3] giải tốn tìm hàm w(t )  ux (1, t ) Email: huynq@hcmute.edu.vn 80 NGUYỄN QUANG HUY TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN u xx  ut  0,  x  a, t  0, a  2,  cho: u (1, t )  f (t ), t  0, u (2, t )  g (t ), t   cho trước Trên thực tế, thay đổi nhỏ liệu gây thay đổi đáng kể nghiệm Do vậy, phép chỉnh hóa cần thiết Tuy báo liên quan đến trường hợp không gặp Từ phân tích trên, chúng tơi nghiên cứu tốn tìm thơng lượng nhiệt bề mặt: Hơn nữa, tác giả xem xét tốn tìm hàm u(0, t )  v(t ) cho: u xx  ut  0,  x  1, t  0,  u (1, t )  f (t ), t  0, u (1, t )  w(t ), t   x uy ( x,1, t )  v( x, t ) (1.1) thỏa mãn: Các tác giả P N Dinh Alain, P H Quan D D Trong [5] giải toán xác định phân bố nhiệt u( x,0, t )  v( x, t ) , hàm u thỏa mãn phương trình u  ut  F ( x, y, t ), x  ,  y  2, t  0, (1.2) u ( x,1, t )  f ( x, t ), x  , t  0, u ( x,2, t )  g ( x, t ), x  , t  0, u ( x, y,0)  0, x  ,  y  2, (1.3) (1.4) (1.5) F , f , g liệu đo đạc Phương pháp chỉnh hóa cho tốn sử dụng báo phương pháp chặt cụt tích phân Với điều kiện nghiệm xác, xác định sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác trường hợp khơng u  ut  0, x  ,  y  2, t  0, với điều kiện biên: u ( x,1, t )  f ( x, t ), x  , t  0, u ( x, 2, t )  g ( x, t ), x  , t  0, điều kiện đầu: u( x, y,0)  0, x  ,  y  Bài tốn xác định thơng lượng nhiệt u y ( x,1, t )  w( x, t ) cho: v  v0  C4  3/10 , C4  phụ thuộc vào nghiệm xác Các kết 2.1 Nghiệm xác tốn (1.1) - (1.5) Bổ đề 2.1 [7] Cho a  Đặt: u  ut  0, x  ,1  y  2, t  0, u ( x,1, t )  f ( x, t ), x  , t  0, u ( x, 2, t )  g ( x, t ), x  , t  0, u ( x, y,0)  0, x  ,  y  2,   x a  e 4t H1 ( x, t )   t 0  Quan cộng [6] giải Như biết, có tính nghiệm, tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, nghĩa nghiệm tốn khơng ln ln tồn chí trường hợp tồn nghiệm, khơng phụ thuộc liên tục vào liệu 1  x  a  e 4t H ( x, t )   t 0  81 ( x, t )   [0, ) , ( x, t )   (,0) ( x, t )   [0, ) ( x, t )   (,0) SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) Khi , ta có:  a   2  Hˆ ( z, r )  e a e Hˆ ( z , r )   a     2  z4 r2  z2   a  cos       z4 r2  z2 z4  r2     a  z  r  z cos       a  z  r  z sin       z4  r2  z2    z4  r2  z2    i sgn(r )  a  z  r  z sin       z4  r2  z2   i sgn(r )  a  z  r  z cos       z  r  z   Hơn nữa, ta có Hˆ ( z, r )  e a  a     2  z  r  z  ,    a  z  r  z   i sgn(r )sin       z4 r2  z2 ˆ , H ( z, r )  z4 r  z2 z4  r2 ta có: G  G  G  Tích phân đẳng Trong phần tiếp theo, chúng tơi tìm nghiệm xác tốn (1.1) - (1.5) Trước hết, biến đổi tốn (1.1) – (1.5) phương trình tích phân dạng tích chập ( x  )  ( y  ) Đặt: ( x, y, t ,  , , )  e 4(t  ) e  a     2 thức div(Gu  uG)  (uG)  G.F , miền (n, n) (1, 2) (0, t   ) cho   , ta có: 4 (t   ) G( x, y, t,  ,, )  ( x, y, t,  ,, )  ( x,4  y, t,  ,, ) ,  t  t     g ( , )G ( x, y, t ,  , 2, )d d    G( x, y, t,  ,1, )u ( ,1, )d d  t   f ( , )G ( x, y, t ,  ,1, )d d  u ( x, y, t )    t    G( x, y, t, , , ).F ( , , )d d d  (2.1)  Thay (1.1) vào (2.1), ta có:  t  t     G( x, y, t ,  ,1, )v( , )d d  u( x, y, t )   t  t      g ( , )G ( x, y, t ,  , 2, )d d    f ( , )G ( x, y, t,  ,1, )d d    G( x, y, t, , , ).F ( , , )d d d 82 (2.2) NGUYỄN QUANG HUY TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN  Cho y  (2.2), ta đạt được: ( x  ) ( x  )      1 4( t  )  e 4(t  )  v( , )d d  0  2 (t   ) e 2 (t   )    t   f ( x, t )  2  2  t  t   0 (t   )2 e   0 (t   )2 e ( x  )2 1 4( t  ) ( x  )2  4( t  ) f ( , )d d  t g ( , )d d     G( x,1, t , , , ).F ( , , )d d d (2.3)  Điều dẫn đến S  v( x, t )   R1  f ( x, t )  R2  g ( x, t )  f ( x, t )    R3  R4   F ( x, , t )d , (2.4) Trong đó, ta định nghĩa v( x, t )  f ( x, t )  g ( x, t )  t  0, S  P1  P2 , 1  x  e 4t P1 ( x, t )   t 0  1  x   e 4t P2 ( x, t )   t 0  ( x, t )   [0, ) , ( x, t )   (,0) ( x, t )   [0, ) , ( x, t )   (,0)   x 4  e 4t R1 ( x, t )   t 0    x 1  e 4t R2 ( x, t )   t 0  ( x, t )   [0, ) ( x, t )   ( ,0) ( x, t )   [0, ) ( x, t )   ( ,0) , 1   x2 (1 )2  4t  e  R3 ( x, , t )   t    0 , ( x, , t )   [1,2]  [0, ) ( x, , t )   [1,2]  ( ,0) 83 , SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) 1   x2 (3 )2  4t  e  R4 ( x, , t )   t    0 ( x, , t )   [1, 2]  [0,  ) ( x, , t )   [1, 2]  ( , 0) Đặt: K ( x, t )   R1  f ( x, t )  R2  g ( x, t )  f ( x, t )    R3  R4   F ( x, , t )d (2.5) Lấy biến đổi Fourier hai vế (2.4), ta ˆ ( z, r ), Sˆ ( z, r ).vˆ( z, r )  K 2 Trong đó, vˆ( z, r )  (2.6) (2.6)     v ( x, t )e  i ( xz tr ) dxdt   Từ (2.6), ta tìm nghiệm xác tốn (1.1) – (1.5) v( x, t )  2      ˆ ( z, r ) i ( xz tr ) K e dzdr Sˆ ( z, r ) (2.7) (2.7) Trong kết sau đây, ta ký hiệu || ||2 chuẩn L ( ) 2.2 Chỉnh hóa tốn (1.1) - (1.5) Chúng tơi xây dựng nghiệm chỉnh hóa toán (1.1) – (1.5) v ( x, t )  2   D Kˆ ( z, r ) i ( xz tr ) e dzdr , Sˆ ( z, r ) 2 Trong đó, D  ( z, r ) / a | z | b and a | r | b (2.8)  với a , b   chọn sau cho lim a  limb    0  0 Bổ đề 2.2 (Tính ổn định nghiệm chỉnh hóa cho phương trình 2.8): Giả sử vk  L2 ( liệu f k , gk  L2 ( v1  v2 2 ) nghiệm chỉnh hóa cho (2.8) tương ứng với ), Fk  L2 (1,2, L2 (  C1 b a f1  f 2 2 )), k  1,2 Khi đó, ta có  g1  g2 84 2  F1  F2 a2 L2 (1,2, L2 ( )) , NGUYỄN QUANG HUY TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN  32 Trong đó, C1  1  e  4 max (2  R1 ), R2 2  số Định lý 2.1  1  3 Cho    0,    (0, e1/ ) Giả sử v0  L2 ( toán (1.5) (1.1)– f , g0  L ( 2 tương ứng ), F0  L (1,2, L ( 2 )) v  L ( f , g  L2 ( tương ứng với liệu đo đạc f  f v  v0 L2 ( 2 ) , g  g0 L2 ( ) với   ) nghiệm liệu xác ) nghiệm chỉnh hóa cho (2.8) ), F  L2 (1,2, L2 ( F  F0 L2 (1,2, L2 ( )) )) thỏa mãn   Khi đó, ta có  C2 13   ( ), với C2  số  ( )    Chứng minh: Ta đặt: a    , b   Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: v( f ,g ,F )  v0  vˆ( f ,g ,F )  vˆ0  vˆ( f ,g ,F )  vˆ       Áp dụng bổ đề 2.2 bất đẳng thức  , g , F )  vˆ  , g , F )  vˆ được: vˆ ( f Vì vˆ ( f ( f0 , g0 , F0 ) ( f0 , g0 , F0 ) 2    ( f0 , g0 , F0 )  vˆ( f ,g ,F )  vˆ0 0 (2.9) a  b2  c2  a  b  c cho a, b, c  , ta đạt  C1 2  2       C2 13 , (2.10) C2  3C1 Đặt  ( )   vˆ0 ( z, r ) dzdr , ta có vˆ ( f0 , g0 ,F0 )  vˆ0   ( )    \ D (2.11) Từ (2.9), (2.10) (2.11), ta đạt được: v  v0  C2 13   ( ) (2.12) (2.12) Chứng minh hoàn tất Nhận xét 2.1 Định lý 2.1 không đưa đánh giá sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác điều kiện nghiệm xác chưa đủ mạnh Tuy nhiên, có nghiệm 85 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) chỉnh hóa tốt dù khơng biết nghiệm xác tốt Định lý tiếp sau đưa sai số cụ thể với điều kiện bổ sung nghiệm xác Định lý 2.2 Cho v , v0 định lý Giả sử v0  H ( ) L1 ( ) L ( )    1/ Khi đó, ta có v  v0  C4  10 , C4  phụ thuộc v0 Chứng minh: 1/5 4 a     1/5 , 3 Đặt: 1/5 4 b    , 3/10 3  T   b , b   b2 , b2  , Q   a , a   a2 , a2  , D  T \ Q Từ bổ đề 2.2, ta có: vˆ ( F , f  vˆ ( F , f 0 , g0 )  vˆ0  vˆ ( F , f 0 , g0 ) b2 C a  2   2   a   (2.13) ( z  r ) vˆ0 ( z , r ) dzdr   vˆ0 ( z, r ) dzdr 2 (z  r ) Q    Do vˆ ( F , f  , g ) 0 , g0 ) vˆ0 ( z , r ) dzdr   \ D z  r vˆ0 ( z , r )  vˆ0  \T  vˆ0 2 2b  Từ (2.9), (2.13) (2.14), ta v  v0  2 C3  max 2C1 ,  z  r vˆ0 (z ,r ) 2 2 L ( ) a3  v a 3 2b   b2  b2   C     a3  , b a  a  2 z  r vˆ0 ( z, r ) ,4 v0   86 (2.14) NGUYỄN QUANG HUY TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Điều dẫn đến v  v0 2 2/5 2/3 3/5  2  2  3  3 4 3/5  C  3/5 2/5            3/5  3/5 4/5    4 4    3   Do đó, ta v  v0 2  3  C  , với C4  C3    4 Vì 3/5 v  v0 2/5  3   4  C4  3/10 2/3 3/5 4    3 (2.15) (2.15) Chứng minh hoàn tất Kết luận Nghiên cứu chỉnh hóa tốn khơi phục thông lượng nhiệt biên vật thể hữu hạn hai chiều trường hợp không Chúng tơi xây dựng nghiệm chỉnh hóa tốn đưa đánh giá sai số có dạng Holder nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác toán Lời cảm ơn Đầu tiên, tác giả muốn gửi lời cám ơn đến Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh Tác giả cám ơn phản biện biên tập viên ý kiến đóng góp cho báo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D D Ang, R Gorenflo, L K Vy and D D Trong, Moment theory and some inverse problem in potential theory and heat conduction, Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin, 2002 [2] Carasso, “Determing surface temperatures from interior observations”, SIAM J Appl Math 42 (1981), pp 547 – 558 [3] T T Le, D N Thanh and P H Tri, “Surface temperature determination from borehole measurements: A finite slab model”, Acta Mathematica Vietnamica, Volume 20, Number 2, 1995, pp 193 – 206 [4] T T Le and M P Navarro, “Surface temperature from borehole measurement: regularization and error estimates”, Inter J Math Math Sci., Volume 18, Number 3(1995), pp 601 - 606 87 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 75 (03/2021) [5] P H Quan, D D Trong and P N Dinh Alain, “Sinc approximation of the heat flux on the boundary of a two – dimensional finite slab”, Numer Funct Anal Optim, 27, no 5-6, pp 685-695, 2006 [6] P N Dinh Alain, P H Quan and D D Trong, “Sinc approximation of the heat distribution on the boundary of a two – dimensional finite slab”, Nonlinear analysis: Real World Applications (2008), pp 1103 – 1111 [7] Erdelyi, et al., Tables of Integral Transforms, vol 1, McGraw – Hill, Newyork, 1954 [8] Andreas Kirsch, An introduction to the mathematical theory of inverse problem, Springer, 1966 Ngày nhận bài: 12/3/2020 Biên tập xong: 15/3/2021 88 Duyệt đăng: 20/3/2021 ... 3 (2.15) (2.15) Chứng minh hoàn tất Kết luận Nghiên cứu chỉnh hóa tốn khôi phục thông lượng nhiệt biên vật thể hữu hạn hai chiều trường hợp không Chúng tơi xây dựng nghiệm chỉnh hóa tốn đưa đánh... Trên thực tế, thay đổi nhỏ liệu gây thay đổi đáng kể nghiệm Do vậy, phép chỉnh hóa cần thiết Tuy báo liên quan đến trường hợp không gặp Từ phân tích trên, chúng tơi nghiên cứu tốn tìm thơng lượng. .. 0, với điều kiện biên: u ( x,1, t )  f ( x, t ), x  , t  0, u ( x, 2, t )  g ( x, t ), x  , t  0, điều kiện đầu: u( x, y,0)  0, x  ,  y  Bài tốn xác định thơng lượng nhiệt u y ( x,1,