Để giới thiệu vành Frobenius, chúng ta sẽ phát triển thêm một số tính chất đặc biệt của vành tựa Frobenius R. Nhắc lại rằng: nếu M là R-module phải đơn thì đối ngẫu của nó, M*
, là R-module trái đơn. Bây giờ ta chứng minh rằng đối với vành atin, mệnh đề này thực sự đặc trưng cho vành tựa Frobenius.
2.2.1.1. Bổ đề
Cho A⊆B là ideal phải trên vành R sao cho ( )*
/
B A hoặc là (0) hoặc là R- module trái đơn. Khi đó ann Al( )/ann B l( ) hoặc là (0) hoặc là đẳng cấu với
( )* / B A . Chứng minh: Định nghĩa ánh xạ ( ) ( )* : l l /
f ann A →ann B A bởi f x b( )( +A)=xb với
( ),
l
x∈ann A b∈B. Dễ dàng kiểm tra được f là R-đồng cấu trái và hạt nhân của nó là ann Bl( ). Do đó ann Al( )/ann Bl( ) được nhúng trong ( )*
/
B A . Vì ( )*
/
B A hoặc là (0) hoặc là module đơn nên ta có điều phải chứng minh.
2.2.1.2. Định lý Dieudonne
Một vành atin R là QF nếu và chỉ nếu đối ngẫu của bất kì R-module một phía đơn hoặc là (0) hoặc đơn. Lúc này *
M M cho một tương ứng 1-1 giữa lớp các đẳng cấu của R-module trái đơn và R-module phải đơn.
( )⇐ .
Suy ra từ (2.1.3).
( )⇒ .
Giả sử R là vành atin sao cho đối ngẫu của bất kì R-module một phía đơn hoặc là (0) hoặc đơn. Xét chuỗi
0 1 0= A ⊆ A...⊆ An =R trong RR. Mỗi ( )* 1/ i i
A+ A hoặc (0) hoặc đơn. Do đó theo bổ đề 2.2.1.1, ann Al( )i /ann Al( )i+1
hoặc (0) hoặc R-module trái đơn. Ta có
( ) ( ) ( )0
0=ann Al n ⊆ ⊆... annn Ai ⊆ ⊆... ann Al =R
là chuỗi trong RR.
Để ý rằng length( )RR ≤length R( )R . Do tính đối xứng, ta cũng có bất đẳng thức ngược lại, tức đẳng thức xảy ra.
( )
( 0 ) ( ( )) ( ( )) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
0=ann ann Ar l ⊆ ⊆... ann ann Ar l i ⊆ ⊆... ann ann Ar l n =R
cũng là một chuỗi trong RR.
Vì Ai ⊆ann ann Ar( l( )i ) nên đẳng thức đúng cho mọi i.
Bây giờ với bất kì ideal phải trong R là một phần của chuỗi, ta đã chứng minh được tính chất linh hóa kép cho ideal phải. Dựa vào tính đối xứng cũng đúng cho ideal trái. Theo định lý 2.1.1.2, R là QF.
Chú ý: Những lập luận tương tự có thể được sử dụng để cho một đặc trưng hơi khác của vành QF chỉ sử dụng đối ngẫu của module phải đơn. Nếu ta thừa nhận từ
( )R ( )R
length R ≤length R , khi đó một tiêu chuẩn cho QF là: đối ngẫu của bất kì R- module phải đơn hoặc là (0) hoặc là đơn.
Nhắc lại: Với vành atin, một R-module chính không phân tích được phải là một module dạng eR với e là phần tử lũy đẳng nguyên thủy (nghĩa là phần tử lũy đẳng khác 0 không là tổng của hai phần tử lũy đẳng trực giao khác 0).
Trong phần sau, ta kí hiệu J =radR (căn Jacobson của R) và R=R J/ (là vành nửa đơn). Với module eR chính không phân tích được ở trên, kiểm tra được eJ là module con tối đại (duy nhất) của eR, với eR eJ/ ≅eR. (xem 1.2.4.5, 1.2.4.7, 1.2.5.2)
2.2.1.3. Định lý
Cho R là một vành atin. Khi đó R là QF nếu và chỉ nếu R là Kasch và mỗi R- module chính không phân tích được một phía có một nền đơn.
Chứng minh:
( )⇒ .
Giả sử R là QF. Theo chứng minh của định lý2.1.1.1, R là Kasch. Với mọi phần tử lũy đẳng nguyên thủy, xét R-module phải chính không phân tích được eR. Vì eR
xạ ảnh nên nó cũng nội xạ.
Gọi M là module con đơn của eR. Rõ ràng eR phải là bao nội xạ của M, do đó M là module con cốt yếu của eR. Đặc biệt soc eR( )=M đơn. Do tính đối xứng,
( )
soc Re cũng đơn.
( )⇐ .
Ngược lại, giả sử R Kasch và mỗi R-module chính không phân tích được một phía có một nền đơn. Ta sẽ chỉ ra R là QF bằng cách áp dụng tiêu chuẩn 2.2.1.2.
Bước 1: soc R( )R =soc( )RR .
Gọi e là phần tử lũy đẳng nguyên thủy tùy ý. soc( )RR bao gồm một bản sao của module đơn Re, do đó e soc. ( )RR ≠0. Vì soc( )RR là ideal nên e soc. ( )RR là module con phải khác không của eR. Tính đơn của soc eR( ) dẫn đến
( ) . ( )R ( )R
R
R là tổng trực tiếp của các module dạng eR chính không phân tích được (cho một tập hữu hạn các phần tử lũy đẳng {e}), vì thế soc R( )R là tổng trực tiếp của các module nói trên của soc eR( ) (xem 1.1.12). Dẫn tới soc R( )R ⊆soc( )RR .
Tính đối xứng suy ra soc( )RR ⊆soc R( )R .
Bước 2:
Cho M là R-module phải đơn. M có một phép nhúng trong RR, do đó cũng có một phép nhúng trong một eR chính không phân tích được. Vì soc eR( ) đơn nên
( ) M =soc eR . Ta sẽ chứng minh: ( ) ( )* * . M = soc eR ≅Re (2.5)
Điều này sẽ chỉ ra M* đơn, do tính đối xứng, đối ngẫu của mọi R=module trái đơn cũng là đơn. Từ đây, 2.2.1.2 chỉ ra rằng R là QF. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bước 3:
Đặt *
:Re M
σ → là R-đồng cấu trái chuyển re tới phép nhân trái bởi re
(trên M). Với J =radR, áp dụng Bước 1, ta có:
( )( )Je M J eM( ) J soc R. ( )R J soc. ( )RR 0
σ = ⊆ = =
Do đó σ cảm sinh một đồng cấu *
/
Re Je→M . Vì Re Je/ ≅Re là đơn nên (2.5) sẽ được suy ra nếu ta chứng minh được σ là toàn ánh.
Bước 4:
Đặt M ≅ f R, với f là lũy đẳng nguyên thủy. s∈M tương ứng với f dưới đẳng cấu này. Khi đó M =sR và s=sf (vì sf ∈M tương ứng f f = f ). Cho
* 0≠ ∈ϕ M . Đặt: ( ) ( ) ( ) t =ϕ s =ϕ sf = ∈tf ϕ M ≅M Theo Bước 1 ta có: ( )R ( )R ( )
Tương tự t∈soc Rf( ). Vì soc Rf( ) đơn nên Rs=soc Rf( )=Rt. Đặc biệt ,
t =rs r∈R. Nhớ lại M ⊆eR, với x∈R tùy ý:
( )sx ( )s x tx rsx ( )( )re sx
ϕ =ϕ = = =
Vậy ϕ là phép nhân trái bởi re, đó là điều ta mong muốn. 2.2.1.4. Hệ quả
Cho e, f là các phần tử lũy đẳng nguyên thủy trong vành QF R thỏa
( ) soc eR ≅ f R. Khi đó: (1) soc Rf( )≅Re. (2) ( )* f R ≅ Re. (3) ( )* Re ≅ f R. Chứng minh: (2) được suy ra từ (2.5).
(3) kéo theo từ (2) bằng cách lấy đối ngẫu (và áp dụng 2.2.1.2). (1) Sử dụng tính chất tương tự (2.5) cho module trái: ( ( ))*
soc Rf ≅ f R. Lấy đối ngẫu và sử dụng (2) ta được ( ) ( )* soc Rf ≅ f R ≅Re. Với vành atin R, đặt: ( ) 1 11 1 1 1 ... ... ... 0 s n s sn i e e e e n = + + + + + + > (2.6)
là hợp thành của 1 trong một tổng các phần tử lũy đẳng nguyên thủy trực giao. Đặt
( )
1 1
i i
e =e ≤ ≤i s . Các ei không đẳng cấu với nhau, nghĩa là e R e Ri , j (tương ứng ,
i j
Re Re ) không đẳng cấu nhau với i≠ j (xem 1.2.4.6). Tuy nhiên ei đẳng cấu với mỗi eil.
' ' (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
, , ,
i i i i i i i i
Khi đó, { }Ui (tương ứng { }'
i
U ) là tập hợp module phải (tương ứng trái) chính không phân tích được. { }Si (tương ứng { }'
i
S ) là tập hợp R-module phải (tương ứng trái) đơn.
1 1 ... R 1 1 ...
R s s s s
R ≅n U ⊕ ⊕n U ⇒ R ≅n S ⊕ ⊕n S
Định lý Wedderburn-Artin (xem 1.1.5)cho một đẳng cấu vành
( ) ( )
1 1 ...
s
n n s
R≅ Μ D x xΜ D (2.8)
với Di là vành chia, EndR( )Si =EndR( )Si .
Trong trường hợp R là QF, định nghĩa ánh xạ π: 1,...,{ s} {→ 1,...,s} bởi
( )i ( )i (1 )
soc U ≅Sπ ≤ ≤i s (2.9)
Khi đó hệ quả 2.2.1.4 suy ra:
( ) ( )' ' *( ) ' ( )' * ( ) , , i i i i i i soc Uπ ≅S Sπ ≅S S ≅Sπ
π là một hoán vị của {1, 2,...,s}. Nó được gọi là hoán vị Nakayama (của vành QF R).
2.2.1.5. Hệ quả
Một vành atin R là QF nếu và chỉ nếu tồn tại hoán vị π của {1, 2,...,s sao }
cho soc U( )i ≅Sπ( )i và ( )'( ) '
i i
soc Uπ ≅S với mọi i.
Sau trình bày về hoán vị Nakayama ở trên, một câu hỏi nhỏ đặt ra là: Điều gì xảy ra khi lấy đối ngẫu của tính chất chính không phân tính được?Câu trả lời nằm ở mệnh đề dưới đây.
2.2.1.6. Mệnh đề (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trên vành QF R, ta có Ui* ≅Ui' và ( )' *
i i
2.2.1.7. Định lý
(1) Nếu R là một vành tự nội xạ phải, khi đó với ( )*
,
a∈R aR ≅ Ra như là R-module trái.
(2) Nếu R là một vành tự nội xạ, khi đó ideal một phía chính của R thì phản xạ, và với a b, ∈R aR, ≅bR nếu và chỉ nếu Ra Rb≅ .
Chứng minh: (1) Xét dãy khớp ( ) ( ( ) ) 0 0 g l ann a R Ra g x xa → → → → = Ta có ( ) ( ) ( )* / l / l Ra≅R ann a =R ann aR ≅ aR
Đẳng cấu cuối suy ra từ (2.3) (áp dụng cho RR nội xạ). Đẳng cấu ( )*
:Ra aR
ϕ →
cho bởi ϕ( )( )ya az = yaz y z; , ∈R. (2) Giả sử R tự nội xạ. Ta có:
( ) ( )** *
;
aR ≅ Ra ≅aR ∀ ∈a R
bằng cách áp dụng (1) cho ( )*
aR sau đó áp dụng lần nữa cho ( )*
Ra .