Bao lồi hữu tỉ và không gian các đồng cấu phức của các đại số đều trên các tập compact trong c

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH  TỐNG MỸ THANH BAO LỒI HỮU TỈ VÀ KHÔNG GIAN CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC CỦA CÁC ĐẠI SỐ ĐỀU TRÊN CÁC TẬP COMPACT TRONG n LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG VINH – 2009 -1- MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương 1.Các đại số tập compact  không gian đồng cấu phức 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Đại số hàm liên tục 1.3 Các đại số tập compact  không gian đồng cấu phức 11 Chương Các đại số tập compact n bao lồi hữu tỉ 19 2.1 Các đại số tập compact n 19 2.2 Bao lồi hữu tỉ 20 2.3 Phổ nối tính lồi hữu tỉ 27 2.4 Các tập trịn tính lồi hữu tỉ 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 -2- MỞ ĐẦU Đại số lĩnh vực quan tâm nghiên cứu nhiều giải tích hàm giải tích phức Nó có nhiều ứng dụng việc giải toán xấp xỉ hàm liên tục hàm chỉnh hình,… Khi nghiên cứu đại số người ta thường quan tâm tới việc mô tả không gian ideal cực đại, tức không gian đồng cấu phức biên Shilov đại số đặc biệt Trong 3, giới thiệu nghiên cứu đại số tập compact K n nghiên cứu không gian đồng phức đại số đó.Trong 2, trình bày đại số P(K), R(K) mô tả không gian đồng cấu phức P(K), R(K) với K tập compact compact n , P(K) với K tập , n >1.Vấn đề đặt trường hợp n >1, việc mô tả không gian đồng cấu phức R(K) nào? có tương tự P(K) hay không ? Để giải vấn đề người ta phải dùng khái niệm bao lồi hữu tỉ tập n số kết khác hàm chỉnh hình nhiều biến Mục đích luận văn tìm hiểu, nghiên cứu khái niệm, tính chất bao lồi hữu tỉ tập bị chặn n mô tả không gian đồng cấu phức đại số R(K) với K tập compact n , n >1 Với mục đích luận văn trình bày thành hai chương Chương Các đại số tập compact không gian đồng cấu phức Phần đầu chương dành cho việc trình bày số khái niệm kết hàm chỉnh hình nhiều biến, đại số Banach,…cần dùng luận văn Phần thứ 2, trình bày đại số C(X) hàm giá trị phức liên tục không gian compact X mơ tả khơng gian đồng cấu phức -3- Phần thứ 3, trình bày đại số P(K), R(K) với K tập compact mô tả không gian đồng cấu phức đại số Chương Các đại số tập compact n bao lồi hữu tỉ Phần đầu, trình bày đại số P(K), R(K), A(K) với K tập compact n bao lồi đa thức tập bị chặn n Từ chứng minh khơng gian đồng cấu phức đại số P(K) bao lồi đa thức K (Định lý 2.1.5) Phần thứ 2, trình bày khái niệm tính chất bao lồi hữu tỉ tập bị chặn n Từ chứng minh không gian đồng cấu phức đại số P(K) bao lồi hữu tỉ K (Định lý 2.2.5) Phần thứ 3, trình bày khái niệm phổ nối chứng minh tính lồi hữu tỉ phổ nối đại số Banach hữu hạn sinh (Định lý 2.3.3) Phần cuối cùng, trình bày khái niệm tập trịn mơ tả bao lồi hữu tỉ tập trịn, compact n (Định lý 2.4.3) Các kết luận văn chủ yếu có tài liệu tham khảo chúng chứng minh vắn tắt không chứng minh Chúng chứng minh chi tiết, hệ thống trình bày theo bố cục Bên cạnh chúng tơi đưa chứng minh số kết Mệnh 2.2.2, Mệnh 2.2.3, Bổ đề 2.2.4, Hệ 2.2.6 Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS TS Đinh Huy Hoàng, với giúp đỡ thầy, giáo tổ Giải tích, Khoa Toán, Khoa đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, trường Đại học Đồng Tháp đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo bạn -4- Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn Trường Cao đẳng kinh tế - kỹ thuật Cần Thơ gia đình quan tâm, tạo điều kiện cho tác giả hồn thành khóa học Vinh, tháng năm 2009 Tác giả -5- CHƯƠNG CÁC ĐẠI SỐ ĐỀU TRÊN TẬP COMPACT TRONG  VÀ KHÔNG GIAN CÁC ĐỒNG CẤU PHỨC 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong mục trình bày số khái niệm kết cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa Giả sử D tập mở n , f: D với f = u + iv, u = Ref, v =Imf Với z = (z1, , zn)D; zj = xj + iyj  , j = 1,n ; Ta ký hiệu f  f f  f  f f  ,   i   i   z j  x j y j   z j  x j y j  Hàm f gọi khả vi điểm zD hàm u, v khả vi (x1, y1,….xn, yn) f ( z )  , với j = 1,…., n  zj Hàm f gọi chỉnh hình điểm z f khả vi điểm thuộc lân cận z Hàm f gọi chỉnh hình D chỉnh hình điểm thuộc D Hàm f: K mở D Hàm f : n n gọi chỉnh hình tập K n tồn tập hàm f chỉnh hình D cho KD f K = f  gọi hàm hữu tỉ biểu diễn dạng thương hai đa thức n-biến phức : f (z) = p( z ) q( z ) Các không điểm đa thức q gọi điểm cực f Tập tất không điểm q gọi tập cực f Nếu f hàm hữu tỉ f chỉnh hình n trừ tập cực 1.1.2 Định lý (Nguyên lý mơ đun cực đại hàm chỉnh hình) Giả sử D miền bị chặn n Khi f hàm chỉnh hình D liên tục D f đạt cực đại biên D f hàm -6- 1.1.3 Định lý (Weierstrass) Nếu  f n  dãy hàm chỉnh hình tập D n hội tụ tới hàm f tập compact D f chỉnh hình tập D 1.1.4 Định nghĩa Không gian tôpô X gọi chuẩn tắc cặp tập hợp đóng khơng giao A B X tồn tập mở không giao U V X cho A  U , B  V 1.1.5 Bổ đề (Urysohn) Với hai tập đóng khơng giao A B không gian chuẩn tắc X tồn hàm liên tục f X lấy giá trị đoạn 0,1 không A, B 1.1.6 Định nghĩa Họ F hàm xác định tập X lấy giá trị tập Y gọi phân biệt điểm X với hai điểm a, b khác X tồn fF cho f (a)  f (b) 1.1.7 Định nghĩa Giả sử A không gian véc tơ trang bị thêm phép nhân thỏa mãn điều kiện 1) x(yz)=(x y)z, 2) x(y+z) = xy +xz, (x+y)z = xz +yz 3) ( x)y = x( y) =(xy) Với x,y,zA, với  Khi đó, ta gọi A đại số phức nói gọn đại số Nếu đại số phức A vừa không gian Banach chuẩn thỏa mãn xy  x y với x,yA A gọi đại số Banach Đại số A gọi giao hoán phép nhân giao hoán Đại số Banach A gọi có đơn vị tồn eA cho xe = ex = x với xA e = Trong Luận văn này, đại số xét giả thiết đại số Banach giao hốn có đơn vị, ta nói gọn đại số Banach -7- 1.1.8 Định nghĩa Phần tử x đại số Banach A gọi khả nghịch tồn y A cho xy = e Lúc ta viết y = x-1 gọi x-1 phần tử khả nghịch x 1.1.9 Định nghĩa Giả sử f phần tử đại số Banach A  số phức Ta viết  thay cho e Ta gọi tập tất số phức  cho ( - f ) không khả nghịch phổ f ký hiệu tập  ( f ) 1.1.10 Định lý Với f thuộc đại số Banach A, phổ  ( f ) tập compact khác rỗng 1.1.11 Định nghĩa Giả sử A đại số Banach, : A ánh xạ tuyến tính Khi  gọi đồng cấu phức A   (xy) = (x)(y) với x,yA Ta ký hiệu tập tất đồng cấu phức A A 1.1.12 Định nghĩa Giả sử J tập đại số Banach A J gọi ideal A J không gian A AJ J Nếu J ideal A J A J gọi ideal thật A Nếu J ideal thật A khơng chứa ideal thật khác J gọi ideal cực đại A 1.1.13 Định lý Mỗi ideal thật đại số Banach A chứa ideal cực đại Mỗi ideal cực đại A tập đóng Ta ký hiệu tập tất ideal cực đại đại số Banach A MA 1.1.14 Định lý Giả sử A đại số Banach Khi ánh xạ T :A MA đặt tương ứng  A với ker song ánh Từ Định lý 1.1.14 ta đồng MA với A, tức xem phần tử thuộc MA đồng cấu phức A có hạt nhân phần tử 1.1.15 Định lý Mỗi phần tử A liên tục   -8- 1.1.16 Định nghĩa Từ Định lý 1.1.15 suy ta xem MA (tức A) tập hình cầu đơn vị đóng A*, khơng gian phiếm hàm tuyến tính liên tục A Ta gọi tôpô MA cảm sinh tôpô yếu A* tôpô Gelfand MA Sau này, khơng giải thích thêm hiểu tôpô MA tôpô Gelfand Như dãy   MA hội tụ tới MA  (x) (x) với xA 1.1.17 Định lý Không gian MA Hausdorff compact 1.1.18 Định nghĩa Giả sử A đại số Banach, f phần tử thuộc A Ta gọi hàm f : MA với f () = ( f ) với MA phép biến đổi Gelfand f 1.1.19 Định lý Giả sử A đại số Banach, f phần tử thuộc A Khi f liên tục phổ f trùng với miền giá trị f , nghĩa  ( f ) = f (MA) 1.1.20 Định nghĩa Giả sử A đại số Banach, ta ký hiệu f n tích f f f…với n lần f f = e Ta gọi hàm p : A A với p( f ) = n f n + n-1 f n-1 +….+1 f +0, với fA đa thức biến A, j số phức ( j  0,n ) n Nói cách khác, p(z) đa thức biến z thay z fA ta đa thức biến f A Đối với đa thức n-biến A định nghĩa tương tự Hàm p: An  A với k p( f1 ,f2 ,… fn ) =  λ1 f1i f 2i f ni ; ( f1 ,f2 ,… fn ) An ; n i 1 k; i1,i2… in  ; i  với i = 1, n gọi đa thức n-biến A -9- 1.1.21 Định nghĩa Giả sử A đại số Banach, f1 ,f2 ,…., fn A Đại số B A gọi đại số hữu hạn sinh, sinh f1, f2 ,…,.fn phần tử thuộc B biểu diễn dạng đa thức n-biến p( f1 ,f2 ,…., fn) Bao đóng đại số hữu hạn sinh gọi đại số Banach hữu hạn sinh 1.2 ĐẠI SỐ CÁC HÀM LIÊN TỤC Giả sử X không gian Hausdorff compact, C(X) không gian Banach hàm liên tục từ X vào với chuẩn sup: f  sup  f : x  X  , fC(X) Trong mục ta xây dựng C(X) trở thành đại số Banach mô tả đồng cấu phức Trong C(X) ta định nghĩa phép nhân cách xem tích hai phần tử f, gC(X) hàm ký hiệu fg xác định công thức fg(x) = f (x).g(x), xX Chúng ta biết C(X) không gian tuyến tính với phép cộng hai hàm nhân vơ hướng với hàm thông thường, tức (f + g)(x) = f (x) + g (x), xX ( f )(x) =  f (x); xX,  1.2.1 Mệnh đề Với phép toán vừa xác định với chuẩn sup, C(X) đại số Banach giao hốn có đơn vị Chứng minh Dễ dàng kiểm tra C(X) đại số với phép toán cho Với f, gC(X) ta có fg  sup  f ( x) g ( x) : x  X   sup  f ( x) : x  X .sup  g ( x) : x  X   f g Mặt khác C(X) với chuẩn sup không gian Banach nên C(X) đại số Banach - 10 - Chứng minh 1) Vì K tập compact nên f đa thức f K hữu hạn Từ suy bao lồi đa thức K K tập bị chặn Mặt khác, K R  K nên K R tập bị chặn Bây giờ, ta cần chứng minh K R tập đóng  zk  dãy K R , zk z n n Giả sử f hàm hữu tỉ, chỉnh hình K, nghĩa f chỉnh hình lân cận K Vì  zk   K R nên f ( zk )  f K với k = 1, 2,… Do lim f ( zk )  f k  K  Vì f hàm hữu tỉ f khơng liên tục z z điểm cực f Do đó, từ zk z suy lim f ( zk )   k  Điều mâu thuẫn với (1) Do f liên tục z ta có f ( z )  lim f ( zk )  f k  K Từ f hàm hữu tỉ, chỉnh hình K ta kết luận z K R Do K R tập đóng nên K R tập compact 2) Để đơn giản ta ký hiệu G bao lồi hữu tỉ K R Hiển nhiên K R  G Do để hoàn thành chứng minh ta cần chứng tỏ G  K R Giả sử zG Khi đó, với hàm hữu tỉ f, chỉnh hình K R ta có f (z)  f KR Lấy hàm hữu tỉ g, chỉnh hình K Vì K tập compact g liên tục K nên g K   Do điểm cực g khơng thuộc K R Theo 1) K R tập compact Từ suy g chỉnh hình lân cận K R , tức g chỉnh hình K R Vì thế, theo 2) ta có g ( z)  g kR  sup g ( w)  w K R - 23 -  sup g wK K  g K Bất đẳng thức chứng tỏ z K R Do G  K R Chúng ta nhớ lại rằng, với K tập compact n , ta ký hiệu R(K) bao đóng đại số hàm hữu tỉ với điểm cực K Bây giờ, dựa vào bao lồi hữu tỉ K R K, ta mô tả không gian đồng cấu phức MR(K) R(K) 2.2.4 Bổ đề Nếu K tập compact n MR(K) = M R ( K ) R Chứng minh Để chứng minh Bổ đề ta cần chứng tỏ R(K) = R( K R ) Giả sử f  R(K) Khi đó, tồn dãy  f m  hàm hữu tỉ, với điểm cực K cho fm  f K  Từ K tập compact suy điểm cực fm thuộc K R Mặt khác, ta có ( f m  f k )( z )  f m  f k K , z K R Do fm  fk  fm  fk K KR Từ kết hợp với tiêu chuẩn Cauchy dãy hàm hội tụ suy tồn dãy f cho fm  f K R , Vì fm chỉnh hình K R nên theo Định lý Weierstrass f chỉnh hình K R , f liên tục K R Như f  R( K R ) f mở rộng liên tục  f lên K R Hơn nữa, ta có f KR  lim f m m  lim f m m KR K    lim  sup f m ( z )  m  zK R   f tức - 24 - K  f K , f K  f KR Ngược lại, giả sử f  R( K R ) Khi đó, hiển nhiên f K  R(K) Như phép đặt tương ứng f R(K) với f  R( K R ) tồn ánh bảo tồn chuẩn Do ta có R(K) = R( K R ) 2.2.5 Định lý Nếu K tập compact n MR(K) đồng phôi với K R Chứng minh Đầu tiên, ta để ý với z K R , đồng cấu định giá z M R ( K ) Do đó, theo Bổ đề 2.2.4 z MR(K) R Bây giờ, ta xác định ánh xạ T: K R  MR(K) công thức T(z) = z, z K R Để hoàn thành chứng minh định lý ta cần chứng tỏ T ánh xạ đồng phôi Giả sử z, w K R cho z  w Khi tồn j  1,2, ,n cho zj  wj n Xác định hàm f :  với f(u) = uj, u = (u1, u2,…., un) Ta thấy f hàm hữu tỉ, chỉnh hình n n Do f R(K) Ta có z( f ) = f (z) = zj  wj = f (w) = w( f ) Điều chứng tỏ T(z) = z  w = T(w) Do T đơn ánh Giả sử A đại số hàm hữu tỉ với điểm cực K MA Ta xét đa thức pj với pj(z) = zj, z = (z1, z2,…., zn )  n ; j  1, n Hiển nhiên pjA với j = 1, 2,…,n Giả sử f A Khi f hàm hữu tỉ nên viết f dạng - 25 - k k f (z1, z2,…., zn) =  z1i1 .znin i 1 m b z j1 j j 1 z a p i 1 m = i1 i b p jn n j j 1 z = (z1, z2,….,zn)  j1 n ( z ) pnin ( z ) , jn n ( z ) p ( z ) Do k a p i1 .pnin j1 jn n i f= i=1 m b p j p j=1 Vì  đồng cấu phức nên k ( f ) =  a (( p )) i 1 m i  b (( p )) j 1 j i1 1 j1 .(( pn ))in (( pn ))  f (( p1 ), ( pn )) jn = z( f ), z = ((z1),… (zn)) n Như ta có ( f ) = z( f ), fA Từ A = R(K) tính liên tục đồng cấu với điều vừa chứng minh ta suy với MR(K) tồn z = ((z1),… (zn)) n cho  = z Mặt khác, theo Định lý 1.1.15 ta có ( f )   f K  f K , f R(K) Do f ( z )   z ( f )  ( f )  f  K , f R(K)  Vì z K R Điều chứng tỏ với MR(K) tồn z K R cho T(z)= z= , tức T song ánh Giả sử  zα  dãy suy rộng K R cho zz K R Khi với f R(K) ta có - 26 -  zα ( f ) = f (z)f (z) = z( f ) Do  z   z , tức T(z)T(z), suy T liên tục Như T: K R  MR(K)  song ánh liên tục Theo Mệnh đề 2.2.3, K R tập compact theo Định lý 1.1.17, MR(K) T2 - khơng gian Do T ánh xạ đồng phôi 2.2.6 Hệ Mọi tập compact lồi hữu tỉ Chứng minh Giả sử K tập compact Theo Định lý 2.2.5, K R = MR(K).Theo Định lý 1.3.3 MR(K)= K Do K = K R , suy K tập lồi hữu tỉ 2.2.7 Mệnh đề Giả sử K tập compact n z n Khi z K R p(z)p(K) với đa thức p Chứng minh Giả sử z K R tồn đa thức p cho p(z) p(K) Khi f ( w)  , w \z p( w)  p( z ) hàm hữu tỉ, chỉnh hình K.Vì z điểm cực f K tập compact nên z K R Ta có điều mâu thuẫn Từ suy p(z)p(K) với đa thức p Ngược lại, giả sử p(z) p(K) với đa thức p z K R Khi đó, tồn hàm hữu tỉ f chỉnh hình K cho f ( z)  f K , tức f ( z )  f ( w) , wK Do hàm g f  f ( z) hàm hữu tỉ với điểm cực khơng thuộc K Khi đó, biểu diễn g dạng g  p , p q đa thức nguyên tố Từ biểu q diễn ta ta thấy tập điểm cực g trùng với tập không điểm q Do - 27 - q(w) 0, wK Mặt khác, z điểm cực g nên q(z)= Do q(z)q(K) Từ q đa thức ta có điều mâu thuẫn Do z  K R 2.3 PHỔ NỐI VÀ TÍNH LỒI HỮU TỈ Trong mục này, ta xét tính lồi hữu tỉ phổ nối 2.3.1 Định nghĩa Giả sử A đại số Banach, f1,….fn phần tử thuộc A  phép chiếu tự nhiên MA vào n , xác định sau :  (x)= ( f ( x) fn ( x)) ; với x MA Khi đó, ảnh MA qua  gọi phổ nối f1,….fn, ký hiệu  ( f1,….fn) 2.3.2 Nhận xét.1) Nếu thay n = Định nghĩa 2.3.1, từ Định lý 1.1.19 ta có phổ nối phần tử f A trùng với phổ thông thường f 2) Từ Định lý 1.1.19 ta có f i liên tục MA; với i  1,n Do đó,  liên tục Mà theo Định lý 1.1.17 MA không gian Hausdorff compact nên phổ nối f1,….fnlà  ( f1,….fn) = (MA) tập compact 2.3.3 Định lý Giả sử f1,….fn n phần tử đại số A đại số Banach sinh phần tử f1,…,.fn, (1- f1)-1,…… (n- fn)-1, j  \ ( fj ); j = 1,…n Khi đó, phổ nối  ( f1… fn) phần tử f1,….fn tập lồi hữu tỉ n phép chiếu tự nhiên  MA lên  ( f1… fn) ánh xạ đồng phôi Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh phép chiếu tự nhiên  : MA ( f1… fn) với  (x)= ( f ( x) fn ( x)) , x MA ánh xạ đồng phơi Hiển nhiên  tồn ánh theo Nhận xét 2.3.2 2)  liên tục Giả sử x, y  MA cho x  y Để chứng minh  đơn ánh ta  (x)   (y) Thật vậy, giả sử  (x)= (y), tức - 28 - f j ( x) = f j ( y ) ; j = 1, 2,… , n, hay x( fj ) = y ( fj ); j = 1, 2,… ,n Từ x y đồng cấu suy x((j - fj )-1) = 1 = = y((j - fj )-1); j = 1, 2,…, n  j  x( f j )  j  y ( f j ) Từ đẳng thức ta có (x - y)( fj ) = 0, (x - y)( j - fj)-1 = ; j = 1, 2,… ,n Vì A đại số sinh f1,….fn, (1- f1)-1,…… (n- fn)-1 nên ta kết luận (x - y)( f ) = 0,  f A tức x = y Ta có điều mâu thuẫn Do  đơn ánh Giả sử F tập đóng MA Vì MA compact nên F tập compact Do  liên tục nên  (F) tập compact  ( f1,….,.fn) Từ  ( f1,….,.fn)  n ta có  (F) tập đóng  ( f1,….,.fn) Mặt khác( 1)-1(F) =  (F) Do  liên tục Vậy ánh xạ đồng phôi Bây giờ, ta ký hiệu bao lồi hữu tỉ  ( f1,….,.fn)  R ( f1,….,.fn) Để chứng minh  ( f1,….,.fn) lồi hữu tỉ ta cần chứng minh  ( f1,….,fn) =  R ( f1,….,.fn) Giả sử w =(w1,….,wn)  R ( f1,….,fn) Ta ký hiệu B đại số đa thức 2n–biến f1,…,.fn, (1- f1)-1,…… (n- fn)-1 Khi B = A fB f = p (f1,…,.fn, (1- f1)-1,…… (n- fn)-1) với p đa thức 2n–biến Để đơn giản ký hiệu ta viết p  f1, ., f n  thay cho p ( f1,…,.fn, (1 - f1)-1,…… (n - fn)-1) Ta xác định hàm : B công thức ( f ) = p (w1,….,wn), fB, f = p ( f1,…,.fn, (1 - f1)-1,…… (n - fn)-1) = p  f1, ., f n  - 29 - p (w1,….,wn) = p (w1,….,wn, (1 - w1) ,…… (n - wn) ) Chúng ta -1 -1  ý rằng, từ w  R ( f1,….,fn) suy j – wj  với j = 1, 2,… ,n Thật vậy, giả sử tồn j  1, , n choj = wj Khi ta xét hàm g(z1,z2,… , zn) = , z = (z1, z2,… , zn) z j  wj n Ta thấy g hàm hữu tỉ với điểm cực  =(1, 2…,n), với j =j = wj Vì j ( fj ) = f j (M A ) nên   f ( x), f n ( x); x  M A  =  ( f1,….,fn ) Do g hàm hữu tỉ, chỉnh hình K Mặt khác, w điểm cực g  ( f1,….,fn) tập compact nên w  R ( f1,….,fn) Ta có điều mâu thuẫn Như ánh xạ  xác định Với g1 = p1  f1, ., f n  , g2 = p  f1, ., fn  B, p1, p2 đa thức 2n- biến f1,….,fn, (1 - f1)-1,…… (n - fn)-1, ta có (g1 + g2) =( p1 + p )(w) = p1 (w) + p (w) = (g1) +(g2) ; ( g1 ) = p1 (w) = .(g1),  ; (g1.g2) = ( p1 p )(w) = p1 (w) p (w) = (g1).(g2) Mặt khác, với e đơn vị B ta có e = f10 Do (e) = w10 = Như  đồng cấu phức B.Vì B trù mật A nên mở rộng thành đồng cấu phức  xác định A, tức   MA Giả sử p = p (f1,…,.fn) đa thức n-biến Khi pB, ta có p(w) = (p( f1,…,.fn )) =  (p( f1,…,.fn )) = p (  ( f1 ),….,  ( fn )) = p( f () ,…., f n () ) Như p(w) = p( f () ,…., f n () ), với đa thức n-biến p Từ suy - 30 - w = ( f () ,…., f n () ) ( f1,….,fn) Vì w phần tử  R ( f1,….,fn ) nên ta có  R ( f1,….,fn )   ( f1,….,fn ) Vậy  R ( f1,….,fn ) =  ( f1,….,fn ) tức  ( f1,….,fn ) tập lồi hữu tỉ 2.4 CÁC TẬP TRÒN VÀ TÍNH LỒI HỮU TỈ n 2.4.1 Định nghĩa Tập K gọi tập tròn (z1, z2, , zn)K (1,… , n) số phức có mơ đun (1z1,…,1z1)K Sau ta xác định bao lồi hữu tỉ tập tròn, compact n n : Để làm điều ta cần bổ đề sau mà chứng minh 3 2.4.2 Bổ đề Giả sử K tập tròn, compact n cho 1) Phần K liên thông trù mật K, n 2) Nếu K(z1, z2,….,zn) : zj = 0  int K(z1, z2,….,zn) zj = 0   Khi đó, f A(K) xấp xỉ K dãy đa thức biến z1, , zn, z1-1,…., zn-1 mà chúng chỉnh hình K Giả sử K  n tập tròn Ta ký hiệu n L(K) =(s1,….,sn) Giả sử E n : (es , ,es ) K  n Ta ký hiệu L-1(E) = (z1,….,zn) n :  log z1 , log zn   E Rõ ràng L-1(E) tập tròn Giả sử K  n tập tròn Khi đó, ta có L-1((L(K)) = (z1,….,zn) =z n n :  log z1 , log zn   L(K), :  log z1 , log zn   n :(z1,…., zn)K, =(z1,…., zn)K : zj 0,j = 1, 2,…, n Định lý sau cho ta cách xác định bao lồi hữu tỉ tập tròn - 31 - n 2.4.3 Định lý Với giả thiết Bổ đề 2.4.2 bao lồi hữu tỉ K bao đóng L-1(L(K)), L(K) bao lồi tuyến tính L(K), nghĩa  K R = L1  L( K )  Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh L-1(L(K)) K R Giả sử r, s  n cho T0 = (z1,….,zn) n : z j  er ,1  j  n  K R , T1 = (z1,….,zn) n : z j  es ,1  j  n  K R j j Ta phải chứng tỏ T = (z1,…., zn) n : zj  e (1-α)rj +αs j , 1 j  n K R ,(0,1) Vì bao lồi hữu tỉ tập tròn tập tròn nên cần chứng minh T  K R  , (0,1) đủ Với j = 1, 2,…, n số phức , ta đặt Fj() = exp(1+ i )rj – isj, F() = (F1(),… ,Fn()) Khi F ánh xạ tập = k : Im = lên T,  0,1 k Nếu f (z) = z1 zn n hàm chỉnh hình lân cận K, kj  f F ( ) = n  exp 1+ i   k r - i  k s  j j j1 j j hàm chỉnh hình tập X =  : 0 Im  1 Từ Bổ đề 2.4.2 suy f hàm hữu tỉ, chỉnh hình lân cận K f F liên tục X, chỉnh hình bị chặn Y =  : < Im 0, đặt U = z n : z j - z 0j  ε,1  j  n  Khi đó,L(U) lồi với  > đủ bé ta có L(U)   (L(K) =  Theo Định lý tách tập lồi, tồn số thực c1,…., cn không đồng thời cho n n j=1 j=1  cj log z j   cj log wj - 33 - n với zU wK mà zj  0, wj  với j = 1, 2,…, n.Từ  c j log wj j=1 bị chặn w K: wj  0, 1 j n suy cj  int Kz  Do cj  Kz n n : zj = 0 : zj = 0  Tương tự cj  zj0 = Do cj = zj0 = Giả sử j1 inf z j  sup wj wK cj1 1 z jp wjp cjp cjp Vì đối đầu c j nên biểu thức biểu thức hữu tỉ Từ đó, tìm q số ngun m j ,1 q p cho hàm q f(z) = z jmj z jmj p 1 thỏa mản f ( z )  f K p Vì hàm f hữu tỉ chỉnh hình K nên z0 K R KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau : - Hệ thống trình bày cách chi tiết, hợp lý vấn đề đại số tập compact n , không gian đồng cấu phức đại số bao lồi đa thức bao lồi hữu tỉ tập bị chặn - 34 - n - Chứng minh chi tiết nhiều kết mà tài liệu tham khảo chúng chứng minh vắn tắt Mệnh đề 2.2.7, Nhận xét 2.3.2, Định lý 2.4.3,… - Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu không chứng minh Mệnh đề 2.1.1, Định lý 2.2.5, Định lý 2.3.3 - Đưa chứng minh số kết quả, Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Bổ đề 2.2.4 Hệ 2.2.6 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Nguyễn Văn Khê Lê Mậu Hải (1997), Hàm biến phức, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội - 35 - 2 Hà Văn Minh (2008), Bao lồi đa thức không gian ideal cực đại đại số hàm liên tục, Luận văn Thạc sĩ, ĐH Vinh 3 T W Gamelin (1984), Uniform Algebras, Chealsea Publishing Company, New York, N.Y 4 Walter Rudin (1991), Functional Analysis, International Edition 5 A Soltysiak (1988), Joint Spectra and Multiplicative Linear Functionnals in Non-commutation, Banach Aglebras, Poznan - 36 - - 37 - ... với K tập compact mô tả không gian đồng c? ??u ph? ?c đại số Chương C? ?c đại số tập compact n bao lồi hữu tỉ Phần đầu, trình bày đại số P(K), R(K), A(K) với K tập compact n bao lồi đa th? ?c tập bị chặn... COMPACT TRONG  VÀ KHÔNG GIAN C? ?C ĐỒNG C? ??U PH? ?C Trong m? ?c này, nghiên c? ??u số đại số tập compact mô tả không gian đồng c? ??u ph? ?c đại số 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X không gian Hausdorff, compact A đại số. ..  không gian đồng c? ??u ph? ?c 11 Chương C? ?c đại số tập compact n bao lồi hữu tỉ 19 2.1 C? ?c đại số tập compact n 19 2.2 Bao lồi hữu tỉ 20 2.3 Phổ nối tính lồi hữu tỉ