Tự đẳng cấu nhóm bảo toàn lớp liên hợp và ứng dụng trong quan hệ đồng chất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  PHAN THỊ HƯƠNG LÀI TỰ ĐẲNG CẤU NHÓM BẢO TOÀN LỚP LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG TRONG QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG – Năm 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  PHAN THỊ HƯƠNG LÀI TỰ ĐẲNG CẤU NHĨM BẢO TỒN LỚP LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG TRONG QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Ngọc Châu ĐÀ NẴNG – Năm 2012 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu khoa học riêng tôi, thực hướng dẫn trực tiếp thầy giáo TS.Nguyễn Ngọc Châu Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Các tham khảo trích dẫn ghi phần tài liệu tham khảo cuối luận văn Đà Nẵng, ngày 10 tháng 06 năm 2012 Phan Thị Hương Lài MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục MỞ ĐẦU CHƯƠNG NHÓM VÀ p – NHÓM HỮU HẠN 1.1 NHÓM VÀ p – NHÓM 1.1.1 Cấu trúc nhóm .4 1.1.2 Nhóm 1.1.3 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương 1.1.4 Đồng cấu nhóm .9 1.1.5 Tích trực tiế p và tổ ng trực tiế p .11 1.1.6 p – nhóm .12 1.2 NHÓM LŨY LINH .13 1.2.1 Nhóm giao hốn tử 13 1.2.2 Nhóm lũy linh .14 CHƯƠNG TỰ ĐẲNG CẤU NHĨM BẢO TỒN LỚP LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG TRONG QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT 15 2.1 TỰ ĐẲNG CẤU TRONG VÀ TỰ ĐẲNG CẤU NHĨM BẢO TỒN LỚP LIÊN HỢP 15 2.1.1 Liên hợp tự đẳng cấu 15 2.1.2 Tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp .17 2.1.3 Một số tính chất tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp .19 2.2 TỰ ĐẲNG CẤU NHÓM BẢO TOÀN LỚP LIÊN HỢP ĐỐI VỚI MỘT SỐ p – NHÓM CÓ CẤP THẤP 21 2.3 ỨNG DỤNG CỦA TỰ ĐẲNG CẤU BẢO TOÀN LỚP LIÊN HỢP VÀO QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT 28 2.3.1 Quan hệ đồng chất 28 2.3.2 Ứng dụng tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp vào quan hệ đồng chất 30 KẾT LUẬN .35 TÀI LIỆU THAM KHẢO .36 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (BẢN SAO) 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cho G nhóm Aut(G) Inn(G) nhóm tự đẳng cấu nhóm tự đẳng cấu nhóm G Với x  G , ký hiệu xG lớp liên hợp x G Một tự đẳng cấu α nhóm G gọi tự đẳng cấu nhóm bảo toàn lớp liên hợp  ( x)  xG , với phần tử x thuộc G Tập AutC(G) gồm tất tự đẳng cấu bảo toàn lớp liên hợp G nhóm, Inn(G) nhóm chuẩn tắc AutC(G) Các nhóm AutC(G), Inn(G) nhóm thương OutC(G) = AutC(G)/Inn(G) có ứng dụng lý thuyết nhóm, chẳng hạn chúng bất biến quan hệ đồng chất tập nhóm Nếu G nhóm giao hốn, rõ ràng Inn(G) = Aut C(G) Năm 1911, nhà toán học người Anh, W Burnside [4] nêu câu hỏi: Có tồn hay khơng nhóm hữu hạn G cho G có tự đẳng cấu bảo tồn lớp liên hợp mà tự đẳng cấu trong? Câu hỏi đặc biệt quan tâm G p – nhóm Năm 1913, W.Burnside [5] đưa câu trả lời cho câu hỏi cách xây dựng nhóm G có cấp p 6, p số nguyên tố lẻ, mà Out C (G)  Năm 1947, G E Wall [13] tồn nhóm G cấp 25 mà OutC(G) ≠ Tiếp sau đó, nhiều nhóm khác [6] nhà toán học xây dựng với OutC(G) ≠ 1, nhóm có cấp lớn p6 Năm 2001, M Kumar L R Vermani [8] chứng tỏ OutC(G) = với nhóm có cấp p4 Nhằm tìm hiểu tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp, tơi chọn đề tài luận văn Thạc sĩ là: “Tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp ứng dụng quan hệ đồng chất” Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp tính chất - Nghiên cứu quan hệ đồng chất tập nhóm - Khảo sát ứng dụng tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp vào quan hệ đồng chất tập nhóm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các p – nhóm hữu hạn - Tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp - Quan hệ đồng chất p – nhóm hữu hạn Phương pháp nghiên cứu - Thu thập hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung đề tài Đặc biệt tài liệu tự đẳng cấu nhóm, phân loại đồng chất p - nhóm hữu hạn - Khảo sát tính chất tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp ứng dụng vào quan hệ đồng chất p – nhóm hữu hạn - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn gồm có chương bố cục sau: Mở đầu Chương Nhóm p – nhóm hữu hạn Chương trình bày sơ lược số kiến thức cấu trúc nhóm p – nhóm hữu hạn nhằm làm sở cho chương sau §1 Nhóm p - nhóm §2 Nhóm lũy linh Chương Tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp ứng dụng quan hệ đồng chất Chương nội dung luận văn, giới thiệu tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp tính chất liên quan ứng dụng chúng quan hệ đồng chất tập p – nhóm §1 Tự đồng cấu bảo tồn lớp liên hợp §2 Quan hệ đồng chất §3 Ứng dụng tự động cấu bảo tồn lớp liên hợp quan hệ đồng chất Kết luận Danh mục tài liệu tham khảo CHƯƠNG NHÓM VÀ p – NHĨM HỮU HẠN Chương trình bày sơ lược số kiến thức cấu trúc nhóm p – nhóm hữu hạn nhằm làm sở cho chương sau, các chi tiế t liên quan có thể xem các tài liê ̣u về lý thuyế t nhóm 1.1 NHÓM VÀ p – NHÓM 1.1.1 Cấu trúc nhóm Định nghĩa 1.1 Cho tập hợp X khác rỗng Một phép tốn hai ngơi X ánh xạ từ X  X đến tập X Nếu T phép tốn hai ngơi X ảnh phần tử  x,y   X  X qua T gọi hợp thành phần tử x với phần tử y, kí hiệu xTy Định nghĩa 1.2 Cho X tập hợp với phép tốn hai ngơi * X a) Phép tốn * gọi có tính chất kết hợp  x* y * z = x*  y* z  , với x, y, z  X b) Phép toán * gọi có tính chất giao hốn x* y  y* x, với x, y  X c) Phần tử e  X gọi trung hòa trái phép toán * e* x  x, với x  X Tương tự ta có khái niệm trung hịa phải Nếu e phần tử trung hịa hai phía e gọi phần tử trung hịa phép tốn * Định nghĩa 1.3 Giả sử phép toán * tập X có phần tử trung hịa e Với x, y  X , ta nói y phần tử đối xứng bên trái x y* x  e Tương tự ta có khái niệm phần tử đối xứng bên phải Nếu y phần tử đối xứng hai phía x ta nói y phần tử đối xứng x Định nghĩa 1.4 Cho G tập hợp có xác định phép tốn hai ngơi ký hiệu *; tập G với phép toán * gọi nhóm nếu: i) Phép tốn * có tính kết hợp ii) Phép tốn * có phần tử trung lập iii) Mọi phần tử thuộc G có phần tử đối xứng phép tốn * Một nhóm G gọi nhóm giao hốn (hay nhóm Abel) phép tốn có tính chất giao hốn Nếu G có hữu hạn phần tử số phần tử G gọi cấp G Nếu G có vơ hạn phần tử, ta nói G có cấp vơ hạn Trong nhóm có phần tử trung hịa phần tử có phần tử đối xứng Từ sau khơng nói khác, phép tốn nhóm ký hiệu phép nhân, phần tử trung hòa gọi phần tử đơn vị, phần tử đối xứng gọi phần tử nghịch đảo Định lý 1.5 Trong nhóm G, ta có: i) xy = xz (yx = zx)  y = z, x, y, z G ii) Phương trình ax = b (hay xa = b) có nghiệm x = a-1 b (hay x = ba-1) iii)  xy   y1x1 , x, y G 1 1.1.2 Nhóm Định nghĩa 1.6 Giả sử G nhóm Tập khơng rỗng H G gọi nhóm G H khép kín luật hợp thành G (tức xy  H với H8   x, y, z, | x p  y p  z p   p  1,  1z  zy,  1 y  yx, yx  xy, x   x, yz = zy, xz = zx, với p > H '8  x, y, z | x p  y p  z p  1, xy  yx, z1xz  xy, z1 yz  x p y , với p = Mệnh đề 2.19 Nếu G nhóm Hi, i  1,6 , OutC(G) = Chứng minh Chúng ta xét nhóm nhóm Trước hế t, H1  x, y | x p  y p  1, y 1xy  x1 p Nhóm có nhóm cyclic cực đại x Vậy theo Mệnh đề 2.15 OutC (H1 )  H  x, y, z | x p  y p  z p  1, z 1xz  x1 p , xy  yx, yz  zy  x, z  y H3   x, y, z, | x p  y p  z p   p  1,  1x  zx,  y  y, x = x, yz  zy, xz  zx, xy  yx  y  x, z, Hai nhóm tổng trực tiếp nhóm xycic nhóm có cấp p Theo Hệ 2.14, Mệnh đề 2.15 Định lý 2.16 OutC(Hi) = 1, i = 2, H  x, y, z | x p  y p  z p  1, z 1 yz  yx p , xy  yx, xz  zx Với f  AutC (H4 ), tồn phần tử a  H4 cho f ( y)  a 1 ya Tự đẳng cấu nhóm g xác định g (u)  af (u)a1, u  G, tự đẳng cấu nhóm bảo toàn lớp liên hợp H g( y)  y, g( x)  x (vì x  Z ( H4 ) ) Khi đó, tồn phần tử b  H4 cho g ( z)  b1zb Mă ̣t khác, nhóm H4 sinh x, y, z nên tồn i, j, k số nguyên dương thỏa mãn b  xi y j z k (1  i  p2 ,1  j, k  p) Vậy, ta có g ( z)  b1zb  z  k y  j zy j z k Sử dụng phương pháp quy nạp đẳng thức z 1 yz  yx p , ta có z l yz l  yx pl , l  Do g ( z )  z  k y  j zy j z k = ( z  k yz k ) j z ( z  k yz k ) j   yx pj  z  yx pj  j = (x  pj y 1 ) j z  yx pj   y  j zy  j j Vậy tìm phần tử c  y j  H cho g (u)  c1uc Điều có nghĩa g tự đẳng cấu H4 Theo mệnh đề 2.11 f  Inn(H4 )  OutC (H4 )  H5  x, y, z | x p  y p  1, y 1xy  x1 p 2 Tương tự lấy f  AutC (H5 ) cho f ( x)  x f ( y)  a 1 ya Khi tồn  i, j  p2 cho a  xi y j Bằng phương pháp quy nạp đẳng thức y 1xy  x1 p , ta có y  k xy k  x (1 p ) , k  k f ( y)  y  j xi yxi y j = ( ( y  j xy j )1 )i y( y  j xy j )i  = ( y  j xy j )i y( y  j xy j )i  x(1 p ) j   i y x(1 p ) j  i = x(1 p ) i yx(1 p ) i j j Vậy f ( y)  b1 yb với b  x(1 p ) i Bên cạnh b giao hốn x nên j f ( x)  b1xb Vậy ta ln có f (u)  b1ub, u  G Tức f  Inn(H5 )  OutC (H5 )  H  x, y, z | x p  y p  z p  1, z 1xz  xy, xy  yx, yz  zy Trong y  Z (H6 ) xét tự đẳng cấu f  AutC (H6 ) cho f ( x)  x f ( z)  a1za Ta ln có a  xi y j z k ,1  i  p2 ,1  j, k  p Bằng phương pháp quy nạp đẳng thức z 1xz  xy , ta có z h xz h  xy h , h  Do f ( z)  z k y  j xi zxi y j zk  z k xi zxi zk   z k xz k  z  z k xz k  i i = (xyk )i z(xyk )i  y ki xi zxi yik  xi zxi Vậy ta ln có f (u)  b1ub, u  H6 , b  xi , có nghĩa f  Inn(H6 )  OutC (H6 )  Mệnh đề chứng minh Bổ đề 2.20 Với nhóm H 7  x, y, z | x p  y p  1, z p  x p , z 1xz  xy, yz  zy, y 1xy  x1 p ,  0, số thặng dư khơng phương mod p bất kỳ, ta có 1) x p  Z ( H7 ) 2) xk yx k  yx  pk , k ¥ ,  p k 3) xk zxk  x yk z, k ¥ Chứng minh 1) Từ y 1xy  x1 p x p  1, ta có y 1x p y   y 1xy    x1 p   x( 1 p ) p  x p p  x p p p Vậy x p giao hoán với y Bên cạnh đó, từ z 1xz  xy, y 1xy  x1 p phương pháp quy nạp  ta chứng minh z 1xz  m  y m x( 1 p )( 1 p )  ( 1 p ) , m  Vậy với m  m = p, z 1xz  p  y p x( 1 p )( 1 p )  ( 1 p )  x p Điều dẫn đến, xp giao p hốn với z Do đó, x p  Z ( H7 ) 2) Từ z 1xz  xy, phương pháp quy nạp ta có a) 3) Từ z 1xz  xy xy  yx, ta suy x1zx  y 1z Giả sử k   p k xk zxk  x y k z Khi k k p k p x k 1zx k 1  x 1  x y  k z  x1  x  x 1 yx   x 1zx      p yx p  k y 1 z  x  pkp y  k 1 z   k k =x2   p y  k 1 z k 1 =x2 Vậy theo phương pháp quy nạp, ta có b) Mệnh đề 2.21 Nếu G nhóm H7 OutC(G) = Chứng minh Mọi phần tử phần tử G viết dạng a  xi y j z k ,1  i  p2 ,1  j, k  p Giả sử f  AutC (G) thỏa mãn f ( x)  x Khi đó tồ n ta ̣i a, b  G, cho f ( y)  a1 ya f ( z)  b1zb Vì G sinh phần tử x, y, z nên a  xi y j z k b  xr y s z t Sử dụng bổ đề 2.20, ta thu f ( y )  z  k y  j x i yxi y j z k  z  k y  j yx pi y j z  x  pi y =x i yxi  p  p f(z)= z y x yx y z  z y x y  r zy s z t  x y  r z =x  r yx r t s r r t s t s r r Bên cạnh đó, f ( yz )  z  y   x yzx y  z Khi  p f ( yz )  z  y   yx p x y  zy  z  x    p y1 z   p Mà x    p y1 z  f ( yz )  f ( y ) f ( z )  ( xi yxi )(xr yxr )  p  p r  x pi y x y r z  x   p y1 z  pi  r Kết hợp với điều kiện i, j, k, r, s, t,  ,  ,  , r   (mod p)  p   2  p  ip   r2  p (mod p2 ) r   (mod p) có nghĩa tồn số nguyên m cho  =r+pm Còn đẳng thức thứ hai tương đương với    2   i   r2 (mod p) Hay là, i   r2        ( r  pm )(( r  pm  1) (mod p) r( r  1) pm( 2r   pm ) + (mod p) 2 Điều kéo theo i   (mod p) Do i    r (mod p) Vậy tồn số nguyên l cho r = i + pl Khi f(z)= xr yxr  xi (x pl zx pl )xi  xi zxi Bây chọn A = xi f(x)=x=A1 xA, f(y)=A1 yA f(z)=A1 zA Điều kéo theo f(u)=A1uA, u  G Do f  Inn(G)  OutC (G)  Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 2.22 Nếu G nhóm H8 H’8 OutC(G) = Chứng minh Bằng phương pháp chứng minh tương tự Mệnh đề 2.21, ta có OutC(G) = G nhóm H8 Tiếp theo, xét G nhóm H '8  x, y, z | x p  y p  z p  1, xy  yx, z1xz  xy, z1 yz  x p y , với p = Lấy f  AutC (G) thỏa mãn f ( z)  z Khi đó tồ n ta ̣i a, b, c  G, cho f ( x)  a 1xa, f ( y)  b1 yb và f ( yz)  c1 yzc Giả sử a  xi y j z k , b  xr y s zt và c  xl y m z n , với  i, r, l  p ,  j, k, s, t, m, n  p Vâ ̣y f ( x)  a1xa  z  k y  j xi xxi y j z k  z k xz k ; f ( y)  b1xb  z t y  s xr xxr y s z t  z t xz t ; f ( xy)  c1xyc  z n y m xl xyxl y m z n  z n xyz n Mà xy = yx và z1x p z  ( xy) p  x p nên x p  Z (G) Bằ ng phương pháp quy na ̣p đẳng thức z1xz  xy z1 yz  x p y , ta có z yz   x p và    p y Do đo 1 z xz  x ́   p y n x  pn y  x1  p y k x  pt y  x1  pnp y n1  x1  p pt y k 1 1 x n k n k n   k  (mod p)  n k  p  np   p  pt (mod p )     2  Từ đó suy ra, n  k  t Do đó, f ( x)  z  k xz k và f ( y)  z k yz k Thêm vào đó f ( z)  z  k zz k , nên f (u)  z k uz k , u  G Tóm la ̣i, f  Inn(G), tức là Out C (G)  Mệnh đề chứng minh Theo [11], có nhóm khơng abel có cấp 24 sau M2 =  x, y | x8  y2  1, y1xy  x ; D2 =  x, y | x8  y2  1, y1xy  x 1 ; Q2 =  x, y | x  y2 , y1xy  x 1 ; S2 =  x, y | x8  y2  1, y1xy  x ; D8.C4 =  x, y,z | x  y2  z4  1, xz  zx, yz = zy, x  z2 , y1xy  x 1; D8  C2 =  x, y,z | x  y2  z2  1, xz  zx, yz = zy, y1xy  x 1; Q8  C2 =  x, y,z | x  y2  z2  1, xz  zx, yz = zy, y1xy  x 1; c1   x, y | x  y4  1, y1xy  x3 ; c2 =  x, y,z | x  y2  z4  1, xz  zx, yz = zy, x 1yx  yz Mệnh đề 2.23 Giả sử G nhóm khơng abel cấp Khi đó, Out C (G) = Chứng minh Các nhóm M2 , D8  C2 , D8 C4 , c1, c2 lầ n lươ ̣t là các nhóm H1, H2, H4, H5, H6, ứng với p = 2, Mệnh đề 2.19 Việc chứng minh G nhóm này, OutC(G) = Nếu G nhóm D2 , Q2 , S2 G có nhóm 4 cực đại cấp nhóm cyclic Do dựa vào Mệnh đề 2.15 nhóm có Out C (G)  Bên cạnh đó, Q8  C2 tổng trực tiếp nhóm cyclic cấp nhóm diheral cấp Theo Định lý 1.40, Hệ 2.14, Mệnh đề 2.15 Định lý 2.16 Out C (G)  Từ kết xét trên, ta có hệ sau Hê ̣ quả 2.24 Mọi p – nhóm G có cấ p pn, n  4, đề u có OutC(G) = 2.3 ỨNG DỤNG CỦA TỰ ĐẲNG CẤU BẢO TOÀN LỚP LIÊN HỢP VÀO QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT 2.3.1 Quan hệ đồng chất Định nghĩa 2.25 Cho X nhóm hữu hạn, X '   X , X  nhóm giao hốn tử nhóm X ký hiệu X  X / Z ( X ) Giao hoán tử X xác định ánh xạ aX : X  X  X ' mà aX ( xZ ( X ), yZ ( X )   x, y  với  x, y   X  X Hai nhóm hữu hạn G H gọi đồng chất tồn hai đẳng cấu  : G  H đẳng cấu  : G '  H ' cho biểu đồ sau giao hoán nghiã là  oaG  aH o(   ) Cặp đẳng cấu  ,  đươ ̣c go ̣i là mô ̣t quan hệ đồng chất nhóm G lên nhóm H Mệnh đề 2.26 Quan hệ đồng chất tập nhóm quan hệ tương đương Chứng minh i) Cho nhóm G bất kỳ, xét hai đẳng cấu đồng 1G : G  G 1G ' : G '  G ' Ta kiểm chứng aG o1G 1G   1G ' oaG Vậy quan hệ đồng chất có tính phản xạ ii) Giả sử nhóm G đồng chất với nhóm H, nghĩa tồn hai đẳng cấu  : G  H đẳng cấu  : G '  H ' cho aH (  )   aG Suy tồn hai đẳng cấu ngược  1  1 Từ định nghĩa đẳng cấu quan hệ đồng chất, ta kiểm tra aG ( 1   1 )   1aG Vậy nhóm H quan hệ đồng chất với nhóm G Điều có nghĩa quan hệ đồng chất có tính đối xứng iii) Giả sử nhóm G đồng chất với nhóm H nhóm H đồng chất với nhóm K Tức tồn bốn đẳng cấu  : G  H ,  : G '  H ' ,  : H  K  : H '  K ' cho aH (  )   aG aK (  )   aH Ta có aK (  )       aH       aG Suy nhóm G đồng chất với nhóm K, nghĩa quan hệ đồng chất có tính chất bắc câu Vậy quan hệ đồng chất tập nhóm quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương đố i với quan ̣ đồ ng chấ t đươ ̣c go ̣i là lớp đồ ng chấ t các nhóm 2.3.2 Ứng dụng tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp vào quan hệ đồng chất Cho G H hai nhóm đồng chất Theo định nghĩa đồng chất tồn hai đẳng cấu  : G  H  : G '  H ' cho  aG  aH (   ) Vậy   x, y    x ' Z ( H ), y ' Z ( H )   x ', y ' , x ' Z (H )  ( xZ (G)) y ' Z (H )  ( yZ (G)) Cho   AutC (G) Với x '  H  Z (H ) x ' Z (H )  H / Z (H ) Mà  : G / Z (G)  H / Z (H ) đẳng cấu nên tồn x  G cho xZ ( H )   1 ( x ' Z ( H ))  G / Z (G) Mà  tự đẳng cấu bảo toàn lớp liên hợp G nên   x   xG Vậy tồn ax G cho  ( x)  ax1xax Lấy a 'x đại điện lớp  (ax Z (G)) Xét tương ứng  : H  H sau: (a 'x )1 xa 'x neáu x'  H  Z ( H )  ( x ')   neáu x'  Z(H) x ' Bổ đề 2.27 Tương ứng  : H  H ánh xạ Nếu có  x đại diện lớp  1 ( x ' Z ( H )) mà   x tồn r  Z (H ) cho   xr Mà  đẳng cấu nên ta có  ()   ( x.r)   ( x). (r)  (a 'x )1 xa 'x r  (a 'x )1 xra 'x  (a 'x )1a 'x (r  Z ( H )) Vậy cách xác định ax theo   x  không phụ thuộc vào việc chọn đại diện lớp xZ(G) Giả sử tồn hai phần tử ax bx cho  ( x)  ax1xax  bx1xbx Khi có hai lựa chọn cho  ( x ') a 'x1 xa 'x b 'x1 xb 'x Từ ax1xax  bx1xbx  ax ax1xax ax1  axbx1xbxax1  x  bxax1  xbxax1 1  b a  1 1 x x 1 1 x x x b a x 1 Vậy  x, bxax1   Tác động  vào hai vế ta      x, bx ax1    ( xZ (G), (bx ax1Z (G))    ( xZ (G), (bxax1Z (G))  =  ( xZ (G), (bx Z (G)). (ax1Z (G))    x ' Z ( H ), b 'x Z ( H )).a 'x1 Z ( H ))  =  x ' Z ( H ), b 'x a 'x1 Z ( H ))    x ', b 'x a 'x1  Do đó, a 'x1 xa 'x = b 'x1 xb 'x Cuối cùng, giả sử  ' a x' hai đại diện lớp  (ax Z (G)) Khi tồn r’ cho  '  a 'x r ' với r’ phần tử nhóm Z(H) Khi ( ')1 x ' '  (a 'x r ')1 x ' a 'x r '  (r ')1(a 'x )1 x ' a 'x r '  (a ' x ) 1 x ' a ' x (r ') 1 r ' = (a 'x )1 x ' a 'x Vậy  ( x ') không phụ thuộc vào cách chọn ax' Vậy  ánh xạ Bổ đề 2.28   AutC (H ) Chứng minh Thật vây, ta lấy hai phần tử x ', y ' thuộc H Nếu x ', y '  Z (H )  ( x ' y ')  x ' y '   ( x ') ( y ') Bây ta chọn x '  H  Z (H ) y '  Z (H ) x ' y '  H  Z (H ) x ' y ' Z (H )  x ' Z (H ) Do  ( x ' y ')  (a 'x )1 x ' y ' a 'x  (a 'x )1 x ' a 'x y '  (a 'x )1 x ' a 'x y '   ( x ') ( y ') Nếu x '  H  Z (H ) y '  H  Z (H ) , ta có  1( x' y' Z( H ))   1( x' Z( H )) 1( y' Z( H )) = xZ(G)yZ(G) = xyZ(G), x, y G Lấy  ( xy)  axy1xyaxy ,  ( x)  ax1xax  ( y)  a y1 ya y Bên cạnh  ( xy)   ( x) ( y)  axy1xyaxy  ax1xax a y1 ya y  ( xy )1 axy1xyaxy  ( xy )1 ax1xax a y1 ya y  ( xy )1 axy1xaxy  y 1x 1ax1xax yy 1a y1 ya y  ( xy)1 axy1xaxy  y 1x 1ax1xax y ( y 1a y1 ya y )   xy , axy    x y , axy   y , a y  Tác động  vào hai vế, ta có  x ' y ', a 'xy    x ' y ' , a 'xy '   y ', a ' y   a 'xy1 x ' y ' a 'xy  a 'x1 x ' a 'x a 'y1 y ' a ' y Vậy  ( x ' y ')   ( x ') ( y ') Theo Mê ̣nh đề 2.10,   AutC (H ) Định lý 2.29 Giả sử G H hai nhóm hữu hạn, khơng abel đồng chất với Khi AutC (G)  AutC (H ) Chứng minh Trước hết, tương ứng    xác định đồng cấu từ AutC (G) vào AutC (H ) Thật Cho 1,1  AutC (G) Với x ' H , ta chọn x phần tử đại diện lớp  1 ( x ' Z ( H )) Mà 11  AutC (G) tự đẳng cấu bảo toàn lớp liên hợp nên tồn ax cho 1 ( x)  (ax )1 xax Bên cạnh tồn bx cx cho 1 ( x)  (bx )1 xbx  ( x)  (cx )1 xcx Vậy 1 ( x)  1 ( ( x))  (cx )1 ((bx )1 xbx )cx Tức (ax )1 xax  (cx )1 ((bx )1 xbx )cx hay x1 (ax )1 xax  x1 (bxcx )1 x(bxcx )   x, ax    x, bxcx  Tác động  vào hai vế phương trình ta  x ', a 'x    x ', b 'x c 'x  Thật  (bxcx Z (G))   (bx Z (G)) (cx Z (G))  b 'x Z ( H )c 'x Z ( H )  b 'x Z ( H )c 'x Z ( H ), a’x, b’x, c’x đại diện lớp  (ax Z (G)), (bx Z (G)), (cx Z (G)) Từ  x ', a 'x    x ', b 'x c 'x  ta có (a 'x )1 x ' a 'x  (b 'x c 'x )1 x '(b 'x c 'x )  (a 'x )1 x ' a 'x   c 'x  (b 'x )1 x 'b 'x c 'x Từ định nghĩa 1 ,1 , từ 1 đẳng thức cuối ta có 1  1  Một cách hoàn toàn tương tự với   AutC (H ) ta xác định   AutC (G) tương ứng biến   AutC (H ) thành   AutC (G) đồng cấu nhóm từ AutC ( H ) vào AutC (G) Thêm vào với   AutC (H )   AutC (G) ta có       Điều kéo theo đồng cấu    đẳng cấu nhóm từ AutC (G) vào AutC (H ) Định lý 2.29 ứng dụng tự đẳng cấu bảo toàn lớp liên hợp vào quan hệ đồng chất tập nhóm hữu hạn Sau ví dụ minh họa cho ứng dụng Xét hai p – nhóm khơng giao hốn G H có cấp p5, p số nguyên tố lẻ, sau: G   , 1,2 ,3 ,4 | i ,   i1,  p  1p  ip1  (i = 1, 2, 3) ; H   , 1, ,3 , | i ,   i1, 1,    ,  p  1p  ip1  (i = 1, 2, 3) Theo [8] Inn(G)  G / Z (G)  3 (14 ) G, G   ¢ 3p  ¢ p  ¢ p  ¢ p , đó, 3 (14 )   ,1,2 ,3 | i ,   i1, p  i( p)  3p  (i =1,2) Thêm vào đó, theo Bổ đề 5.2 [13], AutC (G)  p5 Theo [8], ta có Inn( H )  H / Z ( H )  3 (14 )  H , H   ¢ 3p  ¢ p  ¢ p  ¢ p Theo định lý 5.5 [13] AutC ( H )  p Vậy hai nhóm G H có AutC ( H )  AutC (G) nên theo định lý 2.29 G khơng đồng chất với H KẾT ḶN Luận văn “Tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp ứng dụng quan hệ đồng chất” thực vấn đề sau: 1) Tìm hiểu tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp, cho “tổng quan” nhóm tự đẳng cấu bảo tồn lớp liên hợp p – nhóm cấp pn,  n  2) Tìm hiểu ứng dụng tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp vào quan hệ đồng chất tập nhóm, đưa ví dụ minh họa cho ứng dụng Hy vọng kỹ thuật khai thác sử dụng luận văn, tiếp tục mở rộng hoàn thiện hơn, nhằm khẳng định tính hiệu việc ứng dụng tự đẳng cấu bảo toàn lớp liên hợp vào quan hệ đồng chất tập nhóm TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, 1998 [2] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, 1998 Tiếng Anh [3] J E Adney and T Yen, Automorphisms of a p – group, Illinois J.Math, 1965 [4] B Baumslag and B.Chandler, Schaum’s outline of theory and problems of group theory, Department of Mathematics New York University, 1968 [5] W Burnside, Theory of groups of finite order, 2nded Dover Publiccation Inc, 1911 [6] W Burnside, On the outer automorphisms of a group, Proc London Math Soc, 1913 [7] M Hertweck, Contributions to the integral representation theory of groups, Habilitation – sschrift, 2004 [8] R James, The groups of order p6 (p an odd prime), Math Comp, 1980 [9] M Kumar and L R Vermani, “Hasse principle” for groups of order p4, Proc Japan Acad, 2000 [10] M Kumar and L R Vermani, “Hasse principle” for extraspecial p - groups, Proc Japan Acad, 2000 [11] M Suzuki, Group theory I, II, Springer, New York – Berlin – Heidelberg – Tokyo, 1986 [12] Manoj K Yadav, Class preserving automorphisms of finite p-groups, J London Math, 2007 [13] Manoj K Yadav, On automorphisms of some finite p-groups, Proc Indian Acad Sci (Math Sci), 2008 [14] G E Wall, Finite groups with class preserving outer automorphisms, J London Math, 1947 ... đẳng cấu bảo toàn lớp liên hợp tự đẳng cấu đồng 2) Mọi tự đẳng cấu nhóm G tự đẳng cấu bảo tồn lớp liên hợp Mệnh đề 2.8 Tập tất tự đẳng cấu bảo toàn lớp liên hợp G nhóm nhóm tự đẳng cấu của nhóm. .. tính chất liên quan ứng dụng chúng quan hệ đồng chất tập p – nhóm §1 Tự đồng cấu bảo tồn lớp liên hợp §2 Quan hệ đồng chất §3 Ứng dụng tự động cấu bảo toàn lớp liên hợp quan hệ đồng chất Kết luận... TRONG QUAN HỆ ĐỒNG CHẤT Chương nội dung luận văn, giới thiệu tự đẳng cấu nhóm bảo tồn lớp liên hợp tính chất liên quan ứng dụng chúng quan hệ đồng chất tập p – nhóm 2.1 TỰ ĐẲNG CẤU TRONG VÀ TỰ ĐẲNG