Đại số tuyến tính chương 3 không gian vector

Không gian vector Mai Phuong, Vuong Chương Không gian vector Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Học phần: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector 3.1 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Mục lục Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector Hạng hệ vector 3.2 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Không gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.3 Không gian vector Định nghĩa Một không gian vector trường số thực R tập hợp khác rỗng V phép toán cộng, ký hiệu u + v , phép nhân vô hướng, ký hiệu αu (u, v ∈ V , α ∈ R), thỏa mãn tiên đề sau: Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.4 Không gian vector u+v ∈V Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.4 u+v ∈V u+v =v +u Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.4 u+v ∈V u+v =v +u (u + v ) + w = u + (v + w) Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.4 u+v ∈V u+v =v +u (u + v ) + w = u + (v + w) Có phần tử θ V thỏa mãn: u + θ = u Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Không gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.4 u+v ∈V u+v =v +u (u + v ) + w = u + (v + w) Có phần tử θ V thỏa mãn: u + θ = u Với u ∈ V , tồn phần tử V , ký hiệu −u, cho u + (−u) = θ Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở khơng gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.5 Không gian vector αu ∈ V với α ∈ R, u ∈ V Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.5 αu ∈ V với α ∈ R, u ∈ V α(u + v ) = αu + αv Không gian vector Mai Phuong, Vuong Công thức đổi tọa độ đổi sở Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Trong R2 cho sở B = {b1 , b2 } b1 = (1, 0), b2 = (0, 1) S = {s1 , s2 } s1 = (−1, 0), s2 = (0, 1) Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Tìm ma trận chuyển từ sở B sang sở S Tìm tọa độ vector v = (2, 5) sở S (2 cách) Tìm vector u có tọa độ (1, 4) sở S Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.74 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Ma trận chuyển sở Định lý Khái niệm Ví dụ Không gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.75 Nếu P ma trận chuyển sở từ sở B sang sở S (a) P khả nghịch (b) P −1 ma trận chuyển sở từ S sang sở B Không gian vector Mai Phuong, Vuong Ma trận chuyển sở Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.76 Trong R2 cho hai sở B = {b1 = (1, 0), b2 = (0, 1)} sở S = {s1 , s2 } Ma trận chuyển sở từ B sang S P= −1 Xác định S Tìm tọa độ vector v = (2, 5) sở S Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.77 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở khơng gian Tọa độ Đổi sở Bài tốn đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.78 Hạng hệ vector Định nghĩa Cho S = {v1 , v2 , , vm } ⊂ V Hạng S số tối đa vector độc lập tuyến tính hệ S Kí hiệu: r (S) Khơng gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Hạng hệ vector Nhận xét Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.79 • r (S) ≤ m • r (S) = m ⇒ hệ S • r (S) = dim(Span(S)) Không gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.80 Tìm hạng hệ vector: v1 = (2, −1); v2 = (1, 2); v3 = (−7, 1); v4 = (4, −2) R2 2 p1 = + x; p2 = 2x; p3 = − x ; p4 = x + x P2 [x] Không gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Không gian vector Khái niệm Định lý Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.81 Hạng hệ vector hạng ma trận tọa độ vector theo sở Khơng gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Cách tính hạng Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở khơng gian Tọa độ Đổi sở Bài tốn đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.82 Hệ S = {v1 , , vk } không gian V Chọn sở B V Không gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Cách tính hạng Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở khơng gian Tọa độ Đổi sở Bài tốn đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.82 Hệ S = {v1 , , vk } không gian V Chọn sở B V Tính tọa độ vector vi ∈ S B Không gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Cách tính hạng Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.82 Hệ S = {v1 , , vk } không gian V Chọn sở B V Tính tọa độ vector vi ∈ S B Lập ma trận A có cột (hàng) vector tọa độ Không gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Cách tính hạng Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở khơng gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.82 Hệ S = {v1 , , vk } không gian V Chọn sở B V Tính tọa độ vector vi ∈ S B Lập ma trận A có cột (hàng) vector tọa độ Tìm rank (A) từ suy r(S) Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Khái niệm Hạng hệ vector Ví dụ Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.83 Hệ S gồm vector: v1 = (2, −1, 1); v2 = (1, −2, −4) v3 = (−7, 8, 10); v4 = (4, −5, −7) Tìm r (S) Khơng gian vector Mai Phuong, Vuong Hạng hệ vector Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm p1 = −2 − x + x Ví dụ Khơng gian vector p2 = − 2x − 4x Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh p3 = −7 + 8x + 10x Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính p4 = − 5x − 7x Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ P2 [x] Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.84 Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Hạng hệ vector Ví dụ Khái niệm A1 = ; A2 = −1 A3 = ; A4 = −3 Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số chiều Cơ sở không gian Tọa độ Đổi sở Bài toán đổi sở Ma trận chuyển sở Hạng hệ vector 3.85 ... 1, 2, 3, 4, suy (V , +) Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Ví dụ R2 không gian vector R Khái niệm Tổ hợp tuyến tính. .. Hạng hệ vector 3. 14 Vector θ Vector đối −u vector u Không gian vector Mai Phuong, Vuong Khơng gian vector Tính chất Khơng gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính. .. Không gian vector Mai Phuong, Vuong Không gian vector Không gian vector Khái niệm Ví dụ Khơng gian vector Khái niệm Tổ hợp tuyến tính Hệ sinh Cơ sở tọa độ Độc lập phụ thuộc tuyến tính Cơ sở số