Quan hệ liên hợp và ứng dụng trong nhóm hữu hạn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ HÀ NHI QUAN HỆ LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG TRONG NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ kHOA HỌC Đà Nẵng - 2019 Cơng trình hoàn thành Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn thạc sĩ Khoa học họp Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày 08 tháng 02 năm 2020 Có thể tìm hiểu luận văn : - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cấu trúc nhóm cấu trúc đại số bản, đóng vai trị quan trọng khơng tốn học mà nhiều ứng dụng ngành khoa học khác Để hiểu biết nhóm, ta cần tìm hiểu nhiều vấn đề liên quan đến nhóm đó, chẳng hạn: cấp nhóm, cấp phần tử nhóm, lớp liên hợp, nhóm con, nhóm thương, Cho a, b hai phần tử nhóm G Ta nói phần tử b liên hợp với phần tử a tồn phần tử x ∈ G cho b = xax−1 Quan hệ liên hợp quan hệ tương đương nhóm G, có nhiều ứng dụng lý thuyết nhóm, đặc biệt p−nhóm hữu hạn Nhằm tìm hiểu quan hệ liên hợp nhóm ứng dụng nó, tơi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là: “ Quan hệ liên hợp ứng dụng nhóm hữu hạn.” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết nhóm hữu hạn,p−nhóm hữu hạn - Quan hệ liên hợp quan hệ đồng chất tập nhóm - Ứng dụng lớp liên hợp lý thuyết nhóm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết nhóm hữu hạn, p−nhóm hữu hạn - Quan hệ liên hợp nhóm hữu hạn - Quan hệ đồng chất tập nhóm hữu hạn - Ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn, quan hệ đồng chất tập nhóm Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách chuyên khảo, giáo trình báo khoa học có nội dung liên quan đến đề tài luận văn - Phương pháp tiếp cận: Tổng hợp, hệ thống, phân tích tài liệu thu thập để thực luận văn - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn chuyên gia Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn dự kiến chia thành chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức cấu trúc nhóm, quan hệ đồng chất lý thuyết biểu diễn nhóm nhằm tạo tiền đề cho chương sau 1.1 Một số khái niệm kết lý thuyết nhóm 1.2 Quan hệ đồng chất tập nhóm 1.3 Biểu diễn nhóm hữu hạn Chương Quan hệ liên hợp nhóm Chương trình bày quan hệ liên hợp nhóm tính lớp liên hợp số nhóm 2.1 Định nghĩa quan hệ liên hợp tính chất 2.2 Lớp liên hợp số nhóm Chương Ứng dụng lớp liên hợp nhóm hữu hạn Chương trình bày số ứng dụng lớp liên hợp nhóm hữu hạn 3.1 Ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn 3.2 Ứng dụng lớp liên hợp quan hệ đồng chất tập nhóm Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại số kiến thức cấu trúc nhóm, quan hệ đồng chất lý thuyết biểu diễn nhóm nhằm tạo tiền đề cho chương sau 1.1 Một số khái niệm cấu trúc nhóm Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X = ∅ Một phép tốn hai ngơi tập C ánh xạ từ X × X đến G f : X × X −→ X (x, y) −→ f (x, y) Phần tử f (x, y) gọi hợp thành phần tử x với phần tử y phép tốn ký hiệu cách viết x, y theo thứ tự đặt vào dấu đặc trưng cho phép toán, chẳng hạn xT y, x⊥y, x ◦ y Trong ký hiệu mà người ta hay dùng nhiều dấu + dấu , dấu thường quy ước bỏ Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi nhóm cặp (X, ◦), X tập hợp khác tập rỗng ” ◦ ” phép tốn hai ngơi X thỏa mãn ba điều kiện sau: i) Phép toán ” ◦ ” kết hợp, tức là: (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) , ∀x, y, z ∈ X ii) Có phần tử e ∈ X gọi phần tử trung lập, có tính chất: x ◦ e = e ◦ x = x, ∀x ∈ X iii) Với x ∈ X , có phần tử x′ ∈ X gọi nghịch đảo x cho x ◦ x′ = x′ ◦ x = e Nếu phép tốn hai ngơi nhóm X có tính giao hốn, nghĩa là: ∀x, y ∈ X, xy = yx, X gọi nhóm giao hốn hay nhóm aben Nếu X tập hợp vơ hạn, ta nói X nhóm vơ hạn, X tâp hợp hữu hạn, ta nói X nhóm hữu hạn Số phần tử X ký hiệu |X| Từ sau khơng nói khác, ta quy ước phép tốn hai ngơi nhóm ký hiệu phép nhân “ ” Định nghĩa 1.1.3 Giả sử p số nguyên tố Một nhóm có cấp lũy thừa p gọi p−nhóm Định nghĩa 1.1.4 Một tập ổn định A nhóm X gọi nhóm X A với phép tốn cảm sinh nhóm, ký hiệu A ≤ X Định lý 1.1.5 Giả sử A tập khác rỗng nhóm X Các điều kiện sau tương đương i) A nhóm X ii) ∀x, y ∈ A; xy ∈ A; x−1 ∈ A iii) ∀x, y ∈ A; xy −1 ∈ A Định lý 1.1.6 Giao họ nhóm của nhóm X nhóm X Định nghĩa 1.1.7 Giả sử U tập nhóm X Nhóm bé X chứa U gọi nhóm sinh U Kí hiệu U Nếu U = X , U gọi tập sinh X , hay cịn nói X sinh U Nếu U = {a} ta viết a thay cho {a} Định nghĩa 1.1.8 Nhóm X gọi nhóm cyclic tồn phần tử a ∈ X cho X = a Nhóm cyclic có cấp n ký hiệu Cn Hệ 1.1.9 Mọi nhóm cyclic nhóm giao hốn Định nghĩa 1.1.10 Giả sử a phần tử nhóm X A nhóm nhóm X sinh a Phần tử a có cấp vơ hạn A nhóm vơ hạn, trường hợp khơng có số nguyên dương n cho an = e Phần tử a gọi có cấp m A nhóm cấp m, trường hợp m số nguyên dương bé cho am = e Ta ký hiệu cấp phần tử a ord(a) Nếu ord(a) = m a = a0 = 1, a1 , a2 , , am−1 ta viết = a/am = e Ord(a) = a = e Định nghĩa 1.1.11 Một nhóm A nhóm X gọi nhóm chuẩn tắc X x−1 ax ∈ A, với a ∈ A ∀x ∈ X Kí hiệu A ⊳ X Định nghĩa 1.1.12 Giả sử A nhóm nhóm X Với x ∈ X , tập hợp xA = {xa : a ∈ A} Ax = {ax : a ∈ A} gọi lớp kề trái lớp kề phải A phần tử x Định nghĩa 1.1.13 Giả sử A nhóm nhóm X Tập hợp tất lớp kề trái A X gọi tập thương X A, kí hiệu X/A Định nghĩa 1.1.14 Giả sử A nhóm nhóm X Số lớp kề trái A X gọi số nhóm A nhóm X , ký hiệu [X : A] Định lý 1.1.15 (Định lý Lagrange) Cấp nhóm X hữu hạn bội cấp nhóm Hệ 1.1.16 Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn X ước cấp nhóm X Hệ 1.1.17 Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố cyclic sinh phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập nhóm Mệnh đề 1.1.18 Nếu A nhóm chuẩn tắc nhóm X i) Quy tắc tương ứng với cặp (xA, yA) lớp kề trái xyA ánh xạ từ X/A × X/A vào X/A ii) X/A với phép tốn hai ngơi (xA, yA) → xyA nhóm, gọi nhóm thương X A Nếu X nhóm hữu hạn A ≤ X , X/A = |X|/|A| Định nghĩa 1.1.19 [3] Giả sử X nhóm, tập Z (X) = {a ∈ X : ax = xa, ∀x ∈ X} gọi tâm nhóm X Mệnh đề 1.1.20 Z(X) nhóm giao hốn chuẩn tắc nhóm X Mệnh đề 1.1.21 Cho X p−nhóm: Nếu |X| > |Z(X)| > Mệnh đề 1.1.22 Cho X nhóm và A ≤ Z (X) Khi A ⊳ X , X/A xyclic X nhóm giao hốn Mệnh đề 1.1.23 Cho X p−nhóm có cấp p2 , với p số nguyên tố X nhóm giao hốn Định nghĩa 1.1.24 Cho X nhóm a ∈ X Khi dễ kiểm tra tập CX (a) = x ∈ X : x−1 ax = a nhóm X gọi nhóm tâm hóa phần tử a nhóm X Định nghĩa 1.1.25 Giả sử X nhóm, x, y ∈ X Phần tử [x, y] = x−1 y −1 xy , gọi giao hoán tử phần tử x với phần tử y Nhóm sinh tất giao hoán tử [x, y], với x, y ∈ X , ký hiệu [X, X], nhóm chuẩn tắc X , gọi nhóm giao hốn tử (hay nhóm dẫn xuất) nhóm X Mệnh đề 1.1.26 Cho X nhóm Khi đó, nhóm X/[X, X] nhóm giao hốn, gọi nhóm aben hóa nhóm X Mệnh đề 1.1.27 Cho X nhóm H nhóm chuẩn tắc X Khi nhóm thương X/H giao hốn [X, X] ⊂ H Ví dụ 1.1.28 Cho nhóm thay phiên A4 = a, b, c|a2 = b2 = c3 = e, ab = ba, ac = cb, bc = cba, abc = ca Khi [A4 , A4 ] = a, b ∼ = C2 × C2 Định nghĩa 1.1.29 Một đồng cấu nhóm ánh xạ f từ nhóm X đến nhóm Y cho f (xy) = f (x)f (y), với x, y ∈ X Nếu X = Y đồng cấu f gọi tự đồng cấu nhóm X Một đồng cấu mà đơn ánh (tương ứng tồn ánh, song ánh) gọi đơn cấu (tương ứng toàn cấu, đẳng cấu) Nếu hai nhóm X Y có đẳng cấu, ta nói X Y đẳng cấu nhau, ký hiệu X ∼ = Y Định lý 1.1.30 Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y , phần tử trung lập X Y ký hiệu theo thứ tự eX eY Khi đó: i) f (eX ) = eY ii) f x−1 = f (x) −1 , với x ∈ X Định lý 1.1.31 Giả sử X, Y, Z nhóm f : X → Y ,g : Y → Z đồng cấu Khi ánh xạ tích gf : X → Z đồng cấu Đặc biệt tích hai đẳng cấu đẳng cấu Định nghĩa 1.1.32 Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Ta ký hiệu Imf = f (X); Kerf = x ∈ X/f (x) = eY = f −1 (eY ) gọi Imf ,Kerf ảnh hạt nhân đồng cấu f Định lý 1.1.33 Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y , A nhóm X B nhóm chuẩn tắc Y Khi đó: i) f (A) nhóm Y ii) f −1 (B) nhóm chuẩn tắc X Định nghĩa 1.1.34 (Nhóm Dihedral) Xét đa giác n cạnh Pn với n > Gọi a phép quay mặt phẳng xung quanh tâm Pn góc (có hướng) 2π/n , b phép đối xứng qua đường thẳng qua tâm Pn đỉnh Khi đó, tất phép đối xứng Pn tức biến đổi đẳng cự mặt phẳng biến Pn thành liệt kê sau: e, a, a2 , , an−1 , ab, a2 b, , an−1 b Tập phép đối xứng Pn lập thành nhóm khơng giao hốn, cấp 2n, với phép hợp thành hai phép đối xứng ký hiệu Dn gọi nhóm dihedral Nhóm Dn có biểu diễn sau: Dn = x, y| xn = e, y = e, (xy)2 = e Định nghĩa 1.1.35 Nhóm Q2n , n ≥ nhóm khơng giao hốn có cấp 2n sinh hai phần tử a, b có biểu diễn sau: n−2 Q2n = a, b| a2 = b2 ; aba = b Ví dụ 1.1.36 Với n = 3, ta có nhóm Q8 nhóm khơng giao hốn, gọi nhóm Quaternion, có biểu diễn sau: Q8 = a, b| a2 = b2 ; aba = b Mệnh đề 1.1.37 [Q8 , Q8 ] = Z (Q8 ) = e, a2 Mệnh đề 1.1.38 [D4 , D4 ] = Z (D4 ) = e, x2 Định nghĩa 1.1.39 Nhóm tuyến tính tổng quát: Giả sử K trường V không gian vec tơ n chiều K Kí hiệu GL(K) tập hợp tất đẳng cấu tuyến tính V Tập hợp GL(V ) với phép hợp thành ánh xạ lập thành nhóm, gọi nhóm tuyến tính tổng qt V 1.2 Quan hệ đồng chất tập nhóm Định nghĩa 1.2.1 Cho X nhóm, ký hiệu X ′ = [X, X] X = X/Z(X) Định nghĩa ánh xạ ∂X : X × X −→ [X, X] (x, y) −→ [x, y] Hai nhóm X Y gọi đồng chất tồn hai đẳng cấu: ϕ : X → Y , ψ : X ′ → Y ′ cho biểu đồ sau giao hốn X ×X ϕ×ϕ ∂X [X, X] nghĩa ∂Y ◦ (ϕ × ϕ) = ψ ◦ ∂X Y ×Y ∂Y ψ [Y, Y ] 10 Với ϕs kt , t = kt (st) Ta có ϕ đồng cấu nhóm gọi biểu diễn quy nhóm X (với hệ số K ) Mệnh đề 1.3.4 Giả sử V K - khơng gian vectơ Khi đó, V khơng gian biểu diễn nhóm X V K [X] − môđun Định nghĩa 1.3.5 Cho hai biểu diễn: ϕ: X → GL (V ) ψ: X → GL (W ) Một đồng cấu từ ϕ vào ψ ánh xạ K−tuyến tính: f : V → W cho f ϕs = ψs f , ∀s ∈ X Sử dụng cấu trúc K [X] − môđun V W , đẳng thức tương đương với điều kiện sau: f (sv) = sf (v), ∀s ∈ X, ∀v ∈ V Như vậy, đồng cấu từ ϕ vào ψ đồng cấu K [X] − môđun từ V vào W Định nghĩa 1.3.6 Hai biểu diễn ϕ ψ gọi tương đương (hay đẳng cấu, đồng dạng) K [X] − môđun V W đẳng cấu Định nghĩa 1.3.7 Không gian vectơ W ⊂ V gọi X− không gian hay không gian ổn định tác động ϕ ϕs (x) ∈ W với s ∈ X, x ∈ W Khi đó, hạn chế ϕW s ϕs W xác định biểu diễn ϕW : X → GL (W ) gọi biểu diễn ϕ Định nghĩa 1.3.8 Biểu diễn ρ : X → GL (V ) gọi bất khả quy V khơng có X−khơng gian khác V Nói cách khác, ρ biểu diễn bất khả quy V K [X] − môđun đơn Định nghĩa 1.3.9 Cho hai biểu diễn ϕ : X → GL (V ) ψ : X → GL (W ) nhóm X Khi đó, tổng trực tiếp ϕ ⊕ ψ : X → GL (V ⊕ W ) chúng định nghĩa sau: (ϕ ⊕ ψ)s (v, w) = ϕs (v) , ψs (w) Định lý 1.3.10 Có tương ứng - biểu diễn cấp X với biểu diễn bất khả quy nhóm abel X/[X, X] Số biểu diễn cấp không đẳng cấu X số [X, X] nhóm X 11 Định nghĩa 1.3.11 Cho X nhóm, tập F (X, C) gồm tất hàm phức X có cấu trúc không gian vectơ phức, với phép cộng phép nhân với vô hướng định nghĩa theo giá trị hàm Cụ thể là: (α + β)(s) = α(s) + β(s) (cα)(s) = cα(s) Với α, β ∈ F (X, C), s ∈ X, c ∈ C Định nghĩa 1.3.12 Giả sử V không gian vectơ phức n chiều, f : V → V phép biến đổi tuyến tính có ma trận A = aij sở {e1 , e2 , , en } V Số phức T r (f ) = n aii gọi vết f i=1 Vết T r (f ) không phụ thuộc vào sở V tổng giá trị riêng f kể bội Định nghĩa 1.3.13 Giả sử ρ : X → GL (V ) biểu diễn tuyến tính nhóm X không gian vectơ V Hàm số χρ : X → C xác định χρ (s) = T r (ρs ) , ∀s ∈ X gọi đặc trưng biểu diễn ρ hay đặc trưng X xác định ρ χ gọi đặc trưng bất khả quy X χ đặc trung biểu diễn bất khả quy Định lý 1.3.14 Giả sử χ χ′ đặc trưng hai biểu diễn bất khả quy khơng đẳng cấu với i) ii) χ, χ = χ, χ′ = Hệ 1.3.15 Giả sử W1 , ,Wk tất X−không gian bất khả quy đôi không đẳng cấu với nhau, có đặc trưng χ1 , , χk với cấp tương ứng n1 , , nk Khi i) n21 + + n2k = |X| ii) k i=1 ni χi (s) = 0, ∀s ∈ X\ {e} 12 Định nghĩa 1.3.16 Ta biết đăc trưng X tổ hợp tuyến tính m đặc trưng bất khả quy χ1 , χ2 , , χm X , m số lớp liên hợp X Do đặc trưng bất khả quy xác định giá trị lớp liên hợp X , nên hồn tồn xác định m × m− bảng cho giá trị m đặc trưng bất khả quy m lớp liên hợp X Bảng gọi bảng đặc trưng X Chương QUAN HỆ LIÊN HỢP TRONG MỘT NHĨM Chương trình bày quan hệ liên hợp nhóm tính lớp liên hợp số nhóm 2.1 Quan hệ liên hợp tính chất Định nghĩa 2.1.1 Cho nhóm X a, x ∈ X Phần tử xax−1 ∈ X , gọi liên hợp a phần tử x kí hiệu ax = xax−1 Trong nhóm X ta xác định quan hệ hai ℜ sau gọi quan hệ liên hợp a, b ∈ X , aℜb ∃x ∈ X cho b = ax Mệnh đề 2.1.2 Quan hệ liên hợp xác định quan hệ tương đương nhóm X Lớp tương đương chứa phần tử a theo quan hệ liên hợp, ký hiệu Ca , gọi lớp liên hợp chứa phần tử a Mệnh đề 2.1.3 Cho nhóm X , a ∈ X Khi đó: a ∈ Z (X) ⇔ Ca = {a} Bổ đề 2.1.4 Cho X nhóm, a ∈ X đó: 13 i) Tồn song ánh từ X/CX (a) đến Ca ii) Z (X) ≤ CX (a) Hơn X nhóm khơng giao hốn Z (X) CX (a) Mệnh đề 2.1.5 Cho nhóm X hữu hạn Với a ∈ X , ta có: i) |Ca | = X : CX (a) ii) |Ca | ≤ [X, X] iii) |Ca | ≤ X/Z (X) Nếu nhóm X khơng giao hốn |Ca | < X/Z (X) Chứng minh i) Theo Bổ đề 2.1.4, X/CX (a) −→ Ca song ánh, suy X/CX (a) = |Ca | , đồng thời X/CX (a) = X : CX (a) , nên ta có |Ca | = X : CX (a) ii) Với y ∈ Ca , ∃x ∈ X , y = ax = xax−1 = aa−1 xax−1 = a a, x−1 ∈ a [X, X] Suy Ca ⊂ a [X, X], ⇒ |Ca | ≤ [X, X] iii) Do Z (X) ≤ CX (a) nên X/CX (a) ≤ X/Z (X) , ⇒ |Ca | ≤ X/Z (X) Nếu X khơng giao hốn, theo Bổ đề 2.1.4, ta có Ca X/Z (X) Suy |Ca | < X/Z (X) Mệnh đề chứng minh Khi X p−nhóm, Mệnh đề cho hệ sau Hệ 2.1.6 Giả sử X p−nhóm hữu hạn,a ∈ X , |Ca | = pk ,  k ≤ h h t X/Z (X) = p , [X, X] = p Lúc đó, ta có  k ≤ t Nếu X p−nhóm hữu hạn khơng giao hốn, k < h 2.2 Lớp liên hợp số nhóm Mệnh đề 2.2.1 Cho nhóm Dihedral Dn , n Nếu n = 2k + 1, Dn có k + lớp liên hợp Nếu n = 2k , Dn có k + lớp liên hợp Khi đó: 14 Chứng minh Nhóm Dn khơng giao hốn , có cấp 2n Ta tìm lớp liên hợp nhóm Dn theo hai trường hợp n i) Trường hợp n lẻ, n = 2k + 1, k ∈ N∗ Dn = D2k+1 = x, y | x2k+1 = e = y , (xy)2 = e = x, y | x2k+1 = e = y , xyx = y = xt y s | t = 0, 2k, s = 0, = e, x, x2 , , x2k , y, xy, x2 y, , x2k y Ta có: Ce = {e} u ∈ D2k+1 , u ∼ xi ⇔ ∃a = xt y s , t = 0, 2k, s = 0, 1, cho u = xi a = xt y s xi y −s x−t , với i = 1, k Với s = ⇒ u = xi Với s = ⇒ u = xt yxi y −1 x−t = xt yyxi x−t = xt xi x−t = x−i , với i = 1, k ⇒ Cxi = xi , x−i với i = 1, k Ta có: u ∈ D2k+1 , u ∼ y ⇔ ∃a = xt y s , t = 0, 2k, s = 0, 1, cho u = y a = xt y s yy −s x−t = xt yx−t Với t = ⇒ u = y k Với t = ⇒ u = xyx−1 = xyx2k = xy(x2 ) = xy(x2 y ) = xy (xy)2 k k = xy Với t = ⇒ u = x2 yx−2 = x2 yx2k−1 = x2 yx2k x−1 = x2 yx−1 = x2 yx2k = xxy = x2 y Với t = ⇒ u = x3 yx−3 = x3 yx2k−2 = x3 yx2k x−2 = x2 xya2k x−2 = x2 xyx−2 = xx2 yx−2 = x3 y Với t = 2i ⇒ x2i yx−2i = x2i y , ⇒ Cy = y, xy, x2 y, , x2i y Suy nhóm Dn với n = 2k + có k+2 lớp liên hợp : Ce = {e} Cx = x−i , xi , với i = 1, k , Cy = y, xy, x2 y, , x2i y , i = 1, k ii) Trường hợp n chẵn, n = 2k , k ∈ N∗ , k 15 Dn = D2k = xt y s |t = 0, 2k − 1, s = 0, = e, x, x2 , , x2k−1 , y, xy, x2 y, , x2k−1 y Ta có: Ce = {e}, Cxk = xk Xét: xt , (0 < t ≤ k − 1) ∀ u ∈ Dn , u ∼ xt ⇔ ∃a = xt y s , t = 1, n − 1, s = 0, cho: u = xa = xt y s xt y −s x−t Với s = ⇒ u = xt Với s = ⇒ u = xt yxt y −1 x−t = yy −1 x−t = x−t , với i = 1, k Suy Cxt = xt , x−t , với i = 1, k Ta có: ∀u ∈ Dn , u ∼ y ⇔ ∃a = xt y s , t = 0, n − 1, s = 0, 1, cho: u = xa = xt y s yy −s x−t = xt yx−t ⇔ u = x2t−n xn−t yxn−t = x2t−n y = x2t y Với t = ⇒ u = y Với t = ⇒ u = x2 y Với t = ⇒ u = x4 y Với t = k − ⇒ u = x2k−2 y Suy Cy = y, x2 y, x4 y, , x2j−2 y Ta có: ∀u ∈ Dn , u ∼ xy ⇔ ∃a = xt y s , t = 0, n − 1, s = 0, 1, cho u = (xy)a = xt y s xyy −s x−t = xt y s xy 1−s x−t ⇔ u = x2t+1−n xn−t yxn−t = x2t−n+1 y = x2t+1 y Với t = ⇒ u = xy Với t = ⇒ u = x3 y Với t = ⇒ u = x5 y Với t = j − ⇒ u = x2j−1 y Suy Cxy = xy, x3 y, , x2j−1 y Suy nhóm Dn với n = 2k có k+3 lớp liên hợp : Ce = {e}, Cxt = xt , x−t , t = 1, k − 1, C xk = xk , Cy = x2j y, j = 0, k − , 16 Cxy = x2j−1 y, j = 1, k Hệ 2.2.2 i) Nhóm D4 = x, y| = xt y s | x4 = e, y = e, (xy)2 = e t = 0, 1, 2, 3, s = 0, có lớp liên hợp {e}, x2 , x, x3 , y, x2 y , xy, x3 y ii) Nhóm D8 = x, y| = xt y s | x8 = e, y = e, (xy)2 = e t = 0, 8, s = 0, có có lớp liên hợp {e}, x4 , x, x7 , x2 , x6 , x3 , x5 , y, x2 y, x4 y, x6 y , xy, x3 y, x5 y, x7 y Mệnh đề 2.2.3 Nhóm Q16 = a, b| a4 = b2 = e, aba = b = as bt | ≤ s ≤ 7, ≤ t ≤ có lớp liên hợp là: {e} , a4 , a, a7 , a3 , a5 , a2 , a6 , b, a2 b, a4 b, a6 b , ab, a3 b, a5 b, a7 b Mệnh đề 2.2.4 Nhóm D4 × C2 = x, y, z| = {e}, x2 , {z}, xs y t z h | x2 z , x4 = y = z = [x, z] = [y, z] = 1, y −1 xy = x−1 ≤ s ≤ 3, ≤ t, h ≤ x, x3 , y, x2 y , xy, x3 y , có 10 lớp liên hợp yz, x2 yz , xz, x3 z , xyz, x3 yz Chương ỨNG DỤNG CỦA LỚP LIÊN HỢP TRONG NHĨM HỮU HẠN Chương trình bày ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn quan hệ đồng chất tập nhóm 17 3.1 Ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn Định nghĩa 3.1.1 Cho X nhóm Hàm f : X → C gọi hàm lớp X f tst−1 = f (s), với ∀s, t ∈ X Kí hiệu RC (X) khơng gian vectơ không gian F (X, C), gồm tất hàm lớp nhóm X Định lý 3.1.2 Gọi χ1 , χ2 , , χk đặc trưng tất biểu diễn bất khả quy đôi khơng đẳng cấu nhóm X Khi χ1 , χ2 , , χk lập nên sở trực chuẩn không gian RC (X) hàm lớp X Định lý sau thể quan hệ số lớp liên hợp nhóm hữu hạn với biểu diễn bất khả quy nhóm Định lý 3.1.3 Số biểu diễn bất khả quy đơi khơng đẳng cấu nhóm X số lớp liên hợp nhóm X Chứng minh Giả sử C1 , , Ck tất lớp liên hợp nhóm X Hàm f : G → C hàm lớp f số lớp liên hợp Ci (các số chọn tùy ý) Do đó, số chiều khơng gian RC (X) số k lớp liên hợp X Mặc khác theo Định lý 3.1.2 số chiều RC (X) số biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu X Định lý chứng minh Mệnh đề 3.1.4 Nhóm Q8 = a, b|a2 = b2 , aba = b = at bs |t = 0, 1, 2, 3, s = 0, chia thành lớp liên hợp {e}, a2 , a, a3 , b, a2 b , ab, a3 b Chứng minh Theo Mệnh đề 1.1.37, ta có e, a2 = Z(Q8 ), suy Ce = {e} Ca2 = a2 t s u ∈ Ca ⇒ ∃x = at bs ∈ Q8 : u = ax = aa b = at bs aa−t b−s Nếu s = ⇒ u = a 18 Nếu s = ⇒ u = at bs ab−s a−t = at−1 abab−1 a−t = at−1 bb−1 a−t = a−1 = a3 ⇒ Ca = a, a3 t s u ∈ Cb ⇒ ∃x = at bs ∈ Q8 : u = ba b = a−t b−s bat bs = a−t bat Nếu t = ⇒ u = b Nếu t = ⇒ u = aba−1 = abaa−2 = ba−2 = b Nếu t = ⇒ u = a2 ba−2 = ba2 a−2 = b Nếu t = ⇒ u = a3 ba−3 = a2 aba = a2 b ⇒ Cb = b, a2 b t s u ∈ Cab ⇒ ∃x : at bs ∈ Q8 : u = (ab)a b = a−t b−s abat bs = at bs abs−1 a−t Nếu s = ⇒ u = at aba−t = at abaa−t−1 = at ba−t−1 t = ⇒ u = ab t = ⇒ u = aba−2 = aba2 = a3 b t = ⇒ u = a2 ba−3 = a2 ba = ab t = ⇒ u = aba−4 = a3 b Nếu s = ⇒ u = a−t baat = at−1 abaa−t = at−1 ba−t t = ⇒ u = a−1 b = a3 b t = ⇒ u = aba−2 = ba−1 = ab t = ⇒ u = aba−2 = aba2 = a3 b t = ⇒ u = a2 ba−3 = a2 ba = ab ⇒ Cab = ab, a3 b Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 3.1.5 Bảng đặc trưng nhóm Q8 sau: 1 2 e a2 a b ab 1 χ1 1 χ2 1 -1 -1 χ3 1 -1 -1 χ4 1 -1 -1 χ5 -2 0 19 Chứng minh Theo Mệnh đề 3.1.4, nhóm Q8 có lớp liên hợp {e}, a2 , a, a3 , b, a2 b , ab, a3 b đại diện phần tử e, a2 , a, b, ab, nên theo Định lý 3.1.3 nhóm Q8 có biểu diễn bất khả quy đơi không đẳng cấu với nhau, ký hiệu ϕi , i = 1, Theo Mệnh đề 1.1.37, ta có Z(Q8 ) = [Q8 , Q8 ] = e, a2 [Q8 , Q8 ] = Theo Định lý 1.3.10, số biểu diễn bất khả quy cấp không đẳng cấu Q8 Q8 : [Q8 : Q8 ] = Khơng tính tổng qt, ta xem biểu diễn bất khả quy cấp ϕi , i = 1, Gọi χi đặc trưng biểu diễn bất khả quy ϕi , i = 1, Theo Hệ 1.3.15, ta có: n21 + n22 + + n25 = 8, ⇒ n5 = Vậy χ5 có cấp Biểu diễn cấp hai ϕ5 xác định sau: ϕ5 : Q8 −→ GL(2, C)   i  a −→  −i    b −→  −1 Ta hình thành cột thứ bảng đặc trưng cách tính sau: χ1 (e) = T r ϕ1 (e) = χ2 (e) = T r ϕ2 (e) = χ3 (e) = T r ϕ3 (e) = χ4 (e) = T r ϕ4 (e) = χ5 (e) = T r ϕ5 (e) = 20 1 2 e a2 a b ab χ1 χ2 χ3 χ4 χ5 Cột thứ hai bảng đặc trưng tính sau: χ a2 = T r ϕ a2 =1 χ a2 = T r ϕ a2 =1 χ a2 = T r ϕ a2 =1 χ a2 = T r ϕ a2 =   −1  = −2 χ5 = T r ϕ5 a2 = T r  −1 1 2 e a2 a b ab χ1 1 χ2 1 χ3 1 χ4 1 χ5 -2 Cột thứ ba bảng đặc trưng tính sau: χ1 (a) = T r ϕ1 (a) = χ2 (a) = T r ϕ2 (a) = χ3 (a) = T r ϕ3 (a) = −1 χ4 (a) = T r ϕ4 (a) = −1 21   i  = χ5 = T r ϕ5 (a) = T r  −i 1 e a2 2 a χ1 1 χ2 1 χ3 1 -1 χ4 1 -1 χ5 -2 b ab Cột thứ tư bảng đặc trưng tính sau: χ1 (b) = T r ϕ1 (b) = χ2 (b) = T r ϕ2 (b) = χ3 (b) = T r ϕ3 (b) = −1 χ4 (b) = T r ϕ4 (b)  = −1 χ5 = T r ϕ5 (b) = T r  −1 1 2 e a2 a b ab χ1 1 χ2 1 -1 χ3 1 -1 χ4 1 -1 -1 χ5 -2  = 0 Cột thứ bảng đặc trưng tính sau: χ1 (ab) = T r ϕ1 (a) ϕ1 (b) = T r [1.1] = T r [1] = χ2 (ab) = T r ϕ2 (a) ϕ2 (b) = T r [1 − 1] = T r [−1] = −1 χ3 (ab) = T r ϕ3 (a) ϕ3 (b) = T r [−1.1] = T r [−1] = −1 22 χ4 (ab) = T r ϕ4 (a) ϕ4 (b) =T r [−1 − 1] = T r [1]=      0 −i  −i 0  1 χ5 (ab) = T r ϕ5 (ab) = T r  = T r    = i 0 i −1 Vậy bảng đặc trưng Q8 là: 1 2 e a2 a b ab 1 χ1 1 χ2 1 -1 -1 χ3 1 -1 -1 χ4 1 -1 -1 0 χ5 -2 Mệnh đề chứng minh xong 3.2 Ứng dụng lớp liên hợp quan hệ đồng chất tập nhóm Định lý 3.2.1 (tính bất biến số lớp liên hợp quan hệ đồng chất) Giả sử X Y hai p−nhóm hữu hạn có cấp đồng chất với Ký hiệu jk (X) số lớp liên hợp có pk phần tử nhóm X Khi jk (X) = jk (Y ) , k = 0, 1, 2, Chứng minh Giả sử X Y hai p−nhóm hữu hạn đồng chất với nhau, tồn hai đẳng cấu ϕ : X → Y ; ψ : X ′ → Y ′ cho X ×X ϕ×ϕ ∂X X′ Y ×Y ∂Y ψ Y′ ∀x ∈ Y , ký hiệu CX (x) = CX (x)/Z (X) , ta có CX (x) ≤ X 23 a ∈ X , đặt b = ϕ (a) ∈ Y , b ∈ Y ∀x ∈ CX (a), y = ϕ (x) Do X Y đồng chất nên [x, a] = 1X ⇒ [y, b] = ⇒ y ∈ CY (b) Suy ϕ CX (a) ⊂ CY (b) Ngược lại, với ∀v ∈ CY (b) Khi ∀u ∈ ϕ−1 (v) ⇒ u ∈ CX (a) cho ϕ (u) = v Suy Cy (b) ⊂ ϕ CX (a) Vậy ϕ CX (a) = CY (b) ⇒ CX (a) = CY (b) X , Y hữu hạn ϕ song ánh ⇒ CX (a) = CY (b) Z (X) = Z (Y ) Theo mệnh đề 2.1.5, ta có |Ca | = |Cb | Do X Y p−nhóm hữu hạn nên jk (X) = jk (Y ) , k = 0, 1, 2, Ví dụ 3.2.2 1) Ta biết hai nhóm D4 Q8 đồng chất với (theo Ví dụ 1.2.3 ) Theo Hệ 2.2.2, nhóm D4 có lớp liên hợp {e}, x2 , x, x3 , y, x2 y , xy, x3 y Suy j0 (D4 ) = j1 (D4 ) = Theo Mệnh đề 3.1.4, nhóm Q8 có lớp liên hợp {e}, a2 , a, a3 , b, a2 b , ab, a3 b Suy j0 (Q8 ) = j1 (Q8 ) = Vậy j0 (D4 ) = j0 (Q8 ) = j1 (D4 ) = j1 (Q8 ) = Mệnh đề sau ứng dụng Định lý 3.2.1 Mệnh đề 3.2.3 Hai nhóm D4 × C2 Q16 khơng đồng chất với Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.4, ta biết Nhóm D4 × C2 = x, y, z| x4 = y = z = [x, z] = [y, z] = 1, y −1 xy = x−1 = xs y t z h |0 ≤ s ≤ 3, ≤ t, h ≤ có 10 lớp liên hợp, đó: j0 (D4 × C2 ) = gồm lớp {e}, x2 , {z}, x2 z j1 (D4 × C2 ) = gồm lớp x, x3 , y, x2 y , xy, x3 y , yz, x2 yz , xz, x3 z , xyz, x3 yz Theo Mệnh đề 2.2.3, nhóm Q16 = a, b|a8 = e, a4 = b2 , b−1 ab = a−1 24 = as bt |0 ≤ a ≤ 7, ≤ b ≤ có lớp liên hợp, đó: j0 (Q16 ) = gồm lớp có phần tử {e} , a4 j1 (Q16 ) = gồm lớp có hai phần tử a, a7 , a3 , a5 , a2 , a6 j2 (Q16 ) = gồm lớp có bốn phần tử b, a2 b, a4 b, a6 b , ab, a3 b, a5 b, a7 b Ta thấy jk (D4 × C2 ) = jk (Q16 ) ; k = 0, 1, 2, Vậy theo Định lý 3.2.1 nhóm D4 × C2 khơng đồng chất với nhóm Q16 Mệnh đề chứng minh KẾT LUẬN Luận văn “Quan hệ liên hợp ứng dụng nhóm hữu hạn” đạt mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực vấn đề sau: 1) Trình bày quan hệ đồng chất tập nhóm biểu diễn nhóm hữu hạn 2) Trình bày quan hệ liên hợp nhóm số tính chất liên quan Tính lớp liên hợp số nhóm hữu hạn 3) Ứng dụng lớp liên hợp để tìm bảng đặc trưng nhóm quaternion Q8 , bảng đặc trưng nhóm thay phiên A4 4) Ứng dụng lớp liên hợp để chứng minh hai nhóm D4 × C2 Q16 khơng đồng chất Hi vọng luận văn tài liệu tham khảo cho quan tâm đến quan hệ liên hợp lý thuyết nhóm ... nhóm hữu hạn, p? ?nhóm hữu hạn - Quan hệ liên hợp quan hệ đồng chất tập nhóm - Ứng dụng lớp liên hợp lý thuyết nhóm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết nhóm hữu hạn, p? ?nhóm hữu hạn - Quan hệ. .. Quan hệ liên hợp nhóm Chương trình bày quan hệ liên hợp nhóm tính lớp liên hợp số nhóm 2.1 Định nghĩa quan hệ liên hợp tính chất 2.2 Lớp liên hợp số nhóm Chương Ứng dụng lớp liên hợp nhóm hữu hạn. .. bày quan hệ đồng chất tập nhóm biểu diễn nhóm hữu hạn 2) Trình bày quan hệ liên hợp nhóm số tính chất liên quan Tính lớp liên hợp số nhóm hữu hạn 3) Ứng dụng lớp liên hợp để tìm bảng đặc trưng nhóm