Quan hệ liên hợp và ứng dụng trong nhóm hữu hạn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ HÀ NHI QUAN HỆ LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG TRONG NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Đà Nẵng - 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ HÀ NHI QUAN HỆ LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG TRONG NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng - 2020 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Ngọc Châu, tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nhân xin gửi lời cảm on đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Toán quý giảng viên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho lớp cao học Đại số lý thuyết số Đà Nẵng khóa 36 (2017-2019) Cuối cùng, muốn ghi nhận cảm ơn động viên, khích lệ gia đình, người thân bạn bè dành cho suốt thời gian học tập thực luận văn Tác giả Nguyễn Thị Hà Nhi LỜI CAM ĐOAN Toàn nội dung trình bày luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan tơi, hồn thành hướng dẫn TS.Nguyễn Ngọc Châu Những khái niệm kết luận văn tổng hợp từ tài liệu khoa học đáng tin cậy, rõ nguồn gốc trích dẫn Đóng góp tổng hợp tài liệu, chứng minh số kết mà tài liệu trích dẫn phát biểu (không chứng minh) Tôi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Nguyễn Thị Hà Nhi INFORMATION PAGE OF MAS TER THESIS Name of thesis: The conjugacy relation and applications of inite g roups Major: Algebra and Number theory Full name of Master student: Ng uyen Thi Ha Nhi Supervisor: Dr Ng uyen Ngoc Chau i Training institution: The University of Education - University of Da Nang Abstract: The thesis "The conjugacy relation and applications of finite groups" has completed the purpose and research task Specifically, the thesis has achieved some following results: 1) Presenting homogenous relations on a set of groups and representations of a finite groups 2) Presenting conjugate relations in a group and its related properties Find conjugacy classes of some finite groups 3) Apply the conjugacy classes to find the character table of the quaternion group Qs and the character table of the alternating groups A4 4) Apply the conjugacy classes to prove that two groups D4 x C2 and Q15 are not homogenous Key words: conjugacy classes, homogenous, finite groups, character table Supervisor's conirmation Student Dr Ng uyen Ng oc Chau Ng uyen Thi Ha Nhi MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm cấu trúc nhóm 1.2 Quan hệ đồng chất tập nhóm 11 1.3 Biểu diễn nhóm hữu hạn 14 Chương QUAN HỆ LIÊN HỢP TRONG MỘT NHĨM 19 2.1 Quan hệ liên hợp tính chất 19 2.2 Lớp liên hợp số nhóm 22 Chương ỨNG DỤNG CỦA LỚP LIÊN HỢP TRONG NHÓM HỮU HẠN 30 3.1 Ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn 30 3.2 Ứng dụng lớp liên hợp quan hệ đồng chất tập nhóm 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Quyết định giao đề tài MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cấu trúc nhóm cấu trúc đại số bản, đóng vai trị quan trọng khơng tốn học mà cịn nhiều ứng dụng ngành khoa học khác Để hiểu biết nhóm, ta cần tìm hiểu nhiều vấn đề liên quan đến nhóm đó, chẳng hạn: cấp nhóm, cấp phần tử nhóm, lớp liên hợp, nhóm con, nhóm thương, Cho a, b hai phần tử nhóm G Ta nói phần tử b liên hợp với phần tử a tồn phần tử x ∈ G cho b = xax−1 Quan hệ liên hợp quan hệ tương đương nhóm G, có nhiều ứng dụng lý thuyết nhóm, đặc biệt p−nhóm hữu hạn Nhằm tìm hiểu quan hệ liên hợp nhóm ứng dụng nó, tơi chọn đề tài cho luận văn Thạc sĩ là: “ Quan hệ liên hợp ứng dụng nhóm hữu hạn.” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết nhóm hữu hạn, p−nhóm hữu hạn - Quan hệ liên hợp quan hệ đồng chất tập nhóm - Ứng dụng lớp liên hợp lý thuyết nhóm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết nhóm hữu hạn, p−nhóm hữu hạn - Quan hệ liên hợp nhóm hữu hạn - Quan hệ đồng chất tập nhóm hữu hạn - Ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn, quan hệ đồng chất tập nhóm Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách chuyên khảo, giáo trình báo khoa học có nội dung liên quan đến đề tài luận văn - Phương pháp tiếp cận: Tổng hợp, hệ thống, phân tích tài liệu thu thập để thực luận văn - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn chuyên gia Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức cấu trúc nhóm, quan hệ đồng chất lý thuyết biểu diễn nhóm nhằm tạo tiền đề cho chương sau 1.1 Một số khái niệm kết lý thuyết nhóm 1.2 Quan hệ đồng chất tập nhóm 1.3 Biểu diễn nhóm hữu hạn Chương Quan hệ liên hợp nhóm Chương trình bày quan hệ liên hợp nhóm tính lớp liên hợp số nhóm 2.1 Định nghĩa quan hệ liên hợp tính chất 2.2 Lớp liên hợp số nhóm Chương Ứng dụng lớp liên hợp nhóm hữu hạn Chương trình bày số ứng dụng lớp liên hợp nhóm hữu hạn 3.1 Ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn 3.2 Ứng dụng lớp liên hợp quan hệ đồng chất tập nhóm Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại số kiến thức cấu trúc nhóm, quan hệ đồng chất lý thuyết biểu diễn nhóm nhằm tạo tiền đề cho chương sau Các chi tiết liên quan xem [1] , [2] , [3] , [4] 1.1 Một số khái niệm cấu trúc nhóm Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X = ∅ Một phép tốn hai ngơi tập C ánh xạ từ X × X đến X f : X × X −→ X (x, y) −→ f (x, y) Phần tử f (x, y) gọi hợp thành phần tử x với phần tử y phép tốn ký hiệu cách viết x, y theo thứ tự đặt vào dấu đặc trưng cho phép toán, chẳng hạn xT y, x⊥y, x ◦ y Trong ký hiệu mà người ta hay dùng nhiều dấu + dấu , dấu thường quy ước bỏ Một phép tốn hai ngơi ký hiệu dấu “ +” gọi phép toán cộng, hợp thành x + y gọi tổng x y Một phép tốn hai ngơi ký hiệu dấu “ ” gọi phép toán nhân, hợp thành x.y gọi tích x y Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi nhóm cặp (X, ◦), X tập hợp khác tập rỗng “ ◦” phép tốn hai ngơi X thỏa mãn ba điều kiện sau: i) Phép toán ” ◦ ” kết hợp, tức là: (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) , ∀x, y, z ∈ X ii) Có phần tử e ∈ X gọi phần tử trung lập, có tính chất: 36 Chứng minh e ∈ Z(A4 ), suy Ce = {e} u ∈ Ca ⇒ ∃x = c h b s at ∈ A4 : u = ax = ac h s t ba = −1 c h b s at a c h b s at = a−t b−s c−h aat bs ch , với h = 0, 2, s = 0, 1, t = 0, Nếu h = ⇒ u = a−t b−s abs at = a Nếu h = ⇒ u = a−t b−s c2 acbs at = a−t b−s bbs at = a−t bat = b Nếu h = ⇒ a−t b−s cac2 abs at = a−t b−s abcc2 bs at = a−t b−s abcc2 bs at = a−t b−s abbs at = a−t b−s babs at = a−t bat+1 = ab = ba Suy Ca = {a, b, ba} u ∈ Cc ⇒ ∃x = ch bs at ∈ A4 : u = cx = h s t cc b a = c h b s at −1 cch bs at = a−t b−s c−h cch bs at = a−t b−s cbs at , với h = 0, 2, s = 0, 1, t = 0, Nếu t = s = ⇒ u = c Nếu s = 1, t = ⇒ u = bcb = bac = abc = ca Nếu s = 0, t = ⇒ u = aca = abc Nếu s = t = ⇒ u = abcba = caba = caba = caab = cb Suy Cc = {c, cba, ca, cb} ∀u ∈ Cc2 ⇒ ∃x = ch bs at ∈ A4 : u = c2 x = c2 c h bs a t = ch bs at = c−h b−s a−t c2 ch bs at = b−s a−t c2 bs at , với h = 0, 2, s = 0, 1, t = 0, Nếu t = s = ⇒ u = c2 Nếu s = 1, t = ⇒ u = bc2 b = bccb = cbaac = cbc = c2 ba Nếu s = 0, t = ⇒ u = ac2 a = acca = cbca = c2 b Nếu s = t = ⇒ u = abc2 ba = ac2 baa = cbcb = c2 bab = c2 a Suy Cc2 = c2 , c2 ba, c2 b, c2 a Mệnh đề chứng minh Mệnh đề 3.1.7 [2] Bảng đặc trưng nhóm A4 sau: −1 c c h b s at 37 4 e a c c2 χ1 1 1 χ2 1 ω ω2 χ3 1 ω2 ω χ4 -1 với ω = − 21 + 0 √ i Chứng minh Nhóm A4 có lớp liên hợp {e}, {a, b, ba}, {c, ca, cb, cba}, c2 , c2 a, c2 b, c2 ba đại diện phần tử e, a, c, c2 , nên theo Định lý 3.1.3 nhóm A4 có biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu với nhau, kí hiệu ϕi , i = 1, Theo Ví dụ 1.1.30, [A4 , A4 ] = {e, a, b, ab} Theo Định lý 1.3.13, số biểu diễn bất khả quy cấp không đẳng cấu với A4 A4 : [A4 , A4 ] = Không tính tổng quát, ta xem biểu diễn bất khả quy cấp ϕi , i = 1, Gọi χi đặc trưng biểu diễn bất khả quy ϕi , i = 1, Theo Hệ 1.3.18, ta có: n21 + n22 + + n24 = 12 ⇒ n3 = Vậy χ4 có cấp Sau ta xây dựng bảng đặc trưng nhóm A4 sau: Cột thứ χ1 (e) = T r ϕ1 (e) = χ2 (e) = T r ϕ2 (e) = χ3 (e) = T r ϕ3 (e) = Cột thứ hai χ1 (a) = T r ϕ1 (a) = χ2 (a) = T r ϕ2 (a) = χ3 (a) = T r ϕ3 (a) = Cột thứ ba 38 χ1 (c) = T r ϕ1 (c) = χ2 (c) = T r ϕ2 (c) = ω χ3 (c) = T r ϕ3 (c) = ω Cột thứ tư χ1 c2 = T r ϕ1 c2 =1 χ2 c2 = T r ϕ2 c2 = ω2 χ3 c2 = T r ϕ3 c2 = ω 4 e a c c2 χ1 1 1 χ2 1 ω ω2 χ3 1 ω ω χ4 b d c Áp dụng Hệ 1.3.18 ta có: + 3b = ⇒ b = −1 + ω + ω + 3c = ⇒ c = + ω + ω + 3d = ⇒ d = Vậy bảng đặc trưng nhóm A4 với ω = − 21 + 4 e a c c2 χ1 1 1 χ2 1 ω ω2 χ3 1 ω ω χ4 -1 √ i Mệnh đề chứng minh 39 3.2 Ứng dụng lớp liên hợp quan hệ đồng chất tập nhóm Định lý 3.2.1 (tính bất biến số lớp liên hợp quan hệ đồng chất) Giả sử X Y hai p−nhóm hữu hạn có cấp đồng chất với Ký hiệu jk (X) số lớp liên hợp có pk phần tử nhóm X Khi jk (X) = jk (Y ) , k = 0, 1, 2, Chứng minh Giả sử X Y hai p−nhóm hữu hạn đồng chất với nhau, tồn hai đẳng cấu ϕ : X → Y ; ψ : X ′ → Y ′ cho X ×X ϕ×ϕ Y ×Y ∂X X′ ∂Y ψ Y′ ∀x ∈ Y , ký hiệu CX (x) = CX (x)/Z (X) , ta có CX (x) ≤ X a ∈ X , đặt b = ϕ (a) ∈ Y , b ∈ Y ∀x ∈ CX (a), y = ϕ (x) Do X Y đồng chất nên [x, a] = 1X ⇒ [y, b] = ⇒ y ∈ CY (b) Suy ϕ CX (a) ⊂ CY (b) Ngược lại, với ∀v ∈ CY (b) Khi ∀u ∈ ϕ−1 (v) ⇒ u ∈ CX (a) cho ϕ (u) = v Suy Cy (b) ⊂ ϕ CX (a) Vậy ϕ CX (a) = CY (b) ⇒ CX (a) = CY (b) X , Y hữu hạn ϕ song ánh Suy CX (a) = CY (b) Z (X) = Z (Y ) Theo Mệnh đề 2.1.5, ta có |Ca | = |Cb | Do X Y p−nhóm hữu hạn nên jk (X) = jk (Y ) , k = 0, 1, 2, Ví dụ 3.2.2 1) Ta biết hai nhóm D4 Q8 đồng chất với (theo Ví dụ 1.2.3 ) Theo Hệ 2.2.2, nhóm D4 có lớp liên hợp {e}, x2 , x, x3 , y, x2 y , xy, x3 y Suy j0 (D4 ) = j1 (D4 ) = 40 Theo Mệnh đề 3.1.4, nhóm Q8 có lớp liên hợp {e}, a2 , a, a3 , b, a2 b , ab, a3 b Suy j0 (Q8 ) = j1 (Q8 ) = Vậy j0 (D4 ) = j0 (Q8 ) = j1 (D4 ) = j1 (Q8 ) = 2) Ta biết hai nhóm D8 Q16 đồng chất với nhau(theo Ví dụ 1.2.4) Theo Hệ 2.2.2, nhóm D8 có lớp liên hợp {e}, x4 , x, x7 , x2 , x6 , x3 , x5 , y, x2 y, x4 y, x6 y , xy, x3 y, x5 y, x7 y Suy j0 (D8 ) = 2; j1 (D8 ) = j2 (D8 ) = Theo Mệnh đề 2.2.3, nhóm Q16 có lớp liên hợp {e} , a4 , a, a7 , a3 , a5 , a2 , a6 , b, a2 b, a4 b, a6 b , ab, a3 b, a5 b, a7 b Suy j0 (Q16 ) = 2; j1 (Q16 ) = 3; j2 (Q16 ) = Vậy j0 (D8 ) = j0 (Q16 ) = 2; j1 (D8 ) = j1 (Q16 ) = j2 (D8 ) = j2 (Q16 ) = Mệnh đề sau ứng dụng Định lý 3.2.1 Mệnh đề 3.2.3 Hai nhóm D4 × C2 Q16 không đồng chất với Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.4, ta biết Nhóm D4 × C2 = x, y, z| x4 = y = z = [x, z] = [y, z] = 1, y −1 xy = x−1 = xs y t z h |0 ≤ s ≤ 3, ≤ t, h ≤ có 10 lớp liên hợp, đó: j0 (D4 × C2 ) = gồm lớp {e}, x2 , {z}, x2 z j1 (D4 × C2 ) = gồm lớp x, x3 , y, x2 y , xy, x3 y , yz, x2 yz , xz, x3 z , xyz, x3 yz Theo Mệnh đề 2.2.3, nhóm Q16 = a, b|a8 = e, a4 = b2 , b−1 ab = a−1 = as bt |0 ≤ a ≤ 7, ≤ b ≤ có lớp liên hợp, đó: j0 (Q16 ) = gồm lớp có phần tử {e} , a4 j1 (Q16 ) = gồm lớp có hai phần tử a, a7 , a3 , a5 , a2 , a6 j2 (Q16 ) = gồm lớp có bốn phần tử b, a2 b, a4 b, a6 b , ab, a3 b, a5 b, a7 b Ta thấy jk (D4 × C2 ) = jk (Q16 ) ; k = 0, 1, 2, Vậy theo Định lý 3.2.1 nhóm D4 × C2 khơng đồng chất với nhóm Q16 Mệnh đề chứng minh 41 KẾT LUẬN Luận văn “ Quan hệ liên hợp ứng dụng nhóm hữu hạn” đạt mục đích nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn thực vấn đề sau: 1) Trình bày quan hệ đồng chất tập nhóm biểu diễn nhóm hữu hạn 2) Trình bày quan hệ liên hợp nhóm số tính chất liên quan Tính lớp liên hợp số nhóm hữu hạn 3) Ứng dụng lớp liên hợp để tìm bảng đặc trưng nhóm quaternion Q8 , bảng đặc trưng nhóm thay phiên A4 4) Ứng dụng lớp liên hợp để chứng minh hai nhóm D4 × C2 Q16 không đồng chất Hi vọng luận văn tài liệu tham khảo cho quan tâm đến quan hệ liên hợp lý thuyết nhóm 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Ngọc Châu (1993), Về lớp đồng chất nhóm mở rộng tâm theo nhóm aben sơ cấp, tóm tắt luận án phó tiến sĩ khoa học Toán Lý, Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [3] Serge Lang (1978), Đại số (Bản dịch tiếng Việt Trần Văn Hạo, Hồng Kì), NXB Đại học Trung học chun nghiệp [4] Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Tiếng Anh [5] B Baumslag and B Chander (1968), Theory and problems of group theory , Mc Graw-hill book company [6] Gordon James and Martin Liebeck (2001), Representations and characters of groups, Cambridge University Press [7] M Suzuki (1986), Group theory, Springer – Verlag, New York ... - Lý thuyết nhóm hữu hạn, p? ?nhóm hữu hạn - Quan hệ liên hợp nhóm hữu hạn - Quan hệ đồng chất tập nhóm hữu hạn - Ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn, quan hệ đồng chất tập nhóm Phương... Quan hệ liên hợp nhóm Chương trình bày quan hệ liên hợp nhóm tính lớp liên hợp số nhóm 2.1 Định nghĩa quan hệ liên hợp tính chất 2.2 Lớp liên hợp số nhóm Chương Ứng dụng lớp liên hợp nhóm hữu hạn. .. bày quan hệ đồng chất tập nhóm biểu diễn nhóm hữu hạn 2) Trình bày quan hệ liên hợp nhóm số tính chất liên quan Tính lớp liên hợp số nhóm hữu hạn 3) Ứng dụng lớp liên hợp để tìm bảng đặc trưng nhóm