Toán học ứng dụng trong điện tử viễn thông

Toán học ứng dụng trong điện tử viễn thông dùng cho học viên cao học chuyên ngành điện tử viễn thông. Tài liệu gồm phần 1 là giải tích Fourier, Wavelet, phép biến đổi laplace phần 2 là quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov, quá trình dừng, quá trình Poisson và lý thuyết sắp hàng.

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG PGS.TS LÊ BÁ LONG Giáo trình TỐN HỌC ỨNG DỤNG TRONG ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG (Dành cho học viên cao học chuyên ngành Điện tử-Viễn thông) Hà Nội, 2009 NỘI DUNG Phần Chương 1: Giải tích Fourier Chương 2: Wavelet Chương 3: Phép biến đổi laplace Phần Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov Chương 5: Quá trình dừng Chương 6: Quá trình Poisson Chương 7: Lý thuyết hàng Phụ lục Phụ lục A: Biến đổi Z dãy tín hiệu thường gặp Phụ lục B: Báng tóm tắt tính chất phép biến đổi Fourier Phụ lục C: Các cặp biến đổi Fourier thường gặp Phụ lục D: Báng tóm tắt tính chất phép biến đổi Laplace Phụ lục E: Biến đổi Laplace hàm thường gặp Phụ lục F: Giá trị hàm mật độ xác suất phân bố chuẩn tắc Giá trị hàm phân bố chuẩn tắc Chương 1: Giải tích Fourier GIẢI TÍCH FOURIER Cuối kỷ 18 nhà toán học, nhà vật lý đồng thời kỹ sư người Pháp tên Jean Baptiste Joseph Fourier có khám phá kỳ lạ Trong kết nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng mô tả truyền nhiệt vật thể, Fourier khẳng định “mọi” hàm số biểu diễn dạng tổng chuỗi vô hạn hàm lượng giác Ban đầu khẳng định Fourier không nhà toán học thời tin tưởng ý đến Tuy nhiên khơng lâu sau nhà khoa học đánh giá cao khả ứng dụng lĩnh vực ứng dụng rộng lớn ý tưởng Phát Fourier xếp hạng “top ten” thành tựu toán học thời đại, danh sách cịn có khám phá Newton phép tính vi tích phân, Riemann hình học vi phân, 70 năm sau có lý thuyết tương đối Einstein Giải tích Fourier thành phần khơng thể thiếu tốn học ứng dụng đại, ứng dụng rộng rãi tốn lý thuyết, vật lý, kỹ thuật Chẳng hạn, xử lý tín hiệu đại bao gồm audio, tiếng nói, hình ảnh, video, liệu địa chấn, truyền sóng vơ tuyến, v.v …đều đặt sở giải tích Fourier dạng khác Nhiều cơng nghệ tiên tiến đại bao gồm truyền hình, CD DVD âm nhạc, phim video, đồ họa máy tính, xử lý ảnh, phân tích lưu trữ dấu vân tay … theo cách hay cách khác có sử dụng dạng khác lý thuyết Fourier Về mặt lý thuyết người ta phân tích tín hiệu âm phát từ nhạc cụ như: piano, violin, kèn trumpet, kèn oboe, trống … thành chuỗi Fourier để tìm tần số (tone, overtone, …) Về mặt ứng dụng, lý thuyết Fourier công cụ hiệu âm nhạc điện tử đại; nhạc cụ điện tử thiết kế cho tổ hợp tông sin cosin túy để phát âm kỳ diệu nhạc cụ Như vậy, hai cách tự nhiên nhân tạo âm nhạc điện tử dựa vào nguyên lý tổng quát Fourier Ý tưởng ban đầu Fourier phân tích hàm số tuần hoàn thành tổng chuỗi hàm lượng giác mở rộng thành biểu diễn véc tơ không gian Hilbert theo hệ trực chuẩn đầy đủ Vì có hệ trực chuẩn ta có cách khai triển Fourier Trong chương ta xét vấn đề giải tích Fourier Không gian Hilbert Chuỗi Fourier phép biến đổi Fourier hữu hạn Phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier rời rạc phép biến đổi Fourier nhanh Phép biến đổi Fourier hữu hạn phát triển ý tưởng khai triển hàm số tuần hoàn thành chuỗi Fourier, hàm số hồn tồn xác định hệ số Fourier ngược lại Có ba dạng chuỗi Fourier: dạng cầu phương (cơng thức 1.24, 1.28), Chương 1: Giải tích Fourier dạng cực (công thức 1.36) dạng phức (công thức 1.37, 1.41, 1.42) Phần mục trình bày ba dạng chuỗi Fourier, công thức liên hệ chúng kèm theo lời nhận xét nên sử dụng dạng trường hợp cụ thể Trường hợp hàm khơng tuần hồn phép biến đổi Fourier rời rạc thay phép biến đổi Fourier, phép biến đổi ngược xây dựng dựa vào cơng thức tích phân Fourier Khi hàm số biểu diễn cho tín hiệu biến đổi Fourier chúng gọi biểu diễn phổ Tín hiệu tuần hồn có phổ rời rạc, cịn tín hiệu khơng tuần hồn có phổ liên tục Đối số hàm tín hiệu thời gian cịn đối số biến đổi Fourier tần số, phép biến đổi Fourier gọi phép biến đổi biến miền thời gian miền tần số Trong thực tế ta thường phải tính tốn giá trị số tín hiệu rời rạc hố cách chọn mẫu số hữu hạn thời điểm, phổ tương ứng nhận số hữu hạn tần số phép biến đổi Fourier rời rạc Ngoài để thực nhanh phép biến đổi Fourier rời rạc, người ta sử dụng thuật toán biến đổi Fourier nhanh Hướng ứng dụng vào viễn thơng: Phân tích phổ, phân tích truyền dẫn tín hiệu, ghép kênh vô tuyến, ghép kênh quang, đánh giá chất lượng WDM 1.1 KHÔNG GIAN HILBERT Khái niệm không gian Hilbert mở rộng khái niệm khơng gian Euclide, khơng gian véc tơ hữu hạn chiều với tích vơ hướng Khơng gian Euclide trang bị chương trình tốn đại cương bậc đại học 1.1.1 Tích vơ hướng Khái niệm tích vô hướng hai véc tơ không gian véc tơ khái qt từ tích vơ hướng uv = u v cos(u ; v) Trong không gian véc tơ n tích vơ hướng hai véc tơ x = ( x1, x2 , , xn ) , y = ( y1 , y2 , , yn ) Được định nghĩa sau: x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn (1.1) Tích vơ hướng giữ vai trị quan trọng, khái niệm ứng dụng rộng rãi tốn học, học, vật lý … Biết tích vơ hướng cặp véc tơ suy độ dài véc tơ (bình phương độ dài véc tơ tích vơ hướng véc tơ với nó) góc hai véc tơ (cosin góc tích vơ hướng hai véc tơ chia cho tích hai độ dài chúng) Thành thử khái niệm tích vơ hướng bao hàm khả đo độ dài, đo góc, từ đến khái niệm quan trọng khác tính trực giao, hình chiếu thẳng … Khái niệm tích vơ hướng mở rộng khơng gian véc tơ sau: Chương 1: Giải tích Fourier Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương không gian véc tơ gọi tích vơ hướng khơng gian véc tơ Như tích vơ hướng u , v hai véc tơ u , v không gian véc tơ H có tính chất cốt yếu sau: 1) u , v = v, u 2) u1 + u2 , v = u1 , v + u2 , v 3) αu , v = α u , v với số thực α 4) u , u > u ≠ u , u = u = Nếu H không gian véc tơ trường số phức điều kiện 1) thay u , v = v, u , v, u số phức liên hợp số phức v, u Một không gian véc tơ với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert Với véc tơ v ∈ H ta định nghĩa ký hiệu chuẩn hay môđun véc tơ v qua biểu thức v = v, v (1.2) Nếu v = v gọi véc tơ đơn vị Có thể kiểm chứng 1) v ≥ v = v = 2) Với α ∈ : αv =| α | v 3) u+v ≤ u + v ∞ Định nghĩa 1.1: Dãy véc tơ {un }n=1 hội tụ véc tơ u lim un − u = , ta ký hiệu n →∞ lim un = u , n →∞ lim un = u ⇔ ∀ε > 0, ∃ N : ∀n ≥ N ; un − u < ε (1.3) n →∞ ∞ Dãy véc tơ {un }n =1 gọi dãy lim n→∞ ,m→∞ un − um = , {un }∞=1 dãy ∀ε > 0, ∃ N : ∀n, m ≥ N ; n un − um < ε Có thể chứng minh dãy hội tụ dãy bản,tuy nhiên điều ngược lại chưa Chương 1: Giải tích Fourier Khơng gian tiền Hilbert thỏa mãn điều kiện dãy hội tụ gọi khơng gian Hilbert (đây tính chất đầy đủ khơng gian Hilbert) Ví dụ 1.1: Người ta chứng minh khơng gian dãy bình phương hội tụ ⎧ ⎪ l = ⎨(ξn )∞=0 : n ⎪ ⎩ ∞ ⎫ ⎪ n =0 ⎪ ⎭ ∑ | ξn |2 < ∞ ⎬ (1.4) với tích vơ hướng xác định sau ∞ (ξ n );(ηn ) = ∑ ξn ηn (1.5) n =0 không gian Hilbert Khơng gian hàm bình phương khả tích đoạn [ a; b ] (theo nghĩa tích phân Lebesgue) { } L[ a;b] = x(t ) : ∫ | x(t ) |2 dt < ∞ [ a;b] (1.6) với tích vơ hướng xác định sau x(t ); y (t ) = ∫ x(t ) y (t ) [ a;b] (1.7) không gian Hilbert Chú ý hàm liên tục liên tục khúc tích phân Lebesgue trùng với tích phân theo nghĩa thông thường Hội tụ không gian l L[ a;b] (công thức 1.7) gọi hội tụ bình phương trung bình 1.1.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Định lý 1.1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với u , v ∈ H , ln có u, v ≤ u ⋅ v (1.8) Đẳng thức xảy u , v phụ thuộc tuyến tính Chứng minh: Nếu hai véc tơ hai vế bất đẳng thức , bất đẳng thức nghiệm Giả sử v ≠ , với t ∈ ta có: u + tv, u + tv ≥ Chương 1: Giải tích Fourier Mặt khác F (t ) = u + tv, u + tv = t v 2 + 2t v, u + u với t luôn không âm Vì ∆ 'F = v, u − v u tam thức bậc hai đối ≤ Từ suy bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Khi u , v phụ thuộc u = kv (hoặc v = ku ): u , v = kv, v = k ⋅ v = kv ⋅ v = u ⋅ v Ngược lại u , v = u ⋅ v ∆ 'F = Do tồn t0 ∈ cho u + t0v, u + t0v = ⇒ u = −t0v Định lý chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vào không gian bất đẳng thức Bunnhiacopsky: n với tích vơ hướng (1.1) ta có ( x1 y1 + + xn yn )2 ≤ ( x12 + + xn )( y12 + + yn ) (1.9) Đẳng thức xảy x1 = ty1 , , xn = tyn Hệ quả: ∞ 1) Nếu dãy véc tơ {un }n=1 hội tụ véc tơ u lim un , v = u , v với v n →∞ ∞ 2) Nếu dãy {un }n=1 hội tụ u {vn }∞=1 hội tụ v n lim n→∞ ,m→∞ un , vm = u , v Chứng minh: 1) ≤ un , v − u, v = un − u, v ≤ un − u v → n → ∞ ∞ ∞ 2) Hai dãy {un }n =1 {vn }n =1 hội tụ chặn, tồn C cho un ≤ C , ≤ C với n ≤ un , vm − u, v = un − u, vm + u, vm − v ≤ un − u , vm + u, vm − v ≤ un − u vm + u vm − v ≤ C ( un − u + vm − v ) → n → ∞ , m → ∞ 1.1.3 Hệ trực chuẩn, trực chuẩn hoá Gram-Schmidt Định nghĩa 1.2: Hai véc tơ u , v ∈ H gọi trực giao nhau, ký hiệu u ⊥ v , u , v = Hệ véc tơ S = {v1 , , , } H gọi hệ trực giao hai véc tơ hệ S trực giao Chương 1: Giải tích Fourier Hệ trực giao véc tơ đơn vị gọi hệ trực chuẩn Vậy hệ véc tơ S = {e1 , , en , } hệ trực chuẩn thỏa mãn điều kiện ⎧1 nÕu i = j ei , e j = δij δij = ⎨ ký hiệu Kronecker ⎩0 nÕu i ≠ j (1.10) Ví dụ 1.2: Trong không gian véc tơ L[ 0; π] hàm bình phương khả tích với tích vơ hướng xác định bới công thức (1.7), hệ hàm số sau hệ trực giao {1, cos nt ; sin nt ; n = 1, 2, } (1.11) Thật 2π 2π ∫ cos ntdt = ∫ sin ntdt = ; ∀n (1.12) ∀n, ∀m (1.13) 2π ∫ cos nt sin mtdt = ; 2π 2π ∫ cos nt cos mtdt = ∫ sin nt sin mtdt = ; ∀n ≠ m (1.14) 2π ∫ cos 2π ntdt = ∫ sin ntdt = π ; ∀n ≠ (1.15) Định lý 1.2: Mọi hệ trực chuẩn hệ độc lập tuyến tính Chứng minh: Giả sử hệ S = {v1 , , , } trực chuẩn, ξ1v1 + + ξ m vm = ξi = ξ1v1 + + ξ m vm , vi = với i = 1, , m Do S độc lập tuyến tính Định lý chứng minh Định lý 1.3: Giả sử S = {u1 , , un , } hệ véc tơ độc lập tuyến tính khơng gian Hilbert H Khi ta tìm hệ trực chuẩn S ' = {e1 , , en , } cho span {e1 , , ek } = span {u1 , , uk }; với k = 1, 2, Chứng minh: Ta xây dựng hệ trực chuẩn S ' theo bước quy nạp sau mà gọi q trình trực chuẩn hố Gram-Schmidt ♦) k = : Vì hệ S độc lập nên u1 ≠ Đặt e1 = u1 u1 Chương 1: Giải tích Fourier ♦) k = : Xét e2 = − u2 , e1 e1 + u2 , ta có e2 ≠ (vì e2 = u2 = ke1 , điều e2 trái với giả thiết hệ S độc lập) Đặt e2 = , hệ {e1 , e2 } trực chuẩn e2 span {e1 , e2 } = span {u1 , u2 } ♦) Giả sử xây dựng đến k − Nghĩa tồn {e1 , , ek −1} trực chuẩn cho span { e1 , , ek −1} = span { u1 , , uk −1} Tương tự ta xét k −1 ek = −∑ uk , ei ei + uk (1.16) i =1 ta có ek ≠ ( ek = uk tổ hợp tuyến tính e1 , , ek −1 , tổ hợp tuyến tính u1 , , uk −1 , điều mâu thuẩn với giả thiết hệ S độc lập) Đặt ek = ek (1.17) ek ek ⊥ ei ; i = 1, , k − Vậy hệ {e1 , , ek } trực chuẩn { } span {e1 , , ek } = span e1 , , ek −1, ek = span {u1, , uk −1, uk } Ví dụ 1.3: Trong xét hệ véc tơ độc lập: u1 = (1,1,1) , u2 = (−1,1,1) , u3 = (1, 2,1) Hãy trực chuẩn hoá hệ S = {u1 , u2 , u3 } Bước 1: u1 = ⇒ e1 = Bước 2: u1 ⎛ 1 ⎞ , , = u1 ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ e2 = − u2 , e1 e1 + u2 = − e2 = ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2⎞ , , ⎜ ⎟ + (−1,1,1) = ⎜ − , , ⎟ 3⎝ 3 3⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎞ (−2,1,1) ⇒ e2 = ⎜ − , , ⎟ 6 6⎠ ⎝ Bước 3: e3 = − u3 , e1 e1 − u3 , e2 e2 + u3 =− ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ , , , , ⎜ ⎟− ⎜− ⎟ + (1, 2,1) = ⎜ 0, , − ⎟ 3⎝ 3 3⎠ 6⎝ 6 6⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎞ ⎛ ,− e3 = (0,1, −1) ⇒ e3 = ⎜ 0, ⎟ 2 2⎠ ⎝ {e1, e2 , e3} hệ véc tơ trực chuẩn hoá hệ {u1, u2 , u3} Chương 1: Giải tích Fourier Ví dụ 1.4: Xét hệ gồm ba hàm số s1 (t ) , s2 (t ) , s3 (t ) khơng gian L[ 0;T ] có đồ thị cho hình 1.1 s1 (t ) s2 (t ) s3 (t ) 1 0 t T /3 2T / t T T /3 t Hình 1.1: Đồ thị ba hàm s1 (t ) , s2 (t ) , s3 (t ) Ba hàm số s1 (t ) , s2 (t ) , s3 (t ) độc lập tuyến tính, trực chuẩn hóa Gram-Schmidt ba hàm số ta ba hàm e1 (t ) , e2 (t ) , e3 (t ) xác định sau: T s1 (t ), s1 (t ) = ∫ ( s1 (t ) ) dt = ⎧ 3/T T ⎪ ⇒ e1 (t ) = s1 (t ) = ⎨ T ⎪ ⎩ T s2 (t ), e1 (t ) = ∫ s2 (t )e1 (t )dt = nÕu ≤ t T / ngợc lại T e2 (t ) = s2 (t ) − ⎧1 nÕu T / ≤ t ≤ 2T / T e1 (t ) = ngợc lại Vậy ⎧ 3/T ⎪ e2 (t ) = ⎨ ⎪ ⎩ nÕu T / ≤ t ≤ 2T / ngợc lại Tng t 3/T e3 (t ) = ⎨ ⎪ ⎩ nÕu 2T / t T ngợc lại H trực chuẩn e1 (t ) , e2 (t ) , e3 (t ) có đồ thị e1 (t ) e2 (t ) e3 (t ) 3/T 3/T 3/T T t T 2T t Hình 1.2: Đồ thị hệ trực chuẩn e1 (t ) , e2 (t ) , e3 (t ) 10 2T T t T x(t + T ) = x(t ) 13 Tuần hoàn ∫e X ( s) = ∞ −u e 4t x(u ) du X ∫ πt 14 ∫ J (2 n∞ n − t u J n (2 ut ) x(u ) du ⎛1⎞ f⎜ ⎟ s n +1 ⎝ s ⎠ ∫ ∫ J (2 ⎛ 1⎞ f ⎜s + ⎟ s⎠ s +1 ⎝ u (t − u ) ) x(u ) du x(t ) 18 ∞ u 19 t x(u ) ∫ Γ(u + 1) du n 20 P(a ) ∑ Q' (ak )e ak t k =1 k ( s) t 17 − e − sT ⎛1⎞ f⎜ ⎟ s ⎝s⎠ ut ) x(u ) du 16 x(t )dt s ∞ 15 − st π ∞ −3 − s u e 4u X (u ) du ∫ f (ln s ) s ln s P( s) Q( s) Bậc P(s) < bậc Q(s), Q(s) có nghiệm đơn a1 , , a n nghiệm P ( s ) 184 PHỤ LỤC E Biến đổi Laplace hàm thường gặp ∞ X ( s ) = ∫ e − st x(t )dt TT Ảnh biến đổi Laplace X (s ) Hàm gốc x(t ) 1 s sn ; n = 1, 2, 3, sα s−a 10 11 ; α >0 ( s − a) n t n −1 (n − 1)! t α −1 Γ(α ) e at ; n = 1, 2, 3, t n −1 at e (n − 1)! ; α >0 t α −1 at e Γ(α ) ( s − a )α s +a sin at a s cos at s + a2 ( s − b) + a s −b ( s − b) + a s −a 2 e bt sin at a e bt cos at sinh at a 185 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 s cosh at s2 − a2 ( s − b) − a s −b ( s − b) − a (s + a ) 2 s ebt sinh at a ebt cosh at sin at − at cos at 2a (s + a ) t sin at 2a s2 sin at + at cos at 2a 2 (s + a ) 2 s3 (s + a ) 2 s2 − a2 (s +a ) 2 (s − a ) 2 s cos at − at sin at t cos at atcosh at − sinh at 2a (s − a ) tsinh at 2a s2 sinh at + at cosh at 2a 2 (s − a )2 s3 (s − a ) 2 cosh at + at sinh at 186 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 s2 + a2 (s −a ) 2 (s + a )3 s (s + a )3 s2 (s + a )3 t cosh at (3 − a 2t ) sin at − 3at cos at 8a t sin at − at cos at 8a (1 + a 2t ) sin at − at cos at 8a s3 3t sin at + at cos at 8a s4 (3 − a 2t ) sin at + 5at cos at 8a s5 (8 − a 2t ) cos at − at sin at 3s − a t sin at 2a (s + a )3 (s + a )3 (s + a )3 (s + a )3 s − 3a s (s + a )3 s − 6a s + a (s + a )4 t cos at t cos at s3 − a 2s (s + a )4 t sin at 24a (3 + a 2t )sinh at − 3at cosh at (s − a )3 8a5 187 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 s (s − a )3 s2 (s − a )3 at cosh at − t sinh at 8a at cosh at + (a 2t − 1)sinh at 8a3 s3 3t sinh at + at cosh at 8a s4 (3 + a 2t )sinh at + 5at cosh at 8a s5 (8 + a 2t ) cosh at + at sinh at 3s + a t sinh at 2a (s − a )3 (s − a )3 (s − a )3 (s − a )3 s + 3a s (s − a ) s + 6a s + a (s − a ) t cosh at t cosh at s3 + a 2s t sinh at 24a ⎫ e at / ⎧ at at − cos + e − 3at / ⎬ ⎨ sin 2 3a ⎩ ⎭ (s − a )4 s3 + a3 s s3 + a3 s2 s3 + a3 ⎫ e at / ⎧ at at + cos − e − 3at / ⎬ ⎨ sin 2 3a ⎩ ⎭ ⎛ − at at ⎞ ⎟ ⎜e + 2e at / cos 3⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 188 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 s3 − a3 s3 − a3 e − at / ⎧ 3at / at ⎫ at − sin − cos ⎨e ⎬ ⎭ 3a ⎩ ⎫ e − at / ⎧ at at − cos + e 3at / ⎬ ⎨ sin 2 3a ⎩ ⎭ ⎛ at at ⎞ ⎟ ⎜ e + 2e − at / cos 3⎜ ⎟ ⎠ ⎝ s2 s3 − a3 1 s + 4a 4a {sin at cosh at − cos at sinh at} s sin at sinh at s + 4a 2a s2 {sin at cosh at + cos at sinh at} 2a s + 4a s3 s + 4a cos at cosh at 1 s4 − a4 2a s s −a s2 s4 − a4 s3 s4 − a4 s+a + s+b s s+a 2a {sinh at − sin at} {cosh at − cos at} {sinh at + sin at} 2a {cosh at + cos at} 2a e − bt − e − at 2(b − a ) πt erf at a 189 61 s ( s − a) e at erf at a 62 s−a +b ⎫ ⎧ e at ⎨ − be b t erfc(b t )⎬ ⎭ ⎩ πt 63 s +a 64 s2 − a2 J (at ) I (at ) n 65 ⎛ s2 + a2 − s⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; n > −1 s2 + a2 66 ⎛ s − s2 − a2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; n > −1 s2 − a2 a n J n (at ) n 67 2 e b( s − s + a ) s +a 68 2 e−b s + a η (t − b) J (a t − b ) tJ1 ( at ) a 69 (s + a ) s 70 (s + a )3 s2 71 2 (s + a ) s (e s − 1) J (a t (t + 2b) ) s +a 72 a n I n (at ) = e−s s (1 − e − s ) tJ ( at ) J (at ) − tJ1 (at ) x(t ) = n , n ≤ t < n + 1, n = 0, 1, 2, 190 73 74 s s (e − r ) es −1 s s (e − r ) = s (1 − re −s ) − e−s s (1 − re −s ) x(t ) = [t ] ∑ r k ; [t ] phần nguyên t k =1 x(t ) = r n , n ≤ t < n + 1, n = 0, 1, 2, e− s / a s 76 cos at πt e− s / a 75 77 = e− s sin at πa s3 e− s / a sα +1 α /2 ⎛t⎞ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ; α > −1 a2 e 4t e−a s s 78 Jα (2 at ) − πt a2 e 4t − a 79 e−a s 80 − e−a s s ⎛ a ⎞ erf ⎜ ⎟ ⎝2 t ⎠ 81 e−a s s ⎛ a ⎞ erfc ⎜ ⎟ ⎝2 t ⎠ 82 e−a s s ( s + b) 83 84 e −a / s sα +1 ; α > −1 ⎛s+a⎞ ln⎜ ⎟ ⎝ s+b⎠ πt a ⎞ ⎛ e b(bt + a ) erfc ⎜ b t + ⎟ t⎠ ⎝ ∞ − u2 uα e 4a t J 2α (2 u )du ∫ πt a 2α +1 e − bt − e − at t 191 85 ⎛ s2 + a2 ⎞ ⎟ ln⎜ ⎜ a2 ⎟ 2s ⎝ ⎠ Ci (at ) 86 ⎛s+a⎞ ln⎜ ⎟ s ⎝ a ⎠ Ei (at ) − 87 ln t ; γ số Euler s ⎛ s2 + a2 ⎞ ⎟ ln⎜ ⎜ s2 + b2 ⎟ ⎝ ⎠ 88 89 γ + ln s π2 6s + 2(cos at − cos bt ) t (γ + ln s ) s 90 ln s s 91 ln t ; γ số Euler ln s s 92 − (ln t + γ ) (ln t + γ ) − Γ(α + 1) − Γ(α + 1) s sα +1 ; α > −1 π2 t α ln t 93 ⎛a⎞ arctan ⎜ ⎟ ⎝s⎠ sin at t 94 ⎛a⎞ arctan ⎜ ⎟ s ⎝s⎠ Si (at ) 95 ea / s erfc s 96 e s2 / 4a2 97 2 e s / 4a erfc (s / 2a ) s 98 eas erfc as s ( a/s ) erfc ( s / 2a ) ( ) e − at πt 2a − a t e π erf (at ) π (t + a) 192 t+a 99 e as Ei ( as ) 100 ⎧π ⎫ cos as ⎨ − Si (as )⎬ − sin as Ci ( as ) ⎩2 ⎭ a 101 ⎧π ⎫ sin as ⎨ − Si (as )⎬ + cos as Ci (as ) ⎩2 ⎭ 102 ⎧π ⎫ cos as ⎨ − Si (as )⎬ − sin as Ci ( as ) ⎩2 ⎭ s arctan (t / a ) 103 ⎧π ⎫ sin as ⎨ − Si (as )⎬ + cos as Ci (as ) ⎩2 ⎭ s ⎛ t + a2 ⎞ ⎟ ln ⎜ ⎜ a2 ⎟ ⎝ ⎠ 104 ⎫ ⎧π ⎨ − Si (as)⎬ + Ci (as) ⎭ ⎩2 ⎛ t + a2 ⎞ ⎟ ln ⎜ ⎜ a2 ⎟ t ⎝ ⎠ 105 δ (t ) - hàm Dirac 106 e − as δ (t − a) 107 e − as s η (t − a) 108 sinh xs s sinh as x ∞ (−1) n nπx nπt + ∑ sin cos a π n =1 n a a 109 sinh xs s cosh as ∞ (−1) n (2n − 1)πx (2n − 1)πt ∑ 2n − sin 2a sin 2a π n =1 110 cosh xs s sinh as t ∞ (−1) n nπx nπt + ∑ cos sin a π n =1 n a a 111 cosh xs s cosh as t + a2 t t + a2 1+ ∞ (−1) n (2n − 1)πx (2n − 1)πt ∑ 2n − cos 2a cos 2a π n =1 193 112 113 xt 2a ∞ (−1) n nπx nπt + ∑ n sin a cos a a π n =1 sinh xs s sinh as sinh xs s cosh as 114 115 8a ∞ 116 117 118 119 120 121 122 sinh x s s cosh a s t+ 8a ∞ ( −1) n ∑ (2n − 1) cos π2 ( 2n − 1)πx n =1 (2n − 1)πt 2a 2a sin ( 2n − 1)πt 2a 2π ∞ 2 nπx (−1) n ne − n π t / a sin ∑ a a n =1 π ∞ ( −1) n−1 (2n − 1)e ∑ a − (2 n −1) π 2t 4a2 cos (2 n − 1)π x 2a n =1 ∞ ∑ (−1) a − ( n −1) π t n −1 4a e sin ( n − 1)πx 2a n =1 − n 2π t n a2 ∞ ( −1) e + a a n =1 ∑ ∞ sinh x s s sinh a s sinh x s s sinh a s 2a cos t 2a ∞ (−1) n nπx ⎛ nπt ⎞ cos + ⎟ ⎜1 − cos ∑ a ⎝ a ⎠ 2a π n =1 n cosh x s s sinh a s cosh x s s cosh a s (2n − 1)πx n =1 sinh x s sinh a s cosh x s cosh a s (−1) n ∑ (2n − 1) sin π2 cosh xs s sinh as cosh xs s cosh as x+ x + a π n =1 ∑ 1+ ∞ ∑ π n =1 ∞ xt 2a + a π2 n =1 ∑ 2a − n 2π t ( −1) n e a n ( −1) n e 2n − nπx cos sin − ( n −1) π t 4a ( −1) n (1 − e n2 cos nπx 2a ( n − 1)πx 2a − n 2π t a2 ) sin nπx 2a 194 123 16a ∞ ( −1) n x2 − a2 e +t − π n =1( 2n − 1) cosh x s s cosh a s ∑ J (ix s ) s J (ia s ) 126 as ( 128 129 130 131 132 πa λ1 , λ2 , nghiệm dương J (λ ) = as ) a2s2 + π cosh ( as ) as e − as s (1 − e − as ) s (1 − e − as ) t 3a 4a t a 2a 3a t a 2a 3a t a 2a 3a t 1 e − as (1 − e − bs ) s 2a a −1 (a s + π )(1 − e − as ) − 4a 2a πa ∞ − λn t / a e J (λ n x / a ) x2 − a2 + t + 2a ∑ λ3 J1 (λn ) n =1 n as ( ) s 127 2a λ1 , λ2 , nghiệm dương J (λ ) = J (ix s ) s J (ia s ) ( n − 1)πx 2 125 cos e − λ n t / a J (λ n x / a ) 1− 2∑ λ n J1 (λ n ) n =1 ∞ 124 − ( n −1) π t 4a η (t − a) − η (t − a − b) ∞ ∑ n [η (t − (n − 1)a ) − η (t − na )] n =1 195 133 134 135 e − s + e − 2s ∞ ∑ n [η (t − n) − η(t − (n + 1))] s (1 − e − s ) n=0 − e− s ∞ s (1 − re − as ) πa(1 + e − as ) a2s2 + π ∑ r n [η (t − n) − η (t − (n + 1))] n=0 (η (t ) − η (t − a) )sin πt a 196 PHỤ LỤC F t2 −2 e GIÁ TRỊ HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT PHÂN BỐ CHUẨN TẮC ϕ (t ) = 2π t 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,3989 3970 3910 3814 3683 3521 3332 3123 2897 2661 0,2420 2179 1942 1714 1497 1295 1109 0940 0790 0656 0,0540 0440 0355 0283 0224 0175 0136 0104 0079 0060 0,0044 0033 0024 0017 0012 0009 0005 0004 0003 0002 3989 3965 3902 3802 3668 3503 3312 3101 2874 2637 2396 2155 1919 1691 1476 1276 1092 0925 0775 0644 0529 0431 0347 0277 0219 0171 0132 0101 0077 0058 0043 0032 0023 0017 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3989 3961 3894 3790 3653 3485 3292 3079 2850 2613 2370 2131 1895 1669 1456 1257 1074 0909 0761 0632 0519 0422 0339 0270 0213 0167 0129 0099 0075 0056 0042 0031 0022 0016 0012 0008 0005 0004 0003 0002 3988 3956 3885 3778 3637 3467 3271 3056 2827 2589 2347 2107 1872 1647 1435 1238 1057 0893 0748 0620 0508 0413 0332 0264 0208 0163 0126 0096 0073 0055 0040 0030 0022 0016 0011 00080 0005 0004 0003 0002 3986 3951 3876 3765 3621 3448 3251 3034 2803 2565 2320 2083 1849 1626 1415 1219 1040 0878 0734 0608 0498 0404 0325 0258 0203 0158 0122 0093 0071 0053 0039 0029 0021 0015 0011 0008 0005 0004 0003 0002 3984 3945 3867 3752 3605 3429 3230 3011 2780 2541 2299 2059 1826 1604 1394 1200 1023 0863 0721 0596 0488 0396 0317 0252 0198 0154 0119 0091 0069 0051 0038 0028 0020 0015 0010 0007 0005 0004 0002 0002 3982 3939 3857 3739 3589 3410 3209 2989 2756 2516 2275 2036 1804 1582 1374 1182 1006 0848 0707 0584 0478 0387 0310 0246 0194 0151 0116 0088 0067 0050 0037 0027 0020 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3980 3932 3847 3726 3572 3391 3187 2966 2732 2492 2251 2012 1781 1561 1354 1163 0989 0833 0694 0573 0468 0379 0303 0241 0189 0147 0113 0086 0065 0048 0036 0026 0019 0014 0010 0007 0005 0003 0002 0002 3977 3925 3836 3712 3555 3372 3166 2943 2709 2468 2227 1989 1758 1539 1334 1145 0973 0818 0681 0562 0459 0371 0297 0235 0184 0143 0110 0084 0063 0047 0035 0025 0018 0013 0009 0007 0005 0003 0002 0001 3973 3918 3825 3697 3538 3352 3144 2920 2685 2444 2203 1965 1736 1518 1315 1127 0957 0804 0669 0551 0449 0363 0290 0229 0180 0139 0107 0081 0061 0046 0034 0025 0018 0013 0009 0006 0004 0003 0002 0001 197 GIÁ TRỊ HÀM PHÂN BỐ CHUẨN TẮC N(0;1) Φ (t ) = t ∫e − 2π −∞ 2π x2 dx Φ (t ) t O t t 0,0 0,1 0,5000 5398 5040 5438 5080 5478 5120 5517 5160 5557 5199 5596 5239 5636 5279 5675 5319 5714 5359 5753 0,2 5793 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 6141 0,3 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 0,4 6554 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 0,5 0,6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7156 7190 7224 0,6 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549 0,7 7580 7611 7642 7673 7703 7734 7764 7794 7823 7852 0,8 7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 8132 0,9 8159 8186 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389 1,0 1,1 0,8413 8643 8438 8665 8461 8686 8485 8708 8508 8729 8531 8749 8554 8770 8577 8790 8599 8810 8621 8830 1,2 8849 8869 8888 8907 8925 8944 8962 8980 8997 9015 1,3 9032 9049 9066 9082 9099 9115 9131 9147 9162 9177 1,4 9192 9207 9222 9236 9251 9265 9279 9292 9306 9319 1,5 0,9332 9345 9357 9370 9382 9394 9406 9418 9429 9441 1,6 9452 9463 9474 9484 9495 9505 9515 9525 9535 9545 1,7 9554 9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633 1,8 9641 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706 1,9 9712 9719 9726 9732 9738 9744 9750 9756 9761 9767 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 0,9773 9821 9861 9893 9918 9778 9826 9864 9896 9920 9783 9830 9868 9898 9922 9788 9834 9871 9901 9925 9793 9838 9875 9904 9927 9798 9842 9878 9906 9929 9803 9846 9881 9909 9931 9808 9850 9884 9911 9932 9812 9854 9887 9913 9934 9817 9857 9890 9916 9936 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 0,9938 9953 9965 9974 9981 9940 9955 9966 9975 9982 9941 9956 9967 9976 9982 9943 9957 9968 9977 9983 9945 9959 9969 9977 9984 9946 9960 9970 9978 9984 9948 9961 9971 9979 9985 9949 9962 9972 9979 9985 9951 9963 9973 9980 9986 9952 9964 9974 9981 9986 t Φ (t ) 3,0 0,9987 3,1 9990 3,2 9993 3,3 9995 3,4 9996 3,5 9997 3,6 9998 3,7 9999 3,8 9999 3,9 9999 198 ... khơng nhà tốn học thời tin tưởng ý đến Tuy nhiên không lâu sau nhà khoa học đánh giá cao khả ứng dụng lĩnh vực ứng dụng rộng lớn ý tưởng Phát Fourier xếp hạng “top ten” thành tựu toán học thời đại,... nhiều miền ứng dụng như: Giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, xử lý tín hiệu, lý thuyết điều khiển nhiều lãnh vực khác toán lý thuyết toán ứng dụng Đối với nhà toán học phép biến... vi tích phân, Riemann hình học vi phân, 70 năm sau có lý thuyết tương đối Einstein Giải tích Fourier thành phần khơng thể thiếu tốn học ứng dụng đại, ứng dụng rộng rãi toán lý thuyết, vật lý, kỹ