Các vành frobenius, tựa frobenius và tính xạ ảnh, nội xạ của các module trên chúng

i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM HỮU DANH CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC MODULE TRÊN CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM HỮU DANH CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC MODULE TRÊN CHÚNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 ii LỜI CẢM ƠN Lời xin gởi đến PGS.TS Bùi Tường Trí lời cám ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy suốt khóa học, đặc biệt trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc cho ý kiến bổ ích Tôi xin cảm ơn tất thầy cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy suốt khóa học Xin bày tỏ lòng biết ơn đến vị lãnh đạo chuyên viên Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học Tôi xin cảm ơn bạn học viên Cao học khóa 19 hỗ trợ, động viên suốt thời gian học Cuối cùng, kiến thức hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn nhiều thiếu sót Kính mong thầy cô bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hoàn chỉnh Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 PHẠM HỮU DANH iii MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU iv DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ v MỞ ĐẦU CHƯƠNG I 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN 1.1.1 Các định nghĩa vành 1.1.2 Các định nghĩa module 1.2 CÁC TÍNH CHẤT TRÊN VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 1.2.1 Căn Jacobson 1.2.2 Vành địa phương 1.2.3 Vành nửa địa phương 1.2.4 Lũy đẳng 1.2.5 Vành nửa hoàn thiện 11 1.2.6 Vành tự nội xạ 12 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRÊN MODULE VÀ VÀNH 12 1.3.1 Vành Dedekin 12 1.3.2 Mở rộng cốt yếu 12 1.3.3 Định lý Bass, Papp 13 1.3.4 Module 14 1.3.5 Module kì dị 14 1.3.6 Vành Kasch 15 1.3.7 Module không xoắn 15 1.3.8 Một số định lý khác 16 CHƯƠNG II 18 2.1 VÀNH TỰA FROBENIUS 18 2.1.1 Các định nghĩa 18 2.1.2 Tính xạ ảnh nội xạ 23 2.1.3 Tính đối ngẫu 25 2.1.4 Vành tựa Frobenius giao hoán 28 2.1.5 Ví dụ 29 2.2 VÀNH FROBENIUS 31 2.2.1 Hoán vị Nakayama 31 2.2.2 Định nghĩa vành Frobenius 37 2.2.3 Ví dụ 39 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 iv DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU J ( R ) , rad ( R ) Căn Jacobson R annr ( X ) Linh hóa tử phải tập X hom R ( A, B ) Tập hợp R-đồng cấu từ module A vào B End ( M ) Tập hợp tự đồng cấu module M soc ( M ) Nền module M ⊕i∈I M i Tổng trực tiếp họ module M i ∏M Tích trực tiếp họ module M i i∈I i Z (M ) Module kì dị M E (M ) Bao nội xạ module M u.dim M Chiều M length ( M ) Chiều dài chuỗi hợp thành M R( J ) Tổng trực tiếp module M với lực lượng J MR ( R M) Phạm trù R-module phải (trái) M Rfg ( Rfg M ) Phạm trù module phải (trái) hữu hạn sinh v DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ CÁC TỪ VIẾT TẮT QF (quasi-Frobenius) Tựa Frobenius ACC (ascending chain condition) Điều kiện dây chuyền tăng DCC (descending chain condition) Điều kiện dây chuyền giảm CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ VÀNH Idempotent Lũy đẳng Annihilator Linh hóa tử Division ring Vành chia (thể) Local ring Vành địa phương Semilocal ring Vành nửa địa phương Perfect ring Vành hoàn thiện Semiperfect ring Vành nửa hoàn thiện Regular ring Vành quy Singular ring Vành kì dị Nonsingular ring Vành không kì dị Self-injective ring Vành tự nội xạ Primitive ring Vành nguyên thủy Simple ring Vành đơn Semisimple ring Vành nửa đơn Semiprimary ring Vành nửa nguyên sơ Von Neumann regular ring Vành quy von Neumann Primitive idempotent Lũy đẳng nguyên thủy Local idempotent Lũy đẳng địa phương Irriducible idempotent Lũy đẳng bất khả quy Isomorphic idempotent Lũy đẳng đẳng cấu vi CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ MODULE Simple module Module đơn Free module Module tự Projective module Module xạ ảnh Injective module Module nội xạ Self-injective module Module tự nội xạ Composition series Chuỗi hợp thành Right regular module Module quy phải Indecomposable module Module không phân tích Strongly indecomposable module Module không phân tích mạnh Essential extension Mở rộng cốt yếu Essential submodule Module cốt yếu Injective hull Bao nội xạ Uniform module Module Uniform dimension Chiều Singular submodule Module kì dị Singular module Module kì dị Nonsingular module Module không kì dị Torsionless module Module không xoắn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Đại số không giao hoán nói chung Lý thuyết vành nói riêng, có lớp vành đóng vai trò quan trọng vành tự nội xạ Một vành R gọi tự nội xạ (phải) R-module (phải) RR nội xạ Vành tự nội xạ điều kiện khác có nhiều tính chất phong phú đa dạng Rất khó để nghiên cứu tất cấu trúc lớp vành tự nội xạ phải Trong luận văn này, tập trung vào lớp vành đặc biệt, vành tựa Frobenius, tập chúng, vành Frobenius Vành tựa Frobenius vành nơte phải tự nội xạ phải Không cần thiết sử dụng thuật ngữ “tựa Frobenius phải” định nghĩa đối xứng trái-phải Hơn vành tựa Frobenius atin (hai phía) Có tính chất vô đẹp mắt, thú vị module chúng tính xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh… Nhằm mục đích tiếp cận tìm hiểu số khái niệm bản, nghiên cứu tính chất đặc trưng lớp vành tựa Frobenius, chọn đề tài “CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC MODULE TRÊN CHÚNG” Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm liên quan đến vành tựa Frobenius, Frobenius tính chất xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh module chúng Tìm hiểu số ví dụ để mô tả lớp vành tựa Frobenius, Frobenius Mục đích nghiên cứu Mô tả định nghĩa vành tựa Frobenius cấu trúc bên Qua tìm hiểu tính chất module lớp vành Tìm hiểu định nghĩa vành Frobenius thông qua vành tựa Frobenius Phân tích số ví dụ mô tả khái niệm Phương pháp nghiên cứu Xây dựng định nghĩa vành tựa Frobenius, Frobenius thông qua mệnh đề tương đương Chỉ tính chất đặc trưng module lớp vành tựa Frobenius Chứng minh số định lý quan trọng thông qua kiến thức vành không giao hoán Đưa ví dụ cho khái niệm Nội dung Luận văn bao gồm hai chương Trong chương II phần Chương I: Những kiến thức chuẩn bị Trình bày số khái niệm định lý bản, cần thiết vành module để phục vụ cho phần sau Chương II: Các vành tựa Frobenius Frobenius Trình bày định nghĩa vành tựa Frobenius cấu trúc bên Qua tìm hiểu tính chất module lớp vành Đưa định nghĩa vành Frobenius thông qua vành tựa Frobenius Phân tích số ví dụ mô tả 3 CHƯƠNG I NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, ta quy ước nói tới vành R ≠ hiểu vành có đơn vị 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN 1.1.1 Các định nghĩa vành 1.1.1.1 Vành nơte: Một vành R gọi vành nơte phải tập khác rỗng ideal phải có phần tử tối đại 1.1.1.2 Vành atin: Vành R gọi vành atin phải tập khác rỗng ideal phải R có phần tử tối tiểu Định lý: Nếu R vành atin J(R) ideal lũy linh 1.1.1.3 Vành nguyên thủy: Vành R gọi vành nguyên thủy có module bất khả quy trung thành 1.1.1.4 Vành đơn, vành nửa đơn: Vành R gọi nửa đơn rad ( R ) = ( ) Vành R gọi đơn R ≠ ( ) R không ideal thực Định lý: (1) R / radR vành nửa đơn 4 (2) Nếu R vừa vành đơn vừa vành atin R nửa đơn (3) Nếu R vành nguyên thủy R nửa đơn (4) Nếu R vành atin, đơn R vành nguyên thủy 1.1.1.5 Định lý Wedderburn-Artin: Giả sử R vành atin đơn R đẳng cấu với D n tập tất ma trận vuông cấp n thể (vành chia) D n D sai khác phép đẳng cấu Ngược lại D thể tùy ý D n vành atin đơn 1.1.2 Các định nghĩa module 1.1.2.1 Module đơn: M gọi R-module đơn M ≠ ( ) M module thực Bổ đề Schur: Nếu M R-module đơn End ( M R ) vành chia 1.1.2.2 Module xạ ảnh: Một R-module phải P gọi xạ ảnh với toàn cấu Rmodule phải g : B → C R-đồng cấu h : P → C , tồn R-đồng cấu h ' : P → B cho h = g  h ' Ta nói h nâng lên tới h’ Tính chất: (1) Tổng trực tiếp R-module phải xạ ảnh số hạng xạ ảnh (2) Một module PR xạ ảnh hạng tử trực tiếp module tự 1.1.2.3 Module nội xạ: Một R-module phải I gọi nội xạ với đơn cấu g : A → B với A, B R-module phải R-đồng cấu h : A → I tồn R-đồng cấu h ' : B → I cho h = h ' g Ta nói h mở rộng tới h’ Tính chất: (1) Tích trực tiếp R-module phải nội xạ thừa số nội xạ (2) Tiêu chuẩn Baer: Một R-module phải I nội xạ nếu: với ideal phải A R, R-đồng cấu f : A → I mở rộng tới f ' : R → I 1.1.2.4 Module nơte: R-module M gọi nơte M thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) họ module M, nghĩa với dãy tăng module A1 ⊆ A2 ⊆ ⊆ An ⊆ , tồn n ∈  cho A = An +i ; ∀i ∈ N n 1.1.2.5 Module atin: R-module M gọi atin M thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (DCC) họ module M, nghĩa với dãy giảm module D1 ⊇ D2 ⊇ ⊇ Dn ⊇ , tồn n ∈  cho D = Dn +i ; ∀i ∈ N n 1.1.2.6 Module không phân tích được: Module M gọi không phân tích M= A ⊕ B A=0 B=0 1.1.2.7 Chuỗi hợp thành: Một dãy module M = M ⊆ M ⊆ M ⊆ ⊆ M n = M gọi chuỗi hợp thành module M i +1 / M i đơn Khi n gọi độ dài chuỗi hợp thành 6 1.1.2.8 Nền module: Nền module M, kí hiệu soc ( M ) , tổng tất module đơn M (Nếu M module đơn, ta viết soc ( M ) = ) Định lý: soc ( ⊕i∈I M i ) = ⊕i∈I soc ( M i ) 1.2 CÁC TÍNH CHẤT TRÊN VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 1.2.1 Căn Jacobson 1.2.1.1 Nhắc lại định nghĩa Jacobson: Căn Jacobson (phải) vành R, kí hiệu rad(R) hay J(R), giao tất ideal (phải) tối đại R 1.2.1.2 Định lý: radR = ann ( M ) , M chạy khắp R-module phải đơn Đặc biệt, radR ideal R 1.2.1.3 Định lý: Cho R vành atin trái Khi radR ideal trái lũy linh lớn nhất, ideal phải lũy linh lớn 1.2.1.4 Vành quy von Neumann: Cho vành R Các điều sau tương đương: (1) Với a ∈ R , tồn x ∈ R cho a = axa (2) Mọi ideal trái sinh phần tử lũy đẳng (3) Mỗi ideal trái hạng tử trực tiếp R R (4) Mọi ideal trái hữu hạn sinh sinh phần tử lũy đẳng 7 (5) Mỗi ideal trái hữu hạn sinh hạng tử trực tiếp R R Vành R thỏa mãn điều kiện gọi quy von Neumann Hệ quả: Mọi vành nửa đơn quy von Neumann 1.2.1.5 Định lý Hopkins-Levitzki: Cho R vành với radR lũy linh R = R / radR nửa đơn (Vành R gọi nửa nguyên sơ) Khi với R-module R M , mệnh đề sau tương đương: (1) M nơte (2) M atin (3) M có chuỗi hợp thành Đặc biệt: a) Một vành atin trái nơte trái nửa nguyên sơ b) Mọi module trái hữu hạn sinh vành atin có chuỗi hợp thành 1.2.1.6 Định lý: Cho vành atin trái R với Jacobson J Ta có soc ( R R ) =∈ 0} , soc ( RR ) =∈ 0} {r R : Jr = {r R : rJ = 1.2.1.7 Bổ đề Nakayama: Với ideal trái J ⊆ R , mệnh đề sau tương đương: (1) J ⊂ radR (2) Với R-module trái hữu hạn sinh M, J M = M ⇒ M = 1.2.1.8 Định lý: Vành nửa đơn tương đương với vành nơte trái (hoặc phải) quy von Neumann 1.2.2 Vành địa phương 1.2.2.1 Định nghĩa vành địa phương: Với vành R khác không, điều sau tương đương: (1) R có ideal trái tối đại (2) R có ideal phải tối đại (3) R / radR vành chia Nếu R thỏa điều kiện trên, ta nói R vành địa phương 1.2.2.2 Module không phân tích mạnh: Một R-module phải M khác không gọi không phân tích mạnh End ( M R ) vành địa phương 1.2.2.3 Định lý: Mọi module đơn M R không phân tích mạnh (Vì theo bổ đề Schur, End ( M R ) vành chia) 1.2.2.4 Định lý: Cho M R R-module không phân tích với độ dài chuỗi hợp thành n < ∞ Khi E = End ( M R ) vành địa phương ideal tối đại m = radE thỏa m n = Đặc biệt M module không phân tích mạnh 1.2.2.5 Định lý: Một vành atin khác không vành địa phương R phần tử lũy đẳng không tầm thường 9 1.2.3 Vành nửa địa phương 1.2.3.1 Định nghĩa vành nửa địa phương: Một vành R gọi nửa địa phương R / radR vành atin trái, tương đương, R / radR vành nửa đơn 1.2.3.2 Định lý: Mọi vành địa phương nửa địa phương Mọi vành atin trái (hoặc phải) nửa địa phương 1.2.3.3 Định lý Bass: Cho R vành nửa địa phương, a ∈ R , B ideal trái R Nếu R.a + B = R lớp a+B chứa đơn vị R 1.2.4 Lũy đẳng 1.2.4.1 Định nghĩa lũy đẳng vành: Cho vành R Phần tử e ∈ R gọi lũy đẳng e = e Nếu e lũy đẳng f = − e lũy đẳng gọi lũy đẳng bù e Định lý: (1) R = R ⋅ e ⊕ R ⋅ f (2) R = e ⋅ R ⊕ f ⋅ R r= re} , fRf = r= rf } (3) eRe = {r ∈ R : er = {r ∈ R : fr = 1.2.4.2 Lũy đẳng nguyên thủy: Mệnh đề: Cho lũy đẳng khác không e ∈ R , điều sau tương đương: (1) eR không phân tích R-module phải (2) Re không phân tích R-module trái (3) Vành eRe lũy đẳng không tầm thường 10 (4) e phân tích dạng α + β α , β lũy đẳng trực giao khác không R Nếu lũy đẳng e ≠ thỏa mãn điều kiện trên, ta nói e lũy đẳng nguyên thủy R 1.2.4.3 Lũy đẳng địa phương: Mệnh đề: Cho tùy ý lũy đẳng e ∈ R , điều sau tương đương: (1) eR không phân tích mạnh R-module phải (2) Re không phân tích mạnh R-module trái (3) eRe vành địa phương Nếu lũy đẳng e thỏa mãn điều kiện trên, ta nói e lũy đẳng địa phương (Rõ ràng, lũy đẳng địa phương lũy đẳng nguyên thủy) Hệ quả: Cho e ≠ lũy đẳng tùy ý R Nếu R nửa đơn (đơn, nơte trái, atin trái) eRe nửa đơn (đơn, nơte trái, atin trái) 1.2.4.4 Lũy đẳng bất khả quy: Định nghĩa: Lũy đẳng e ≠ gọi bất khả quy phải (trái) eR (Re) ideal phải (trái) tối tiểu R Tính chất: Nếu e bất khả quy phải eRe vành chia Hệ quả: (1) Lũy đẳng bất khả quy phải lũy đẳng địa phương (2) Nếu R nửa đơn, lũy đẳng bất khả quy phải địa phương, nguyên thủy 1.2.4.5 Định lý: 11 Cho e phần tử lũy đẳng R, kí hiệu = = J radR , R R / J Các điều sau tương đương: (1) e lũy đẳng địa phương R (2) e lũy đẳng bất khả quy phải R (3) e lũy đẳng bất khả quy trái R (4) eR/eJ R-module phải đơn (5) eJ module tối đại eR 1.2.4.6 Lũy đẳng đẳng cấu : Cho e, f lũy đẳng vành R Các điều sau tương đương: (1) eR ≅ fR đẳng cấu R-module phải (2) Re ≅ Rf đẳng cấu R-module trái (3) Tồn a ∈ eRf , b ∈ fRe cho = e ab = , f ba (4) Tồn a, b ∈ R cho = e ab = , f ba Nếu e f thỏa điều kiện trên, ta nói chúng lũy đẳng đẳng cấu, kí hiệu e≅ f 1.2.4.7 Định lý: Cho e ∈ R lũy đẳng I ⊆ radR ideal R Nếu e nguyên thủy R = R / I e nguyên thủy R Chiều ngược lại lũy đẳng R nâng lên R (Nghĩa là: e ∈ R lũy đẳng tồn f ∈ R lũy đẳng cho f = e ) 1.2.5 Vành nửa hoàn thiện 1.2.5.1 Định nghĩa vành nửa hoàn thiện: Vành R gọi nửa hoàn thiện R nửa địa phương lũy đẳng R / radR nâng lên R 12 1.2.5.2 Định lý: eR ≅ eR / eJ module phải đơn R (và R), eJ module tối đại eR, dó rad ( eR ) = eJ 1.2.6 Vành tự nội xạ Vành R gọi tự nội xạ phải module RR nội xạ Định lý: Giả sử R = ∏ Aj với Aj vành Khi R tự nội xạ phải Aj j tự nội xạ phải với i 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRÊN MODULE VÀ VÀNH 1.3.1 Vành Dedekin Vành Dedekin (hay miền Dedekin) vành giao hoán ideal khác không khả nghịch Định lý: Nếu S vành Dedekin Β ⊂ S ideal khác không, R = S / Β vành tự nội xạ 1.3.2 Mở rộng cốt yếu 1.3.2.1 Định nghĩa: R-module phải E ⊇ M R gọi mở rộng cốt yếu M module khác không E giao với M không tầm thường Ta nói M module cốt yếu E Mở rộng cốt yếu E ⊇ M R gọi tối đại module thực chứa E mở rộng cốt yếu M 13 1.3.2.2 Bổ đề: (1) Một module M R nội xạ mở rộng cốt yếu thực (2) Mọi module M R có mở rộng cốt yếu tối đại 1.3.2.3 Bao nội xạ: Cho module M ⊆ I , mệnh đề sau tương đương: (1) I mở rộng cốt yếu tối đại M (2) I nội xạ cốt yếu M (3) I nội xạ tối tiểu M Nếu module M ⊆ I thỏa mãn tính chất (1), (2), (3) ta nói I bao nội xạ M 1.3.2.4 Tính chất: Bất kì module M có bao nội xạ 1.3.3 Định lý Bass, Papp Với vành R, mệnh đề sau tương đương: (1) Tổng trực tiếp R-module phải nội xạ nội xạ (2) Tổng trực tiếp đếm R-module phải nội xạ nội xạ (3) R vành nơte phải Hệ quả: Cho vành R, mệnh đề sau tương đương: (1) R vành nơte phải (2) Mọi module nội xạ M R tổng trực tiếp module không phân tích [...]... eJ là module phải đơn trên R (và do đó trên R), eJ là module con tối đại duy nhất của eR, do dó rad ( eR ) = eJ 1.2.6 Vành tự nội xạ Vành R được gọi là tự nội xạ phải nếu module RR nội xạ Định lý: Giả sử R = ∏ Aj với Aj là vành Khi đó R tự nội xạ phải nếu và chỉ nếu Aj j tự nội xạ phải với mọi i 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRÊN MODULE VÀ VÀNH 1.3.1 Vành Dedekin Vành Dedekin (hay miền Dedekin) là một vành. .. 1.3.2.4 Tính chất: Bất kì module M nào cũng có một bao nội xạ 1.3.3 Định lý Bass, Papp Với vành R, các mệnh đề sau tương đương: (1) Tổng trực tiếp các R -module phải nội xạ thì nội xạ (2) Tổng trực tiếp đếm được các R -module phải nội xạ thì nội xạ (3) R là vành nơte phải Hệ quả: Cho vành R, các mệnh đề sau tương đương: (1) R là vành nơte phải (2) Mọi module nội xạ M R là tổng trực tiếp của các module. .. (1) Một module M R nội xạ nếu và chỉ nếu nó không có mở rộng cốt yếu thực sự nào (2) Mọi module M R đều có một mở rộng cốt yếu tối đại 1.3.2.3 Bao nội xạ: Cho module M ⊆ I , các mệnh đề sau tương đương: (1) I là mở rộng cốt yếu tối đại trên M (2) I nội xạ và cốt yếu trên M (3) I nội xạ tối tiểu trên M Nếu module M ⊆ I thỏa mãn các tính chất (1), (2), (3) ở trên thì ta nói I là một bao nội xạ của M 1.3.2.4... g  h ' Ta nói h có thể được nâng lên tới h’ Tính chất: (1) Tổng trực tiếp của các R -module phải là xạ ảnh nếu và chỉ nếu các số hạng là xạ ảnh (2) Một module PR là xạ ảnh nếu và chỉ nếu nó là hạng tử trực tiếp của một module tự do 1.1.2.3 Module nội xạ: 5 Một R -module phải I được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu g : A → B với A, B là các R -module phải và R-đồng cấu h : A → I đều tồn tại một R-đồng... rộng tới h’ Tính chất: (1) Tích trực tiếp của các R -module phải là nội xạ nếu và chỉ nếu các thừa số là nội xạ (2) Tiêu chuẩn Baer: Một R -module phải I là nội xạ nếu và chỉ nếu: với bất kì ideal phải A của R, mọi R-đồng cấu f : A → I có thể được mở rộng tới f ' : R → I 1.1.2.4 Module nơte: R -module M được gọi là nơte nếu M thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) trên họ các module con của M, nghĩa... vừa là vành đơn vừa là vành atin thì R nửa đơn (3) Nếu R là vành nguyên thủy thì R nửa đơn (4) Nếu R là vành atin, đơn thì R là vành nguyên thủy 1.1.1.5 Định lý Wedderburn-Artin: Giả sử R là vành atin đơn thì R đẳng cấu với D n là tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên thể (vành chia) D n là duy nhất và D sai khác một phép đẳng cấu Ngược lại nếu D là thể tùy ý thì D n là vành atin đơn 1.1.2 Các định... E = End ( M R ) là vành địa phương và ideal tối đại duy nhất của nó m = radE thỏa m n = 0 Đặc biệt M là module không phân tích được mạnh 1.2.2.5 Định lý: Một vành atin khác không là vành địa phương nếu và chỉ nếu R không có phần tử lũy đẳng không tầm thường 9 1.2.3 Vành nửa địa phương 1.2.3.1 Định nghĩa vành nửa địa phương: Một vành R được gọi là nửa địa phương nếu R / radR là vành atin trái, hoặc... thành: Một dãy các module con của M 0 = M 0 ⊆ M 1 ⊆ M 2 ⊆ ⊆ M n = M gọi là chuỗi hợp thành nếu các module M i +1 / M i đơn Khi đó n gọi là độ dài chuỗi hợp thành 6 1.1.2.8 Nền của module: Nền của module M, kí hiệu soc ( M ) , là tổng tất cả các module con đơn của M (Nếu M không có module con đơn, ta viết soc ( M ) = 0 ) Định lý: soc ( ⊕i∈I M i ) = ⊕i∈I soc ( M i ) 1.2 CÁC TÍNH CHẤT TRÊN VÀNH KHÔNG GIAO... Jacobson (phải) của vành R, kí hiệu rad(R) hay J(R), là giao của tất cả các ideal (phải) tối đại của R 1.2.1.2 Định lý: radR = ann ( M ) , ở đây M chạy khắp các R -module phải đơn Đặc biệt, radR là một ideal của R 1.2.1.3 Định lý: Cho R là một vành atin trái Khi đó radR là ideal trái lũy linh lớn nhất, và nó cũng là ideal phải lũy linh lớn nhất 1.2.1.4 Vành chính quy von Neumann: Cho vành R Các điều sau... thể tùy ý thì D n là vành atin đơn 1.1.2 Các định nghĩa về module 1.1.2.1 Module đơn: M được gọi là R -module đơn nếu M ≠ ( 0 ) và M không có module con thực sự nào Bổ đề Schur: Nếu M là R -module đơn thì End ( M R ) là vành chia 1.1.2.2 Module xạ ảnh: Một R -module phải P được gọi là xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu của các Rmodule phải g : B → C và mọi R-đồng cấu h : P → C , tồn tại R-đồng cấu h ' : P →