Giáo trình Toán học ứng dụng trong điện tử viễn thông: Phần 2 - PGS.TS. Lê Bá Long

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán học ứng dụng trong điện tử viễn thông: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov; Quá trình dừng; Quá trình Poisson; Lý thuyết sắp hàng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov CHƯƠNG IV: QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN, CHUỖI MARKOV GIỚI THIỆU Hầu hết tượng xảy tự nhiên xã hội có tính chất ngẫu nhiên, phản ánh mối ràng buộc phức tạp mà ta khơng biết trước Trong giáo trình Xác suất Thống kê tìm hiểu khái niệm biến ngẫu nhiên, véc tơ ngẫu nhiên, biến nhận giá trị phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên Khi họ biến ngẫu nhiên phụ thuộc vào thời gian ta có q trình ngẫu nhiên Lý thuyết trình ngẫu nhiên lần nghiên cứu liên quan đến toán dao động nhiễu hệ vật lý Quá trình ngẫu nhiên mơ hình tốn học q trình thực nghiệm mà phát triển bị chi phối quy luật xác suất Quá trình ngẫu nhiên cung cấp mơ hình hữu ích để nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác vật lý thống kê, viễn thông, điều khiển, phân tích chuỗi thời gian, tăng trưởng dân số ngành khoa học quản lý Các tín hiệu video, tín hiệu thoại, liệu máy tính, nhiễu hệ thống viễn thông, nhiễu điện thiết bị điện, số khách hàng đến điểm phục vụ, số chứng khoán thị trường chứng khốn… q trình ngẫu nhiên Q trình ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng viễn thơng q trình Markov (q trình khơng nhớ, memoryless) q trình dừng Chuỗi Markov q trình Markov có khơng gian trạng thái rời rạc, thời gian rời rạc Chuỗi Markov thường gặp toán chuyển mạch hệ thống viễn thơng Q trình Poisson ví dụ chuỗi Markov với thời gian liên tục Q trình Poisson X (t ) mơ tả q trình đếm số lần xuất biến cố A thời điểm t Q trình Poisson ứng dụng nhiều viễn thông, liên quan đến tốn truyền tín hiệu, hệ phục vụ, tốn chuyển mạch Q trình Poisson xét chương Tín hiệu viễn thơng, nhiễu khơng có tính Markov Các q trình q khứ có ảnh hưởng lớn đến tiến triển trình tương lại Tuy nhiên hàm trung bình khơng thay đổi hàm tương quan theo thời gian, q trình dừng Khi q trình dừng biểu diễn tín hiệu nhiễu biến đổi Fourier hàm tương quan trình hàm mật độ phổ cơng suất tín hiệu nhiễu Một toán quan trọng lý thuyết chuyển mạch vấn đề xung đột thông tin, nghẽn mạch rớt gọi Lý thuyết trình hàng (Queueing theory) xác định tìm phương án tối ưu để hệ thống phục vụ tốt nhất, xét chương Trong chương ta nghiên cứu cách khái quát khái niệm trình ngẫu nhiên chuỗi Markov thời gian rời rạc 103 Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov Để học tốt chương học viên cần nắm vững khái niệm xác suất, xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ, biến ngẫu nhiên kiến thức đại số tuyến tính ma trận, hệ phương trình tuyến tính 4.1 KHÁI NIỆM VÀ PHÂN LOẠI Q TRÌNH NGẪU NHIÊN 4.1.1 Khái niệm q trình ngẫu nhiên Các tín hiệu hệ thống thơng tin tín hiệu ngẫu nhiên ngồi thành phần mang tin cịn có tác động giao thoa ngẫu nhiên nhiễu thiết bị Giả sử tín hiệu mà thời điểm t nhận giá trị phụ thuộc hệ biến cố {Ei , i ∈ N } phép thử Tín hiệu nhận giá trị x(t , Ei ) thời điểm t biến cố Ei xảy Như { x(t , Ei )} hàm mẫu trình ngẫu nhiên X (t ) Quá trình ngẫu nhiên X (t ) vừa phụ thuộc thời gian t , vừa phụ thuộc yếu tố ngẫu nhiên Ei x(t , E1 ) t1 t2 t t2 t t2 t t2 t x(t , E2 ) t1 Quá trình ngẫu nhiên X (t ) x(t , E3 ) (t E ) x(t , E4 ) t1 t1 { x(t1, Ei ), i ∈ N } { x(t2 , Ei ), i ∈ N } Hình 4.1: Mơ hình q trình ngẫu nhiên Một cách tổng quát trình ngẫu nhiên họ biến ngẫu nhiên { X (t , ω); t ∈ T } xác định phép thử Các trình vừa phụ thuộc vào thời gian t cố định tham số t X (t , ω) biến ngẫu nhiên theo ω Các giá trị nhận theo thời gian t gọi hàm mẫu thể trình ngẫu nhiên Tập số T thường biểu diễn tham số thời gian 104 Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov Do tác động yếu tố ngẫu nhiên nên tín hiệu { X (t , ω); t ∈ T } truyền q trình ngẫu nhiên Tín hiệu cụ thể nhận hàm mẫu (một thể hiện) trình ngẫu nhiên { X (t , ω); t ∈ T } Để đơn giản cách viết người ta ký hiệu trình ngẫu nhiên { X (t ); t ∈ T } thay cho { X (t , ω); t ∈ T } , hàm mẫu tương ứng ký hiệu { x(t ); t ∈ T } 4.1.2 Phân loại q trình ngẫu nhiên Có thể phân loại trình ngẫu nhiên theo đặc trưng sau: • Khơng gian trạng thái, • Tập số thời gian T , • Quan hệ độc lập, quy luật phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X (t ) 4.1.2.1 Phân loại trình ngẫu nhiên theo tập trạng thái E Ta ký hiệu E tập giá trị X (t ) gọi khơng gian trạng thái q trình, giá trị X (t ) gọi trạng thái ♦ Nếu E tập đếm { X (t ); t ∈ T } gọi q trình có trạng thái rời rạc ♦ Nếu E khoảng tập số thực  { X (t ); t ∈ T } gọi trình thực trình trạng thái liên tục ♦ Nếu E tập tập số phức  { X (t ); t ∈ T } trình trạng thái phức ♦ Nếu E ⊂  k { X (t ); t ∈ T } trình trạng thái k-véc tơ 4.1.2.2 Phân loại trình ngẫu nhiên theo tập số T ™ Nếu T ⊂  trình { X (t ); t ∈ T } gọi trình có thời gian rời rạc tham số rời rạc Trường hợp ta ký hiệu X n thay cho X (t ) gọi dãy ngẫu nhiên ™ Nếu T = [0; ∞ ) T = { X (t ); t ∈ T } gọi q trình có thời gian liên tục 4.1.2.3 Phân loại theo tính chất xác suất trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên trở thành biến ngẫu nhiên thời gian cố định thời điểm Mỗi biến ngẫu nhiên có đặc trưng thống kê kỳ vọng, phương sai, moment … đặc trưng nhận từ hàm phân bố xác suất Các hàm phân bố xác suất xác định từ hàm mật độ xác suất (trường hợp liên tục), hàm khối lượng xác suất (trường hợp rời rạc) Hai biến ngẫu nhiên nhận hai thời điểm q trình có đặc trưng (kỳ vọng, phương sai, hiệp phương sai …) xác định từ hàm phân bố xác suất đồng thời hai biến ngẫu nhiên Tổng quát hơn, biến ngẫu nhiên N chiều nhận N thời điểm có đặc trưng xác định từ hàm phân bố xác suất đồng thời biến ngẫu nhiên 105 Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov a) Quá trình độc lập: Quá trình { X (t ); t ∈ T } gọi trình độc lập với thời điểm t1 < t < < t n biến ngẫu nhiên sau độc lập X (t1 ), X (t2 ), , X (tn ) (4.1) Ví dụ 4.1: Giả sử X1 , X , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố Bernoulli với xác suất P { X n = 1} = p , P { X n = 0} = q = − p với n Khi { X n , n ≥ 1} trình ngẫu nhiên gọi trình Bernoulli Quá trình Bernoulli trình độc lập có khơng gian trạng thái rời rạc E = {0,1} , thời gian rời rạc T = {1, 2, } Một ví dụ dãy mẫu trình Bernoulli nhận cách gieo đồng xu liên tiếp Nếu mặt sấp xuất ta gán giá trị 1, mặt ngửa xuất ta gán giá trị Chẳng hạn n MỈt xt hiƯn xn 10 S N N S S S N S S N Dãy mẫu { xn , n ≥ 1} nhận minh họa hình sau xn z z z z z z z z z z z 10 n Hình 4.2: Hàm mẫu q trình Bernoulli b) Q trình có gia số độc lập: Quá trình { X (t ); t ∈ T } gọi trình gia số độc lập gia số trình khoảng thời gian rời biến ngẫu nhiên độc lập Tức với cách chọn t1 < t < < t n biến ngẫu nhiên sau độc lập X (t ) − X (t1 ), X (t ) − X (t ), , X (t n ) − X (t n −1 ) 106 (4.2) Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov Đặc biệt với trình thời gian rời rạc { X n } tính chất gia số độc lập dẫn đến dãy biến ngẫu nhiên Z = X , Zi = X i − X i −1 ; i = 1, 2, độc lập Ngoài ta biết luật phân bố biến ngẫu nhiên Z , Z1 , ta biết luật phân bố X i , i = 0, 1, Thật vậy, điều suy từ cách tìm phân bố xác suất tổng biến ngẫu nhiên độc lập X i = Z + Z1 + + Zi c) Quá trình gia số độc lập dừng Quá trình gia số độc lập { X (t ); t ∈ T } gọi trình gia số độc lập dừng ∀s, t , s < t ; ∀h ≥ : X (t ) − X ( s ) X (t + h) − X ( s + h) có phân bố (4.3) Q trình Poisson, q trình Wiener hai ví dụ q trình gia số độc lập dừng d) Quá trình Martingal Quá trình { X (t ); t ∈ T } gọi trình Martingal với t1 < t < < t n +1 a1 , a2 , , an E ( X (tn +1 ) X (t1 ) = a1 , , X (tn ) = an ) = an (4.4) Martingal xem mơ hình mơ tả trị chơi may rủi, X (t ) số tiền người chơi thời điểm t Tính chất Martingal nói số tiền trung bình người chơi có thời điểm t n +1 số tiền có thời điểm t n khơng phụ thuộc vào có trước khứ Nếu {X (t ); t ≥ 0} trình gia số độc lập với kỳ vọng {X (t ); t ≥ 0} trình Martingal với thời gian liên tục e) Quá trình Markov: Quá trình { X (t ); t ∈ T } gọi trình Markov nếu: Với thời điểm t1 < t < < t n , với giá trị a1 , a2 , , an cho trước, với thời điểm t > tn với a , ta có P { X (t ) ≤ a X (t1 ) = a1 , , X (tn ) = an } = P { X (t ) ≤ a X (tn ) = an } (4.5) Nghĩa qui luật xác suất tương lai phụ thuộc độc lập với q khứ Nói cách khác q trình Markov mơ tả hệ khơng có trí nhớ (memoryless) Với t > s; với tập giá trị A ⊂  giá trị a ta ký hiệu p( s, a; t , A) = P{X (t ) ∈ A X ( s ) = a} (4.6) gọi hàm xác suất chuyển từ thời điểm s đến thời điểm t 107 Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov Như công thức (4.5) viết lại P { X (t ) ≤ a X (t1 ) = a1 , , X (tn ) = an } = p (tn , an ; t , A) , A = ( −∞, a ] (4.7) Q trình Markov với khơng gian trạng thái rời rạc gọi chuỗi Markov (hay xích Markov, Markov chains) Chuỗi Markov với thời gian rời rạc xét mục Quy luật phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc xét qua hàm khối lượng xác suất, tính chất Markov – công thức (4.5) chuỗi Markov { X n ; n = 0,1, 2, } với thời gian rời rạc viết lại sau P { X n +1 = j X = i0 , X = i1 , , X n = i} = P { X n +1 = j X n = i} , i0 , i1 , , i, j ∈ E (4.8) f) Quá trình dừng (stationary) Xét trình ngẫu nhiên { X (t ); t ∈ T } có thời gian T = ,  + ,  ² Nói cách khái quát trình ngẫu nhiên trình dừng tính chất thống kê q trình khơng phụ thuộc thời gian Các tính chất thống kê trình xác định hàm phân bố đồng thời trình thời điểm Các khái niệm dừng cụ thể phụ thuộc mức độ không phụ thuộc thời gian Quá trình dừng bậc nếu: với h , với t1 ∈ T hai biến ngẫu nhiên X (t1 ) X (t1 + h) có phân bố xác suất Q trình dừng bậc có hàm trung bình hàm E X (t ) = const Quá trình dừng bậc hai nếu: với h , với t1 , t2 ∈ T hai véc tơ ngẫu nhiên ( X (t1 ), X (t2 ) ) ( X (t1 + h), X (t2 + h) ) có phân bố xác suất Hàm phân bố đồng thời trình dừng bậc hai khơng phụ thuộc thời điểm mà phụ thuộc khoảng cách hai thời điểm (bằng cách chọn h = −t1 ) Quá trình dừng bậc hai trình dừng bậc hàm phân bố thành phần xác định từ hàm phân bố đồng thời Do E X (t ) = const E ⎡⎣ X (t + τ) X (t ) ⎤⎦ phụ thuộc τ X (t ) số phức liên hợp số phức X (t ) Dựa vào kết này, ta mở rộng khái niệm dừng bậc hai theo nghĩa rộng 108 Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov Dừng theo nghĩa rộng hay dừng hiệp phương sai (wide sense stationary or covariance stationary) thỏa mãn hai điều kiện sau: i) E X (t ) = m = const ii) Với E ⎡⎣ X (t + τ) X (t ) ⎤⎦ phụ thuộc τ Đặt RXX (τ) = E ⎡⎣ X (t + τ) X (t ) ⎤⎦ (4.9) gọi hàm tự tương quan trình { X (t ); t ∈ T } Quá trình dừng bậc hai trình dừng theo nghĩa rộng, điều ngược lại khơng Q trình dừng bậc N nếu: với h , với t1 , t2 , , t N ∈ T hai véc tơ ngẫu nhiên ( X (t1 ), X (t2 ), ,, X (t N ) ) ( X (t1 + h), X (t2 + h), ,, X (t N + h) ) có phân bố xác suất Quá trình dừng bậc N trình dừng bậc k, với k ≤ N Dừng theo nghĩa chặt (strictly stationary) trình dừng bậc Nghĩa là: Với h > , với N, với t1 , t2 , , t N ∈ T hai véc tơ ngẫu nhiên ( X (t1 ), X (t2 ), , X (t N ) ) ( X (t1 + h), X (t2 + h), , X (t N + h) ) có phân bố xác suất Nói riêng X (t ) có phân bố 4.2 CHUỖI MARKOV Chuỗi Markov trình Markov { X (t ); t ∈ T } có khơng gian trạng thái E đếm Tùy theo tập số T = {0,1, 2, } T = (0; ∞ ) ta có tương ứng chuỗi Markov với thời gian rời rạc liên tục Với chuỗi Markov công thức xác suất chuyển (4.6) viết cụ thể p ( s, i; t , j ) = P { X (t ) = j X ( s ) = i} , t > s; i, j ∈ E (4.10) Nếu xác suất chuyển (4.10) phụ thuộc vào t − s nghĩa p ( s , i ; t , j ) = p ( s + h , i ; t + h, j ) (4.11) với h , ta nói q trình theo thời gian 109 Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov 4.2.1 Chuỗi Markov với thời gian rời rạc Định nghĩa 4.1 Quá trình { X n , n = 0,1, 2, } với thời gian rời rạc gọi chuỗi Markov thời gian rời rạc thỏa mãn hai điều kiện sau i) Không gian trạng thái E X n tập đếm ii) Hàm xác suất chuyển theo thời gian, tức thoả mãn (4.11) Từ trở ta xét chuỗi Markov với thời gian rời rạc ta gọi tắt chuỗi Markov 4.2.2 Ma trận xác suất chuyển Giả sử { X n , n = 0,1, 2, } chuỗi Markov thời gian rời rạc có không gian trạng thái E Các phần tử E ký hiệu i, j , k Với i, j ∈ E ; đặt pij = P { X n +1 = j X n = i} = P { X = j X = i} (4.12) khơng phụ thuộc vào n Đó xác suất để từ trạng thái i sau bước chuyển thành trạng thái j Định nghĩa 4.2: Ma trận P = ⎡⎣ pij ⎤⎦ với pij xác định theo (4.12) gọi ma trận xác suất chuyển hay ma trận xác suất chuyển sau bước chuỗi Markov { X n , n = 0,1, 2, } Các phần tử pij ma trận xác suất chuyển thỏa mãn điều kiện pij ≥ ; ∑ pij = , ∀i ∈ E (4.13) j∈E Nếu tập trạng thái E vơ hạn ma trận xác suất chuyển có vơ số hàng, vơ số cột tổng thứ hai công thức (4.13) tổng chuỗi số dương Nếu tập trạng thái E hữu hạn, chẳng hạn E = {1, 2, , m} ma trận xác suất chuyển cơng thức (4.13) viết dạng ⎡ p11 ⎢p P = ⎡⎣ pij ⎤⎦ = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣ pm1 pij ≥ ; p1m ⎤ p2m ⎥⎥ ⎥ ⎥ pmm ⎦ (4.14) ∑ pij = , ∀i = 1, , m (4.15) p12 p22 pm m j =1 Ma trận vuông thỏa mãn điều kiện (4.15) gọi ma trận Markov ma trận ngẫu nhiên 110 Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov 4.2.3 Ma trận xác suất chuyển bậc cao, Phương trình Chapman–Kolmogorov Đặt pij( k ) = P { X n + k = j X n = i} = P { X k = j X = i} (4.16) Đó xác suất sau k bước hệ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j Định nghĩa 4.3: Ma trận vuông P ( k ) = ⎡⎣ pij( k ) ⎤⎦ gọi ma trận xác suất chuyển sau k bước Ký hiệu P (0) = I , P (1) = P , I ma trận đơn vị Tương tự ma trận xác suất chuyển P , số hàng số cột P ( k ) vơ hạn khơng gian trạng thái E có vơ số đếm phần tử Nếu khơng gian trạng thái E hữu hạn ma trận xác suất chuyển sau k bước P ( k ) ma trận Markov (xem tập 4.8) Định lý 4.1: Với n ≥ , ta có: P ( n +1) = PP ( n) = P ( n) P (4.17) P ( n) = P n (4.18) Từ suy Chứng minh: Áp dụng cơng thức xác xuất đầy đủ (1.19) ta có pij ( n+1) = P { X n +1 = j X = i} = ∑ P { X n+1 = j X = i , X1 = k} P { X1 = k k∈E = X = i} ∑ P { X n+1 = j X1 = k} P { X1 = k X = i} = ∑ pik pkj (n) k∈E k ∈E ⇒ P ( n +1) = PP ( n ) Ta có pij ( n+1) = P { X n+1 = j X = i} = ∑ P { X n+1 = j X = i, X n = k} P { X n = k X = i} k∈E = ∑ P { X n+1 = j X n = k} P { X n = k X = i} = ∑ pik (n) pkj k∈E k ∈E ⇒ P ( n +1) = P ( n ) P Từ (4.17) suy P (2) = PP = P , quy nạp ta có P ( n) = P n với n = 0,1, 2, Từ công thức (4.18) đẳng thức P n + m = P n P m , ∀ n, m ≥ ta viết phần tử tương ứng dạng 111 Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov pij ( n+ m) = ∑ pik ( n ) pkj ( m ) (4.19) k Công thức (4.19) gọi Phương trình Chapman-Kolmogorov Phương trình Chapman-Kolmogorov giải thích quy luật chuyến trạng thái chuỗi Markov sau: hệ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j sau n + m bước đạt cách chuyển từ trạng thái i sang trạng thái trung gian k n bước (với xác suất pik ( n ) ) tiếp tục chuyển từ trạng thái k sang trạng thái j m bước (với xác suất pkj ( m ) ) Hơn nửa biến cố “chuyển từ trạng thái i sang trạng thái trung gian k n bước” biến cố “chuyển từ trạng thái k sang trạng thái j m bước” độc lập Vậy xác suất chuyển từ i sang j sau n + m bước qua i, k , j pik ( n ) pkj ( m ) Cuối xác suất chuyển từ i sang j có cách lấy tổng theo k , với k chạy không gian trạng thái chuỗi 4.2.4 Phân bố xác suất { X n , n = 0,1, 2, } Giả sử khơng gian trạng thái có dạng E = {0,1, 2, } Ma trận hàng P(n) = [ p0 (n) p1 (n) p2 (n) ]; p j (n) = P { X n = j} , n = 0,1, 2, (4.20) gọi ma trận phân bố hệ thời điểm n phân bố X n Các phần tử ma trận hàng P ( n) thỏa mãn điều kiện pk (n) ≥ 0; ∑ p ( n) = k k Khi n = , P(0) = [ p0 (0) p1 (0) p2 (0) ] gọi ma trận phân bố ban đầu Định lý 4.2: Với n ≥ , m ≥ : P (n) = P (0) P ( n ) (4.21) P ( n + 1) = P ( n) P (4.22) P ( n + m) = P ( n) P ( m ) (4.23) Chứng minh: Từ định lý 4.1 ta suy điều tương đương Vì để chứng minh định lý 4.2 ta cần chứng minh (4.23), điều có cách sử dụng công thức xác suất đầy đủ: p j (n + m) = P { X n+ m = j} = ∑ P { X n = i} P { X n+ m = j X n = i} = ∑ pi (n) pij ( m ) i∈E i∈E Vậy chuỗi Markov rời rạc hoàn toàn xác định ma trận xác suất chuyển bước P ma trận phân bố ban đầu P (0) 112 T x(t + T ) = x(t ) 13 Tuần hoàn ∫e X ( s) = ∞ −u e 4t x(u ) du X πt 0∫ 14 ∫ J (2 n∞ n − t u J n (2 ut ) x(u ) du ⎛1⎞ f⎜ ⎟ s n +1 ⎝ s ⎠ ∫ ∫ J (2 ⎛ 1⎞ f ⎜s + ⎟ s⎠ s +1 ⎝ u (t − u ) ) x(u ) du x(t ) 18 ∞ u 19 t x(u ) ∫ Γ(u + 1) du n 20 P(a ) ∑ Q' (ak )e ak t k =1 k ( s) t 17 − e − sT ⎛1⎞ f⎜ ⎟ s ⎝s⎠ ut ) x(u ) du 16 x(t )dt s ∞ 15 − st π ∞ −3 − s u e 4u X (u ) du ∫ f (ln s ) s ln s P( s) Q( s) Bậc P(s) < bậc Q(s), Q(s) có nghiệm đơn a1 , , a n nghiệm P ( s ) 184 PHỤ LỤC E Biến đổi Laplace hàm thường gặp ∞ X ( s ) = ∫ e − st x(t )dt TT Ảnh biến đổi Laplace X (s ) Hàm gốc x(t ) 1 s sn ; n = 1, 2, 3, sα s−a 10 11 ; α >0 ( s − a) n t n −1 (n − 1)! t α −1 Γ(α ) e at ; n = 1, 2, 3, t n −1 at e (n − 1)! ; α >0 t α −1 at e Γ(α ) ( s − a )α s +a sin at a s cos at s + a2 ( s − b) + a s −b ( s − b) + a s −a 2 e bt sin at a e bt cos at sinh at a 185 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 s cosh at s2 − a2 ( s − b) − a s −b ( s − b) − a (s + a ) 2 s ebt sinh at a ebt cosh at sin at − at cos at 2a (s + a ) t sin at 2a s2 sin at + at cos at 2a 2 (s + a ) 2 s3 (s + a ) 2 s2 − a2 (s +a ) 2 (s − a ) 2 s cos at − at sin at t cos at atcosh at − sinh at 2a (s − a ) tsinh at 2a s2 sinh at + at cosh at 2a 2 (s − a )2 s3 (s − a ) 2 cosh at + at sinh at 186 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 s2 + a2 (s −a ) 2 (s + a )3 s (s + a )3 s2 (s + a )3 t cosh at (3 − a 2t ) sin at − 3at cos at 8a t sin at − at cos at 8a (1 + a 2t ) sin at − at cos at 8a s3 3t sin at + at cos at 8a s4 (3 − a 2t ) sin at + 5at cos at 8a s5 (8 − a 2t ) cos at − at sin at 3s − a t sin at 2a (s + a )3 (s + a )3 (s + a )3 (s + a )3 s − 3a s (s + a )3 s − 6a s + a (s + a )4 t cos at t cos at s3 − a 2s (s + a )4 t sin at 24a (3 + a 2t )sinh at − 3at cosh at (s − a )3 8a5 187 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 s (s − a )3 s2 (s − a )3 at cosh at − t sinh at 8a at cosh at + (a 2t − 1)sinh at 8a3 s3 3t sinh at + at cosh at 8a s4 (3 + a 2t )sinh at + 5at cosh at 8a s5 (8 + a 2t ) cosh at + at sinh at 3s + a t sinh at 2a (s − a )3 (s − a )3 (s − a )3 (s − a )3 s + 3a s (s − a ) s + 6a s + a (s − a ) t cosh at t cosh at s3 + a 2s t sinh at 24a ⎫ e at / ⎧ at at − cos + e − 3at / ⎬ sin ⎨ 2 3a ⎩ ⎭ (s − a )4 s3 + a3 s s3 + a3 s2 s3 + a3 ⎫ e at / ⎧ at at + cos − e − 3at / ⎬ ⎨ sin 2 3a ⎩ ⎭ ⎛ − at at ⎞ at / ⎟ ⎜e e cos + ⎜⎝ ⎟⎠ 188 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 s3 − a3 s3 − a3 e − at / ⎧ 3at / at ⎫ at − sin − cos e ⎨ ⎬ ⎭ 3a ⎩ ⎫ e − at / ⎧ at at − cos + e 3at / ⎬ ⎨ sin 2 3a ⎩ ⎭ ⎛ at at ⎞ ⎟ ⎜ e + 2e − at / cos ⎜⎝ ⎟⎠ s2 s3 − a3 1 s + 4a 4a {sin at cosh at − cos at sinh at} s sin at sinh at s + 4a 2a s2 {sin at cosh at + cos at sinh at} 2a s + 4a s3 s + 4a cos at cosh at 1 s4 − a4 2a s s −a s2 s4 − a4 s3 s4 − a4 s+a + s+b s s+a 2a {sinh at − sin at} {cosh at − cos at} {sinh at + sin at} 2a {cosh at + cos at} 2a e − bt − e − at 2(b − a ) πt erf at a 189 61 s ( s − a) e at erf at a 62 s−a +b ⎫ ⎧ e at ⎨ − be b t erfc(b t )⎬ ⎭ ⎩ πt 63 s +a 64 s2 − a2 J (at ) I (at ) n 65 ⎛ s2 + a2 − s⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; n > −1 s2 + a2 66 ⎛ s − s2 − a2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; n > −1 s2 − a2 a n J n (at ) n 67 2 e b( s − s + a ) s +a 68 2 e−b s + a η (t − b) J (a t − b ) tJ1 ( at ) a 69 (s + a ) s 70 (s + a )3 s2 71 2 (s + a ) s (e s − 1) = J (a t (t + 2b) ) s +a 72 a n I n (at ) e−s s (1 − e − s ) tJ ( at ) J (at ) − tJ1 (at ) x(t ) = n , n ≤ t < n + 1, n = 0, 1, 2, 190 73 74 s s (e − r ) es −1 s s (e − r ) 75 76 77 = = e− s s (1 − re −s ) − e−s s (1 − re −s ) x(t ) = [t ] ∑ r k ; [t ] phần nguyên t k =1 x(t ) = r n , n ≤ t < n + 1, n = 0, 1, 2, e− s / a s cos at πt e− s / a sin at πa s3 e− s / a sα +1 α /2 ⎛t⎞ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ; α > −1 a2 e 4t e−a s s 78 Jα (2 at ) − πt a2 e 4t − a 79 e−a s 80 − e−a s s ⎛ a ⎞ erf ⎜ ⎟ ⎝2 t ⎠ 81 e−a s s ⎛ a ⎞ erfc ⎜ ⎟ ⎝2 t ⎠ 82 e−a s s ( s + b) 83 84 e −a / s sα +1 ; α > −1 ⎛s+a⎞ ln⎜ ⎟ ⎝ s+b⎠ πt a ⎞ ⎛ e b(bt + a ) erfc ⎜ b t + ⎟ t⎠ ⎝ ∞ − u2 α 4a t u J 2α (2 u )du ∫ e πt a 2α +1 e − bt − e − at t 191 85 ⎛⎜ s + a ⎞⎟ ln s ⎜⎝ a ⎟⎠ Ci (at ) 86 ⎛s+a⎞ ln⎜ ⎟ s ⎝ a ⎠ Ei (at ) − 87 π2 6s + 2(cos at − cos bt ) t (γ + ln s ) s 90 ln s s 91 ln s s 92 ln t ; γ số Euler s ⎛ s2 + a2 ⎞ ⎟ ln⎜ ⎜ s2 + b2 ⎟ ⎝ ⎠ 88 89 γ + ln s ln t ; γ số Euler − (ln t + γ ) (ln t + γ ) − Γ(α + 1) − Γ(α + 1) s sα +1 ; α > −1 ⎛a⎞ arctan ⎜ ⎟ ⎝s⎠ sin at t 94 ⎛a⎞ arctan ⎜ ⎟ s ⎝s⎠ Si (at ) ea / s erfc s 96 e s2 / 4a2 97 2 e s / 4a erfc (s / 2a ) s 98 eas erfc as s ( a/s ) erfc ( s / 2a ) ( ) t α ln t 93 95 π2 e − at πt 2a − a t e π erf (at ) π (t + a) 192 t+a 99 e as Ei ( as ) 100 ⎧π ⎫ cos as ⎨ − Si (as )⎬ − sin as Ci ( as ) ⎩2 ⎭ a 101 ⎧π ⎫ sin as ⎨ − Si (as )⎬ + cos as Ci (as ) ⎩2 ⎭ 102 ⎧π ⎫ cos as ⎨ − Si (as )⎬ − sin as Ci ( as ) ⎩2 ⎭ s arctan (t / a ) 103 ⎧π ⎫ sin as ⎨ − Si (as )⎬ + cos as Ci (as ) ⎩2 ⎭ s ⎛⎜ t + a ⎞⎟ ln ⎜⎝ a ⎟⎠ 104 ⎫ ⎧π ⎨ − Si (as)⎬ + Ci (as) ⎭ ⎩2 ⎛⎜ t + a ⎞⎟ ln t ⎜⎝ a ⎟⎠ 105 δ (t ) - hàm Dirac 106 e − as δ (t − a) 107 e − as s η (t − a) 108 sinh xs s sinh as x ∞ (−1) n nπx nπt + ∑ sin cos a π n =1 n a a 109 sinh xs s cosh as ∞ (−1) n (2n − 1)πx (2n − 1)πt sin sin ∑ 2a 2a π n =12n − 110 cosh xs s sinh as t ∞ (−1) n nπx nπt + ∑ cos sin a π n =1 n a a 111 cosh xs s cosh as t + a2 t t + a2 1+ ∞ (−1) n (2n − 1)πx (2n − 1)πt cos cos ∑ π n =1 2n − 2a 2a 193 112 113 sinh xs s cosh as 114 cosh xs s sinh as 115 cosh xs s cosh as 116 sinh x s sinh a s 117 cosh x s cosh a s 118 119 120 121 122 xt 2a ∞ (−1) n nπx nπt + sin cos ∑ a π n =1 n a a sinh xs s sinh as sinh x s s cosh a s x+ 8a ∞ ∑ (2n − 1) sin π2 2a cos (2n − 1)πt 2a t 2a ∞ (−1) n nπx ⎛ nπt ⎞ cos + ⎟ ⎜1 − cos ∑ 2 a ⎝ a ⎠ 2a π n =1 n t+ 8a ∞ ( −1) n ∑ (2n − 1) cos π2 ( 2n − 1)πx n =1 2a sin ( 2n − 1)πt 2a 2π ∞ nπx n − n 2π t / a ne ( − ) sin ∑ a a n =1 π ∞ ( −1) n−1 (2n − 1)e ∑ a − (2 n −1) π 2t 4a2 cos (2 n − 1)π x 2a n =1 ∞ ∑ (−1) a − ( n −1) π t n −1 4a e sin ( n − 1)πx 2a n =1 − n 2π t n a2 ∞ ( −1) e + a a n =1 ∑ ∞ sinh x s s sinh a s sinh x s s sinh a s (2n − 1)πx n =1 cosh x s s sinh a s cosh x s s cosh a s (−1) n x + a π n =1 ∑ 1+ ∞ ∑ π n =1 ∞ xt 2a + a π2 n =1 ∑ 2a − n 2π t ( −1) n e a n ( −1) n e 2n − nπx cos sin − ( n −1) π t 4a ( −1) n (1 − e n2 cos nπx 2a ( n − 1)πx 2a − n 2π t a2 ) sin nπx 2a 194 123 16a ∞ ( −1) n x2 − a2 e +t − π n =1( 2n − 1) cosh x s s cosh a s ∑ J (ix s ) s J (ia s ) 126 as ( 128 129 130 131 132 πa λ1 , λ2 , nghiệm dương J (λ ) = as ) a2s2 + π cosh ( as ) as e − as s (1 − e − as ) s (1 − e − as ) t 3a 4a t a 2a 3a t a 2a 3a t a 2a 3a t 1 e − as (1 − e − bs ) s 2a a −1 (a s + π )(1 − e − as ) − 4a 2a πa ∞ − λn t / a e J (λ n x / a ) x2 − a2 + t + 2a ∑ λ3n J1 (λn ) n =1 as ( ) s 127 2a λ1 , λ2 , nghiệm dương J (λ ) = J (ix s ) s J (ia s ) ( n − 1)πx 2 125 cos e − λ n t / a J (λ n x / a ) 1− 2∑ λ n J1 (λ n ) n =1 ∞ 124 − ( n −1) π t 4a η (t − a) − η (t − a − b) ∞ ∑ n [η (t − (n − 1)a ) − η (t − na )] n =1 195 133 134 135 e − s + e − 2s ∞ ∑ n [η (t − n) − η(t − (n + 1))] s (1 − e − s ) n=0 − e− s ∞ s (1 − re − as ) πa(1 + e − as ) a2s2 + π ∑ r n [η (t − n) − η (t − (n + 1))] n=0 (η (t ) − η (t − a) )sin πt a 196 PHỤ LỤC F t2 −2 e GIÁ TRỊ HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT PHÂN BỐ CHUẨN TẮC ϕ (t ) = 2π t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0005 0004 0003 0002 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613 2370 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 00080 0005 0004 0003 0002 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2320 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 197 GIÁ TRỊ HÀM PHÂN BỐ CHUẨN TẮC N(0;1) Φ (t ) = t ∫e − 2π −∞ 2π x2 dx Φ (t ) t O t t 0,0 0,1 0,5000 5398 5040 5438 5080 5478 5120 5517 5160 5557 5199 5596 5239 5636 5279 5675 5319 5714 5359 5753 0,2 5793 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 6141 0,3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 0,4 6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 0,5 0,6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7156 7190 7224 0,6 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549 0,7 7580 7611 7642 7673 7703 7734 7764 7794 7823 7852 0,8 7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 8132 0,9 8159 8186 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389 1,0 1,1 0,8413 8643 8438 8665 8461 8686 8485 8708 8508 8729 8531 8749 8554 8770 8577 8790 8599 8810 8621 8830 1,2 8849 8869 8888 8907 8925 8944 8962 8980 8997 9015 1,3 9032 9049 9066 9082 9099 9115 9131 9147 9162 9177 1,4 9192 9207 9222 9236 9251 9265 9279 9292 9306 9319 1,5 0,9332 9345 9357 9370 9382 9394 9406 9418 9429 9441 1,6 9452 9463 9474 9484 9495 9505 9515 9525 9535 9545 1,7 9554 9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633 1,8 9641 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706 1,9 9712 9719 9726 9732 9738 9744 9750 9756 9761 9767 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 0,9773 9821 9861 9893 9918 9778 9826 9864 9896 9920 9783 9830 9868 9898 9922 9788 9834 9871 9901 9925 9793 9838 9875 9904 9927 9798 9842 9878 9906 9929 9803 9846 9881 9909 9931 9808 9850 9884 9911 9932 9812 9854 9887 9913 9934 9817 9857 9890 9916 9936 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,9938 9953 9965 9974 9981 9940 9955 9966 9975 9982 9941 9956 9967 9976 9982 9943 9957 9968 9977 9983 9945 9959 9969 9977 9984 9946 9960 9970 9978 9984 9948 9961 9971 9979 9985 9949 9962 9972 9979 9985 9951 9963 9973 9980 9986 9952 9964 9974 9981 9986 t Φ (t ) 3,0 0,9987 3,1 9990 3,2 9993 3,3 9995 3,4 9996 3,5 9997 3,6 9998 3,7 9999 3,8 9999 3,9 9999 198 ... ĐH 46 75 24 34 16 20 12 14 11 11 10 11 10 10 10 10 31 16 30 33 26 28 23 25 22 23 22 22 21 22 21 21 23 09 46 33 58 52 64 61 68 66 68 67 69 68 69 69 Chỉ số % khác 29 13 1 119 Chương 4: Q trình ngẫu... 0, 43 0, 22 ] , ⎡0, 21 25 0,54 92 0, 23 83⎤ P = ⎢⎢ 0,1969 0,5648 0, 23 83⎥⎥ ⎢⎣ 0,1969 0,5181 0, 28 53⎥⎦ P (6) = P (0) P = [ 0, 20 47 0,5476 0, 24 77 ] , ⎡0, 20 02 0,5503 0, 24 95⎤ n = 12 P = ⎢⎢0, 20 00 0,5506... 0, 24 95⎥⎥ ⎢⎣0, 20 00 0,5484 0, 25 16 ⎥⎦ P( 12) = P(0) P 12 = [ 0, 20 01 0,550 0, 24 99] , ⎡0, 20 00 0,5500 0, 25 00⎤ P = ⎢⎢0, 20 00 0,5500 0, 25 00⎥⎥ ⎢⎣0, 20 00 0,5499 0, 25 01⎥⎦ P(18) = P(0) P18 = [ 0, 20 00