Các vành địa phương, nữa địa phương và sự phân tích các module trên chúng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN CHÍ HIỂU CÁC VÀNH ĐỊA PHƯƠNG, NỬA ĐỊA PHƯƠNG VÀ SỰ PHÂN TÍCH CÁC MƠĐUN TRÊN CHÚNG Chun ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 604605 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011 LỜI CẢM ƠN Lời xin gởi đến PGS.TS Bùi Tường Trí lời cám ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy tơi suốt khóa học q trình hồn thành luận văn Tơi chân thành cảm ơn … tất thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc cho ý kiến quý báu, bổ ích cho luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tất q thầy khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức bổ ích suốt khóa học Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Xin cảm ơn quý thầy thuộc Phịng sau Đại Học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học Xin gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Tập thể giáo viên Trường THPT Điền Hải tạo điều kiện thuận lợi động viên suốt q trình học Tơi chân thành cảm ơn bạn học viên Cao học khóa 19 bạn đồng nghiệp hổ trợ cho suốt thời gian học Cuối cùng, kiến thức cịn hạn chế nên dù cố gắng suốt trình học củng trình làm luận văn chắn có nhiều thiếu sót mong thầy bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để tơi hồn thiện Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2011 NGUYỄN CHÍ HIỂU MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN T T MỤC LỤC T T CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN T T PHẦN MỞ ĐẦU T T CHƯƠNG : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH T T 1.1 Các khái niệm bản: T T 1.2 Jacobson Radical T T CHƯƠNG 2: VÀNH ĐỊA PHƯƠNG, NỬA ĐỊA PHƯƠNG VÀ MỘT SỐ T ỨNG DỤNG 12 T 2.1 VÀNH ĐỊA PHƯƠNG: .12 T T 2.1.1 Định lí: .12 T T 2.1.2 Mệnh đề: 13 T T 2.1.3 Mệnh đề: 14 T T 2.2 VÀNH NỬA ĐỊA PHƯƠNG .24 T T CHƯƠNG 3: MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ CÁC LŨY ĐẲNG TRONG T CÁC VÀNH ĐỊA PHƯƠNG, NỬA ĐỊA PHƯƠNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 30 T 3.1 Mệnh đề: 31 T T 3.2 Hệ quả: 32 T T 3.3 Mệnh đề: 32 T T 3.4 Mệnh đề: 33 T T 3.5 Định lý: 33 T T 3.6 Định lý: 34 T T 3.7 Chú ý: 35 T T 3.8 Hệ quả: 35 T T 3.9 Ví dụ: 35 T T 3.10 Định nghĩa: 36 T T 3.11 Mệnh đề: 36 T T 3.12 Hệ quả: 37 T T 3.13 Tính chất: 37 T T 3.14 Mệnh đề: 38 T T 3.15 Mệnh đề: 39 T T 3.16 Mệnh đề: 41 T T 3.17 Mệnh đề: 41 T T 3.18 Mệnh đề: 42 T T 3.19 Ví dụ: .43 T T 3.20 Định lí: .44 T T 3.21 Hệ quả: 44 T T 3.22 Định lí: .45 T T PHẦN KẾT LUẬN 46 T T PHẦN TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 T T CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN Ký hiệu Giải nghĩa ACC Dãy môđun tăng (quan hệ bao hàm) dừng DCC Dãy môđun giảm (quan hệ bao hàm) dừng U (R) Tập phần tử khả nghịch vành R M R ,R M Thứ tự mô đun phải, trái RadR Jacobson Radical vành R n.V Tức V n = ((v1 , , v n ) : vi ∈ V , i = 1, , n ) Đpcm Điều phải chứng minh PHẦN MỞ ĐẦU Trong đại số giao hoán ta biết vành địa phương, vành nửa địa phương địa phương hóa vành địa phương iđêan ngun tố vơ quan trọng, đóng vai trò chủ chốt đại số Nhu cầu tự nhiên nghiên cứu lý thuyết vành địa phương nửa địa phương trường hợp không giao hốn Trong đại số khơng giao hốn việc nghiên cứu vành địa địa phương nửa địa phương tương tự, nhiên gặp nhiều khó khăn chúng lại có ứng dụng quan trọng, đặc biệt việc phân tích mơđun hay giản ước mơđun,… Vành R gọi vành địa phương R có ideal trái (hay phải) tối đại Vành R gọi vành nửa địa phương R / radR vành artin trái (hay R / radR vành nửa đơn) Vành địa phương nửa địa phương trường hợp vành khơng giao hốn có tính chất lạ, đặc biệt mà trường hợp giao hốn khơng có Ví dụ vành địa phương gắn liền với phân tích Krull- Schmit, vành nửa địa phương gắn liền với giản ước môđun Nghiên cứu vành địa phương nửa địa phương đại số không giao hoán Cụ thể nghiên cứu vành địa phương với vấn đề phân tích mơđun, vành nửa địa phương với vấn đề giản ước môđun Đồng thời luận văn nghiên cứu có hệ thống lũy đẳng vành địa phương nửa địa phương đại số khơng giao hốn Luận văn làm sáng tỏ hơn, tổng quát vành địa phương nửa địa phương đại số, đặc biệt cấu trúc vành Thấy rõ ưu điểm bậc, tính chất lạ vành địa phương nửa địa phương đại số khơng giao hốn so với đại số giao hốn Luận văn trình bày theo thứ tự sau: Chương 1: Các kiến thức lý thuyết vành môđun Chương 2: Các vành địa phương, nửa địa phương ứng dụng phân tích môđun chúng Chương 3: Lý thuyết lũy đẳng CHƯƠNG : CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT VÀNH Trong luận văn ta quy ước nói tới vành R ≠ ta ln hiểu vành có đơn vị, khơng địi hỏi giao hốn Nói tới mơđun ta ln hiểu R -mơđun trái, cần lấy đối ngẫu ta R -môđun phải 1.1 Các khái niệm bản: 1.1.1 Một vành R ≠ (0) gọi đơn R có hai iđêan (0) R Nhận xét: Nếu R vành đơn M n (R) 1.1.2 Một vành R gọi miền nguyên R khác ab = suy a = b = , ∀a, b ∈ R 1.1.3 Một vành R gọi bất khả quy R khơng có phần tử lũy đẳng khác 1.1.4 Một vành R gọi Dedekind- hữu hạn ab = ⇒ ba = , ∀a, b ∈ R 1.1.5 Cho R vành M R -môđun trái phải.Ta nói M noether (hay artin) họ tất môđun M thỏa ACC (hay DCC ) 1.1.6 Một vành R gọi noether trái (hay phải) R noether xem R -môđun trái (hay phải) Khi vành R thỏa noether trái noether phải ta nói R vành noether 1.1.7 Một vành R gọi artin trái (hay phải) R artin xem R môđun trái (hay phải) Khi vành R thỏa artin trái artin phải ta nói R vành artin Nhận xét: Một vành artin trái (hay phải) ln ln noether trái (hay phải) 1.1.8 Cho R vành M R -môđun (trái) 1) M gọi R -môđun đơn ( hay bất khả quy) M khác M khơng có R -mơđun khác (0) M 2) M gọi R -môđun nửa đơn ( hay hồn tồn khả quy) R mơđun M hạng tử trực tiếp M 1.1.9 Cho vành R ≠ (0) , phát biểu sau tương đương: 1)Mọi dãy khớp ngắn R -môđun (trái) chẻ 2)Mọi R -môđun (trái) nửa đơn 3)Mọi R -môđun (trái) hữu hạn sinh nửa đơn 4)Mọi R -môđun cyclic nửa đơn 5) R -mơđun quy R R nửa đơn Nếu điều kiện thỏa mãn ta nói R vành nửa đơn Từ khái niệm rút số ý sau đây: Chú ý 1: Cho môđun M nửa đơn vành tùy ý, phát biểu sau tương đương: 1) M hữu hạn sinh 2) M noether 3) M artin 4) M tổng trực tiếp hữu hạn môđun đơn Chú ý 2: Một vành R gọi nửa đơn thỏa điều kiện sau: 1)Mọi R -môđun trái nửa đơn 2)Mọi R -môđun bất khả quy trái nửa đơn 3)Mọi R -môđun trái hữu hạn sinh nửa đơn 4)Mọi dãy khớp ngắn R -môđun trái chẻ Chú ý 3: 1)Một R -mơđun đơn luôn R -môđun nửa đơn 2)Mội môđun R -môđun nửa đơn nửa đơn 3)Cho R vành nửa đơn trái R noether trái artin trái 4)Cho R vành nửa đơn trái tất R -mơđun trái xạ ảnh ngược lại 5)Cho R vành M n (R) vành ma trận cỡ nxn R iđêan I M n (R) có dạng M n (N ) , với iđêan N xác định R Đặc biệt R vành đơn M n (R) 1.2 Jacobson Radical 1.2.1 Định nghĩa: Jacobson Radical vành R giao tất iđêan trái tối đại R Kí hiệu: radR Nhận xét: 1)Nếu R ≠ (0) tập iđêan tối đại (trái) R thỏa bổ đề Zorn’s nên ln có phần tử tối đại, tức định nghĩa tốt 2)Cho N iđêan R nằm radR rad ( R / N ) = (radR) / N 1.2.2 Một vành R gọi J -nửa đơn (nửa nguyên thủy) radR = Nhận xét: Chúng ta dễ dàng chứng minh tính chất sau: 1) R / radR J -nửa đơn rad ( R / radR) = 2) R R / radR có tính mơđun đơn trái Mội phần tử x ∈ R nghịch đảo trái R x ∈ R nghịch đảo trái R = R / radR 3)Cho R miền nguyên J -nửa đơn a phần tử khác thuộc tâm R giao tất iđêan trái tối đại không chứa a 1.2.3 Một iđêan phía (hoặc hai phía) N vành R gọi nil N gồm phần tử lũy linh; N gọi lũy linh tồn số tự nhiên n để N n = Rỏ ràng N lũy linh N nil 1.2.4 Định lí: Cho D vành chia đặt R = M n (D) 1) R đơn 2) R có mơđun trái đơn M , R tác động trung thành M R R ≅ n.M , với n.M = {(v1 , , v n ) : vi ∈ M , ∀i = 1, , n} 33 2) ⇒ 3) Giả sử có phân tích e = α + β , ở α , β ≠ lũy đẳng trực giao R Suy eα = α + βα = α αe = α + αβ = α Theo phân tích Peirce (3.4) suy α ∈ e Re (trái với 2)) 3.4 Mệnh đề: Cho lũy đẳng e ∈ R , phát biểu sau tương đương: 1) eR khơng phân tích mạnh R -mơđun phải (trái) 2) e Re vành địa phương Nếu lũy đẳng e thỏa điều kiện ta nói e lũy đẳng địa phương Nhận xet: Một lũy đẳng địa phương luôn lũy đẳng nguyên thủy Chứng minh Suy từ (3.2) 3.5 Định lý: Cho e lũy đẳng R J = radR rad (e Re) = J ∩ (e Re) = eJe Hơn e Re/ rad (e Re) ≅ e R e , e ảnh e R = R / J Chứng minh Kết luận cần chứng minh ba điều kiện sau: 1) r ∈ rad (e Re) ⇒ r ∈ J 2) r ∈ J ∩ (e Re) ⇒ r ∈ eJe 3) r ∈ eJe ⇒ r ∈ rad (e Re) Ta chứng minh 1)Ta thấy ∀y ∈ e Re,1 − yr có nghịch đảo trái R (với r ∈ R ) 34 Thật vậy, trước tiên e Re ta tìm được: b ∈ e Re : b(e − eye.r ) = e ⇒ b(1 − yr ) = e ⇒ yrb(1 − yr ) yre = yr ⇔ yrb(1 − yr ) = − (1 − yr ) ⇔ (1 + yrb)(1 − yr ) = Vậy − yr có nghịch đảo trái 2) Vì r ∈ J ∩ e Re nên r = ere ∈ eJe (do r ∈ J ) 3) Ta cần chứng minh ∀y ∈ e Re, e − yr có nghịch đảo trái e Re Vì r ∈ eJe ∈ J nên tồn x ∈ R : x(1 − yr ) = Nhưng e = ex(1 − yr )e = ex(e − yr ) = exe(e − yr ) Vậy exe nghịch đảo trái e − yr Phần lại định lý ta phải tính e Re/ eJe Xét ánh xạ chiếu f : e Re → e R e e Re a e r e Đây tồn cấu vành nên có Kerf = eJe Vậy e Re/ rad (e Re) ≅ e R e (định lý noether) Tiếp theo nghiên cứu quan hệ cấu trúc iđêan e Re R 3.6 Định lý: Cho e lũy đẳng R 1)Gọi N iđêan trái e Re ( RN ) ∩ e Re = N Đặt biệt : N → RNR nội xạ từ iđêan N đến R 2)Gọi N iđêan e Re e( RNR)e = N e Đặt biệt : N → RNR nội xạ từ iđêan e Re đến R Chứng minh 1)Đặt N = ( RN ) ∩ e Re ⊇ N 35 Vì N ⊆ e Re nên N = eN ⊆ e.RN = e Re N ⊆ N Suy N = N Nếu N ⊆ e Re iđêan e( RNR)e = eR(eNe) Re = (e Re) N (e Re) = N Nếu R' iđêan khác e Re ( RNR)( RN ' R) = RNRN ' R = R( Ne) R(eN ' ) R = RN (e Re) N ' R = R( NN ' ) R Giả sử e đầy đủ tức Re R = R Mội iđêan B R , xét iđêan N = e Re e Re R(eBe) R = Re( RBR)eR = (Re R) B(Re R) = RBR = B Suy ánh xạ cho toàn cấu 3.7 Chú ý: Trong trường hợp e lũy đẳng đầy đủ ta thấy từ chứng minh radR R tương ứng với rad (e Re) e Re iđêan tương ứng (3.6)(2) Vậy e(radR)e = rad (e Re) (theo 3.5) 3.8 Hệ quả: Cho e ≠ lũy đẳng R Nếu R J-nửa đơn (nửa đơn, đơn, nguyên tố, nửa nguyên tố, noether, artin) e Re Chứng minh e Re J -nửa đơn cho từ (3.5), trường hợp khác suy từ (3.6) 3.9 Ví dụ: Cho k vành R = M n (k ) 36 Gọi e = E11 ma trận đơn vị R , tính tốn ere = r11e , với mội ma trận r = (rij ) Vậy e Re ≅ k Theo định lý (3.5) kết trước ta có rad ( M n (k )) = M n (radk ) Ta dễ kiểm tra e lũy đẳng đầy đủ, (3.6)(2) gợi cho ta tương ứng 1− iđêan k M n (k ) Tiếp theo ta nghiên cứu lũy đẳng lũy đẳng bất khả quy 3.10 Định nghĩa: Ta nói lũy đẳng e ≠ bất khả quy phải (hoặc trái) eR (hoặc Re ) iđêan phải (hoặc trái) tối tiểu R Nhận xét: Theo (1.2.14) iđêan tối tiểu I R sinh lũy đẳng bất khả quy I ≠ 3.11 Mệnh đề: Cho e lũy đẳng 1) Nếu e bất khả quy e Re vành chia 2) Phần đảo (1) R vành nửa nguyên tố Chứng minh 1) Suy từ bổ đề Schur, theo (3.2) có e Re ≅ End R (eR) 2) Giả sử R vành nửa nguyên tố e Re vành chia Xét phần tử er ∈ eR với r ∈ R Vì R nửa nguyên tố nên er Re r ≠ erse ≠ 0, s ∈ R Đặt ete nghịch đảo erse e Re (erse)(ete) = e , trước erR = eR Vậy eR R -môđun bất khả quy (đpcm) 37 3.12 Hệ quả: 1) Một lũy đẳng bất khả quy phải ln ln lũy đẳng địa phương ( e Re địa phương) 2) Nếu R nửa nguyên tố lũy đẳng bất khả quy phải R bất khả quy trái 3) Nếu R nửa đơn lũy đẳng bất khả quy phải R địa phương R nguyên thủy Tiếp theo ta nêu kết thể mối quan hệ lũy đẳng bất khả quy phải lũy đẳng địa phương 3.13 Tính chất: Cho e lũy đẳng R , J = radR, R = R / J Các phát biểu sau tương đương 1) e lũy đẳng địa phương R 2) e lũy đẳng bất khả quy phải R 2’) e lũy đẳng bất khả quy trái R 3) eR / eJ R -môđun phải, đơn 4) eJ môđun tối đại eR Chứng minh Chú ý R nửa nguyên thủy nửa nguyên tố Thật theo (3.12)(2) cho (2) ⇔ (2’) Cũng có e bất khả quy phải e Re vành chia Theo (3.5) e Re ≅ e Re/ rad (e Re) Vậy e Re vành chia ⇔ e Re vành địa phương Do (2) ⇔ (1) 38 Phần lại chứng minh, ý ta có R -đẳng cấu: λ : eR / eJ → e R Từ (2) suy (3) Chứng minh (3) ⇒ (4) Giả sử có (3) suy iđêan phải I ⊆ eR khơng chứa eJ , λ (I ) phải e R Vì e R R -mơđun đơn, eR = I + eJ = I + eRJ Theo bổ đề Nakayama I = eR Vậy có (3) ⇒ (4) Cịn (4) ⇒ (3) hiển nhiên có (4) eR / eJ vành chia suy (3) 3.14 Mệnh đề: Cho e lũy đẳng địa phương ( e ∈ R ) M R -mơđun phải có chiều dài hữu hạn M có nhân tử chuổi hợp thành đẳng cấu với eR / eJ (với J = radR J ⇔ Me ≠ ⇔ Hom(eR, M ) ≠ ) Chứng minh Đặt M = M ⊃ M ⊃ ⊃ M r chuổi hợp thành M (dãy thật sự) Trước tiên giả sử Me ≠ (0) Nếu M i e ⊆ M i +1 , ∀i Me = Mer ⊆ M = (0) (mâu thuẩn) Vậy M có nhân tử hợp thành V để Ve ≠ (0) Lấy phần tử v ∈ V : ve ≠ veR = V , ta có R -tồn cấu λ : eR → V = veR er a ver với r ∈ R Ta có Kerλ môđun tối đại eR Theo (3.13)(4) Kerλ = eJ , truớc V ≅ eR / eJ (định lí Noether) 39 Ngựơc lại M i / M i +1 ≅ eR / eJ (eR / eJ )e ≠ nên ta có ( M i / M i +1 )e ≠ Đặt biệt Me ⊇ M i e ≠ Phần cuối suy từ (3.1) Sau ta cho ví dụ phần tử lũy đẳng bất khả quy trái mà không bất khả quy phải  ab   k , vành  0c  Cho k trường, R k -đại số ma trận tam giác   0b   với (radR ) = Vậy R không nửa đơn 00   có radical  10   a   ab  Cho lũy đẳng e =   ⇒ Re =  , eR =    00   00   00  Vì dim k Re = nên e bất khả quy trái Tuy nhiên eR ⊃≠ radR ⊃≠ (0) Vậy e không bất khả quy phải  a   đẳng cấu với k e lũy đẳng địa phương  00  Chú ý e Re =  Tiếp theo ta nghiên cứu khái niệm đẳng cấu lũy đẳng 3.15 Mệnh đề: Cho e, f lũy đẳng vành R Các phát biểu sau tương đương: 1) eR ≅ fR R -môđun phải 1’) Re ≅ Rf R -môđun trái 2) ∃a ∈ eRf , b ∈ f Re : e = ab, f = ba 3) ∃a, b ∈ R : e = ab, f = ba 40 Nếu e f thỏa điều kiện ta nói e f lũy đẳng đẳng cấu Kí hiệu e ≅ f Chứng minh Theo tính đối xứng trái phải ta cần chứng minh (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1) (1) ⇒ (2) Cố định R -đẳng cấu θ : eR → fR Theo (3.1) tương ứng phần tử b = θ (e) ∈ f Re Tương tự θ −1 : fR → eR tương ứng phần tử a = θ −1 ( f ) ∈ eRf Suy ab = θ −1θ (e) = e Chứng minh tương tự ta có ba = f (2) ⇒ (3) hiển nhiên (3) ⇒ (1) Cho a, b thỏa (3), ta có be = b(ab) ∈ fR af = a (ba ) ∈ eR Ta định nghĩa θ : eR → fR θ ' : fR → eR x a bx y a ay Thế θ 'θ (e) = θ ' (be) = abe = e = e θθ ' ( f ) = θ (af ) = baf = f = e Vậy: θ 'θ = 1,θθ ' = (đpcm) Chú ý R giao hốn theo (3) ta có e ≅ f , tức e = f Cho e ∈ R lũy đẳng đặt e' = − e ta có phân tích R = eR ⊕ e' R Vậy P = eR R -môđun phải xạ ảnh Cố định iđêan I ⊆ R , đặt R = R / I P / PI = eR / eI ≅ e R R -mơđun Sử dụng bổ đề (2.1.21) ta có kết sau: 41 3.16 Mệnh đề: Cho I iđêan R nằm bên radR cho lũy đẳng e, f ∈ R ta có e ≅ f R ⇔ e ≅ f R = R / I Đặc biệt: Nếu ⇔ e = f e ≅ f Mục tiêu nghiên cứu khái niệm phép nâng lũy đẳng Nếu I iđêan vành R , ta nói “một lũy đẳng x ∈ R / I nâng lên tới R tồn lũy đẳng e ∈ R mà ảnh ánh xạ tự nhiên R → R / I x 3.17 Mệnh đề: Cho e ∈ R lũy đẳng I ⊆ radR iđêan R Nếu e nguyên thủy R = R / I e nguyên thủy R Đảo lại lũy đẳng R nâng lên tới R Chứng minh Ta xem phân biệt trước tiên sở quan sát radR Nhận xét: có lũy đẳng α ∈ radR α = Thật vậy, xét bù lũy đẳng − α Vì α ∈ radR nên − α đơn vị Tức − α = Vậy α = Để chứng minh (3.17) đặt e = α + β phân tích e thành lũy đẳng trực giao không tầm thường ( α , β ∈ R) Theo nhận xét α ≠ ⇒ α ≠ β ≠ ⇒ β ≠ R , e = α + β phân tích không tầm thường e thành lũy đẳng trực giao α,β ∈ R 42 Đảo lại: Giả sử e = x + y phân tích không tầm thường e thành lũy đẳng trực giao x, y ∈ R , ta giả sử có lũy đẳng nâng lên tới R Đặt α , β lũy đẳng R để α = x, β = y ta có αβ ≡ βα ≡ 0(mod I ) Ta ra: Có lũy đẳng β '∈ R trực giao với α : β ' ≡ β (mod I ) (7) Trước tiên ta đặt e' = α + β ' , lũy đẳng R khơng ngun thủy (vì α , β ' ≠ ) Tuy nhiên e' = α + β ' = α + β = e R Theo (3.16) e ≅ e' R , trước e khơng ngun thủy R Để chứng minh (7) ý βα ∈ I ⊆ radR Suy − βα khả nghịch Xét lũy đẳng β = (1 − βα ) −1 β (1 − βα ) Trong R ta có β = β β 0α = (1 − βα ) −1 β (1 − βα ) = Tuy nhiên αβ khác Đặt β ' = (1 − α ) β Vì αβ = α β = nên β ' = β = β Bây không β 'α = (1 − α ) β 0α = mà αβ ' = α (1 − α ) β = β ' lũy đẳng β '2 = (1 − α ) β (1 − α ) β = (1 − α ) β 02 = β ' Vậy ta có điều phải chứng minh 3.18 Mệnh đề: Cho I ⊆ radR iđêan R để lũy đẳng R = R / I nâng lên tới R tập đếm {x1 , x2 , } gồm lũy đẳng đôi trực giao R = R / I có tập lũy đẳng đơi trực giao {e1 , e2 , } R để: ei = xi với i 43 Chứng minh Giả sử tìm tập {e1 , e2 , } thỏa điều kiện đầu Ta tìm en +1 Đặt α lũy đẳng e1 + e2 + + en đặt β lũy đẳng R nâng tới xn +1 α , β lũy đẳng trực giao R Theo (3.9) ta tìm lũy đẳng en +1 trực giao với α để e n +1 = β = xn +1 Vì ei = αei = eiα , ∀i ≤ n nên en +1 trực giao với e1 , e2 , , en Vậy ta có đpcm 3.19 Ví dụ: Cho R vành mà không Dedekind-hữu hạn (tức tồn a, b thuộc R để ab = e = ba ≠ ) e = b(ab)a = e Vậy e lũy đẳng (không tầm thường) Cho i, j ≥ , đặt eij = bi (1 − e)a j {eij } tập ma trận đơn vị thỏa eij ekl = δ jk eil (ở δ jk Kroneeker deltals) Để thấy điều này, ta ý a ibi = 1, ∀i a(1 − e) = = (1 − e)b Nếu j ≠ k a j b k a j − k b j − k Vậy eij ekl = bi (1 − e)a j b k (1 − e)a l = eil Chú ý eij ≠ cho ta: Nếu bi (1 − e)a j = = a ibi (1 − e)a j b j = − e (mâu thuẩn) Đặc biệt: {eii : i ≥ 0} dãy không hữu hạn lũy đẳng trực giao đôi R R chứa tổng trực tiếp vô hạn iđêan phải khác ⊕e R i ≥0 ii 44 3.20 Định lí: Cho I nil-iđêan R (tức I ⊆ radR ) Gọi a ∈ R : a ∈ R = R / I lũy đẳng tồn lũy đẳng e ∈ aR : e = a ∈ R Chứng minh Đặt b = − a , ta có ab = ba = a − a ∈ I , (ab) m = với m ≥ Ta có = (a + b) m = a m + r1a m −1b + + rm a mb m + + b m với ri ∈ Z + Đặt e = a m + r1a m −1b + + rm a mb m ∈ aR f = rm +1a m −1b m +1 + + b m Vì a mb m = b m a m = nên ef = Vì e(e + f ) = e hay e = e Cuối ab ∈ I ⇒ e ≡ a m ≡ a(mod I ) (đpcm) 3.21 Hệ quả: Cho R vành nửa địa phương để I = radR nil-iđêan 1) Nếu R khơng có lũy đẳng khơng tầm thường R ≠ (0) R vành địa phương 2) Một iđêan phải N ⊆ R chứa lũy đẳng khác N khơng nil-iđêan Chứng minh 1) Nếu R khơng có lũy đẳng khơng tầm thường, theo (3.20) R = R / I Theo định lí Wedderbur-Artin suy R vành chia Vậy R vành địa phương 2) Giả sử N khơng nil, I nil nên ảnh N R chứa lũy đẳng khác 45 Đặt a ∈ N : ≠ a = a ∈ R Theo (3.20) tồn lũy đẳng e ∈ aR ⊆ N : e = a ≠ (đpcm) 3.22 Định lí: Cho k vành giao hốn noether nửa địa phương mà I -adically đầy đủ, I = radk R k -đại số mà hữu hạn sinh k -mơđun R -mơđun trái hữu hạn sinh M có phân tích Krull-Schmidt, tức M = M ⊕ M ⊕ ⊕ M r M i R -mơđun khơng phân tích M Hiển nhiên r xác định dãy M , M , , M r xác định sai khác hoán vị Chứng minh Theo giả thiết suy R -môđun M thỏa ACC Vậy phân tích Krull-Schmidt M = M ⊕ M ⊕ ⊕ M r tồn Xét k -đại số Ei = End R M i mà khơng có lũy đẳng khơng tầm thường Vì Ei = End R M i hữu hạn sinh k -môđun k vành noether nên Ei hữu hạn sinh k -mơđun Thế Ei vành địa phương Vậy M i khơng phân tích mạnh, ≤ i ≤ r Tính (3.22) suy từ định lí Krull-Schmidt-Azumaya Vậy ta có đpcm 46 PHẦN KẾT LUẬN Trong luận văn nghiên cứu lớp vành tương đối lớn quan trọng vành địa phương vành nửa địa phương, đồng thời nêu số ứng dụng chúng việc phân tích giảng ước môđun Cũng luận văn nghiên cứu cách có hệ thống phần tử lũy đẳng vành Sau quay trở lại với vấn đề vành địa phương, vành nửa địa phương phân tích mơ đun chúng Qua luận văn này, tác giả học tập làm quen với số công việc khởi đầu nghiên cứu, biết phương pháp nghiên cứu vấn đề nhiều góc độ khác Tuy nhiên với hiểu biết hạn chế tác thời gian ngắn khóa học, tác giả mong nhận đóng góp bảo q thầy hội đồng 47 PHẦN TÀI LIỆU THAM KHẢO [1].Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số số học, Tập II, III, NXB Giáo dục, Hà Nội [2].Z.I.Borevich and I.R.Shafarevich (1966), Number Thoery, Academic Press [3].I.N Herstein: Noncommutative Rings, Math., Assoc of America, (1968), [4].T.Y.Lam , A First Course in Noncommutatative Rings [5].Serge Lang (1978), Đại số, phần II, NXB Đại học THCN, Hà Nội [6].N Jacobson: Structure of rings, Amer.Math.Soc., Providence, R.I., (1956), ... NỬA ĐỊA PHƯƠNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 2.1 VÀNH ĐỊA PHƯƠNG: Trong đại số giao hoán vành địa phương định nghỉa vành khác (0) mà có iđêan tối đại, vành dạng ? ?các vật địa phương? ?? đại số giao hốn cho vành. .. 2.2 VÀNH NỬA ĐỊA PHƯƠNG Trong phần ta giới thiệu lớp vành vành nửa địa phương, lớp lớn bao gồm tất vành địa phương, vành artin trái (phải), đại số hữu hạn chiều trường 2.2.1 Định nghĩa: Một vành. .. nghịch vành nửa địa phương Dễ thấy vành địa phương vành Dedekind-hữu hạn vành nửa địa phương 2.2.7 Mệnh đề: Một vành nửa địa phương R Dedekind- hữu hạn Chứng minh Theo định lí (1.2.4) vành nửa