Lĩnh vực Công nghệ thông tin
Phân hoạch củavànhđathứctheocácphầntửliênhợp
và ứngdụngtronglýthuyết mã
PGS.TS Nguyễn Bình, KS. Đặng Hoài Bắc
Khoa Kỹ thuật điện tử 1
Tóm tắt: Mã xyclic cục bộ (XCB) tuy còn non trẻ nhng đã tỏ ra có nhiều u điểm thoả mãn đ-
ợc yêu cầu thực tế của hệ thống truyền tin. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ đề cập đến một
cách phân hoạch mới trên vànhđathức chẵn Z
2
[x]/x
2n
+1 (ký hiệu là Z
2n
) đó là phân hoạch
theo lớp cácphầntửliênhợpvàtừ đây xây dựngmã XCB cụ thể trên phân hoạch này.
1. Phân hoạch củavànhđathức Z
2n
theocácphầntửliên hợp
1.1 Các thặng d bậc 2 vàcác căn bậc 2 của chúng.
Định nghĩa 1.1: Đathức f(x) đợc gọi là thặng d bậc 2 (quadratic residue - QR) trong Z
2n
nếu
tồn tạiđathức g(x) sau:
g
2
(x)
f(x) mod x
2n+1
(1.1)
Nh vậy g(x) Z
2n
và đợc gọi là căn bậc 2 (Square root - Sqr) của f(x).
Nếu g(x) =
)x(f
đợc gọi là căn bậc 2 chính của f(x).
Chẳng hạn nếu: f(x)= 1+ x
2
+ x
4
thì căn bậc 2 chính của nó là:
)x(f
= 1+ x + x
2
Bổ đề 1.1:Đa thức f(x) nằm trong tập các thặng d bậc 2 Q
2n
( f(x)
Q
2n
) khi và chỉ khi f(x)
chứa các đơn thức có số mũ chẵn.
Số các thặng d bậc 2 trong Z
2n
đợc xác định nh sau:
Q
2n
=
=
n
0i
i
n
C
=
1 2 3 ( 1)
n n
n n n n n
C C C C C
+ + + + +
= 2
n
(1.2)
Ví dụ 1.1: Ta xét vành Z
2n
với n=3
ta có vành Z
6
( n = 3)
Tập các thặng d bậc hai Q
2n
trongvành Z
6
đợc xác định theo bổ đề 2.1 nh sau:
Q
6
={0, 1, x
2
, x
4
, 1+x
2
, 1+x
4
, x
2
+x
4
, 1+x
2
+x
4
} ( có tất cả 2
3
- tức 2
n
-
phần tử)
Bổ đề 1.2: Các căn bậc 2 của một thặng d bậc 2 đợc xác định theo công thức sau:
sqr[f(x)] = g(x) = (1+x
n
)
)x(fx
Ut
t
+
(1.3)
Trong đó U là một tập gồm các tổ hợp tuỳ ý các giá trị trong tập s = {0, 1, 2, , n-1}
Do vậy lực lợng của U sẽ bằng:U = 2
n
-1
Ví dụ 1.2: Trong tập Q
6
ở trên ta xét một QR bất kỳ để xác định căn bậc 2, chẳng hạn f(x)=x
2
áp dụng công thức (1.3) tính các căn bậc hai ở trên ta có
sqr(x
2
) = (1+x
3
)
xx
Ut
t
+
(với
)x(f
=x)
+ khi U= {0, 1, 2} sqr(x
2
) = (1+x
3
)( 1+x+x
2
) + x = 1+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
+ Tơng tự ta có: khi U = {0,1} sqr(x
2
) = (1+x
3
)( 1+x) + x = 1+x
3
+x
4
Cứ nh vậy ta sẽ tìm đợc toàn bộ 2
2n
phầntửliênhợpcủavành Z
6
.
Nhận xét:
- Trongvành Z
2n
có 2
n
thặng d bậc 2, mỗi thặng d bậc 2 có 2
n
căn bậc 2, vậy có tất cả 2
2n
căn bậc 2 trong vành, các căn bậc 2 này tạo nên toàn bộ vành Z
2n
.
- Ta sẽ gọi các căn bậc 2 của cùng một thặng d bậc 2 là cácphầntửliênhợp (Conjugate
Elements ) tơng ứng với thặng d đó ký hiệu là CEs.
1.2 Phân hoạch vành Z
2
[x]/ x
2n
+1 theocácphầntửliênhợp
Để khảo sát sự phân hoạch theocác CE trên vành Z
2
[x]/x
2n
+1, ta sẽ khảo sát trên vành
cụ thể Z
6
(n=3). Tập các QR trongvành Z
6
là: Q
6
={0, 1, x
2
, x
4
, 1+x
2
, 1+x
4
, x
2
+x
4
, 1+x
2
+x
4
}
Học viện Công nghệ BCVT
Sqr(1)
Sqr(x
2
+x
4
)
Sqr(1+x
2
)
Sqr(1+x
4
)
Sqr(0)
Sqr(x
4
)Sqr(x
2
)
Sqr(1+x
2
+x
4
)
Vành Z
6
Hội nghị Khoa học lần thứ 5
Hình 1. Phân hoạch vành Z
6
theo lớp cácphầntửliên hợp
Ta thấy rằng, đối với phép cộng
các CEs ở hình 1 sẽ thoả mãn bảng 1 nh sau:
Sqr(1) Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqr(1)
Sqr(0) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1)
Sqr(x
2
)
Sqr(1+x
2
) Sqr(0) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
)
Sqrh(x
4
)
Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(0) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(1) Sqr(x
2
) Sqr(1+x
2
) Sqr(x
4
)
Sqr(1+x
2
)
Sqr(x
2
) Sqr(1) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
)
Sqr(1+x
4
)
Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(1) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(0) Sqr(1+x
2
) Sqr(x
2
) Sqr(1+x
4
)
Sqr(x
2
+x
4
)
Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(x
4
) Sqr(x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(0) Sqr(1) Sqr(x
2
+x
4
)
Sqr(1+x
2
+x
4
)
Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(x
2
) Sqr(1) Sqr(0) Sqr(1+x
2
+x
4
)
Sqr(0)
Sqr(1) Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Bảng 1. Phép cộng modulo với cácphầntửliênhợptrongvành Z
6
Ta kiểm tra một phép cộng modulo trong bảng trên chẳng hạn: Sqr(1)+Sqr(x
4
) = Sqr(1+x
4
)
Ta có: 1+x+x
4
sqr(1)x
5
Sqr(x
4
)
1+x+x
4
x
5
= 1+x+x
4
+x
5
Sqr(1+x
4
) ( thoả mãn)
Kiểm tra với các tổng khác trong bảng 1, chúng ta thấy chúng đều thỏa mãn do vậy rõ
ràng là lớp cácphầntửliênhợp tạo nên một nhóm Aben cộng tính.
+ Đối với phép nhân, lớp cácphầntửliênhợptrongvành Z
6
cũng thoả mãn bảng sau:
Sqr(1) Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqr(1)
Sqr(1) Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqr(x
2
)
Sqr(x
2
) Sqr(x
4
) Sqr(1) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqrh(x
4
)
Sqr(x
4
) Sqr(0) Sqr(x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqr(1+x
2
)
Sqr(1+x
2
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(0) Sqr(0)
Sqr(1+x
4
)
Sqr(1+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(0) Sqr(0)
Sqr(x
2
+x
4
)
Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
2
) Sqr(1+x
4
) Sqr(x
2
+x
4
) Sqr(0) Sqr(0)
Sqr(1+x
2
+x
4
)
Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(1+x
2
+x
4
) Sqr(0)
Sqr(0)
Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) Sqr(0) 0
Bảng 2. Phép nhân modulo với cácphầntửliênhợptrongvành Z
6
Ta kiểm tra các kết quả trong bảng trên, chẳng hạn nh:
Sqr(1+x
2
)x Sqr(x
4
) = Sqr(1+x
4
) (lu ý Sqr(1+x
4
) = Sqr((1+x
2
) x x
4
))
Xét: (x
3
+x
4
) Sqr(1+x
2
) và (1+x
2
+x
3
) Sqr(1+x+x
2
)
Ta có: (x
3
+x
4
)x(1+x
2
+x
3
) = (x
3
+x
4
+x
6
+x
5
+x
6
+x
7
)mod(x
6
+1) = x+x
3
+x
4
+x
5
Sqr(1+x
4
)
Một cách tơng tự nh trên ta có thể kiểm tra toàn bộ các phép nhân giữa các cặp các
phần tửliênhợp nh trong bảng 2.
Từ kết quả ở bảng 2 ta thấy rằng, cácphầntửliênhợptrongvành Z
6
tạo nên một
nhóm theo phép nhân với phầntử đơn vị là Sqr(1), nhng lu ý sẽ có trờnghợp hai phầntử khác
0 nhng khi thực hiện phép nhân theo mod (x
6
+1), ta lại nhận đợc kết quả lại bằng 0.
Ta có thể lấy ví dụ :
(x+x
3
) Sqr(1+x
2
) (1+x
2
+x
4
) Sqr(1+x
2
+x
4
)
Khi thực hiện phép nhân: (x+x
3
) x (1+x
2
+x
4
) = (x+x
3
+x
3
+x
5
+x
5
+x
7
) mod (x
6
+1) = x+x = 0.
Vậy, cácphầntửliênhợpcủacác thặng d bậc 2 trongvành Z
6
tạo nên một nửa nhóm nhân.
Học viện Công nghệ BCVT
Lĩnh vực Công nghệ thông tin
Nhận xét:
- Lớp các CE củacác thặng d bậc 2 trongvành Z
6
là một nhóm đầy đủ đối với phép cộng và
nửa nhóm đối với phép nhân.
- Lớp các CE trongvành Z
6
thoả mãn các tiên đề về vành, chúng tạo nên một vành. Điều
này cũng đúng cho cácphầntửliênhợpcủa mọi vànhđathức Z
2n
với các n khác nhau.
2. Xây dựngmã XCB theocácphântửliênhợpcủa luỹ đẳng nuốt
2.1 Xây dựngmãtheo lớp CEs của luỹ đẳng nuốt trên vành Z
10
theophân hoạch chuẩn
Theo kết quả phần trên ta thấy lớp cácphầntửliênhợp trên Z
2n
luôn có cấu trúc của
một vành đại số, dựa vào cấu trúc đại số này ta hoàn toàn có thể xây dựng đợc mã XCB.
Trong vành
1x]x[Z
n
2
+
luôn tồn tại
=
=
1n
0i
i
0
x)x(e
đợc gọi là luỹ đẳng nuốt. Tơng
tự nh vậy, trongvành Z
2n
, ta cũng xác định đợc một lũy đẳng nuốt là
)x(e
2
0
với :
=
=
1n
0i
i22
0
x)x(e
(2.1)
Phép nhân một đathức bất kỳ với luỹ đẳng nuốt giúp ta kiểm tra đợc tính chẵn lẻ.
Luỹ đẳng nuốt có những tính chất đặc biệt để xây dựngmã XCB.
Trong vành
1x]x[Z
10
2
+
, tức vành Z
2n
với n = 5 ta thấy rằng có tất cả 32 (2
n
) thặng
d bậc 2 mỗi thặng d bậc 2 có tất cả 32 (2
n
) phầntửliên hợp. Các thặng d bậc 2 trongvành là
các đathức bao gồm các đơn thức có số mũ chẵn đợc xác định nhờ bổ đề 1.1.
Q
10
= {0, 1, x
2
, x
4
, x
6
, x
8
, 1+x
2
, 1+x
4
, 1+x
6
, 1+x
8
, x
2
+x
4
, x
2
+x
6
, x
2
+x
8
, x
4
+x
6
, x
4
+x
8
, x
6
+x
8
, 1+x
2
+x
4
,
1+x
2
+x
6
, 1+x
2
+x
8
, 1+x
4
+x
6
, 1+x
4
+x
8
, 1+x
6
+x
8
, x
2
+x
4
+x
6
, x
2
+x
4
+x
8
, x
2
+x
6
+x
8
, x
4
+x
6
+x
8
, 1+x
2
+x
4
+x
6
,
1+x
2
+x
4
+x
8
, 1+x
2
+x
6
+x
8
, 1+x
4
+x
6
+x
8
, x
2
+x
4
+x
6
+x
8
, 1+x
2
+x
4
+x
6
+x
8
}
Các phầntửliênhợpcủa luỹ đẳng nuốt e
0
(x
2
)=1+x
2
+x
4
+x
6
+x
8
Ta xác định CEs của luỹ đẳng nuốt e
0
(x
2
)=1+x
2
+x
4
+x
6
+x
8
trong tập Q
10
trên theo biểu thức:
Sqr(e
0
(x
2
)) = (1+x
n
)
Ut
t
x
+
2
0
( )e x
(2.2)
Toàn bộ cácphầntửliênhợpcủa luỹ đẳng nuốt đợc thể hiện ở bảng bên trái, bảng bên
phải thể hiện phân hoạch củacác luỹ đẳng nuốt trongvành Z
10
theophân hoạch chuẩn (phân
hoạch trong đó cácphầntửtrong một lớp dịch vòng theocáctrởng lớp kề) .
qr(e
0
(x
2
)) =
{1+x+x
2
+x
3
+x
4
,+x
2
+x
3
+x
4
+x
6
,1+x
2
+x
4
+x
6
+x
8
,
1+x
3
+x
4
+x
6
+x
7
, x+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
, x+x
3
+x
4
+x
5
+x
7
,
x+x
3
+x
5
+x
7
+x
9
, x+x
4
+x
5
+x
7
+x
8
, x
2
+x
3
+x
4
+x
5
+x
6
,
x
2
+x
4
+x
5
+x
6
+x
8
, x
2
+x
5
+x
6
+x
8
+x
9
, x
3
+x
4
+x
5
+x
6
+x
7
,
x
3
+x
5
+x
6
+x
7
+x
9
, 1+x
3
+x
6
+x
7
+x
9
, x
4
+x
5
+x
6
+x
7
+x
8
,
1+x
4
+x
6
+x
7
+x
8
, 1+x+x
4
+x
7
+x
8
, x
5
+x
6
+x
7
+x
8
+x
9
,
x+x
5
+x
7
+x
8
+x
9
, x+x
2
+x
5
+x
8
+x
9
, 1+x
6
+x
7
+x
8
+x
9
,
1+x
2
+x
6
+x
8
+x
9
, 1+x
2
+x
3
+x
6
+x
9
, 1+x
2
+x
7
+x
8
+x
9
,
1+x+x
3
+x
7
+x
9
, 1+x+x
3
+x
4
+x
7
, 1+x+x
2
+x
8
+x
9
,
1+x+x
2
+x
4
+x
8
, x+x
2
+x
4
+x
5
+x
8
, 1+x+x
2
+x
3
+x
9
,
x+x
2
+x
3
+x
5
+x
9
, x
2
+x
3
+x
5
+x
6
+x
9
}
N
0
C
1
C
2
C
3
C
3
1
(01234) (02346) (03467) (02468)
2
(12345) (13457) (14578) (13579)
3
(23456) (24568) (25689)
Phân 4 (34567) (35679) (36790)
hoạch 5 (45678) (46780) (47801)
6 (56789) (57891) (58912)
7 (67890) (68902) (69023)
8 (78901) (79013) (70134)
9 (89012) (80124) (81245)
10 (90123) (91235) (92356)
Bảng 3. Phân hoạch chuẩn củacác CE trên vành Z
10
Bổ đề 2.1:Tập tất cả cácphầntửliênhợp với luỹ đẳng nuốt e
0
(x
2
) sẽ tạo ra cácmã xyclic
cục bộ với các giá trị sau: (n, k, d
0
) = ( 2
n
- 1, n, 2
n-1
)
Đây là mã tối u thoả mãn giới hạn Griesmer nghĩa là độ dài từmã n thoả mãn:
1
0
0
2
k
i
i
d
n
=
(2.2)
Nhận xét:
Học viện Công nghệ BCVT
Hội nghị Khoa học lần thứ 5
- Để trực giao hóa hệ tổng kiểm tra
n
x1)x(b)x(a +=+
, ta có thể chọn trớc giá trị của n
dấu thông tin. Để thuận tiện, bắt đầu từ đây khi lập mã ta sẽ chọn
0xxx
1n21nn
====
+
).
- Từ toàn bộ các lớp kề, ta có thể xây dựngmã (31, 5) với
16d
0
=
.
Sau đây, ta sẽ xây dựngmã xyclic cục bộ cụ thể từcác lớp kề C
1
, C
2
và C
3
trong bảng 3.1.
Các phầntử (5 6 7 8 9) không cần phát vì theo giả định chúng đều bằng 0, nhng để nhận biết
chúng khi giải mã phải thêm 0 vào, do đó mã xyclic cục bộ này có chiều dài là 29. Mã này
chính là mã (29, 5) với
0
d 14
=
đây mã gần tối u (29, 5, 14) với sơ đồ lập mã nh sau:
Hình 2. Sơ đồ mãhoámã (29,5) theocác lớp kề C
1
, C
2
, C
3
Ta có thể phát bất kỳ từmã C
1
hoặc C
2
hoặc C
3
tuỳ theo chọn bit. Sau 5 nhịp dịch vòng xác
định đợc 5 dấu thông tin từ x
0
đến x
4
. Sau đây là sơ đồ giải mã.
Bộ giải mã ngỡng củamã này đợc thể hiện ở hình 3. Tại xung clock thứ nhất, đầu ra
của thiết bị giải mã M là x
0
. Tại xung clock thứ hai, đầu ra của M là x. Tại xung clock thứ ba,
đầu ra cuả M là x
2
. Tại xung clock thứ t, đầu ra là x
3
. Tại xung clock thứ 5, đầu ra là x
4
. Ng-
ỡng chính của thiết bị giải mã ngỡng M sẽ là 8. Bộ mã có khả năng sửa đợc 6 bit sai.
Lu đồ thuật toán mô phỏng cách lập, giải mã trên đợc thể hiện ở trang tiếp theo.
Học viện Công nghệ BCVT
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
00000
+ + + +
C
1
+
+
++
C
2
C
3
+
1
3
C
2
3
C
3
3
C
4
3
C
5
3
C
6
3
C
7
3
C
8
3
C
9
3
C
10
3
C
1
2
C
2
2
C
3
2
C
4
2
C
5
2
C
6
2
C
7
2
C
8
2
C
9
2
C
10
2
C
1
1
C
2
1
C
3
1
C
4
1
C
5
1
C
6
1
C
7
1
C
8
1
C
9
1
C
10
1
C
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
M=8
OUTPUT
Hình 3. Bộ giải mãmã XCB (29,5) theophân hoạch chuẩn
Lĩnh vực Công nghệ thông tin
2.2 Xây dựngmãtheo lớp CEs của luỹ đẳng nuốt trên vành Z
10
theophân hoạch cực đại
Trong vành
1x]x[Z
10
2
+
, nhóm nhân với phầntử sinh là phầntử nguyên thuỷ a(x)
= 1+x+x
2
đợc xác định nh sau:
)012(xx1)x(a
2
++=
A= {a
i
(x),
1, 30
} = {(012), (024)), (01356), (048), (1245689), (6), (678), (068),
(12679), (046), (0124578), (2), (234), (246), (23578), (026), (0134678), (8), (089), (028),
(13489), (268), (0234679), (4), (456), (468), (04579), (248), (0235689),(0)}
Sau đây chúng ta sẽ xem xét cách xây dựngmã xyclic cục bộ cụ thể trên một phân
hoạch cực đại theocácphầntửliênhợpcủa luỹ đẳng nuốt trên vành Z
10
.
Với
32,5n =
phầntửcủa luỹ đẳng
)x(e
2
0
đợc phân hoạch theo hai lớp kề nh sau:
}30,1b,b{}29,0i),x(a)x(e{B
ii
01
====
B
1
= {(01234), (02346), (01478), (34567), (35679), (01347), (06789), (02689), (03467), (01239),
(12359), (03679), (23456), (24568), (02369), (56789), (15789), (23569), (01289), (01248), (25689),
(12345), (13457), (12589), (45678), (04678), (12458), (01789), (01374), (14578)}.
)}13579(),02468{(B
2
=
Ta sẽ sử dụng lớp kề B
1
để tạo mã xyclic cục bộ (29, 5) phầntử (5 6 7 8 9) = 0 vì theo giả
thiết x
5
=x
6
=x
7
=x
8
=x
9
=0
Lu đồ thuật toán và kết quả chơng trình mô phỏng
lập mã , giải mãmã (29, 5) theophân hoạch chuẩn bằng Visual C
++
Lu đồ thuật toán:
Học viện Công nghệ BCVT
Begin
Đa thức thông tin
có hợp lệ không?
End
Y
N
Mã hoávà truyền (Send):
- Chọn tr ởng lớp kề của C
1
, C
2
, C
3
- Dịch vòng
- Cộng modulo 2 theo 3.1. Phát từmã
Tạo nhiễu (Noise)
Nhiễu có hợp lệ không
Nhập đathức thông tin
N
Hiển thị từ mã
Nhận thông tin (Receive)
Receive = Send XOR Noise
Giải mã:
J số tổng kiểm tra đã biết
Y
Hội nghị Khoa học lần thứ 5
Kết quả mô phỏng:
Cách mãhóamã 29,5 theophân hoạch cực đại:
Giả sử ta có đathức thông tin là I = {1 0 1 0 0}
Bằng cách thay lần lợt đathức thông tin vào cácđathứctrong nhóm nhân xyclic ở trên, và
cộng modul 2 kết quả ta sẽ đợc toàn bộ từmã tơng ứng với đathức thông tin đó.Ví dụ, đa
thức đầu tiên của nhóm nhân là a = (1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
), thay tơng ứngđathức thông tin ở
trên vào ta đợc bit đầu tiên củatừmã là:
(1 + x
2
) = 1
1 = 0. Thực hiện với tất cả các bit còn lại ta đợc toàn bộ từmã xyclic theo
phân hoạch cực đại tơng ứng với đathức thông tin trên là:
0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0
Hệ tổng kiểm tra trực giao với
5
x1+
đợc xây dựngtừ
1
B
là:
221
1
bbS
+=
132
2
bbS
+=
303
3
bbS
+=
94
4
bbS +=
125
5
bbS
+=
236
6
bbS
+=
218
7
bbS +=
1110
8
bbS +=
1815
9
bbS
+=
2817
10
bbS
+=
2419
11
bbS
+=
2720
12
bbS +=
167
13
bbS
+=
2625
14
bbS
+=
Đối với hệ tổng kiểm tra trực giao này, ta có thể chọn
0xxxxx
98765
=====
.
Trong trờnghợp này, ta có mã xyclic
)5,29(
với
14d
0
=
.
Bộ giải mã ngỡng củamã này đợc thể hiện trong hình 4.
Học viện Công nghệ BCVT
b
30
b
29
b
28
b
27
b
26
b
25
b
24
b
23
b
22
b
21
b
20
b
19
b
18
b
17
b
16
b
15
b
14
b
13
b
12
b
11
b
10
b
9
b
8
b
7
b
6
b
5
b
4
b
3
b
2
b
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
M=8
Hình 4. Bộ giải mãmã (29,5) theophân hoạch cực đại
Lĩnh vực Công nghệ thông tin
Giá trị của b
16
bằng zero, giá trị này không đợc truyền đi, nhng nó đợc thêm vào trong
quá trình giải mã.
Tại xung nhịp clock đầu tiên, đầu ra của thiết bị giải mã ngỡng M là x
0
. Tại xung
clock thứ 22, đầu ra của M là x
1
. Tại xung clock thứ 43, đầu ra của M là x
2
. Tại xung clock
thứ 64, đầu ra của M là x
3
. Tại xung clock thứ 85, đầu ra của M là x
4
.Đây là xung nhịp clock
cuối cùng của quá trình giải mã. Ngỡng chính của M sẽ là 8. Bộ mã sửa đợc 6 bit sai.
Với thuật toán tơng tự ta xây dựng chơng trình mô phỏng bằng MATLAB và có đợc
kết quả nh sau:
3. Kết luận
Ta thấy rằng việc xây dựngcácmãtheocácphầntửliênhợpcủa luỹ đẳng nuốt có
nhiều u điểm nổi bật nh:
- Cácmã tạo ra đều là mã gần tối u thoả mãn các giới hạn Griesmes.
- Khả năng tạo ra các bộ mã có cùng tham số là rất lớn. Điển hình nh mã (29,5) chúng
ta tạo ra có tới hơn 5400 khả năng.
- Các sơ đồ mãhoávà giải mã đều khá đơn giản chỉ cần các bộ cộng modulo 2 và nhân
đa thức thông thờng.
- Dựa vào phơng pháp phân hoạch theocácphầntửliênhợpcủa luỹ đẳng nuốt ta có thể
xây dựngmã trên mọi vành chẵn Z
2n
, điều mà trớc nay cha đợc đề cập đến.
Kết quả của bài báo nếu đợc hoàn thiện về phần cứng có thể đợc sử dụngtrong việc
truyền tin trongcác mạng Lan, Wan với những đặc tính truyền dẫn và sửa sai tốt, linh hoạt
trong việc thay đổi bộ mã.
Học viện Công nghệ BCVT
Hội nghị Khoa học lần thứ 5
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyen Binh, Nguyen Xuan Quynh.
"Application of symmetric characteristic of cosets for improving error - correcting
ability of local cyclic codes". Science conference. Electronics - Informatics Institute.
Hanoi, 1988.
[2] Vũ Việt: Phân hoạch vànhđa thức. Chuyên đề tiến sĩ, 2001
[3] Nguyen Binh. Tran Duc Su, Pham Viet Trung.
"Decomposition of polynomial ring according to the classes of conjugate elements".
ATC - 26. Hanoi, 10.2001.
[4] Nguyen Binh, Vu Viet, Pham Viet Trung.
"Decomposition of polynomial ring and coding with random clock". CAFEO 2000.
Hanoi, 22-24 Nov, 2000.
Học viện Công nghệ BCVT
. tin
Phân hoạch của vành đa thức theo các phần tử liên hợp
và ứng dụng trong lý thuyết mã
PGS.TS Nguyễn Bình, KS. Đặng Hoài Bắc
Khoa Kỹ thuật điện tử 1
Tóm. trên phân hoạch này.
1. Phân hoạch của vành đa thức Z
2n
theo các phần tử liên hợp
1.1 Các thặng d bậc 2 và các căn bậc 2 của chúng.
Định nghĩa 1.1: Đa thức