các vành frobenius, tựa frobenius và tính xạ ảnh, nội xạ của các module trên chúng

i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM HỮU DANH CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC MODULE TRÊN CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH PHẠM HỮU DANH CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC MODULE TRÊN CHÚNG Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2012 ii LỜI CẢM ƠN Lời xin gởi đến PGS.TS Bùi Tường Trí lời cám ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy suốt khóa học, đặc biệt trình làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian quý báu để đọc cho ý kiến bổ ích Tôi xin cảm ơn tất thầy cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy suốt khóa học Xin bày tỏ lòng biết ơn đến vị lãnh đạo chuyên viên Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học Tôi xin cảm ơn bạn học viên Cao học khóa 19 hỗ trợ, động viên suốt thời gian học Cuối cùng, kiến thức hạn chế nên dù cố gắng chắn luận văn nhiều thiếu sót Kính mong thầy cô bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để luận văn hoàn chỉnh Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2012 PHẠM HỮU DANH iii MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU iv DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ v MỞ ĐẦU CHƯƠNG I 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN 1.1.1 Các định nghĩa vành 1.1.2 Các định nghĩa module 1.2 CÁC TÍNH CHẤT TRÊN VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN 1.2.1 Căn Jacobson 1.2.2 Vành địa phương 1.2.3 Vành nửa địa phương 1.2.4 Lũy đẳng 1.2.5 Vành nửa hoàn thiện 11 1.2.6 Vành tự nội xạ 12 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRÊN MODULE VÀ VÀNH 12 1.3.1 Vành Dedekin 12 1.3.2 Mở rộng cốt yếu 12 1.3.3 Định lý Bass, Papp 13 1.3.4 Module 14 1.3.5 Module kì dị 14 1.3.6 Vành Kasch 15 1.3.7 Module không xoắn 15 1.3.8 Một số định lý khác 16 CHƯƠNG II 18 2.1 VÀNH TỰA FROBENIUS 18 2.1.1 Các định nghĩa 18 2.1.2 Tính xạ ảnh nội xạ 23 2.1.3 Tính đối ngẫu 25 2.1.4 Vành tựa Frobenius giao hoán 28 2.1.5 Ví dụ 29 2.2 VÀNH FROBENIUS 31 2.2.1 Hoán vị Nakayama 31 2.2.2 Định nghĩa vành Frobenius 37 2.2.3 Ví dụ 39 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 iv DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU J ( R ) , rad ( R ) Căn Jacobson R annr ( X ) Linh hóa tử phải tập X hom R ( A, B ) Tập hợp R-đồng cấu từ module A vào B End ( M ) Tập hợp tự đồng cấu module M soc ( M ) Nền module M ⊕i∈I M i Tổng trực tiếp họ module M i ∏M Tích trực tiếp họ module M i i∈I i Z (M ) Module kì dị M E (M ) Bao nội xạ module M u.dim M Chiều M length ( M ) Chiều dài chuỗi hợp thành M R( J ) Tổng trực tiếp module M với lực lượng J MR ( R M) Phạm trù R-module phải (trái) M Rfg ( Rfg M ) Phạm trù module phải (trái) hữu hạn sinh v DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ CÁC TỪ VIẾT TẮT QF (quasi-Frobenius) Tựa Frobenius ACC (ascending chain condition) Điều kiện dây chuyền tăng DCC (descending chain condition) Điều kiện dây chuyền giảm CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ VÀNH Idempotent Lũy đẳng Annihilator Linh hóa tử Division ring Vành chia (thể) Local ring Vành địa phương Semilocal ring Vành nửa địa phương Perfect ring Vành hoàn thiện Semiperfect ring Vành nửa hoàn thiện Regular ring Vành quy Singular ring Vành kì dị Nonsingular ring Vành không kì dị Self-injective ring Vành tự nội xạ Primitive ring Vành nguyên thủy Simple ring Vành đơn Semisimple ring Vành nửa đơn Semiprimary ring Vành nửa nguyên sơ Von Neumann regular ring Vành quy von Neumann Primitive idempotent Lũy đẳng nguyên thủy Local idempotent Lũy đẳng địa phương Irriducible idempotent Lũy đẳng bất khả quy Isomorphic idempotent Lũy đẳng đẳng cấu vi CÁC THUẬT NGỮ TRÊN PHẠM TRÙ MODULE Simple module Module đơn Free module Module tự Projective module Module xạ ảnh Injective module Module nội xạ Self-injective module Module tự nội xạ Composition series Chuỗi hợp thành Right regular module Module quy phải Indecomposable module Module không phân tích Strongly indecomposable module Module không phân tích mạnh Essential extension Mở rộng cốt yếu Essential submodule Module cốt yếu Injective hull Bao nội xạ Uniform module Module Uniform dimension Chiều Singular submodule Module kì dị Singular module Module kì dị Nonsingular module Module không kì dị Torsionless module Module không xoắn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Đại số không giao hoán nói chung Lý thuyết vành nói riêng, có lớp vành đóng vai trò quan trọng vành tự nội xạ Một vành R gọi tự nội xạ (phải) R-module (phải) RR nội xạ Vành tự nội xạ điều kiện khác có nhiều tính chất phong phú đa dạng Rất khó để nghiên cứu tất cấu trúc lớp vành tự nội xạ phải Trong luận văn này, tập trung vào lớp vành đặc biệt, vành tựa Frobenius, tập chúng, vành Frobenius Vành tựa Frobenius vành nơte phải tự nội xạ phải Không cần thiết sử dụng thuật ngữ “tựa Frobenius phải” định nghĩa đối xứng trái-phải Hơn vành tựa Frobenius atin (hai phía) Có tính chất vô đẹp mắt, thú vị module chúng tính xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh… Nhằm mục đích tiếp cận tìm hiểu số khái niệm bản, nghiên cứu tính chất đặc trưng lớp vành tựa Frobenius, chọn đề tài “CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC MODULE TRÊN CHÚNG” Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm liên quan đến vành tựa Frobenius, Frobenius tính chất xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh module chúng Tìm hiểu số ví dụ để mô tả lớp vành tựa Frobenius, Frobenius Mục đích nghiên cứu Mô tả định nghĩa vành tựa Frobenius cấu trúc bên Qua tìm hiểu tính chất module lớp vành Tìm hiểu định nghĩa vành Frobenius thông qua vành tựa Frobenius Phân tích số ví dụ mô tả khái niệm Phương pháp nghiên cứu Xây dựng định nghĩa vành tựa Frobenius, Frobenius thông qua mệnh đề tương đương Chỉ tính chất đặc trưng module lớp vành tựa Frobenius Chứng minh số định lý quan trọng thông qua kiến thức vành không giao hoán Đưa ví dụ cho khái niệm Nội dung Luận văn bao gồm hai chương Trong chương II phần Chương I: Những kiến thức chuẩn bị Trình bày số khái niệm định lý bản, cần thiết vành module để phục vụ cho phần sau Chương II: Các vành tựa Frobenius Frobenius Trình bày định nghĩa vành tựa Frobenius cấu trúc bên Qua tìm hiểu tính chất module lớp vành Đưa định nghĩa vành Frobenius thông qua vành tựa Frobenius Phân tích số ví dụ mô tả CHƯƠNG I NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong luận văn này, ta quy ước nói tới vành R ≠ hiểu vành có đơn vị 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA CƠ BẢN 1.1.1 Các định nghĩa vành 1.1.1.1 Vành nơte: Một vành R gọi vành nơte phải tập khác rỗng ideal phải có phần tử tối đại 1.1.1.2 Vành atin: Vành R gọi vành atin phải tập khác rỗng ideal phải R có phần tử tối tiểu Định lý: Nếu R vành atin J(R) ideal lũy linh 1.1.1.3 Vành nguyên thủy: Vành R gọi vành nguyên thủy có module bất khả quy trung thành 1.1.1.4 Vành đơn, vành nửa đơn: Vành R gọi nửa đơn rad ( R ) = ( ) Vành R gọi đơn R ≠ ( ) R không ideal thực Định lý: (1) R / radR vành nửa đơn 30 x Giả sử f mở rộng tới R, tồn ma trận  0 0 a  x = f   0 0 0 y  a   xa  =    z   0   0  y ∈ R để z  ( ∀a ∈ k ) Điều xảy Vậy RR không nội xạ b) Ta chứng minh R không Kasch phải 0 k  k k  m ' =  Xét ideal phải tối đại m =    k 0     Ta có hai R-module phải đơn V = R / m V ' = R / m ' annl ( m ) = m ' ≠ 0, annl ( m ') = Do V’ nhúng RR (nhưng V có thể) Điều R không Kasch phải c) Từ a) b) dẫn đến R không vành QF Chúng ta đề cập đến số tính chất khác vành QF sai R k k  Xét m =   ideal R Ta có annr ( annl ( m ) ) = m Tuy nhiên 0 0 annr ( m ) = , đặc biệt annl ( annr ( m )= ) R ≠ m Do điều kiện linh hóa kép sai cho ideal trái m k k  soc (= ann = R R) rJ  0 ,   0 k  soc= = ( RR ) ann lJ  k    Hai không giống Nếu kí hiệu V, V’ hai R-module phải đơn = / m,V ' R / m ') , (V R= soc ( RR ) ≅ V ⊕ V Dẫn đến V * ≠ V '* = (2) Xét vành R = S / Β , S vành Dedekin Β ⊂ S ideal khác không Ta có R tự nội xạ Rõ ràng R nơte Vậy R QF 31 n (3) Cho R = ∏ Ri với Ri vành R QF Ri QF với i i =1 2.2 VÀNH FROBENIUS 2.2.1 Hoán vị Nakayama Để giới thiệu vành Frobenius, phát triển thêm số tính chất đặc biệt vành tựa Frobenius R Nhắc lại rằng: M R-module phải đơn đối ngẫu nó, M*, R-module trái đơn Bây ta chứng minh vành atin, mệnh đề thực đặc trưng cho vành tựa Frobenius 2.2.1.1 Bổ đề Cho A ⊆ B ideal phải vành R cho ( B / A ) (0) R* module trái đơn Khi annl ( A ) / annl ( B ) (0) đẳng cấu với ( B / A) * Chứng minh: Định nghĩa ánh xạ f : annl ( A ) → annl ( B / A ) * f ( x )( b + A ) = xb với x ∈ annl ( A ) , b ∈ B Dễ dàng kiểm tra f R-đồng cấu trái hạt nhân annl ( B ) Do annl ( A ) / annl ( B ) nhúng ( B / A ) Vì ( B / A ) * * (0) module đơn nên ta có điều phải chứng minh 2.2.1.2 Định lý Dieudonne Một vành atin R QF đối ngẫu R-module phía đơn (0) đơn Lúc M  M * cho tương ứng 1-1 lớp đẳng cấu R-module trái đơn R-module phải đơn Chứng minh: 32 ( ⇐) Suy từ (2.1.3) (⇒) Giả sử R vành atin cho đối ngẫu R-module phía đơn (0) đơn Xét chuỗi = A0 ⊆ A1 ⊆ An = R RR Mỗi ( Ai +1 / Ai ) (0) đơn Do theo bổ đề 2.2.1.1, annl ( Ai ) / annl ( Ai +1 ) * (0) R-module trái đơn Ta có = annl ( An ) ⊆ ⊆ annn ( Ai ) ⊆ ⊆ ann= R l ( A0 ) chuỗi R R Để ý length ( R R ) ≤ length ( RR ) Do tính đối xứng, ta có bất đẳng thức ngược lại, tức đẳng thức xảy = annr ( annl ( A0 ) ) ⊆ ⊆ annr ( annl ( Ai ) ) ⊆ ⊆ ann= R r ( annl ( An ) ) chuỗi RR Vì Ai ⊆ annr ( annl ( Ai ) ) nên đẳng thức cho i Bây với ideal phải R phần chuỗi, ta chứng minh tính chất linh hóa kép cho ideal phải Dựa vào tính đối xứng cho ideal trái Theo định lý 2.1.1.2, R QF Chú ý: Những lập luận tương tự sử dụng đặc trưng khác vành QF sử dụng đối ngẫu module phải đơn Nếu ta thừa nhận từ length ( R R ) ≤ length ( RR ) , tiêu chuẩn cho QF là: đối ngẫu Rmodule phải đơn (0) đơn 33 Nhắc lại: Với vành atin, R-module không phân tích phải module dạng eR với e phần tử lũy đẳng nguyên thủy (nghĩa phần tử lũy đẳng khác không tổng hai phần tử lũy đẳng trực giao khác 0) Trong phần sau, ta kí hiệu J = radR (căn Jacobson R) R = R / J (là vành nửa đơn) Với module eR không phân tích trên, kiểm tra eJ module tối đại (duy nhất) eR, với eR / eJ ≅ eR (xem 1.2.4.5, 1.2.4.7, 1.2.5.2) 2.2.1.3 Định lý Cho R vành atin Khi R QF R Kasch Rmodule không phân tích phía có đơn Chứng minh: (⇒) Giả sử R QF Theo chứng minh định lý 2.1.1.1, R Kasch Với phần tử lũy đẳng nguyên thủy, xét R-module phải không phân tích eR Vì eR xạ ảnh nên nội xạ Gọi M module đơn eR Rõ ràng eR phải bao nội xạ M, M module cốt yếu eR Đặc biệt soc ( eR ) = M đơn Do tính đối xứng, soc ( Re ) đơn ( ⇐) Ngược lại, giả sử R Kasch R-module không phân tích phía có đơn Ta R QF cách áp dụng tiêu chuẩn 2.2.1.2 Bước 1: soc ( RR ) = soc ( R R ) Gọi e phần tử lũy đẳng nguyên thủy tùy ý soc ( R R ) bao gồm module đơn Re , e.soc ( R R ) ≠ Vì soc ( R R ) ideal nên e.soc ( R R ) module phải khác không eR Tính đơn soc ( eR ) dẫn đến soc ( eR ) ⊆ e.soc ( R R ) ⊆ soc ( R R ) 34 RR tổng trực tiếp module dạng eR không phân tích (cho tập hữu hạn phần tử lũy đẳng {e}), soc ( RR ) tổng trực tiếp module nói soc ( eR ) (xem 1.1.12) Dẫn tới soc ( RR ) ⊆ soc ( R R ) Tính đối xứng suy soc ( R R ) ⊆ soc ( RR ) Bước 2: Cho M R-module phải đơn M có phép nhúng RR , có phép nhúng eR không phân tích Vì soc ( eR ) đơn nên M = soc ( eR ) Ta chứng minh: = M* ( soc ( eR ) ) * ≅ Re (2.5) Điều M* đơn, tính đối xứng, đối ngẫu R=module trái đơn đơn Từ đây, 2.2.1.2 R QF Bước 3: Đặt σ : Re → M * R-đồng cấu trái chuyển re tới phép nhân trái re (trên M) Với J = radR , áp dụng Bước 1, ta có: σ ( Je )( M ) = J ( eM ) ⊆ J soc ( RR ) = J soc ( R R ) = Do σ cảm sinh đồng cấu Re / Je → M * Vì Re / Je ≅ Re đơn nên (2.5) suy ta chứng minh σ toàn ánh Bước 4: Đặt M ≅ f R , với f lũy đẳng nguyên thủy s ∈ M tương ứng với f đẳng cấu Khi M = sR s = sf (vì sf ∈ M tương ứng f f = f ) Cho ≠ ϕ ∈ M * Đặt: t= ϕ (s) = ϕ ( sf ) = tf ∈ ϕ ( M ) ≅ M Theo Bước ta có: s ∈ Rf ∩ M ⊆ Rf ∩ soc ( RR ) = Rf ∩ soc ( R R ) ⊆ soc ( Rf ) 35 Tương tự t ∈ soc ( Rf ) Vì soc ( Rf ) đơn = nên Rs soc = ( Rf ) Rt Đặc biệt = t rs, r ∈ R Nhớ lại M ⊆ eR , với x ∈ R tùy ý: ϕ ( sx= ) ϕ ( s ) x= tx= rsx= ( re )( sx ) Vậy ϕ phép nhân trái re , điều ta mong muốn 2.2.1.4 Hệ Cho e, f phần tử lũy đẳng nguyên thủy vành QF R thỏa soc ( eR ) ≅ f R Khi đó: (1) soc ( Rf ) ≅ Re ( ) * (2) f R ≅ Re ( ) * (3) Re ≅ f R Chứng minh: (2) suy từ (2.5) (3) kéo theo từ (2) cách lấy đối ngẫu (và áp dụng 2.2.1.2) (1) Sử dụng tính chất tương tự (2.5) cho module trái: ( soc ( Rf ) ) ≅ f R Lấy đối * ( ) ngẫu sử dụng (2) ta soc ( Rf ) ≅ f R ≅ Re * Với vành atin R, đặt: = e11 + + e1n + + es1 + + esn s ( ni > ) (2.6) hợp thành tổng phần tử lũy đẳng nguyên thủy trực giao Đặt e= ei1 (1 ≤ i ≤ s ) Các e i không đẳng cấu với nhau, nghĩa ei R, e j R (tương ứng i Rei , Re j ) không đẳng cấu với i ≠ j (xem 1.2.4.6) Tuy nhiên e i đẳng cấu với eil = U i e= Si ei = R, U i' Re = Si' Rei i R, i, (2.7) 36 Khi đó, {U i } (tương ứng {U i' } ) tập hợp module phải (tương ứng trái) không phân tích {Si } (tương ứng {Si' } ) tập hợp R-module phải (tương ứng trái) đơn RR ≅ n1U1 ⊕ ⊕ nsU s ⇒ R R ≅ n1S1 ⊕ ⊕ ns S s Định lý Wedderburn-Artin (xem 1.1.5) cho đẳng cấu vành R ≅ Μ n ( D1 ) x xΜ n ( Ds ) (2.8) s với D i vành chia, End R ( Si ) = End R ( Si ) Trong trường hợp R QF, định nghĩa ánh xạ π : {1, , s} → {1, , s} (1 ≤ i ≤ s ) soc (U i ) ≅ Sπ (i ) (2.9) Khi hệ 2.2.1.4 suy ra: ( ) soc U π' (i ) ≅ Si' , Sπ* (i ) ≅ Si' , (S ) ' * i ≅ Sπ (i ) π hoán vị {1, 2, , s} Nó gọi hoán vị Nakayama (của vành QF R) 2.2.1.5 Hệ Một vành atin R QF tồn hoán vị π {1, 2, , s} ( ) cho soc (U i ) ≅ Sπ (i ) soc U π' (i ) ≅ Si' với i Sau trình bày hoán vị Nakayama trên, câu hỏi nhỏ đặt là: Điều xảy lấy đối ngẫu tính chất không phân tính được? Câu trả lời nằm mệnh đề 2.2.1.6 Mệnh đề Trên vành QF R, ta có U i ≅ U i' (U i' ) ≅ U i * * 37 2.2.1.7 Định lý (1) Nếu R vành tự nội xạ phải, với a ∈ R, ( aR ) ≅ Ra R-module * trái (2) Nếu R vành tự nội xạ, ideal phía R phản xạ, với a, b ∈ R, aR ≅ bR Ra ≅ Rb Chứng minh: (1) Xét dãy khớp g → annl ( a ) → R → Ra → ( g ( x ) =xa ) Ta có Ra ≅ R / annl ( a ) = R / annl ( aR ) ≅ ( aR ) * Đẳng cấu cuối suy từ (2.3) (áp dụng cho RR nội xạ) Đẳng cấu ϕ : Ra → ( aR ) * = cho ϕ ( ya )( az ) yaz; y, z ∈ R (2) Giả sử R tự nội xạ Ta có: ( aR ) ** ≅ ( Ra ) ≅ aR; ∀a ∈ R * cách áp dụng (1) cho ( aR ) sau áp dụng lần cho ( Ra ) * * 2.2.2 Định nghĩa vành Frobenius Bây ta giới thiệu định nghĩa vành Frobenius (như trường hợp đặc biệt vành tựa Frobenius) Chúng ta định nghĩa thông qua thiết lập điều kiện tương đương (Các kí hiệu (2.6), (2.7) sử dụng) 2.2.2.1 Định lý Cho vành atin R, = đặt R R= / J , J radR Các mệnh đề sau tương đương: (1) R QF soc ( RR ) ≅ R R (2) R QF soc ( R R ) ≅ R R 38 (3) R QF và= ni nπ (i ) (1 ≤ i ≤ s ) , π hoán vị Nakayama R (4) soc ( RR ) ≅ R R soc ( R R ) ≅ R R Nếu R thỏa mãn điều kiện tương đương R gọi vành Frobenius Chứng minh: Giả sử R QF Theo (2.6) ta có RR = ⊕i nU i i Lấy nền, sử dụng (2.9), ta có: soc ( RR ) ≅ ⊕i ni Sπ (i ) (2.10) So sánh với R R ≅ ⊕i ni Si ta (1) ⇔ ( 3) , ( ) ⇔ ( 3) Rõ ràng (1), (2), (3) kéo theo (4) Ta phải chứng minh (4) kéo theo R QF Vì tất S i xuất R R nên chúng xuất soc ( RR ) , R Kasch phải Tương tự R Kasch trái Hơn ⊕i ni Si ≅ R R ≅ soc ( RR ) ≅ ⊕i ni soc (U i ) ∑ n , dãy bên phải có độ dài ∑ n length ( soc (U ) ) Dãy bên trái có độ dài i i i i i Vì length ( soc (U i ) ) > nên length ( soc (U i ) ) = Do soc (U i ) đơn Tương tự soc (U i' ) đơn với i Áp dụng định lý 2.2.1.3, R QF 2.2.2.2 Hệ Một vành QF R Frobenius R R ≅ ( ) module phải), R R ≅ R R * ( ) RR * (đẳng cấu R- (đẳng cấu R-module trái) Chứng minh: Cho vành QF R, ta có đẳng cấu (R,R)-song module soc ( R ) ≅ ( R) ≅ ( R ) * R * (2.11) R Đẳng cấu thứ 2.2.2.1(1) cho ta R R ≅ ( R) * R 39 ( ) * Đẳng cấu thứ hai 2.2.2.1(2) cho ta R R ≅ R R 2.2.2.3 Hệ Giả sử R vành QF thỏa R ≅ Μ n ( D1 ) x xΜ n ( Ds ) với D i vành chia s Khi R vành Frobenius Chứng minh: Giả thiết R suy n1= = ns= n Do điều kiện (3) 2.2.2.1 thỏa mãn Vậy R vành Frobenius Sau ta xây dựng số ví dụ để có nhìn cụ thể vành Frobenius 2.2.3 Ví dụ (1) Xét R = S / Β với S vành Dedekin Β ⊂ S ideal khác không Trong ví dụ 2.1.4(2), ta R QF Nhờ hệ 2.2.2.3, R Frobenius (2) Mọi vành nửa đơn Frobenius Ta có R R= = / radR R soc ( R ) = R Do soc ( R ) = R Theo tiêu chuẩn (4), R Frobenius ' Trong kí hiệu (2.6), (2.7), ta có U= Si ,U= Si' ; ∀i Kéo theo hoán vị Nakayama i i R đồng Rõ ràng, vành QF có tiêu chuẩn vành Frobenius theo tiêu chuẩn (3) n (3) Cho R = ∏ Ri với Ri vành R Frobenius Ri Frobenius i =1 với i 40 (4) Cho k vành chia Gọi R vành ma trận 4x4 k gồm phần tử: 0  γ = 0  0 x b 0 0 b 0  0 y  a Kí hiệu Eij đơn vị ma trận với phần tử dòng i cột j Căn Jacobson J R bao gồm ma trận với phần tử đường chéo Vàng thương= R R / J ≅ k x k với đẳng cấu cho γ  ( a, b ) Trong kí hiệu (2.6), ta lấy = e1 diag = (1,0,0,1) e2 diag ( 0,1,1,0 ) ( diag ( a, b, c, d ) ma trận với a, b, c, d phần tử đường chéo chính, phần tử lại 0) Ta đưa module không phân tích phải:  a   = U e=  1R   x 0 0 0 0    ;   a      = U e2= R    0 b 0 0 b Ta có U1 J  u 0    0   =  ;U J   0 0     0 0         0 0 0 0 0     v     Đặt S1 U= = U / U J hai R-module phải đơn / U1 J , S vaE34 nên ta có = = Vì ( uE12 ) γ ubE 12 , ( vE34 ) γ soc (U1 ) = U1 J ≅ S , soc (U ) = U J ≅ S1 Do 2.2.1.3, R QF với hoán vị Nakayama phép (12)     y     41 Vì RR ≅ U1 ⊕ U nên R vành Frobenius Chú ý ví dụ ta có J = soc ( R ) =U1 J ⊕ U J = J Một điều thú vị từ ví dụ là: dễ dàng tạo ví dụ vành Frobenius với n-chu trình hoán vị Nakayama Gọi R vành ma trận cấp 2nx2n với khối đường chéo 2x2  a1 0  x1  , a2   a2 0  x2  a , ,  n  a3  0 xn  a1  hệ số lấy từ k Vành R có chiều 2n k tổng trực tiếp module không phân tích phải U i = ei R với e i lũy đẳng nguyên thủy R thu cách đặt e j = a j = δ ij Các tính toán R vành Frobenius với hoán vị Nakayama cho n-chu trình (12…n) (5) Ví dụ vành tựa Frobenius không Frobenius Cho k vành chia, R tập Μ ( k ) gồm ma trận có dạng a  c 0 (a) γ =  0 0  0 b p 0 d q 0 r 0 0 r s 0 a 0 c 0  0 0  t  b  d  Kiểm tra R vành bao gồm ma trận đường chéo k ⋅ I Căn Jacobson radR cho ideal J R gồm ma trận γ với a=b=c=d=r=0 Điều rõ ràng J lũy linh R / J ≅ k x Μ ( k ) nửa đơn Đặt S1 , S hai R/Jmodule phải đơn (xem R-module) cho dim k Si = i Ta nghĩ S k với tác động phải γ cho phép nhân phải r, S k2 với tác 42 a b động phải γ cho phép nhân phải   Ta có phân tích c d  = e1 + e2 + e2' với (b) e1 = E33 + E44 , e2 = E11 + E55 , e2' = E22 + E66 lũy đẳng trực giao R (Để cho gọn, từ trở biểu diễn ma trận cách sử dụng ma trận Eij ) Làm việc R = R / J , ta thấy e1 , e2e2' lũy đẳng nguyên thủy R với S1 ≅ e1 R, S ≅ e2 R ≅ e2' R (Sự kiện e2 , e2' lũy đẳng đẳng cấu R thấy nhờ = e2 αβ = , e2' βα α = E12 + E56 , β = E21 + E65 ) Tính toán với hai module không phân tích (phân biệt): (c) U1 = k ( E33 + E44 ) + kE45 + kE46 , U = k ( E11 + E55 ) + k ( E12 + E56 ) + kE13 Chú ý e2' R = k ( E21 + E65 ) + k ( E22 + E66 ) + kE23 , ta lờ điều đẳng cấu với e2 R Module tối đại U1 ,U là: (d) U1 J = kE45 + kE46 , U2J = kE13 với U i / U i J ≅ Si Bây giờ, với ma trận γ ∈ R , tác động γ U i J sau: ( xE45 + yE46 ) γ = ( xa + yc ) E45 + ( xb + yd ) E46 , ( zE13 ) γ = zrE13 Do ta có U1 J ≅ S ,U J ≅ S1 Đặc biệt: (e) soc (U1 ) = U1 J ≅ S , soc (U ) = U J ≅ S1 Vì R vành QF Hoán vị Nakayama chuyển vị (12) Vì RR ≅ U1 ⊕ ⋅ U nên số bội (2.6) = n1 1,= n2 Vậy R vành Frobenius Trong ví dụ này, (f) soc ( RR ) ≅ S ⊕ ⋅ S1 , R R ≅ S1 ⊕ ⋅ S Những module không đẳng cấu R-module phải 43 KẾT LUẬN Kết nghiên cứu Trong trình nghiên cứu, thu số kết sau:  Trình bày định nghĩa vành tựa Frobenius định nghĩa tương đương thông qua định lý 2.1.1.2 Chúng chứng minh định lý  Đưa chứng minh số tính chất quan trọng module vành tựa Frobenius Nổi bật tính chất 2.1.2 tính xạ ảnh nội xạ  Xây dựng số kiến thức chuẩn bị cho định nghĩa vành Frobenius thông qua định lý 2.2.2.1  Mô tả lớp vành tựa Frobenius số ví dụ cụ thể Những hạn chế đề tài Do thời gian nghiên cứu lực thân có hạn nên luận văn số hạn chế:  Trình bày chưa thực chi tiết vành Frobenius, mô tả mức độ sơ khai  Chỉ đưa ra, chưa chứng minh số định lý quan trọng phần chuẩn bị chương I Hướng nghiên cứu  Mô tả kĩ lớp vành Frobenius cấu trúc module chúng  Tiếp cận cấu trúc đại số quan trọng: Đại số Frobenius 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngô Thúc Lanh, Đại số Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội (1987) [2] T.Y.Lam, A First Course in Noncommutative Rings, Springer - Verlag (1968) [3] T.Y.Lam, Lectures on Mudules and Rings, Springer (1998) [4] C.Faith, Lectures on Injective Modules and Quotient Rings, Berlin and New York (1967) [5] I.N.Herstein, Noncommutative Rings, Mathematical Association of America (1968) [6] N.Jacobson, Structure of Rings, Amer.Math.Soc., Providence, R.I (1956) [7] A.W.Goldie, Torsion-free Modules and Rings, J.Algebra (1964) [...]... nếu và chỉ nếu ker h ⊆ ker f 18 CHƯƠNG II CÁC VÀNH TỰA FROBENIUS VÀ FROBENIUS 2.1 VÀNH TỰA FROBENIUS Trong phần này ta sẽ có hai mục chính Đầu tiên là định nghĩa vành tựa Frobenius cùng các cấu trúc bên trong Sau đó là tính chất của các module trên đó như tính xạ ảnh, nội xạ, đối ngẫu… 2.1.1 Các định nghĩa cơ bản Chúng ta đã biết sơ qua về cấu trúc của vành tự nội xạ phải Với một vành tự nội xạ phải... nhất, vành tựa Frobenius 2.1.1.1 Định nghĩa vành tựa Frobenius: Vành tựa Frobenius (QF) là vành nơte phải và tự nội xạ phải Vành tựa Frobenius có các định nghĩa tương đương, điều này thể hiện qua định lý dưới đây 2.1.1.2 Định lý: Cho R là vành bất kì, các mệnh đều sau là tương đương: (1) R là vành nơte phải và tự nội xạ phải 19 (2) R là vành nơte trái và tự nội xạ phải (3) R vành nơte phải và thỏa... eJ là module phải đơn trên R (và do đó trên R), eJ là module con tối đại duy nhất của eR, do dó rad ( eR ) = eJ 1.2.6 Vành tự nội xạ Vành R được gọi là tự nội xạ phải nếu module RR nội xạ Định lý: Giả sử R = ∏ Aj với Aj là vành Khi đó R tự nội xạ phải nếu và chỉ nếu Aj j tự nội xạ phải với mọi i 1.3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRÊN MODULE VÀ VÀNH 1.3.1 Vành Dedekin Vành Dedekin (hay miền Dedekin) là một vành. .. 1.3.2.4 Tính chất: Bất kì module M nào cũng có một bao nội xạ 1.3.3 Định lý Bass, Papp Với vành R, các mệnh đề sau tương đương: (1) Tổng trực tiếp các R -module phải nội xạ thì nội xạ (2) Tổng trực tiếp đếm được các R -module phải nội xạ thì nội xạ (3) R là vành nơte phải Hệ quả: Cho vành R, các mệnh đề sau tương đương: (1) R là vành nơte phải (2) Mọi module nội xạ M R là tổng trực tiếp của các module. .. Ai của soc ( RR ) chứa Vi Do tính đối xứng trái-phải nên Ai = Ai ' và soc ( RR ) = soc ( R R ) Các đẳng thức khác dễ dàng suy ra từ sự kiện R atin và định lý 1.2.1.6 2.1.2 Tính xạ ảnh và nội xạ Sau đây, chúng ta sẽ đề cập đến đặc trưng rất đẹp khác của các vành QF, về module xạ ảnh và nội xạ trên chúng Qua đó thấy được bản chất trên vành QF, lớp các module xạ ảnh trùng với lớp các module nội xạ 2.1.2.1... trong module nội xạ RR , I i = E (Vi ) đẳng cấu với một số hạng trực tiếp của RR Do đó I i xạ ảnh và I ≅ ⊕i I i Cho PR xạ ảnh Khi đó P ⊕ Q là một module tự do R ( J ) với tập chỉ số J Vì R nơte phải nên R ( J ) = ⊕ j∈J RR là nội xạ và PR nội xạ 24 ( 2 ) ⇒ (1) Vì RR xạ ảnh nên nó nội xạ do (2) Tổng trực tiếp của các module xạ ảnh thì xạ ảnh, kéo theo tổng trực tiếp các module nội xạ thì nội xạ Theo... (1) Một module M R nội xạ nếu và chỉ nếu nó không có mở rộng cốt yếu thực sự nào (2) Mọi module M R đều có một mở rộng cốt yếu tối đại 1.3.2.3 Bao nội xạ: Cho module M ⊆ I , các mệnh đề sau tương đương: (1) I là mở rộng cốt yếu tối đại trên M (2) I nội xạ và cốt yếu trên M (3) I nội xạ tối tiểu trên M Nếu module M ⊆ I thỏa mãn các tính chất (1), (2), (3) ở trên thì ta nói I là một bao nội xạ của M 1.3.2.4... g  h ' Ta nói h có thể được nâng lên tới h’ Tính chất: (1) Tổng trực tiếp của các R -module phải là xạ ảnh nếu và chỉ nếu các số hạng là xạ ảnh (2) Một module PR là xạ ảnh nếu và chỉ nếu nó là hạng tử trực tiếp của một module tự do 1.1.2.3 Module nội xạ: 5 Một R -module phải I được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu g : A → B với A, B là các R -module phải và R-đồng cấu h : A → I đều tồn tại một R-đồng... rộng tới h’ Tính chất: (1) Tích trực tiếp của các R -module phải là nội xạ nếu và chỉ nếu các thừa số là nội xạ (2) Tiêu chuẩn Baer: Một R -module phải I là nội xạ nếu và chỉ nếu: với bất kì ideal phải A của R, mọi R-đồng cấu f : A → I có thể được mở rộng tới f ' : R → I 1.1.2.4 Module nơte: R -module M được gọi là nơte nếu M thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) trên họ các module con của M, nghĩa... module con kì dị của M Module M được gọi là module kì dị nếu Z ( M ) = M và gọi là không kì dị nếu Z ( M ) = 0 15 1.3.5.2 Định lý: Cho R là vành tự nội xạ phải Khi đó: (1) radR = Z ( RR ) (2) R/radR là vành chính quy von Neumann (3) R/radR là vành tự nội xạ phải 1.3.6 Vành Kasch 1.3.6.1 Định nghĩa: Vành R được gọi là Kasch phải nếu mỗi R -module phải đơn V có thể được nhúng trong RR Vành Kasch trái ... tất cấu trúc lớp vành tự nội xạ phải Trong luận văn này, tập trung vào lớp vành đặc biệt, vành tựa Frobenius, tập chúng, vành Frobenius Vành tựa Frobenius vành nơte phải tự nội xạ phải Không cần... số khái niệm bản, nghiên cứu tính chất đặc trưng lớp vành tựa Frobenius, chọn đề tài “CÁC VÀNH FROBENIUS, TỰA FROBENIUS VÀ TÍNH XẠ ẢNH, NỘI XẠ CỦA CÁC MODULE TRÊN CHÚNG” Đối tượng, phạm vi nghiên... đến vành tựa Frobenius, Frobenius tính chất xạ ảnh, nội xạ, hữu hạn sinh module chúng Tìm hiểu số ví dụ để mô tả lớp vành tựa Frobenius, Frobenius Mục đích nghiên cứu Mô tả định nghĩa vành tựa Frobenius